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Schnitte am Körper

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 1: Würfel
Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 1: Würfel
a)
Berechne den Umfang der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ mit $\alpha \in ]0^°; 90^°[$.
b)
Für welchen Wert von $\alpha$ wird der Umfang maximal. Brgünde deine Lösung anhand der Formel.
#würfel#winkel#umfang

Aufgabe 1

Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 2: Pyramide
Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 2: Pyramide
a)
Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$.
b)
Gebe den maximalen Wert für den Flächeninhalt mit der Angabe des entsprechenden Winkels an.
#flächeninhalt#winkel#pyramide

Aufgabe 2

Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 3: Quader
Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 3: Quader
a)
Berechne den Umfang der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$.
b)
Stelle den Umfang in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ im Bereich $\alpha \in [20^°;60^°]$ graphisch dar. Erstelle dazu eine passende Wertetabelle. Bestimme mit Hilfe des Graphen den Winkel für den der Umfang sein Maximum erreicht.
#winkel#umfang#prisma

Aufgabe 3

Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 4: Tetraeder
Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 4: Tetraeder
a)
Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche $ABP_n$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$.
b)
Gebe den maximalen und minimalen Flächeninhalt der Schnittfläche für $a=5 \text{ cm}$ an.
#winkel#gleichseitigesdreieck#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Du sollst den Umfang der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass $\alpha \in ]0^°;90^°[$ ist. Das bedeutet, dass sich die obere Kante der Schnittfläche für $\alpha \in ]0^°;45^°[$ auf der Fläche $CDFG$ befindet und für $\alpha \in [45^°;90^°[$ auf der Fläche $EFGH$. Somit musst du zur Berechnung des Umfangs eine Fallunterscheidung durchführen.
Die Länge der oberen und der unteren Kante der Schnittfläche hast du bereits gegeben, da diese der Länge der Seite $a$ entspricht und unabhängig vom Winkel $\alpha$ ist. Die beiden Außenseiten der Schnittfläche musst du in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ angeben. Hierfür musst du unterscheiden ob der Winkel $\alpha \in ]0^°;45^°[$ oder ob $\alpha \in [45^°;90^°[$ ist.
1. Fall: $\alpha \in ]0^°;45^°[$
Im Fall $\alpha \in ]0^°;45^°[$ liegt die obere Kante der Schnittfläche in der Fläche $CDFG$. Somit kannst du die Länge der Außenseite der Schnittfläche $h$ mit dem Kosinus berechnen. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{a}{h} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot h \\[5pt] h \cdot \cos \alpha&=& a &\quad \scriptsize \mid\; :(\cos \alpha) \\[5pt] h &=& \dfrac{a}{\cos \alpha} \\[5pt] h &=& \dfrac{5 \text{ cm}}{\cos \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$h= \dfrac{5 \text{ cm}}{\cos \alpha} $
Daraus folgt für den Umfang $U_1$ der Schnittfläche im Fall 1:
$\begin{array}[t]{rll} U_1&=& 2 \cdot a + 2 \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 5 \text{ cm} + 2 \cdot \dfrac{5 \text{ cm}}{\cos \alpha} \\[5pt] &=& 10 \text{ cm} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{\cos \alpha}\right) \\[5pt] \end{array}$
$U_1= \dotsc $
Somit gilt falls $\alpha \in ]0^°;45^°[$, dass der Umfang in Abhängigkeit von $\alpha$ durch $U_1=10 \text{ cm} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{\cos \alpha}\right) $ gegeben ist.
2. Fall: $\alpha \in [45^°;90^°[$
Im Fall $\alpha \in [45^°;90^°[$ liegt die obere Kante der Schnittfläche in der Fläche $EFGH$. Somit kannst du die Länge der Außenseite der Schnittfläche $h$ mit dem Sinus berechnen. Hiermit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{a}{h} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot h \\[5pt] h \cdot \sin \alpha&=& a &\quad \scriptsize \mid\; :(\sin \alpha) \\[5pt] h &=& \dfrac{a}{\sin \alpha} \\[5pt] h &=& \dfrac{5 \text{ cm}}{\sin \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$h = \dfrac{5 \text{ cm}}{\sin \alpha} $
Daraus folgt für den Umfang $U_2$ der Schnittfläche im Fall 2:
$\begin{array}[t]{rll} U_2&=& 2 \cdot a + 2 \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 5 \text{ cm} + 2 \cdot \dfrac{5 \text{ cm}}{\sin \alpha} \\[5pt] &=& 10 \text{ cm} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{\sin \alpha}\right) \\[5pt] \end{array}$
$U_2= \dotsc $
Somit gilt falls $\alpha \in [45^°;90^°[$, dass der Umfang in Abhängigkeit von $\alpha$ durch $U_2=10 \text{ cm} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{\sin \alpha}\right) $ gegeben ist.
b)
Du sollst bestimmen, für welchen Wert von $\alpha$ der Umfang maximal wird. In der oberen Teilaufgaben hast du bereits die Formeln für den Umfang in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ bestimmt. Hierbei gibt es zwei verschiedene Fälle. Für $\alpha \in ]0^°;45^°[$ gilt für den Umfang $U_1=10 \text{ cm} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{\cos \alpha}\right) $ und für $\alpha \in [45^°;90^°[$ gilt $U_2=10 \text{ cm} \cdot \left(1+ \dfrac{1}{\sin \alpha}\right) $.
Da hierbei jeweils die Winkelfunktionen im Nenner stehen musst du bestimmen für welchen Wert von $\alpha$ der Wert der entsprechenden Winkelfunktion am kleinsten wird. Überprüfe hierbei das Verhalten der Winkelfunktion in dem entsprechenden Winkelbereich.
Im ersten Fall gilt $\alpha \in ]0^°;45^°[$ und in der Formel für den Umfang wird der Kosinus verwendet. Der Graph der Kosinusfunktion fällt im Bereich $\alpha \in ]0^°;45^°[$, das bedeutet, dass die Funktionswerte kleiner werden für einen größeren Winkel $\alpha$.
Im zweiten Fall gilt $\alpha \in [45^°;90^°[$ und in der Formel für den Umfang wird der Sinus verwendet. Der Graph der Sinusfunktion steigt im Bereich $\alpha \in [45^°;90^°[$, das bedeutet, dass die Funktionswerte größer werden für einen größeren Winkel $\alpha$ Daraus folgt, dass der Umfang im zweiten Fall $U_2$ maximal wird für $\alpha =45^°$. Außerdem gilt $\sin 45^°= \cos 45^°$ und entsprechend folgt daraus, dass der Umfang für $\alpha=45^°$ maximal wird.
#sinusfunktion#kosinusfunktion

Aufgabe 1

a)
Du sollst den Flächeninhalt der Schnittfäche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ angeben. Die Schnittfläche ist hierbei ein Dreieck. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Die Länge der Grundseite hast du bereits aus der Aufgabenstellung gegeben. Diese Länge ist unabhängig vom Winkel $\alpha$ und entspricht der Seitenlänge $a$. Die Höhe $h_g$ der Schnittfläche musst du noch in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ berechnen. Die Höhe der Schnittfläche kannst du über den Kosinus wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\frac{a}{2}}{h_g} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot h_g\\[5pt] h_g \cdot \cos \alpha &=& \dfrac{a}{2} &\quad \scriptsize \mid\; :\cos \alpha\\[5pt] h_g &=& \dfrac{a}{2 \cdot \cos \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$h_g =\dfrac{a}{2 \cdot \cos \alpha}$
Somit kannst du den Flächeninhalt mit $a=4 \text{ cm}$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ wie folgt angeben:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{2 \cdot \cos \alpha} \\[5pt] &=& \dfrac{a^2}{4 \cdot \cos \alpha}\\[5pt] &=& \dfrac{(4 \text{ cm})^2}{4 \cdot \cos \alpha}\\[5pt] &=& \dfrac{4 \text{ cm}^2}{\cos \alpha}\\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc $
Somit gilt $A= \dfrac{4 \text{ cm}^2}{\cos \alpha}$.
b)
In dieser Teilaufgabe sollst du den maximalen Wert für den Flächeninhalt bestimmen. Außerdem sollst du hierzu den passenden Winkel angeben. Aus der Aufgabenstellung kannst du sehen, dass der Punkt $F_n$ maximal an der Stelle des Punktes $E$ liegen kann. Du hast die Höhe der Pyramide mit $h= 5 \text{ cm}$ gegeben. Dadurch kannst du den maximalen Winkel berechnen, welcher die Schnittfläche mit der Grundfläche einschließt.
In diesem Fall entspricht die Schnittfläche der Mantelfläche der Pyramide. Somit folgt für den maximalen Winkel $\alpha_{max}$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha_{max}&=& \dfrac{h}{\frac{a}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot h_g\\[5pt] &=& \dfrac{5 \text{ cm}}{\frac{4 \text{ cm}}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; :\cos \alpha\\[5pt] &=& \dfrac{5}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} (\,)\\[5pt] \alpha_{max}&=& \tan^{-1} \left(\dfrac{5}{2} \right) \\[5pt] &\approx& 68,199^° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha_{max} \approx 68,199^° $
Der maximale Winkel, der die Schnittfläche mit der Grundfläche einschließt beträgt somit etwa $68,199^°$. In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits den Flächeninhalt in Abhänngigkeit des Winkels $\alpha$ bestimmt. Hiebei gilt $A= \dfrac{4 \text{ cm}^2}{\cos \alpha}$. Da der Ausdruck $\cos \alpha$ im Nenner steht wird der Flächeninhalt größer falls der Ausdruck $\cos \alpha$ kleiner wird. Die Kosinusfunktion wird im Bereich von $0^°$ bis $90^°$ stets kleiner.
Daraus folgt, dass der Flächeninhalt der Schnittfläche für den maximalen Winkel entsprechend maximal wird. Somit folgt für $A_{max}$:
$\begin{array}[t]{rll} A_{max}&=& \dfrac{4 \text{ cm}^2}{\cos \alpha_{max}} \\[5pt] &=& \dfrac{4 \text{ cm}^2}{\cos 68,199^°} \\[5pt] &\approx& 10,77 \text{ cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_{max} \approx 10,77 \text{ cm}^2 $
Somit beträgt der maximale Flächeninhalt etwa $10,77 \text{ cm}^2$.
#kosinus

Aufgabe 2

a)
In dieser Teilaufgabe sollst du den Umfang der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ berechnen. Bei der Schnittfläche handelt es sich hierbei um ein Rechteck. Du hast die Höhe des Prismas mit $h=4 \text{ cm}$ gegeben. Somit weißt du, dass die Länge der Schnittfläche entsprechend $l=4 \text{ cm}$ beträgt. Du musst somit noch die Breite $b$ der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ bestimmen. Die Breite $b$ ist gerade die Länge der Strecke $\overline{DI_n}$.
Hierfür benötigst du zur Berechnung eine Falllunterscheidung, da für $\alpha \in ]0^°;45^°]$ der Punkt $I_n$ auf der Seite $[AB]$ liegt und für $\alpha \in ]45^°;90^°[$ der Punkt $I_n$ auf der Seite $[BC]$.
Fall 1: $\alpha \in ]0^°;45^°]$
In diesem Fall liegt der Punkt $I_n$ auf der Seite $[AB]$ und du kannst die Länge der Strecke $\overline{DI_n}$ wie folgt mit dem Kosinus bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{a}{\overline{DI_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DI_n}\\[5pt] \overline{DI_n} \cdot \cos \alpha &=& a &\quad \scriptsize \mid\; :\cos \alpha\\[5pt] \overline{DI_n} &=& \dfrac{a}{\cos \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{DI_n} = \dfrac{a}{\cos \alpha} $
Somit kannst du den Umfang mit $a=1 \text{ cm}$ und $h=4 \text{ cm}$ wie folgt angeben:
$\begin{array}[t]{rll} U_1&=& 2 \cdot l+ 2 \cdot b \\[5pt] &=& 2 \cdot h + 2 \cdot \overline{DI_n} \\[5pt] &=& 2 \cdot 4 \text{ cm} + 2 \cdot \dfrac{1 \text{ cm}}{\cos \alpha} \\[5pt] &=& 8 \text{ cm} + \dfrac{2 \text{ cm}}{\cos \alpha}\\[5pt] \end{array}$
$U_1 = \dotsc $
Fall 2: $\alpha \in ]45^°;90^°[$
In diesem Fall liegt der Punkt $I_n$ auf der Seite $[BC]$. Du musst dir nun überlegen wie du die Länge der Strecke $\overline{DI_n}$ bestimmen kannst. Du kannst hierbei erneut den Kosinus anwenden. Du musst darauf achten den passenden Winkel zu wählen. Hierbei benötigst du den Winkel $90^°-\alpha$ zur Berechnung der Strecke $\overline{DI_n}$. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos (90^°-\alpha)&=& \dfrac{a}{\overline{DI_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DI_n}\\[5pt] \overline{DI_n} \cdot \cos (90^°-\alpha) &=& a &\quad \scriptsize \mid\; :\cos (90^°-\alpha)\\[5pt] \overline{DI_n} &=& \dfrac{a}{\cos (90^°-\alpha)} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{DI_n} = \dfrac{a}{\cos (90^°-\alpha)} $
Somit kannst du den Umfang mit $a=1 \text{ cm}$ und $h=4 \text{ cm}$ wie folgt angeben:
$\begin{array}[t]{rll} U_2&=& 2 \cdot l+ 2 \cdot b \\[5pt] &=& 2 \cdot h + 2 \cdot \overline{DI_n} \\[5pt] &=& 2 \cdot 4 \text{ cm} + 2 \cdot \dfrac{1 \text{ cm}}{\cos (90^°-\alpha)} \\[5pt] &=& 8 \text{ cm} + \dfrac{2 \text{ cm}}{\cos (90^°-\alpha)}\\[5pt] \end{array}$
$U_2= \dotsc $
b)
Du sollst den Umfang in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ graphisch darstellen und dazu eine passende Wertetabelle erstellen. Hierzu hast du den Bereich von $20^°$ bis $60^°$ gegeben. Du hast hierbei die Formel $U_1=8 \text{ cm} + \dfrac{2 \text{ cm}}{\cos \alpha}$ im Bereich $\alpha \in ]0^°;45^°]$ und $U_2=8 \text{ cm} + \dfrac{2 \text{ cm}}{\cos (90^°-\alpha)}$ im Bereich $\alpha \in ]45^°;90^°[$ gegeben.
Beachte bei der Berechnung des Umfangs die passende Formel zu wählen. Daraus ergibt sich folgende Wertetabelle:
$\alpha$$20^°$$30^°$$40^°$$45^°$$50^°$$60^°$
Umfang $U$ in $\text{ cm}$$10,13$$10,31$$10,61$$10,83$$10,61 $$10,31$
$\alpha$$y$
$20^°$$10,13$
$ 30^°$$10,31$
$40^°$$ 10,61$
$45^°$$10,83$
$50^°$$10,61$
$60^°$$10,31$
Damit ergibt sich folgende graphische Darstellung:
Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 1: Umfang in Abhängigkeit des Winkels
Funktionale Abhängigkeit: Schnitte am Körper
Abb. 1: Umfang in Abhängigkeit des Winkels
Du sollst mit Hilfe des Graphen den Winkel bestimmen für den der Umfang sein Maximum erreicht. Lese somit den Winkel $\alpha$ ab für den der Umfang am größten ist.
An dem Graphen kannst du ablesen, dass der Umfang sein Maximum bei $\alpha=45^°$ erreicht.
#kosinus

Aufgabe 3

a)
Du sollst den Flächeninhalt $A$ der Schnittfläche $ABP_n$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$ angeben.
Die Schnittfläche ist hierbei ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite $[AB]$. Zeichne senkrecht zur Grundseite und durch den Punkt $P_n$ die Höhe $h_A$ der Schnittfläche ein. Für den Flächeninhalt der Schnittfläche folgt damit:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_A$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_A$
Hierfür benötigst du noch die Länge der Höhe der Schnittfläche $h_A$. Die Höhe der Schnittfläche kannst du in dem gleichschenkligen Dreieck der Schnittfläche bestimmen. Hierfür benötigst du allerdings noch die Länge der Strecke $\overline{AP_n}=\overline{BP_n}$. Diese Länge kannst du im Dreieck $ACP_n$ durch den Winkel $\alpha$ berechnen.
Für die Länge der Strecke $AP_n$ gilt mit dem Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{a}{\overline{AP_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AP_n}\\[5pt] \overline{AP_n} \cdot \cos \alpha &=& a &\quad \scriptsize \mid\; :\cos \alpha\\[5pt] \overline{AP_n} &=& \dfrac{a}{\cos \alpha} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{AP_n} =\dfrac{a}{\cos \alpha} $
Somit hast du gezeigt, dass für die Länge der Strecke $AP_n$ in Abhängigkeit der Länge der Seite $a$ und dem Winkel $\alpha$ die Gleichung $\overline{AP_n}=\dfrac{a}{\cos \alpha}$ gilt.
Mit der Länge der Strecke $\overline{AP_n}$ kannst du die Länge der Höhe $h_A$ bestimmen. Du hast bereits die Höhe des Dreiecks $ABP_n$ eingezeichnet. Daraus erhältst du zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Da das Dreieck $ABP_n$ gleichschenklig ist folgt daraus, dass sich die Länge der Seite $[AB]$ halbiert. Daraus folgt für die Länge der Höhe $h_A$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP_n}^2&=& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h_A^2\\[5pt] \overline{AP_n}^2&=& \dfrac{a^2}{4} + h_A^2 &\quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{a^2}{4}\\[5pt] \overline{AP_n}^2 - \dfrac{a^2}{4} &=& h_A^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{\overline{AP_n}^2 - \dfrac{a^2}{4}} &=& h_A \\[5pt] h_A&=& \sqrt{\overline{AP_n}^2 - \dfrac{a^2}{4}} \\[5pt] &=& \sqrt{ \left( \dfrac{a}{\cos \alpha} \right)^2 - \dfrac{a^2}{4} } \\[5pt] &=& \sqrt{ \dfrac{a^2}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{a^2}{4} } \\[5pt] &=& \sqrt{ a^2 \cdot \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right) } \\[5pt] \end{array}$
$h_A= \dotsc $
Daraus folgt für den Flächeninhalt der Schnittfläche $ABP_n$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{ a^2 \cdot \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right) } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{ \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right)} \\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc$
Somit gilt für den Flächeninhalt der Fläche $ABP_n$ in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$ $A=\dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{ \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right)}$.
b)
In dieser Teilaufgabe sollst du den maximalen und den minimalen Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ für $a=5 \text{ cm}$ angeben. In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits berechnet, dass der Flächeninhalt $A$ der Schnittfläche in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ und der Länge der Seite $a$ durch $A=\dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{ \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right)}$ gegeben ist.
Hierbei hast du $a=5 \text{ cm}$ gegeben. Daraus folgt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{ \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right) } \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 25 \text{ cm}^2\cdot \sqrt{ \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right)} \\[5pt] &=& 12,5 \text{ cm}^2 \cdot \sqrt{ \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right)}\\[5pt] &=& \sqrt{ 12,5^2 \text{ cm}^4 \cdot \left( \dfrac{1}{(\cos \alpha)^2} - \dfrac{1}{4} \right)}\\[5pt] &=& \sqrt{ \dfrac{156,25 \text{ cm}^4}{(\cos \alpha)^2} - 156,25 \text{ cm}^4 \cdot \dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=& \sqrt{ \dfrac{156,25 \text{ cm}^4}{(\cos \alpha)^2} - 39,0625 \text{ cm}^4 }\\[5pt] \end{array}$
$A= \dotsc $
Somit ist der Flächeninhalt $A$ nur noch von dem Winkel $\alpha$ abhängig. Überlege dir somit anhand des Verlaufes der Kosinusfunktion, für welchen Wert für $\alpha$ der Flächeninhalt am größten und am kleinsten ist. Die Kosinusfunktion nimmt für einen größer werdenden Winkel $\alpha \in [0^°;90^°]$ stets ab. Das bedeutet umso größer der Winkel $\alpha$ wird, desto kleiner wird der Ausdruck $\cos\alpha$ für $\alpha \in [0^°;90^°]$. Da der Ausdruck $\cos \alpha$ hierbei im Nenner steht wird der Flächeninhalt größer, wenn der Ausdruck $\cos \alpha$ kleiner wird.
1. Schritt: Minimaler Flächeninhalt
Der Flächeninhalt ist damit am kleinsten, wenn $\cos \alpha$ den größten Wert annimmt. Somit ist der Flächeninhalt für $\alpha=0^°$ am kleinsten, da der Ausdruck $\cos \alpha$ für größere Winkel $\alpha \in [0^°;90^°]$ kleiner wird. In diesem Fall entspricht die Fläche des Dreiecks $ABP_n$ der Grundfläche des Tetraeders. Somit gilt für den minimalen Flächeninhalt $A_{Min}$ mit der oben berechneten Formel:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Min}&=& \sqrt{ \dfrac{156,25 \text{ cm}^4}{(\cos 0^°)^2} - 39,0625 \text{ cm}^4 } \\[5pt] &=& \sqrt{ \dfrac{156,25 \text{ cm}^4}{1} - 39,0625 \text{ cm}^4 }\\[5pt] &\approx& 10,825 \text{ cm}^2 \end{array}$
$A_{Min} \approx 10,825 \text{ cm}^2$
Somit beträgt der minimale Flächeninhalt etwa $10,825 \text{ cm}^2$.
2. Schritt: Maximaler Flächeninhalt
Du weißt, dass der Flächeninhalt größer wird, umso größer der Winkel $\alpha$ wird. Somit kannst du an der Abbildung erkennen, dass der maximale Flächeninhalt des Dreiecks $ABP_n$ dem Flächeninhalt des Dreiecks $ABS$ entspricht. Deshalb wird der maximale Flächeninhalt erreicht, falls der Punkt $P_n$ auf dem Punkt $S$ liegt. Dadurch musst du noch den maximalen Winkel $\alpha$ bestimmen, der hierbei gelten muss, damit du den Flächeninhalt berechnen kannst.
Du kannst den Winkel $\alpha$ mit der Länge der Seite $a$ und der Länge der Höhe $h$ berechnen. Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass $h=2 \cdot a$ gilt. Somit folgt für den Winkel $\alpha$ und $a= 5 \text{ cm}$ mit dem Tangens:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{h}{a} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot a}{a}\\[5pt] &=& 2 & \quad \scriptsize \mid \, \tan^{-1}(\,)\\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1}(2) \\[5pt] &\approx& 63,43^° \\[5pt] \end{array}$
$\alpha \approx 63,43^°$
Der maximale Flächeninhalt tritt also genau dann auf, wenn der Winkel $\alpha \approx 63,43^°$ ist. Somit gilt für den maximalen Flächeninhalt $A_{Max}$ mit der zuvor berechneten Formel:
$\begin{array}[t]{rll} A_{Max}&=& \sqrt{ \dfrac{156,25 \text{ cm}^4}{(\cos 63,43^°)^2} - 39,0625 \text{ cm}^4 } \\[5pt] &\approx& 27,238 \text{ cm}^2 \end{array}$
$A_{Max} \approx 27,238 \text{ cm}^2$
Dadurch beträgt der maximale Flächeninhalt etwa $27,238 \text{ cm}^2$.
#tangens#kosinusfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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