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Einführung

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Repräsentaten der folgenden Vektoren in ein geeignetes Koordinatensystem. Sie sollen vom Ursprung aus verlaufen. Miss anschließend die Winkel zwischen $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ und zwischen $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$.
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{2 \\ 0}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{2 \\ 2}\quad\overrightarrow{c}=\pmatrix{0 \\ 2}$
b)
Berechne das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ und von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$. Was passiert mit dem Skalarprodukt, wenn der Winkel zwischen den Vektoren $90°$ beträgt?
c)
Zeichne den Punkt $P\,(0\mid3)$ und die Gerade $f(x)=x+1$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden. Gehe dabei wie folgt vor:
  1. Berechne die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$. Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q\,(x\mid f(x))$.
  2. Drücke die Steigung der Geraden $f$ als einen Vektor $\overrightarrow{s}$ aus.
  3. Bilde das Skalarprodukt aus dem Vektor $\overrightarrow{PW}$ und dem Vektor $\overrightarrow{s}$. Das Ergebnis des Skalarprodukts soll $0$ sein. Berechne $x$.
  4. Setze dein Ergebnis für $x$ in den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ein und berechne die Länge des Vektors.
#vektoren#abstand#geradengleichung#skalarprodukt

Aufgabe 1

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren und gibt an, ob die Vektoren orthogonal zueinander sind.
a)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{6\\2}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{3\\1}$
b)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3\\6}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{-10\\5}$
c)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{4\\4}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{-4\\4}$
d)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{1\\3}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{3\\1}$
e)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{7\\3}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{-7\\-3}$
f)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3\\2}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{2\\-3}$
#skalarprodukt#orthogonal#vektoren

Aufgabe 2

Gib jeweils zwei Lösungen für die Variablen an. Eine Lösung soll dazu führen, dass die Vektoren orthogonal sind und eine andere soll dazu führen, dass sie nicht orthogonal sind.
a)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3\\x}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{0\\4}$
b)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{2\\4}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{-3\\x}$
c)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{8\\x}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{4\\y}$
d)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{x\\3}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{5\\y}$
#vektoren#orthogonal#skalarprodukt

Aufgabe 3

Bestimme die fehlenden Koordinaten der Vektoren so, dass die Bedingungen erfüllt sind.
a)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{1\\3}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{x\\2}\quad\overrightarrow{c}=\pmatrix{3\\y}\quad$
Es soll gelten: $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}$
b)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{2\\4}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{-4\\x}\quad\overrightarrow{c}=\pmatrix{2\\y}\quad$
Es soll gelten: $\overrightarrow{a}\not\perp\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}$
#skalarprodukt#orthogonal#vektoren

Aufgabe 4

Bestimme den Abstand, den der Punkt $P$ von der Geraden $f$ hat.
a)
$P\,(3\mid4)$ und $f(x)=2x-3$
b)
$P\,(0\mid6)$ und $f(x)=0,5x+2$
c)
$P\,(4\mid11)$ und $f(x)=4x-5$
#abstand#vektoren#geradengleichung

Aufgabe 5

Skalarprodukt: Einführung
Abb. 1: Trainingsschüsse auf eine Zielscheibe.
Skalarprodukt: Einführung
Abb. 1: Trainingsschüsse auf eine Zielscheibe.
a)
Fertige eine Zeichnung an, in der du den Standort von Melissa, die Zielscheibe und die Flugbahn des Pfeils von $x=0$ bis $x=15$ darstellst. Eine Längeneinheit soll $1\,\text{cm}$ entsprechen.
b)
Berechne den Abstand des Pfeils von der Zielscheibe auf zwei unterschiedliche Weisen.
  • Berechne die Länge des Vektors vom Punkt $P\,(15\mid f(15)$ zum Rand der Zielscheibe.
  • Berechne den Abstand des Rands der Zielscheibe von der Geraden.
Überlege dir anhand deiner Zeichnung aus Aufgabenteil a), zu welchem Randpunkt du den Abstand bestimmst. Rechne möglichst genau ohne Runden. Was siehst du bei den beiden Ergebnissen und wie kannst du es erklären?
#skalarprodukt#geradengleichung#abstand

Aufgabe 6

Skalarprodukt: Einführung
Abb. 2: Ein Kopf an Kopf rennen.
Skalarprodukt: Einführung
Abb. 2: Ein Kopf an Kopf rennen.
Während er auf den Start wartet, liest Julian ein wenig in einer Broschüre, die Informationen über den Aufbau der Rennstrecke enthält. Darin steht auch geschrieben, dass der Abstand von der Rennstrecke zum Zuschauer mindestens $8,5\,\text{m}$ beträgt. Der Rand der Fahrstrecke ist jedoch nur $8\,\text{m}$ von der Tribüne entfernt. Julian und sein Vater sitzen ganz vorne in $3\,\text{m}$ Höhe über dem Boden. Muss sich Julian Sorgen machen, dass der Sicherheitsabstand nicht eingehalten wird? Fertige eine Skizze an und überlege dir, wie du den Abstand berechnen kannst.
#abstand

Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Wähle für dein Koordinatensystem die Längeneinheit so, dass deine Zeichnung nicht zu groß oder zu klein wird. Orientiere dich dabei an den Koordinaten der Vektoren, die du gegeben hast. Eine Längeneinheit von $1\,LE=1\,\text{cm}$ ist für die Größe der Vektoren wahrscheinlich zu klein. Du solltest eher einen Maßstab wie $1\,LE=3\,\text{cm}$ wählen.
Deine Zeichnung sollte so aussehen: Miss nun die Winkel mit deinem Geodreieck. Für den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ solltest du $45°$ messen. Für den Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ solltest du $90°$ messen.
b)
Berechne das Skalarprodukt, indem du die $x$-Werte der beiden Vektoren miteinander multiplizierst. Anschließend addierst du dazu das Produkt der $y$-Werte der beiden Vektoren.
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot2+0\cdot2=4+0=4$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4 $
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=2\cdot0+0\cdot2=0+0=0$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0 $
Wenn du nun deine Messergebnisse aus Aufgabenteil b) anschaust, dann siehst du, dass der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ $90°$ beträgt. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist $0$.
Mit dem Skalarprodukt kannst du überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind, also im rechten Winkel zueinander stehen. Wenn das der Fall ist, dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$.
c)
Gehe bei der Berechnung des Abstand so vor, wie es in der Aufgabenstellung angegeben ist.
Berechne zuerst die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$. Lasse $x$ dabei allgemein und setze für $f(x)$ die Geradengleichung ein.
Du berechnest die Koordinaten eines Vektors, indem du die Koordinaten des Startpunkts von denen des Endpunkts abziehst.
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{0-x \\ 3-(x+1)}=\pmatrix{-x \\ 3-x-1}=\pmatrix{-x \\ 2-x}$
$ \overrightarrow{PQ}= \pmatrix{-x \\ 2-x}$
Nun kennst du die Koordinaten des Vektors. Als nächstes musst du noch die Steigung der Geraden als Vektor ausdrücken.
Die Steigung ist der Wert, der mit $x$ in der Geradengleichung multipliziert wird. Da hier kein Vorfaktor vor dem $x$ steht ist der Wert $1$. Die Steigung sagt dir, um wie viele Längeneinheiten sich die Gerade in $y$-Richtung bewegt, wenn du eine Längeneinheit auf der $x$-Achse gehst. In diesem Fall geht sie für jeden $x$-Schritt auch einen $y$-Schritt in die Höhe. Damit kannst du die Steigung als Vektor ausdrücken. Du setzt für die $x$-Koordinate des Vektors $1$ ein und für die $y$-Koordinate des Vektors die Steigung. Wenn die Steigung keine ganze Zahl ist, dann kannst du beide Koordinaten des Vektors mit einem Wert multiplizieren, um gerade Zahlen zu erhalten. Das ist hier nicht nötig.
$\overrightarrow{s}=\pmatrix{1\\1}$
Nun da du die Koordinaten der beiden Vektoren kennst, kannst du das Skalarprodukt aus beiden bilden. Das Ergebnis soll $0$ sein. Die Vektoren sollen also im rechten Winkel aufeinander stehen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{s}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -x\cdot1+1\cdot(2-x)&=&0\\[5pt] -x+2-x&=&0\\[5pt] -2x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] 2&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 1&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ 1=x $
Nun kennst du $x$. Du kannst dein Ergebnis für $x$ jetzt in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ einsetzen und erhältst die Koordinaten ohne Variable.
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-x\\2-x}=\pmatrix{-1\\2-1}=\pmatrix{-1\\1}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-1\\1} $
Zum Schluss kannst du nun die Länge des Vektors berechnen, um den Abstand vom Punkt $P$ von der Gerade zu bestimmen. Du berechnest die Länge eines Vektors, indem du das Quadrat jeder Koordinate addierst und anschließend die Wurzel aus dem Ergebnis ziehst. Dein Ergebnis hat die Einheit $LE$.
$\mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$ \mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{2} $
Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $f$ beträgt $\sqrt{2}LE$
Was du bei dieser Aufgabe gemacht hast, war den Punkt $Q$ auf der Geraden $f$ zu bestimmen, der den kürzesten Abstand zum Punkt $P$ hat. Das ist der Punkt, bei dem der Vektor vom Punkt zu $P$ im rechten Winkel auf der Geraden steht. Deshalb hast du das Skalarprodukt $=0$ gesetzt.
#geradengleichung#orthogonal#skalarprodukt

Aufgabe 1

Berechne das Skalarprodukt, indem du jeweils die $x$-Werte der Vektoren und die $y$-Werte der Vektoren multiplizierst. Anschließend addierst du die Ergebnisse.
Zwei Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander, sind also orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.
a)
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6\cdot3+2\cdot1=18+2=20$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=20 $
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist nicht $0$. Die Vektoren sind also nicht orthogonal.
b)
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\cdot10+(-6)\cdot5=30-30=0$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 $
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist $0$. Die Vektoren sind also orthogonal.
c)
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=4\cdot4+-4\cdot4=-16+16=0$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 $
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist $0$. Die Vektoren sind also orthogonal.
d)
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot3+3\cdot1=3+3=6$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6 $
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist nicht $0$. Die Vektoren sind also nicht orthogonal.
e)
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=7\cdot(-7)+3\cdot(-3)=-49-9=-58$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-58 $
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist nicht $0$. Die Vektoren sind also nicht orthogonal.
f)
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\cdot2+2\cdot(-3)=6-6=0$
$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 $
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist $0$. Die Vektoren sind also orthogonal.
#orthogonal#skalarprodukt

Aufgabe 2

Finde zwei mögliche Lösungen für die Variablen. Eine Lösung soll dazu führen, dass die Vektoren orthogonal sind, ihr Skalarprodukt soll also $0$ sein. Eine andere Lösung soll dazu führen, dass die Vektoren nicht orthogonal sind. Ihr Skalarprodukt soll also nicht $0$ sein.
Berechne das Skalarprodukt, lasse $x$ bzw. $y$ dabei jedoch allgemein. Das Ergebnis des Skalarprodukts kannst du willkürlich festlegen. Wenn die Vektoren orthogonal sein sollen, dann legst du es als $0$ fest, wenn nicht kannst du es z.B. als $1$ festlegen.
Du erhältst eine Gleichung mit einer bzw. zwei Unbekannten. Wenn die Gleichung eine Unbekannte hat, dann kannst du diese berechnen. Wenn sie mehrere Unbekannte hat, dann legst du eine der Variablen willkürlich fest und berechnest die andere.
Beachte, dass es bei dieser Aufgabe häufig mehr als eine richtig Lösung gibt.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3\cdot0+x\cdot4&=&0\\[5pt] 4x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:4\\[5pt] x&=&0 \\[5pt] \end{array}$
$ x=0 $
Wenn $x=0$ gilt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal. Es gibt nur diese eine Lösung für die orthogonalen Vektoren. Deshalb sind die Vektoren für jeden Wert für $x$ der nicht $0$ ist auch nicht orthogonal. Du kannst für die zweite Lösung $x$ also willkürlich festlegen.
Für $x=0$ sind die beiden Vektoren orthogonal und für $x=1$ sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 2\cdot(-3)+4\cdot x&=&0\\[5pt] -6+4x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+6\\[5pt] 4x&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;:4\\[5pt] x&=&1,5\\[5pt] \end{array}$
$ x=1,5 $
Wenn $x=1,5$ gilt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal. Es gibt nur diese eine Lösung für die orthogonalen Vektoren. Deshalb sind die Vektoren für jeden Wert für $x$ der nicht $1,5$ ist auch nicht orthogonal. Du kannst für die zweite Lösung $x$ also willkürlich festlegen.
Für $x=1,5$ sind die beiden Vektoren orthogonal und für $x=0$ sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 8\cdot4+x\cdot y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;y=1\\[5pt] 32+x\cdot 1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-32\\[5pt] x&=&-32 \\[5pt] \end{array}$
$ x=-32\quad y=1 $
Wenn $x=-32$ und $y=1$ gilt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal. Es gibt nur diese eine Lösung für die orthogonalen Vektoren, solange einer der Werte fest steht. Deshalb sind die Vektoren für jeden Wert für $x$ der nicht $-32$ ist und für $y=1$ auch nicht orthogonal. Du kannst für die zweite Lösung $x$ also willkürlich festlegen und $y$ beibehalten.
Für $x=-32$ und $y=1$ sind die beiden Vektoren orthogonal und für $x=1$ und $y=1$ sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] x\cdot5+3\cdot y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;y=1\\[5pt] 5x+3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt] 5x&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt] x&=&-0,6 \\[5pt] \end{array}$
$ x=-0,6\quad y=1 $
Wenn $x=-0,6$ und $y=1$ gilt, dann sind die beiden Vektoren orthogonal. Es gibt nur diese eine Lösung für die orthogonalen Vektoren, solange einer der Werte fest steht. Deshalb sind die Vektoren für jeden Wert für $x$ der nicht $-0,6$ ist und für $y=1$ auch nicht orthogonal. Du kannst für die zweite Lösung $x$ also willkürlich festlegen und $y$ beibehalten.
Für $x=-0,6$ und $y=1$ sind die beiden Vektoren orthogonal und für $x=1$ und $y=1$ sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.
#orthogonal#skalarprodukt

Aufgabe 3

Bilde das Skalarprodukt aus den ersten beiden Vektoren und lasse die Variablen allgemein. Sollen sie orthogonal zueinander sein, dann lege das Ergebnis auf $0$ fest. Wenn nicht, dann lege das Ergebnis auf einen beliebigen anderen Wert fest. Anschließend kannst du die Gleichung ausrechnen und erhältst ein Ergebnis für die erste Variable.
Rechne anschließend mit deinem Ergebnis weiter und stelle wie zuvor eine Gleichung über das Skalarprodukt und die zweite Bedingung auf. Das Ergebnis dieser zweiten Gleichung ist die zweite Variable.
Achte bei den Zeichen der Bedingungen darauf, welche Vektoren orthogonal und welche nicht orthogonal sein sollen.
a)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sollen orthogonal sein. Das Ergebnis ihres Skalarprodukts soll also $0$ sein. Bilde das Skalarprodukt und forme die Gleichung nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 1\cdot x+3\cdot2&=&0\\[5pt] x+6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] x&=&-6 \\[5pt] \end{array}$
$ x=-6 $
Für $x=-6$ sind die Vektoren orthogonal.
Die Vektoren $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ sollen ebenfalls orthogonal sein. Rechne mit deinem Ergebnis für $x$ weiter. Bilde wieder das Skalarprodukt und setze das Ergebnis als $0$ fest. Forme die Gleichung nach $y$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -6\cdot 3+2\cdot y&=&0\\[5pt] -18+2y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +18\\[5pt] 2y&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&9 \\[5pt] \end{array}$
$ y=9 $
Für $x=-6$ und $y=9$ sind alle Bedingungen erfüllt.
b)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sollen nicht orthogonal sein. Das Ergebnis ihres Skalarprodukts soll also nicht $0$ sein. Bilde das Skalarprodukt, lege das Ergebnis willkürlich fest und forme die Gleichung nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 2\cdot (-4)+4\cdot x&=&4\\[5pt] -8+4x&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] 4x&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&3 \\[5pt] \end{array}$
$ x=3 $
Für $x=3$ sind die Vektoren nicht orthogonal. Es gibt hier mehrere richtige Antworten und dieses Ergebnis beeinfluss auch das richtige Ergebnis der nächsten Rechnung. Dein Ergebnis kann also von dieser Musterlösung abweichen und trotzdem richtig sein.
Die Vektoren $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ sollen orthogonal sein. Rechne mit deinem Ergebnis für $x$ weiter. Bilde wieder das Skalarprodukt und setze das Ergebnis als $0$ fest. Forme die Gleichung nach $y$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -4\cdot 2+3\cdot y&=&0\\[5pt] -8+3y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] 3y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&2,67 \\[5pt] \end{array}$
$ y=2,67 $
Für $x=3$ und $y=2,67$ sind alle Bedingungen erfüllt.
#skalarprodukt#orthogonal

Aufgabe 4

Gehe bei dieser Aufgabe vor, wie bei Aufgabenteil c) aus der Einführungsaufgabe.
Berechne zuerst die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$. Der Punkt $Q$ ist dabei der Punkt der Geraden, der den kürzesten Abstand zum Punkt $P$ hat. Seine Koordinaten sind allgemein $Q\,(x\mid f(x))$.
Drücke anschließend die Steigung der Geraden als einen Vektor $\overrightarrow{s}$ aus und bilde anschließend das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Das Ergebnis des Skalarprodukts soll $0$ sein.
Auf diese Art kannst du $x$ berechnen. Setze anschließend $x$ in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ein und berechne seine Länge. Die Länge wird in $LE$ angegeben.
a)
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{3-x\\4-(2x-3)}=\pmatrix{3-x\\4-2x+3}=\pmatrix{3-x\\7-2x}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{3-x\\7-2x} $
Die Steigung der Geraden beträgt $2$. Für jeden Schritt auf der $x$-Achse steigt der $y$-Wert um $2$ Schritte. Du kannst die Steigung also so ausdrücken:
$\overrightarrow{s}=\pmatrix{1\\2}$
Bilde das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Das Ergebnis soll $0$ sein. Forme die Gleichung nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{s}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (3-x)\cdot1+2\cdot(7-2x)&=&0 \\[5pt] 3-x+14-4x&=&0 \\[5pt] 17-5x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+5x\\[5pt] 17&=&5x &\quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt] 3,4&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ x=3,4 $
Setze das Ergebnis in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ein und berechne seine Länge.
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{3-3,4\\7-2\cdot3,4}=\pmatrix{-0,4\\0,2}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-0,4\\0,2} $
$\mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{(-0,4)^2+0,2^2}=\sqrt{0,16+0,04}=\sqrt{0,2}$
$ \mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{0,2} $
Der Punkt $P$ ist $\sqrt{0,2}\,LE$ von der Geraden $f$ entfernt.
b)
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{0-x\\6-(0,5x+2)}=\pmatrix{-x\\6-0,5x-2}=\pmatrix{-x\\4-0,5x}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-x\\4-0,5x} $
Die Steigung der Geraden beträgt $0,5$. Für jeden Schritt auf der $x$-Achse steigt der $y$-Wert um $0,5$ Schritte. Du kannst die Steigung also so ausdrücken:
$\overrightarrow{s}=\pmatrix{1\\0,5}=\pmatrix{2\\1}$
Bilde das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Das Ergebnis soll $0$ sein. Forme die Gleichung nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{s}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (-x)\cdot2+1\cdot(4-0,5x)&=&0 \\[5pt] -2x+4-0,5x&=&0 \\[5pt] 4-2,5x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+2,5x\\[5pt] 4&=&2,5x &\quad \scriptsize \mid\;:2,5\\[5pt] 1,6&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ x=1,6 $
Setze das Ergebnis in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ein und berechne seine Länge.
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-1,6\\4-0,5\cdot1,6}=\pmatrix{-1,6\\3,2}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-1,6\\3,2} $
$\mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{(-1,6)^2+3,2^2}=\sqrt{2,56+10,24}=\sqrt{12,8}$
$ \mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{12,8} $
Der Punkt $P$ ist $\sqrt{12,8}\,LE$ von der Geraden $f$ entfernt.
c)
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{4-x\\11-(4x-5)}=\pmatrix{4-x\\11-4x+5}=\pmatrix{4-x\\16-4x}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{4-x\\16-4x} $
Die Steigung der Geraden beträgt $4$. Für jeden Schritt auf der $x$-Achse steigt der $y$-Wert um $4$ Schritte. Du kannst die Steigung also so ausdrücken:
$\overrightarrow{s}=\pmatrix{1\\4}$
Bilde das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Das Ergebnis soll $0$ sein. Forme die Gleichung nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{s}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (4-x)\cdot1+4\cdot(16-4x)&=&0 \\[5pt] 4-x+64-16x&=&0 \\[5pt] 68-17x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+17x\\[5pt] 68&=&17x &\quad \scriptsize \mid\;:17\\[5pt] 4&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ x=4 $
Setze das Ergebnis in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ein und berechne seine Länge.
$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{4-4\\16-4\cdot4}=\pmatrix{0\\0}$
$ \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{0\\0} $
$\mid\overrightarrow{PQ}\mid=\sqrt{0^2+0^2}=0$
$ \mid\overrightarrow{PQ}\mid=0 $
Der Punkt $P$ ist $0\,LE$ von der Geraden $f$ entfernt, d.h. er liegt direkt auf der Geraden.
#orthogonal#geradengleichung#skalarprodukt

Aufgabe 5

a)
Zeichne die Situation in ein Koordinatensystem.
In der Aufgabenstellung hast du den Standpunkt von Melissa und die Randpunkte der Zielscheibe gegeben. Zeichne eine Strecke von einem Randpunkt zum anderen. Diese Strecke stellt die Zielscheibe dar. Zuletzt musst du noch die Flugbahn des Pfeils einzeichnen. Du hast die Funktionsgleichung gegeben. Setze zwei beliebige $x$-Werte in die Gleichung ein und berechne die passenden $y$-Werte. Diese Punkte kannst du ebenfalls in das Koordinatensystem eintragen und eine Gerade dadurch zeichnen.
Deine fertige Zeichnung sollte so aussehen:
b)
In dieser Aufgabe sollst du den Abstand des Pfeils von der Zielscheibe auf zwei unterschiedliche Arten bestimmen. Zuerst solltest du jedoch klären, zu welchem Punkt der Zielscheibe du den Abstand bestimmst. Wenn du in deine Zeichnung aus Aufgabenteil a) schaust, dann siehst du, welchem Randpunkt der Zielscheibe der Pfeil näher ist. Es ist der Punkt $S_1$.
Bestimme nun den Abstand auf die zwei angegebenen Arten.
Berechne zuerst die Koordinaten des Punkts $P$. Den $x$-Wert hast du bereits gegeben. Den $y$-Wert kannst du über die Funktionsgleichung der Geraden berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,05\cdot x+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&0,05\cdot 15+2 \\[5pt] y&=&0,75+2 \\[5pt] y&=&2,75 \\[5pt] \end{array}$
$ y=2,75 $
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $(15\mid2,75)$. Die Koordinaten des Randpunkts $S_1$ kennst du ebenfalls. Berechne nun die Koordinaten des Vektors zwischen den beiden Punkten und bestimme anschließend seine Länge. Seine Länge wird in $LE$ angegeben.
$\overrightarrow{PS_1}=\pmatrix{15-15\\2,75-2,5}=\pmatrix{0\\0,25}$
$ \overrightarrow{PS_1}=\pmatrix{0\\0,25} $
$\mid\overrightarrow{PS_1}\mid=\sqrt{0,25^2+0^2}=\sqrt{0,0625}=0,25$
$ \mid\overrightarrow{PS_1}\mid=0,25 $
Der Vektor ist $0,25\,LE$ lang. Der Pfeil ist also im Abstand von $0,25\,\text{m}$ an der Zielscheibe vorbei geflogen.
Berechne nun den Abstand des Rands von der Flugbahn der Geraden. Berechne dazu zuerst die Koordinaten eine Vektors, der vom Punkt $Q$ auf der Geraden zum Randpunkt $S_1$ verläuft. Der Punkt hat allgemein die Koordinaten $Q\,(x\mid f(x))$.
$\overrightarrow{QS_1}=\pmatrix{15-x\\2,5-(0,05x+2)}=\pmatrix{15-x\\2,5-0,05x-2}=\pmatrix{15-x\\0,5-0,05x}$
$ \overrightarrow{QS_1}=\pmatrix{15-x\\0,5-0,05x} $
Als nächstes musst du die Steigung der Geraden als einen Vektor ausdrücken. Die Steigung beträgt $0,05$. Für jeden Schritt auf der $x$-Achse geht die Gerade also $0,05$ Schritte in die Höhe. Der Vektor lautet deshalb:
$\overrightarrow{s}=\pmatrix{1\\0,05}=\pmatrix{20\\1}$
Berechne nun das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Das Ergebnis soll $0$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QS_1}\cdot\overrightarrow{s}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (15-x)\cdot20+(0,5-0,05x)\cdot1&=&0 \\[5pt] 300-20x+0,5-0,05x&=&0 \\[5pt] 300,5-20,05x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+20,05x\\[5pt] 300,5&=&20,05x &\quad \scriptsize \mid\;:20,05x\\[5pt] 14,9875&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ x=14,9875 $
Setze dieses Ergebnis nun in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{QS_1}$ ein und berechne seine Länge.
$\overrightarrow{QS_1}=\pmatrix{15-14,9875\\0,5-0,05\cdot14,9875}=\pmatrix{0,0125\\-0,0236875}$
$ \overrightarrow{QS_1}=\pmatrix{0,0125\\-0,0236875} $
$\mid\overrightarrow{QS_1}\mid=\sqrt{0,0125^2+(-0,0236875)^2}=\sqrt{0,00015625+0,05611}=\sqrt{0,05626625}=0,2372$
$ \mid\overrightarrow{QS_1}\mid=0,2372 $
Der Abstand bei dieser Rechnung beträgt $0,2372\,\text{m}$. Du siehst, dass die Ergebnisse sich sehr ähnlich sind. Nur wenn du sehr genau rechnest, dann kannst du überhaupt einen Unterschied erkennen. Der Unterschied kommt dadurch zustande, dass die Bestimmung des Abstands etwas anders ist.
Bei der ersten Methode hast du den Abstand auf der Höhe der Zielscheibe berechnet. Bei der zweiten Methode hast du einen Punkt bestimmt, bei dem der Vektor vom Punkt zum Rand der Scheibe im rechten Winkel zur Gerade steht. Somit hattest du unterschiedliche Ansatzpunkte für deine Abstandsbestimmung, durch die der Unterschied zu stande kam.
#geradengleichung#skalarprodukt#abstand

Aufgabe 6

Julian sitzt direkt vorne an der Tribüne. Er wird demnach den Rennwägen am nächsten sein. Sie fahren direkt vor ihm vorbei. Den kürzesten Abstand zu ihm werden sie also haben, wenn sie direkt auf seiner Höhe sind. Die Strecke ist auf dem Boden, während Julian $3\,\text{m}$ über dem Boden sitzt. Der Rand der Strecke ist $8\,\text{m}$ vom Fuß der Tribüne entfernt. Du kannst einen Querschnitt anfertigen. Die Skizze dazu sieht so aus: Der eigentliche Abstand ist also ein Vektor, der vom Rand der Rennstrecke zur vorderen Ecke der Tribüne verläuft. Du kannst den Abstand also berechnen, wenn du ihn als einen Vektor darstellen kannst. Dazu benötigst du einen Startpunkt und einen Endpunkt und deren Koordinaten. Da keine Koordinaten vorgegeben sind, musst du dir selbst überlegen, wie du möglichst sinnvoll die Koordinaten definieren kannst. Welche Längeneinheit wäre sinnvoll?
Wenn du dir das Rechnen möglichst einfach machen willst, dann bestimmst du, dass eine Längeneinheit $1\,\text{m}$ entspricht. Dadurch musst du keine Angaben aufwendig umrechnen. Du kannst z.B den Rand der Rennstrecke als den Punkt $(0\mid0)$ definieren. Der Punkt auf der Tribüne liegt $8\,\text{m}$ rechts davon. Wenn du dir vorstellst, dass über der Skizze ein Koordinatensystem liegt, dann musst du dich zur Tribüne $8\,\text{m}$ in $-x$-Richtung bewegen. Die $x$-Koordinate des zweiten Punkts muss also $-8$ sein. Der Punkt liegt auch $3\,\text{m}$ über dem Boden. Du musst dich also $3\,\text{m}$ in $y$-Richtung bewegen. Die Koordinaten des zweiten Punkts lauten also $(-8\mid3)$.
Jetzt kennst du die Koordinaten deiner beiden Punkte und kannst die Koordinaten des Verbindungsvektors berechnen und seine Länge bestimmen.
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{-8-0\\3-0}=\pmatrix{-8\\3}$
$\mid\overrightarrow{a}\mid=\sqrt{(-8)^2+3^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}=8,54$
$ \mid\overrightarrow{a}\mid=8,54 $
Der Vektor ist $8,54\,LE$ lang. Eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}$. Deshalb entspricht der Abstand $8,54\,\text{m}$. Der Abstand wird also eingehalten.
#abstand
Bildnachweise [nach oben]
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