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Ortslinien

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Du hast die folgenden Ortsvektoren gegeben:
$\overrightarrow{OP_a}=\pmatrix{a\\2a}\quad$$\overrightarrow{OQ_a}=\pmatrix{a\\1}\quad$$\overrightarrow{OR_a}=\pmatrix{a\\a^2}$
Zeichne die Punkte, die von den Vektoren beschrieben werden für $a=-1$ bis $a=2$ in ganzzahligen Schritten in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
b)
Bestimme die Funktionsgleichung der Trägergraphen und zeichne sie in dein Koordinatensystem ein.
#vektoren#ortslinie#ortsvektor

Aufgabe 1

Du hast die Ortsvektoren $\overrightarrow{OP_a}=\pmatrix{a\\a+1}$ und $\overrightarrow{OQ_a}=\pmatrix{2a\\a^2}$ gegeben.
a)
Bestimme die Funktionsgleichung der beiden Trägergraphen.
b)
In welchen Punkten schneiden sich die beiden Graphen?
c)
Berechne die Größe des Winkels zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{OP_{a1}}$ und $\overrightarrow{OP_{a2}}$, sowie den Winkel zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{OQ_{a1}}$ und $\overrightarrow{OQ_{a2}}$. Dabei sind $a_1$ und $a_2$ die $x$-Werte der Schnittpunkte der Graphen.
#ortslinie#schnittpunkt

Aufgabe 2

Die beiden Vektoren $\overrightarrow{OP_a}=\pmatrix{\dfrac{a}{3}-1\\ \dfrac{a}{6}}$ und $\overrightarrow{OQ_b}=\pmatrix{4b-1\\ -2b}$ beschreiben das Parallelogramm $OP_aQ_bC_x$.
a)
Zeichne das Parallelogramm für $a=9$ und $b=0,75$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
b)
Bestimme die Funktionsgleichung für den Trägergraphen aller Punkte $P_a$ bzw. $Q_b$ bzw. $C_x$.
c)
Wie groß ist der Winkel zwischen $\overrightarrow{OP_6}$ und $\overrightarrow{OQ_{0,5}}$?
#ortslinie#parallelogramm

Aufgabe 3

Du hast die Punkte $A\,(\frac{\pi}{2}\mid0)$ und $B\,(-\frac{\pi}{2}\mid0)$ gegeben. Sie bilden zusammen mit dem Punkt $C_a\,(a\mid\cos(a))$ ein Dreieck. Dabei gilt $-\frac{\pi}{2}\leq a\leq \frac{\pi}{2}$.
a)
Berechne die Höhe des Dreiecks für $a=1$.
Ein zweites Dreieck wird von den Punkten $A$, $B$ und $D_a$ aufgespannt. $D_a$ wird vom Ortsvektor $\overrightarrow{OD_a}=\pmatrix{a\\a+1}$ angegeben.
b)
Das Dreieck $ABD_{0,5}$ ist ein besonderes Dreieck. Um was für eine Art Dreieck handelt es sich?
c)
Bei einem $x$-Wert von $x=0$ schneiden sich die beiden Ortslinien der Punkte. Wie groß ist der Umfang der Dreiecke an dieser Stelle?
#dreieck#kosinusfunktion#ortslinie

Aufgabe 4

Die beiden Ortsvektoren $\overrightarrow{OP_a}=\pmatrix{a\\\sqrt{4-a^2}}$ und $\overrightarrow{OQ_a}=\pmatrix{a\\-\sqrt{4-a^2}}$ spannen zusammen mit dem Ursprung $U$ das Dreieck $UP_aQ_a$ auf. Dabei gilt $-2\leq a\leq2$.
a)
Für $a=-2$, $a=0$ und $a=2$ kannst du kein Dreieck darstellen. Begründe, warum das der Fall ist.
b)
Für alle anderen Fälle von $a$ ist das Dreieck ein besonderes Dreieck. Um welche Art von Dreieck handelt es sich und wie kannst du das nachweisen?
Tipp: Wenn du nicht weiter weißt, dann zeichne die Trägergraphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem und zeichne dir exemplarisch eines der Dreiecke ein.
#ortslinie#dreieck

Aufgabe 5

Du hast die Punkte $P_0\,(0\mid0)$, $P_{0,5}\,(0,5\mid1)$, $P_1\,(1\mid0)$, $P_{1,5}\,(1,5\mid-1)$und $P_2\,(2\mid0)$ gegeben.
a)
Alle der Punkte sind Teil einer Ortslinie. Wie lautet die Funktionsgleichung des Trägergraphens?
b)
Wie groß ist der Abstand zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt der Funktion?
c)
Die Vektoren, die von einem Hochpunkt zum benachbarten Tiefpunkt rechts und links des Hochpunktes führen, schließen den Winkel $\alpha$ ein. Wie groß ist dieser Winkel?
#ortslinie#vektoren
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Einführungsaufgabe

a)
Setze für jeden der Ortsvektoren die Werte für $a$ ein und berechne die jeweiligen Koordinaten der Punkte. Zeichne sie anschließend in das Koordinatensystem. Orientiere dich dabei an den größten und kleinsten $x$- bzw. $y$-Koordinaten der Punkte, die du berechnet hast.
Die Koordinaten der Punkte lauten:
$P_{-1}\,(-1\mid-2)\quad$$P_{0}\,(0\mid0)\quad$$P_{1}\,(1\mid2)\quad$$P_{2}\,(2\mid4)\quad$
$Q_{-1}\,(-1\mid1)\quad$$Q_{0}\,(0\mid1)\quad$$Q_{1}\,(1\mid1)\quad$$Q_{2}\,(2\mid1)\quad$
$R_{-1}\,(-1\mid1)\quad$$R_{0}\,(0\mid0)\quad$$R_{1}\,(1\mid1)\quad$$R_{2}\,(2\mid4)\quad$
Im Koordinatensystem eingetragen sehen die Punkte so aus:
b)
Wenn du die Funktionsgleichung eines Trägergraphens bestimmen willst, dann musst du zuerst die $x$- bzw. $y$-Koordinate des Ortsvektors als eine Gleichung ausdrücken. Anschließend musst du die Variable $a$ in der Gleichung für $y$ ersetzen und gegebenenfalls nach $y$ umformen. Somit erhältst du die Funktionsgleichung des Trägergraphens.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&a\quad \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen: }\text{I in II}\\ \text{II}\quad&y&=&2a\quad\\ \hline \text{I}\quad&x&=&a\\ \text{II}\quad&y&=&2x\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung für den Trägergraphen des Ortsvektors $\overrightarrow{OP_a}$ lautet $p(x)=2x$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&a\\ \text{II}\quad&y&=&1\\ \end{array}$
Hier ist in der Gleichung für $y$ keine Variable enthalten, weshalb du die Funktionsgleichung einfach ablesen kannst. Die Funktionsgleichung für den Trägergraphen des Ortsvektors $\overrightarrow{OQ_a}$ lautet $q(x)=1$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&a\quad \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen: }\text{I in II}\\ \text{II}\quad&y&=&a^2\quad\\ \hline \text{I}\quad&x&=&a\\ \text{II}\quad&y&=&x^2\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung für den Trägergraphen des Ortsvektors $\overrightarrow{OR_a}$ lautet $r(x)=x^2$.
Zeichne nun die Graphen der Funktionen in deine Zeichnung aus Aufgabenteil a) ein. Mache dir klar, wie die Graphen jeweils verlaufen. Die bereits eingezeichneten Punkte können dir dabei helfen. Falls das nicht reicht, kannst du die Koordinaten weiterer Punkte, die auf dem Graphen liegen, berechnen. Die Zeichnung sieht so aus:
#ortslinie

Aufgabe 1

a)
Bestimme die Funktionsgleichung der Trägergraphen, indem du die $x$- und $y$-Koordinaten der Vektoren als Gleichungen ausdrückst. Forme die Gleichung für $x$ nach $a$ um und setze sie in die Gleichung für $y$ ein.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&a& \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen: }\text{I in II}\\ \text{II}\quad&y&=&a+1\quad\\ \hline \text{I}\quad&x&=&a& \\ \text{II}\quad&y&=&x+1\quad\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung des Trägergraphens des Vektors $\overrightarrow{OP_a}$ lautet $p(x)=x+1$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&2a& \scriptsize\mid\;:2\\ \text{II}\quad&y&=&a^2\quad\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{2}&=&a&\scriptsize\mid\;\text{Einsetzen: }\text{I in II} \\ \text{II}\quad&y&=&a^2&\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{2}&=&a&\\ \text{II}\quad&y&=&(\dfrac{x}{2})^2&\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{2}&=&a&\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{x^2}{4}&\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung des Trägergraphens des Vektors $\overrightarrow{OQ_a}$ lautet $q(x)=\dfrac{x^2}{4}$.
b)
Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen, indem du ihre Funktionsgleichungen gleichsetzt und anschließend nach $x$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&q(x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] x+1&=&\dfrac{x^2}{4} &\quad \scriptsize \mid\;-x;\,-1 \\[5pt] 0&=&\dfrac{x^2}{4}-x-1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4\\[5pt] 0&=&x^2-4x-4 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel} \\[5pt] x_{1,2} &=&- \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {(\frac{p}{2})^2 - q}\\[5pt] x_{1,2} &=&- \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt {(\frac{-4}{2})^2 - (-4)}\\[5pt] x_{1,2} &=& 2 \pm \sqrt {4 +4}\\[5pt] x_{1,2} &=& 2 \pm \sqrt {8}\\[5pt] x_{1,2} &=& 2 \pm 2,83\\[5pt] x_{1} &=& 2 + 2,83\\[5pt] x_{1} &=& 4,83\\[10pt] x_{2} &=& 2 - 2,83\\[5pt] x_{2} &=& -0,83\\[10pt] \end{array}$
$ x_1=4,83\quad x_2=-0,83 $
Setze die berechneten $x$-Werte in eine Funktionsgleichung ein und berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
$p(4,83)=4,83+1=5,83$
$p(-0,83)=-0,83+1=0,17$
Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Graphen lauten $S_1\,(4,83\mid5,83)$ und $S_2\,(-0,83\mid0,17)$.
c)
Bestimme die Koordinaten der gesuchten Vektoren und berechne den Winkel zwischen den Vektoren. Die Koordinaten der Schnittpunkte hast du in der vorherigen Aufgabe bereits berechnet. Die Koordinaten der Vektoren lauten:
$\overrightarrow{OP_{4,83}}=\pmatrix{4,83\\5,83}\quad$$\overrightarrow{OP_{-0,83}}=\pmatrix{-0,83\\0,17}\quad$$\overrightarrow{OQ_{4,83}}=\pmatrix{4,83\\5,83}\quad$$\overrightarrow{OQ_{-0,83}}=\pmatrix{-0,83\\0,17}\quad$
Du erkennst, dass jeweils die Vektoren $\overrightarrow{OP_{4,83}}$ und $\overrightarrow{OQ_{4,83}}$ sowie die Vektoren $\overrightarrow{OP_{-0,83}}$ und $\overrightarrow{OQ_{-0,83}}$ identisch sind. Du brauchst hier also nur einmal den Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen. Er ist in beiden Fällen gleich groß. Berechne nun die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{OP_{4,83}}\cdot\overrightarrow{OP_{-0,83}}}{\mid\overrightarrow{OP_{4,83}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{OP_{-0,83}}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4,83\cdot(-0,83)+5,83\cdot0,17}{\sqrt{4,83^2+5,83^2}\cdot\sqrt{(-0,83)^2+0,17^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-4+1}{\sqrt{23,33+34}\cdot\sqrt{0,69+0,03}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-3}{\sqrt{57,33+}\cdot\sqrt{0,72}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-3}{\sqrt{41,28}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&-0,4669 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx&118°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx118° $
Beide Winkel zwischen den Vektoren sind jeweils $118°$ groß.
#ortslinie#pq-formel

Aufgabe 2

a)
Welche Punkte des Parallelogramms kennst du bzw. von welchen Punkten kannst du die Koordinaten berechnen? Zeichne diese Punkte in das Koordinatensystem und überlege dir anschließend, welche Eigenschaften des Parallelogramms dir erlauben, die fehlenden Punkte zu finden.
Das Parallelogramm $OP_9Q_{0,75}C$ hat folgende Punkte: $O\,(0\mid0)$, $P_9\,(2\mid1,5)$ und $Q_{0,75}\,(2\mid-1,5)$.
Die Koordinaten des Punkts $C$ kennst du nicht. Wenn du die Punkte in ein Koordinatensystem einträgst, dann sieht es so aus:
Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Diese Eigenschaft kannst du dir zu nutze machen, um die Koordinaten des Punktes $C$ zu bestimmen. Vektoriell betrachtet musst du von Punkt $Q$ einen Vektor $\overrightarrow{OP}$ gehen bzw. vom Punkt $P$ aus den Vektor $\overrightarrow{OQ}$. Damit landest du beim Punkt $C$. Du kannst also die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt $C$ berechnen, indem du die beiden Vektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OQ}$ addierst.
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\pmatrix{2+2\\1,5-1,5}=\pmatrix{4\\0}$
$ \overrightarrow{OC}=\pmatrix{4\\0} $
Nun kennst du die Koordinaten von Punkt $C$ und kannst das Parallelogramm einzeichnen. Deine Zeichnung sieht so aus:
b)
Bestimme die Funktionsgleichungen, indem du die $x$- und $y$-Koordinate eines Punktes allgemein als Gleichung ausdrückst. Forme anschließend die Formel nach der Variablen $a$ bzw. $b$ um und setze sie in die Gleichung von $y$ ein.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&\dfrac{a}{3}-1& \scriptsize\mid\;+1\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{a}{6}\\ \hline \text{I}\quad&x+1&=&\dfrac{a}{3}& \scriptsize\mid\;\cdot3\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{a}{6}\\ \hline \text{I}\quad&3x+3&=&a& \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen: }\text{I in II}\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{a}{6}\\ \hline \text{I}\quad&3x+3&=&a\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{3x+3}{6}\\ \hline \text{I}\quad&3x+3&=&a\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{3x}{6}+\dfrac{3}{6}\\ \hline \text{I}\quad&3x+3&=&a\\ \text{II}\quad&y&=&\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung des Trägergraphens des Vektors $\overrightarrow{OP_a}$ lautet $p(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&4b-1& \scriptsize\mid\;+1\\ \text{II}\quad&y&=&-2b\\ \hline \text{I}\quad&x+1&=&4b& \scriptsize\mid\;:4\\ \text{II}\quad&y&=&-2b\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}&=&b& \scriptsize\mid\;\text{Einsetzen: }\text{I in II}\\ \text{II}\quad&y&=&-2b\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}&=&b&\\ \text{II}\quad&y&=&-2(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4})\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}&=&b&\\ \text{II}\quad&y&=&-\dfrac{2x}{4}-\dfrac{2}{4}\\ \hline \text{I}\quad&\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}&=&b&\\ \text{II}\quad&y&=&-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung des Trägergraphens des Vektors $\overrightarrow{OQ_b}$ lautet $q(x)=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}$.
Nun fehlt noch die Funktionsgleichung des Trägergraphens für die Punkte von $C$. Hierbei gehst du ähnlich wie in Aufgabenteil a) vor. Du hast in Aufgabenteil a) die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{OP_a}$ und $\overrightarrow{OQ_b}$ addiert. Ähnlich musst du nun hier die Funktionsgleichungen der beiden Trägergraphen der beiden Vektoren addieren, um auf die gesuchte Funktionsgleichung zu kommen.
$\begin{array}[t]{rll} c(x)&=&p(x)+q(x) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] c(x)&=&\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2} \\[5pt] c(x)&=&0\\[5pt] \end{array}$
$c(x)=0 $
Die Funktionsgleichung für den Trägergraphen der Punkte $C$ lautet $c(x)=0$.
c)
Berechne die Koordinaten der beiden Vektoren und berechne anschließend die Größe des Winkels zwischen ihnen.
$\overrightarrow{OP}=\pmatrix{1\\1}\quad$$\overrightarrow{OQ}=\pmatrix{1\\-1}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{\mid\overrightarrow{OP}\mid\cdot\mid\overrightarrow{OQ}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot1+1\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{0}{2}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&90°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=90° $
Der Winkel zwischen $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OQ}$ ist $90°$ groß.
#skalarprodukt#ortslinie#vektoren

Aufgabe 3

a)
Beginne, indem du die Koordinaten des Punktes $C$ berechnest. Sie lauten $C\,(1\mid0,54)$.
Wenn du dir das Dreieck räumlich vorstellst, dann liegen die beiden Punkte $A$ und $B$ auf der $x$-Achse. Der Punkt $C$ liegt darüber, ein wenig mehr auf die Seite von Punkt $A$ geneigt. Die Höhe des Dreiecks entspricht der Länge der Strecke von Punkt $C$ zur $x$-Achse direkt darunter. Sie entspricht also der Länge eines Vektors vom Punkt auf der $x$-Achse auf der gleichen $x$-Höhe zum Punkt $C$. Dieser Punkt hätte die Koordinaten $X\,(1\mid0)$. Berechne die Koordinaten des Vektors und anschließend seine Länge.
$\overrightarrow{XC}=\pmatrix{1-1\\0,54-0}=\pmatrix{0\\0,54}$
$\mid\overrightarrow{XC}\mid=\sqrt{0^2+0,54^2}=\sqrt{0,54^2}=0,54$
$ \mid\overrightarrow{XC}\mid=0,54 $
Die Höhe des Dreiecks entspricht $0,54\,LE$.
b)
Überlege dir, welche besondere Arten von Dreiecken es gibt und woran du diese Dreiecke erkennen kannst. Überprüfe anschließend das Dreieck auf diese Eigenschaften.
Es gibt rechtwinklige Dreiecke, die einen rechten Winkel besitzen. Es gibt gleichschenklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten gleich lang sind und die Winkel an diesen Seiten gleich groß und es gibt gleichseitige Dreiecke, bei denen alle Seiten und Winkel gleich lang bzw. groß sind.
Berechne die Koordinaten von Vektoren innerhalb des Dreiecks und überprüfe, ob Seiten oder Winkel gleich groß sind bzw. wie groß sie sind.
Du könntest z.B. die Größe des Winkels am Punkt $D$ berechnen. Die Koordinaten von Punkt $D$ kannst du berechnen. Sie lauten $(0,5\mid1,5)$. Nun kannst du die Koordinaten der beiden Vektoren berechnen, die von Punkt $D$ zu den beiden Punkten $A$ und $B$ verlaufen und anschließend die Größe des Winkels den sie einschließen.
$\overrightarrow{DA}=\pmatrix{\dfrac{\pi}{2}-0,5\\0-1,5}=\pmatrix{1,07\\-1,5}$
$\overrightarrow{DB}=\pmatrix{-\dfrac{\pi}{2}-0,5\\0-1,5}=\pmatrix{-2,07\\-1,5}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}}{\mid\overrightarrow{DA}\mid\cdot\mid\overrightarrow{DB}\mid} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,07\cdot(-2,07)+(-1,5)\cdot(-1,5)}{\sqrt{1,07^2+(-1,5)^2}\cdot\sqrt{(-2,07)^2+(-1,5)^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{0,035}{\sqrt{3,395}\cdot\sqrt{6,535}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{0,035}{\sqrt{22,186}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,0074 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx&90°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx90° $
Du siehst, dass der Winkel am Punkt $C$ $90°$ groß ist. Es handelt sich bei dem Dreieck also um ein rechtwinkliges Dreieck.
c)
Berechne zuerst die Koordinaten des dritten Dreieckspunkts bei $x=0$. Anschließend kannst du die Koordinaten der Vektoren berechnen, die die Dreiecksseiten repräsentieren. Anschließend kannst du die Länge der Vektoren berechnen und addieren. Somit erhältst du den Umfang des Dreiecks.
Die Koordinaten des Punktes $D$ lauten $(0\mid1)$. Wenn du die Koordinaten der Vektoren berechnest, dann kommst du zu folgenden Ergebnissen:
$\overrightarrow{BA}=\pmatrix{\dfrac{\pi}{2}-(-\dfrac{\pi}{2})\\0-0}=\pmatrix{\pi\\0}$
$\overrightarrow{DA}=\pmatrix{\dfrac{\pi}{2}-0\\0-1}=\pmatrix{\dfrac{\pi}{2}\\-1}$
$\overrightarrow{BD}=\pmatrix{0-(-\dfrac{\pi}{2})\\1-0}=\pmatrix{\dfrac{\pi}{2}\\1}$
Berechne nun die Längen der Vektoren und addiere sie.
$\begin{array}[t]{rll} U_D&=&\mid\overrightarrow{BA}\mid+\mid\overrightarrow{DA}\mid+\mid\overrightarrow{BD}\mid &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] U_D&=&\sqrt{\pi^2}+\sqrt{(\dfrac{\pi}{2})^2+(-1)^2}+\sqrt{(\dfrac{\pi}{2})^2+1^2} \\[5pt] U_D&=&\pi+\sqrt{2,47+1}+\sqrt{2,47+1} \\[5pt] U_D&=&\pi+\sqrt{3,47}+\sqrt{3,47} \\[5pt] U_D&=&\pi+1,86+1,86 \\[5pt] U_D&=&6,87 \\[5pt] \end{array}$
$ U_D=6,87 $
Der Umfang des Dreiecks beträgt $6,87\,LE$.
#rechtwinkligesdreieck#ortslinie

Aufgabe 4

Bei dieser Aufgabe kann es sehr hilfreich sein, wenn du dir die Situation bildlich vorstellen kannst. Fertige dir am besten eine Skizze der beiden Trägergraphen an und zeichne exemplarisch ein Dreieck ein. Deine Skizze kann so aussehen:
a)
Zuerst sollst du begründen, wieso bei $a=-2$, $a=2$ und $a=0$ kein Dreieck entsteht. Deine Begründung kann sowohl rechnerisch als auch mit Worten stattfinden. Wenn du dir eine Skizze gezeichnet hast, dann kannst du dir überlegen, was passiert, wenn $a$ einen dieser Werte annimmt. Alternativ kannst du die Koordinaten der Dreieckspunkte ausrechnen. Sie lauten:
$P_{-2}=Q_{-2}\,(-2\mid0)$, $P_{2}=Q_{2}\,(2\mid0)$, $P_0\,(0\mid2)$, $Q_0\,(0\mid-2)$ und $U\,(0\mid0)$
Für den Fall $a=-2$ bzw. $a=2$ kannst du so begründen, dass das Dreieck nicht aus drei verschiedenen Punkten besteht, weil bei diesen Werten für $a$ $P$ und $Q$ identisch sind. Im Fall $a=0$ liegen zwar keine zwei Punkte aufeinander, der Ursprung ist jedoch ein Punkt der Strecke zwischen $P$ und $Q$. Es würde sich also um eine Strecke und kein Dreieck handeln.
Rechnerisch kannst du z.B. über den Winkel argumentieren. Bestimme zuerst die Koordinaten der Vektoren von $U$ zu den beiden Punkten $P$ und $Q$. Sie lauten:
$\overrightarrow{UP_{-2}}=\pmatrix{-2\\0}\quad$$\overrightarrow{UQ_{-2}}=\pmatrix{-2\\0}\quad$$\overrightarrow{UP_{2}}=\pmatrix{2\\0}\quad$
$\overrightarrow{UQ_{2}}=\pmatrix{2\\0}\quad$$\overrightarrow{UP_{0}}=\pmatrix{0\\2}\quad$$\overrightarrow{UQ_0}=\pmatrix{0\\2}$
Du kannst bereits sagen, dass der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{UP_{-2}}$ und $\overrightarrow{UQ_{-2}}$ bzw. $\overrightarrow{UP_{2}}$ und $\overrightarrow{UQ_{2}}$ $0°$ ist, weil diese Vektoren identisch sind. Außerdem kannst du noch den Winkel zwischen den letzten beiden Vektoren berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{UP_0}\cdot\overrightarrow{UQ_0}}{\mid\overrightarrow{UP_0}\mid\cdot\mid\overrightarrow{UQ_0}\mid} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{0\cdot0+2\cdot(-2)}{\sqrt{2^2}+\sqrt{(-2)^2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-4}{2+2}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-4}{4}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&180°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=180° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $180°$ groß. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer $180°$. Demnach müssen die anderen beiden Winkel $0°$ groß sein. Es kann sich hier also nicht um ein Dreieck handeln.
b)
Überlege dir, welche besonderen Dreiecke es gibt und an welchen Eigenschaften du sie erkennen kannst. Vielleicht hast du aufgrund der Skizze auch schon eine Vermutung und kannst diese überprüfen. Wenn du dabei rechnest halte $a$ immer allgemein.
Ein rechtwinkliges Dreieck hätte immer einen rechten Winkel. Bei einem gleichschenkligen Dreieck wären zwei Seiten immer gleich lang. Ein gleichseitiges Dreieck hätte immer drei gleich große Seiten.
Wenn du in die Skizze schaust, dann könntest du vermuten, dass das Dreieck immer gleichschenklig ist. Die gleich langen Seiten wären die Vektoren $\overrightarrow{UP}$ bzw. $\overrightarrow{UQ}$. Berechne die Längen der beiden Seiten und vergleiche sie.
$\mid\overrightarrow{UP}\mid=\sqrt{a^2+(\sqrt{4-a^2})^2}=\sqrt{a^2+4-a^2}=\sqrt{4}=2$
$ \mid\overrightarrow{UP}\mid=2 $
$\mid\overrightarrow{UQ}\mid=\sqrt{a^2+(-\sqrt{4-a^2})^2}=\sqrt{a^2+4-a^2}=\sqrt{4}=2$
$ \mid\overrightarrow{UQ}\mid=2 $
Du siehst, dass beide Vektoren unabhängig von $a$ immer die gleiche Länge haben und diese identisch ist. Es handelt sich also für jedes der übrigen $a$ um ein gleichschenkliges Dreieck.
#gleichschenkligesdreieck#ortslinie

Aufgabe 5

a)
Schau dir die Punkte an und zeichne sie eventuell in ein Koordinatensystem. Im Koordinatensystem sehen die Punkte so aus:
Erinnert dich die Verteilung der Punkte eventuell an eine Funktion?
Es erscheint, als würden die Punkte eine Wellenbewegung ausführen, wie bei einer Sinus- oder Cosinusfunktion. Dabei startet die Funktion im Ursprung. Es muss sich also um eine Sinusfunktion handeln.
Wenn du die Funktionswerte versuchst mit einer reinen Sinusfunktion zu brechnen, dann wirst du feststellen, dass die Funktionswerte für die $x$-Werte nicht übereinstimmen. Überlege dir, wie du einen Faktor berechnen kannst, mit der du dir Sinusfunktion durch die Punkte leiten kannst. Einen Hinweis darauf kann dir eine Periode des Sinus, also einen Durchlauf vom Ursprung über ein Maximum und ein Minimum zum übernächsten Durchlauf des Ursprungs liefern.
Normalerweise dauert eine Periode des Sinus $2\pi$. In diesem Fall kannst du erkennen, dass sie nur $2$ lang ist. Der Unterschied beträgt also den Faktor $\pi$. Überlege dir, wo du diesen Faktor wie einfließen lassen musst, um auf die richtige Funktionsgleichung zu kommen. Im Zweifelsfall kannst du ausprobieren (z.B. den Faktor $\pi$ vor den Sinus setzen) und ein paar Funktionswerte berechnen, ob dieser übereinstimmen.
Somit kommst du auf die Funktionsgleichung des Trägergraphens von $f(x)=\sin(\pi\cdot x)$.
b)
Den Abstand zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt der Funktion kannst du berechnen. Dazu benötigst du die Koordinaten des Vektors, der zwischen den beiden Punkten liegt. Du hast bereits die Koordinaten des höchsten und tiefsten Punktes der Funktion gegeben. Es sind $P_{0,5}$ und $P_{1,5}$. Berechne die Koordinaten des Vektors und berechne anschließend seine Länge.
$\overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}=\pmatrix{1,5-0,5\\-1-1}=\pmatrix{1\\-2}$
$ \overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}=\pmatrix{1\\-2} $
$\mid\overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}\mid=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$ \mid\overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}\mid=\sqrt{5} $
Der Abstand zwischen eine Hoch- und einem Tiefpunkt beträgt $\sqrt{5}\,LE$.
c)
Zuletzt musst du noch den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Die beiden Vektoren starten an einem Hochpunkt und verlaufen von dort links und rechts zum nächsten Tiefpunkt. Du kennst bereits die Koordinaten eines Hochpunkts und des Tiefpunkts rechts davon. Du benötigst noch die Koordinaten des Tiefpunkts links davon. Du hast bereits in Aufgabenteil a) gemerkt, dass die Periode der Funktion $2$ beträgt. Das ist der $x$-Abstand zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten. Du kannst diesen Wert vom $x$-Wert des rechten Tiefpunktes abziehen und erhältst die $x$-Koordinate des linkten Tiefpunkts. Somit kommst du auf folgende Koordinaten.
$P_{-0,5}\,(-0,5\mid-1)$
In Aufgabenteil b) hast du bereits die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}$ berechnet. Berechne nun noch die Koordianten des Vektors $\overrightarrow{P_{0,5}P_{-0,5}}$ und berechne anschließend die Größe des Winkels dazwischen.
$\overrightarrow{P_{0,5}P_{-0,5}}=\pmatrix{-1\\-2}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}\cdot\overrightarrow{P_{0,5}P_{-0,5}}}{\mid\overrightarrow{P_{0,5}P_{1,5}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{P_{0,5}P_{-0,5}}\mid} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-2)}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-1+4}{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{1+4}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{3}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{3}{5}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&53,1° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=53,1° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $53,1°$ groß.
#sinusfunktion#ortslinie
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