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Winkelberechnung

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Die Vektoren sollen im Ursprung beginnen. Die Koordinaten der Vektoren sind:
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3\\1}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{1\\3}$
b)
Miss den Winkel zwischen den beiden Vektoren. Berechne anschließend die Größe des Winkels zwischen den Vektoren mit der folgenden Formel:
$\cos(\phi)=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid}$
#skalarprodukt

Aufgabe 1

Berechne die Größe des Winkels zwischen den beiden Vektoren.
a)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{1\\0}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{0\\1}$
b)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{2\\4}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{3\\1}$
c)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{4\\4}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{-4\\-4}$
d)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{2\\7}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{7\\2}$
e)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3\\6}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{5\\10}$
f)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{3\\8}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{5\\8}$
#skalarprodukt

Aufgabe 2

Bestimme den Winkel, indem sich die beiden Geraden $g$ und $h$ schneiden.
a)
$g:y=3x+1\quad h:y=x-3$
b)
$g:y=2x-2\quad h:y=5x+2$
c)
$g:y=4x+1$$\quad h:y=-0,5x-7$
d)
$g:y=-6x+5$$\quad h:y=0,3x-4$
#schnittwinkel#geradengleichung#skalarprodukt

Aufgabe 3

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass der angegebene Winkel zwischen den Vektoren liegt.
a)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{x\\1}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{4\\2}$$\quad \phi=90°$
b)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{5\\5}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{3\\x}$$\quad \phi=45°$
c)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{4\\x}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{1\\2}$$\quad \phi=75°$
d)
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{5\\6}\quad\overrightarrow{b}=\pmatrix{x\\7}$$\quad \phi=60°$
#vektoren#skalarprodukt

Aufgabe 4

Bestimme die Größe der markierten Winkel in der Abbildung.
#skalarprodukt

Aufgabe 5

Skalarprodukt: Winkelberechnung
Abb. 2: Ein experimenteller Aufbau, um die Totalreflexion zu zeigen und den Reflexionswinkel zu bestimmen.
Skalarprodukt: Winkelberechnung
Abb. 2: Ein experimenteller Aufbau, um die Totalreflexion zu zeigen und den Reflexionswinkel zu bestimmen.
Der Lichtstrahl wird im gleichen Winkel an der Oberfläche reflektiert, in dem er auch auf die Oberfläche trifft. Der Einfallswinkel ist also identisch zum Ausfallswinkel. Der Winkel wird immer zu einer Achse gemessen, die senkrecht zu der reflektierenden Oberfläche ist. In der Abbildung siehst du oben auf dem Kreis die $0°$ eingetragen. Der Einfallswinkel liegt zwischen diesen $0°$ und dem Strahl aus der Lichtquelle.
Der Lichtstrahl geht vom Punkt $L\,(0\mid3,7)$ aus. Er trifft am Punkt $R\,(1\mid0)$ auf die ebene Oberfläche des Prismas. Du kannst die ebene Oberfläche des Prismas mit der Geradengleichung $f(x)=-x+1$ darstellen.
Bestimme den Einfallswinkel $\alpha$ und die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{r}$, der den reflektierten Lichtstrahl beschreibt. Runde beim Winkel auf eine ganze Zahl.
#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
https://goo.gl/eL1vqf – Totalreflexion, Zátonyi Sándor, CC BY-SA 3.0.
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Repräsentanten der Vektoren in ein geeignetes Koordinatensystem. Orientiere dich an den Koordinaten der Vektoren, um die Größe des Koordinatensystems abzuschätzen. Wähle eine Längeneinheit dabei so, dass dein Koordinatensystem nicht zu klein ist und nicht zu groß.
Deine fertige Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Benutze dein Geodreiecke, um den Winkel zwischen den beiden Vektoren zu messen. Die genaue Größe des Winkels sollte $53,13°$ betragen. Da du jedoch nicht so genau messen kannst bzw. Zeichenfehler entstehen können, sollte dein gemessener Winkel in einem Bereich von maximal $\pm3°$ um die genaue Lösung liegen.
Berechne nun die Größe des Winkels mit der angegebenen Formel. Über dem Bruchstrich steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Unter dem Bruchstrich musst du die Längen der beiden Vektoren multiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot3+3\cdot1}{\sqrt{1^2+3^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{3+3}{\sqrt{1+9}\cdot\sqrt{9+1}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{6}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{6}{\sqrt{10\cdot10}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{6}{\sqrt{100}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{6}{10}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,6 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&53,13\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=53,13° $
Deine berechnete Größe des Winkels stimmt mit der Messung überein. Du kannst mit der gegebenen Formel die Größe eines Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen. Wichtig ist, dass dein Ergebnis immer zwischen $0°$ und $180°$ liegen wird. Diese Formel gibt dir also immer den kleineren Winkel. Wenn du weißt, dass die Größe deines Winkels größer als $180°$ sein muss, dann musst du zum Schluss noch das Ergebnis der Rechnung von $360°$ abziehen, um die Größe des Winkels zu erhalten.
#skalarprodukt

Aufgabe 1

Berechne die Größe des Winkels zwischen den Vektoren mithilfe der Formel aus der Einführungsaufgabe.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot0+0\cdot1}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{0+0}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{0}{1} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&90° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=90° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $90°$ groß.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{2\cdot3+4\cdot1}{\sqrt{2^2+4^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{6+4}{\sqrt{4+16}\cdot\sqrt{9+1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{10}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{200}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,7071 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&45° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=45° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $45°$ groß.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4\cdot(-4)+4\cdot(-4)}{\sqrt{4^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{4^2+(-4)^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-16-16}{\sqrt{16+16}\cdot\sqrt{16+16}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-32}{\sqrt{32}\cdot\sqrt{32}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-32}{32} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&180° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=180° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $180°$ groß.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{2\cdot7+7\cdot2}{\sqrt{2^2+7^2}\cdot\sqrt{7^2+2^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{14+14}{\sqrt{4+49}\cdot\sqrt{49+4}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{28}{\sqrt{53}\cdot\sqrt{53}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{28}{53} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,5283 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&58,1° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=58,1° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $58,1°$ groß.
e)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{3\cdot5+6\cdot10}{\sqrt{3^2+6^2}\cdot\sqrt{5^2+10^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{15+60}{\sqrt{9+36}\cdot\sqrt{25+100}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{75}{\sqrt{45}\cdot\sqrt{125}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{75}{\sqrt{5.625}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{75}{75} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&0° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=0° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $0°$ groß.
f)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{3\cdot5+8\cdot8}{\sqrt{3^2+8^2}\cdot\sqrt{5^2+8^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{15+64}{\sqrt{9+64}\cdot\sqrt{25+64}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{79}{\sqrt{73}\cdot\sqrt{89}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{79}{\sqrt{6.497}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,9891 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&11,45° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=11,45° $
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist $11,45°$ groß.
#skalarprodukt

Aufgabe 2

Betrachte die Steigung der Geraden und überlege dir, wie du die Steigung als einen Vektor ausdrücken kannst. Für diese Aufgabe ist nur die Steigung der Geraden wichtig. Hat die Gerade z.B. eine Steigung von $1$, dann heißt das, dass die Gerade für jeden Schritt auf der $x$-Achse einen Schritt auf der $y$-Achse nach oben macht. Wenn du die Steigung als einen Vektor ausdrückst, dann ist seine $x$-Koordinate $1$ und seine $y$-Koordinate entspricht der Steigung der Geraden. Du kannst anschließend beide Koordinaten mit dem gleichen Wert multiplizieren, um Zahlen mit einem Komma zu vermeiden.
Wenn du die Steigungen der Geraden als Vektoren bestimmt hast, dann kannst du den Schnittwinkel der Geraden mit der Formel aus der Einführungsaufgabe berechnen.
a)
Die beiden Vektoren für die Steigungen der Geraden lauten:
$\overrightarrow{g}=\pmatrix{1\\3}\quad\overrightarrow{h}=\pmatrix{1\\1}$
Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{g}\cdot\overrightarrow{h}}{\mid\overrightarrow{g}\mid\cdot\mid\overrightarrow{h}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot1+3\cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1+3}{\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{9+1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{20}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,8944 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&26,57°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=26,57° $
Der Winkel zwischen den beiden Geraden ist $26,57°$ groß.
b)
Die beiden Vektoren für die Steigungen der Geraden lauten:
$\overrightarrow{g}=\pmatrix{1\\2}\quad\overrightarrow{h}=\pmatrix{1\\5}$
Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{g}\cdot\overrightarrow{h}}{\mid\overrightarrow{g}\mid\cdot\mid\overrightarrow{h}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot1+2\cdot 5}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{5^2+1^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1+10}{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{25+1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{11}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{26}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{11}{\sqrt{130}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,9648 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&15,25°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=15,25° $
Der Winkel zwischen den beiden Geraden ist $15,25°$ groß.
c)
Die beiden Vektoren für die Steigungen der Geraden lauten:
$\overrightarrow{g}=\pmatrix{1\\4}\quad\overrightarrow{h}=\pmatrix{2\\-1}$
Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{g}\cdot\overrightarrow{h}}{\mid\overrightarrow{g}\mid\cdot\mid\overrightarrow{h}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot2+4\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{2-4}{\sqrt{1+16}\cdot\sqrt{4+1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-2}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{5}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-2}{\sqrt{85}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&-0,2169 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&102,53°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=102,53° $
Der Winkel zwischen den beiden Geraden ist $102,53°$ groß.
d)
Die beiden Vektoren für die Steigungen der Geraden lauten:
$\overrightarrow{g}=\pmatrix{1\\-6}\quad\overrightarrow{h}=\pmatrix{10\\3}$
Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{g}\cdot\overrightarrow{h}}{\mid\overrightarrow{g}\mid\cdot\mid\overrightarrow{h}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1\cdot10+(-6)\cdot3}{\sqrt{1^2+(-6)^2}\cdot\sqrt{10^2+3^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10-18}{\sqrt{1+36}\cdot\sqrt{100+9}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-8}{\sqrt{37}\cdot\sqrt{109}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-8}{\sqrt{4.033}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&-0,1260 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&97,24°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=97,24°$
Der Winkel zwischen den beiden Geraden ist $97,24°$ groß.
#skalarprodukt

Aufgabe 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung aus der Einführungsaufgabe ein und löse die Gleichung nach $x$ auf. Überprüfe anschließend für jedes mögliche Ergebnis, ob der richtige Winkel heraus kommt.
a)
Bei dieser Aufgabe kannst du es dir einfach machen. Du weißt bereits, dass das Skalarprodukt von orthogonalen Vektoren, also Vektoren, die sich im $90°$-Winkel schneiden, $0$ ergibt. Du kannst also das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ setzen und so die fehlende Koordinate berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] x\cdot4+1\cdot2&=&0 \\[5pt] 4x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 4x&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&-0,5 \\[5pt] \end{array}$
$ x=-0,5 $
Wenn $x=-0,5$ gilt, dann entspricht der Winkel zwischen den beiden Vektoren dem angegebenen Winkel.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(45°)&=&\dfrac{5\cdot3+5\cdot x}{\sqrt{5^2+5^2}\cdot\sqrt{3^2+x^2}} \\[5pt] 0,7071&=&\dfrac{15+5x}{\sqrt{25+25}\cdot\sqrt{9+x^2}} \\[5pt] 0,7071&=&\dfrac{15+5x}{\sqrt{50\cdot(9+x^2)}} \\[5pt] 0,7071&=&\dfrac{15+5x}{\sqrt{450+50x^2}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{450+50x^2}\\[5pt] 0,7071\cdot\sqrt{450+50x^2}&=&15+5x &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 0,5\cdot(450+50x^2)&=&(15+5x)^2 \\[5pt] 225+25x^2&=&225+150x+25x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-225;\,-25x^2\\[5pt] 0&=&150x&\quad \scriptsize \mid\;:150\\[5pt] 0&=&x\\[5pt] \end{array}$
$ x=0 $
Wenn $x=0$ gilt, dann entspricht der Winkel zwischen den beiden Vektoren dem angegebenen Winkel.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(75°)&=&\dfrac{4\cdot1+2\cdot x}{\sqrt{4^2+x^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2}} \\[5pt] 0,2588&=&\dfrac{4+2x}{\sqrt{16+x^2}\cdot\sqrt{1+4}} \\[5pt] 0,2588&=&\dfrac{4+2x}{\sqrt{(16+2x^2)\cdot5}} \\[5pt] 0,2588&=&\dfrac{4+2x}{\sqrt{80+10x^2}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{80+10x^2}\\[5pt] 0,2588\cdot\sqrt{80+10x^2}&=&4+2x &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 0,0670\cdot(80+10x^2)&=&(4+2x)^2 \\[5pt] 5,36+0,67x^2&=&16+16x+4x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-5,36;\,-0,67x^2\\[5pt] 0&=&3,33x^2+16x+10,64&\quad \scriptsize \mid\;:3,33\\[5pt] 0&=&x^2+4,8x+3,2&\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2} &=& - \dfrac{4,8}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{4,8}{2}} \right)^2 - 3,2}\\[5pt] x_{1,2} &=& - 2,4 \pm \sqrt {5,76 - 3,2}\\[5pt] x_{1,2} &=& - 2,4 \pm \sqrt {2,56}\\[5pt] x_{1,2} &=& - 2,4 \pm 1,6\\[5pt] x_{1} &=& - 2,4 + 1,6\\[5pt] x_{1} &=& - 0,8\\[10pt] x_{2} &=& - 2,4 - 1,6\\[5pt] x_{2} &=& - 4\\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-0,8\quad x_2=-4 $
Überprüfe nun deine beiden Ergebnisse. Setze jeweils einen Wert für $x$ ein und berechne, wie groß der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
Für $x=-0,8$ erhältst du einen Winkel von $75°$. Für $x=-4$ erhältst du einen Winkel von $108,4°$. Es gibt also nur ein richtiges Ergebnis.
Wenn $x=-0,8$ gilt, dann entspricht der Winkel zwischen den beiden Vektoren dem angegebenen Winkel.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\mid\overrightarrow{a}\mid\cdot\mid\overrightarrow{b}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(60°)&=&\dfrac{5\cdot x+6\cdot 7}{\sqrt{5^2+6^2}\cdot\sqrt{x^2+7^2}} \\[5pt] 0,5&=&\dfrac{5x+42}{\sqrt{25+36}\cdot\sqrt{x^2+49}} \\[5pt] 0,5&=&\dfrac{5x+42}{\sqrt{61\cdot(x^2+49)}} \\[5pt] 0,5&=&\dfrac{5x+42}{\sqrt{61x^2+2.989}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{61x^2+2.989}\\[5pt] 0,5\cdot\sqrt{61x^2+2.989}&=&5x+42 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 0,25\cdot(61x^2+2.989)&=&(5x+42)^2 \\[5pt] 15,25x^2+747,25&=&25x^2+420x+1.764 &\quad \scriptsize \mid\;-747,25;\,-15,25x^2\\[5pt] 0&=&9,75x^2+410x+1.016,75&\quad \scriptsize \mid\;:9,75\\[5pt] 0&=&x^2+42,1x+104,23&\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2} &=& - \dfrac{42,1}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{42,1}{2}} \right)^2 - 104,23}\\[5pt] x_{1,2} &=& - 21,05 \pm \sqrt {443,1 - 104,23}\\[5pt] x_{1,2} &=& - 21,05 \pm \sqrt {338,87}\\[5pt] x_{1,2} &=& - 21,05 \pm 18,4\\[5pt] x_{1} &=& - 21,05 + 18,4\\[5pt] x_{1} &=& - 2,65\\[10pt] x_{2} &=& - 21,05 -18,4\\[5pt] x_{2} &=& - 39,45\\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-2,65\quad x_2=-39,45 $
Überprüfe nun deine beiden Ergebnisse. Setze jeweils einen Wert für $x$ ein und berechne, wie groß der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
Für $x=-2,65$ erhältst du einen Winkel von $60°$. Für $x=-39,45$ erhältst du einen Winkel von $120°$. Es gibt also nur ein richtiges Ergebnis.
Wenn $x=-2,65$ gilt, dann entspricht der Winkel zwischen den beiden Vektoren dem angegebenen Winkel.
#skalarprodukt#mitternachtsformel#pq-formel

Aufgabe 4

Wenn du die Größe der Winkel in der Abbildung bestimmen willst, dann musst du die Koordinaten von zwei Vektoren bestimmen, die den markierten Winkel einfassen. Lies dazu die Koordinaten der notwendigen Punkte aus dem Koordinatensystem ab und bestimme die Koordinaten der Vektoren, die zwischen den Punkten liegen. Berechne anschließend mit der Formel aus der Einführungsaufgabe die Größe des Winkels.
$\boldsymbol{\alpha}$
Der Winkel $\alpha$ ist der kleinere, markierte Winkel im grünen Viereck. Bestimme die Koordinaten des Punktes $P_1$, der an dem Winkel liegt und die Koordinaten der beiden Punkte $P_2$ und $P_3$, die an den Enden der beiden Seiten liegen, die den Winkel einfassen. Aus dem Koordinatensystem kannst du die Koordinaten der Punkte ablesen. Sie lauten:
$P_1\,(3\mid5)$$\quad P_2\,(1\mid1)$$\quad P_3\,(5\mid3)$
Bestimme nun die Koordinaten der beiden Vektoren von $P_1$ nach $P_2$ bzw. $P_3$. Die Koordinaten lauten:
$\overrightarrow{P_1P_2}=\pmatrix{-2\\-4}$$\quad\overrightarrow{P_1P_3}=\pmatrix{2\\-2}$
Berechne nun die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_3}}{\mid\overrightarrow{P_1P_2}\mid\cdot\mid\overrightarrow{P_1P_3}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{(-2)\cdot 2+(-4)\cdot(-2)}{\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-2)^2}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-4+8}{\sqrt{4+16}\cdot\sqrt{4+4}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{8}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{160}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,3162 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&71,57° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=71,57° $
Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt $71,57°$.
$\boldsymbol{\beta}$
Der Winkel $\beta$ ist der Winkel im blauen Viereck. Bestimme die Koordinaten des Punktes $P_1$, der an dem Winkel liegt und die Koordinaten der beiden Punkte $P_2$ und $P_3$, die an den Enden der beiden Seiten liegen, die den Winkel einfassen. Aus dem Koordinatensystem kannst du die Koordinaten der Punkte ablesen. Sie lauten:
$P_1\,(4\mid6)$$\quad P_2\,(5\mid7)$$\quad P_3\,(5\mid5)$
Bestimme nun die Koordinaten der beiden Vektoren von $P_1$ nach $P_2$ bzw. $P_3$. Die Koordinaten lauten:
$\overrightarrow{P_1P_2}=\pmatrix{1\\1}$$\quad\overrightarrow{P_1P_3}=\pmatrix{1\\-1}$
Berechne nun die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_3}}{\mid\overrightarrow{P_1P_2}\mid\cdot\mid\overrightarrow{P_1P_3}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{1\cdot 1+1\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}} \\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{1-1}{\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{1+1}} \\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{0}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{0}{2} \\[5pt] \cos(\beta)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \beta&=&90° \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=90° $
Die Größe des Winkels $\beta$ beträgt $90°$.
$\boldsymbol{\gamma}$
Der Winkel $\gamma$ ist der Winkel im orangenen Viereck. Bestimme die Koordinaten des Punktes $P_1$, der an dem Winkel liegt und die Koordinaten der beiden Punkte $P_2$ und $P_3$, die an den Enden der beiden Seiten liegen, die den Winkel einfassen. Aus dem Koordinatensystem kannst du die Koordinaten der Punkte ablesen. Sie lauten:
$P_1\,(7\mid1)$$\quad P_2\,(6\mid2)$$\quad P_3\,(11\mid3)$
Bestimme nun die Koordinaten der beiden Vektoren von $P_1$ nach $P_2$ bzw. $P_3$. Die Koordinaten lauten:
$\overrightarrow{P_1P_2}=\pmatrix{-1\\1}$$\quad\overrightarrow{P_1P_3}=\pmatrix{4\\2}$
Berechne nun die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\gamma)&=&\dfrac{\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_3}}{\mid\overrightarrow{P_1P_2}\mid\cdot\mid\overrightarrow{P_1P_3}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\gamma)&=&\dfrac{(-1)\cdot 4+1\cdot2}{\sqrt{(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{4^2+2^2}} \\[5pt] \cos(\gamma)&=&\dfrac{-4+2}{\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{16+4}} \\[5pt] \cos(\gamma)&=&\dfrac{-2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{20}} \\[5pt] \cos(\gamma)&=&\dfrac{-2}{\sqrt{40}} \\[5pt] \cos(\gamma)&=&-0,3162 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \gamma&=&108,4° \\[5pt] \end{array}$
$ \gamma=108,4° $
Die Größe des Winkels $\gamma$ beträgt $108,4°$.
$\boldsymbol{\delta}$
Der Winkel $\delta$ ist der größere Winkel im grünen Viereck. Bestimme die Koordinaten des Punktes $P_1$, der an dem Winkel liegt und die Koordinaten der beiden Punkte $P_2$ und $P_3$, die an den Enden der beiden Seiten liegen, die den Winkel einfassen. Aus dem Koordinatensystem kannst du die Koordinaten der Punkte ablesen. Sie lauten:
$P_1\,(3\mid3)$$\quad P_2\,(1\mid1)$$\quad P_3\,(5\mid3)$
Bestimme nun die Koordinaten der beiden Vektoren von $P_1$ nach $P_2$ bzw. $P_3$. Die Koordinaten lauten:
$\overrightarrow{P_1P_2}=\pmatrix{-2\\-2}$$\quad\overrightarrow{P_1P_3}=\pmatrix{2\\0}$
Berechne nun die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\delta)&=&\dfrac{\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_3}}{\mid\overrightarrow{P_1P_2}\mid\cdot\mid\overrightarrow{P_1P_3}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\delta)&=&\dfrac{(-2)\cdot 2+(-2)\cdot0}{\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+0^2}} \\[5pt] \cos(\delta)&=&\dfrac{-4+0}{\sqrt{4+4}\cdot\sqrt{4+0}} \\[5pt] \cos(\delta)&=&\dfrac{-4}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{4}} \\[5pt] \cos(\delta)&=&\dfrac{-4}{\sqrt{32}} \\[5pt] \cos(\delta)&=&-0,7071 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \delta&=&135° \\[5pt] \end{array}$
$ \delta=135° $
Die Größe des berechneten Winkels ist $135°$. Wenn du in die Abbildung schaust, dann erkennst du, dass der Winkel jedoch größer als $180°$ sein muss. Das liegt daran, dass die Formel immer die Größe des kleineren Winkels berechnet. Du hast also nicht die Größe des gesuchten Winkels, sondern die Größe des Winkels, der diesem gegenüber liegt, berechnet. Um die tatsächliche Größe des Winkels $\delta$ zu berechnen, musst du die Größe des berechneten Winkels von $360°$ abziehen.
$360°-135°=225°$
Die Größe des Winkels $\delta$ beträgt $225°$.
#skalarprodukt

Aufgabe 5

$\overrightarrow{l}=\pmatrix{0-1\\3,7-0}=\pmatrix{-1\\3,7}$
Nun benötigst du die Koordinaten eines Vektors, der im rechten Winkel auf der Geraden $f$ steht. Du kannst die Steigung der Geraden als Vektor ausdrücken. Die Steigung ist $m=-1$. Die Koordinaten des Vektors lauten deshalb:
$\overrightarrow{f}=\pmatrix{1\\-1}$
Nun musst du die Koordinaten eines orthogonalen Vektors bestimmen. Der Vektor hat allgemein die $x$-Koordinate $x$ und die $y$-Koordinate $y$. Wenn die beiden Vektoren orthogonal sein sollen, dann muss ihr Skalarprodukt $0$ ergeben. Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren und lege eine Koordinate des Vektors willkürlich fest. So kannst du die Koordinate des anderen Vektors berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{o}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \pmatrix{1\\-1}\cdot\pmatrix{x\\y}&=&0\\[5pt] 1\cdot x-1\cdot y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; x=1\\[5pt] 1-y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +y\\[5pt] 1&=&y \\[5pt] \end{array}$
$ x=1\quad y=1 $
Die Koordinaten des Vektors, der orthogonal zur Geraden $f$ ist, können $\overrightarrow{o}=\pmatrix{1\\1}$ lauten. Je nachdem welche Koordinate du wie festgelegt hast, kann dein Ergebnis sich von diesem unterscheiden. Du kannst ausprobieren, ob dein Ergebnis richtig ist, indem du überprüfst, ob dein berechneter Vektor ein vielfaches den Vektors, der hier in der Lösung angegeben ist, ist. Wenn das der Fall ist, dann hast du richtig gerechnet. Die Koordinaten des Vektors ändern am Endergebnis nichts.
Nun hast du die beiden Vektoren und kannst die Größe des Einfallswinkels mithilfe der Formel aus der Einführungsaufgabe berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{l}\cdot\overrightarrow{o}}{\mid\overrightarrow{l}\mid\cdot\mid\overrightarrow{o}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{(-1)\cdot1+3,7\cdot1}{\sqrt{(-1)^2+3,7^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{-1+3,7}{\sqrt{1+13,69}\cdot\sqrt{1+1}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{2,7}{\sqrt{14,69}\cdot\sqrt{2}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{2,7}{\sqrt{29,38}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,4981 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx&60° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx60° $
Der Einfallswinkel $\alpha$ ist ungefähr $60°$ groß. Nun sollst du noch die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{r}$ berechnen, der den reflektierten Lichtstrahl beschreibt. Dazu musst du wie in Aufgabe 3 vorgehen. Suche dir einen Vektor, dessen Koordinaten du kennst, und von dem du weißt, in welchem Winkel er zum reflektierten Lichtstrahlvektor steht. Lege eine Koordinate des Vektors fest und berechne die andere Koordinate.
Für diese Rechnung bietet sich entweder der Vektor $\overrightarrow{l}$ an, der den Lichtstrahl beschreibt, oder der Vektor, der orthogonal zur Geraden $f$ ist.
Du weißt, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist. Demnach ist der Winkel zwischen dem orthogonalen Vektor und dem reflektierten Lichtstrahl $60°$. Der Winkel zwischen dem eintreffenden und reflektierten Lichtstrahl entspricht der Summe des Einfalls- und des Ausfallswinkels. Demnach wäre er $120°$ groß. Suche dir eines der Vektor-Winkel-Paare aus und berechne die Koordinaten des Vektors, der den reflektierten Lichtstrahl beschreibt. Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{r}$ sind wieder allgemein $x$ und $y$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{o}}{\mid\overrightarrow{r}\mid\cdot\mid\overrightarrow{o}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \cos(60°)&=&\dfrac{x\cdot1+y\cdot1}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2}} &\quad \scriptsize \mid\; x=1\\[5pt] 0,5&=&\dfrac{1\cdot1+y}{\sqrt{1^2+y^2}\cdot\sqrt{1+1}}\\[5pt] 0,5&=&\dfrac{1+y}{\sqrt{2\cdot(1+y^2)}}\\[5pt] 0,5&=&\dfrac{1+y}{\sqrt{2+2y^2}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sqrt{2+2y^2}\\[5pt] 0,5\cdot\sqrt{2+2y^2}&=&1+y &\quad \scriptsize \mid\;^2\\[5pt] 0,25\cdot(2+2y^2)&=&(1+y)^2 \\[5pt] 0,5+0,5y^2&=&y^2+2y+1 &\quad \scriptsize \mid\;-0,5;\,-0,5y^2\\[5pt] 0&=&0,5y^2+2y+0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2\\[5pt] 0&=&y^2+4y+1 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] y_{1,2}& =& - \dfrac{4}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{4}{2}} \right)^2 - 1}\\[5pt] y_{1,2}& =& - 2\pm \sqrt {4 - 1}\\[5pt] y_{1,2}& =& - 2\pm \sqrt { 3}\\[5pt] y_{1,2}& =& - 2\pm 1,73\\[5pt] y_{1}& =& - 2-1,73\\[5pt] y_{1}& =& - 3,73\\[10pt] y_{2}& =& - 2+1,73\\[5pt] y_{2}& =& - 0,27\\[10pt] \end{array}$
$ y_1=-3,73\quad y_2=-0,27 $
Überprüfe nun deine beiden Ergebnisse, indem du sie in die Formel aus der Einführungsaufgabe einsetzt und überprüfst, ob das Ergebnis den richtigen Winkel liefert. Wenn du die Koordinaten einsetzt, dann erhältst du für $y=-3,73$ einen Winkel von $120°$ und für $y=-0,27$ einen Winkel von $60°$. Das zweite Ergebnis ist also richtig. Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{r}$ lauten also:
$\overrightarrow{r}=\pmatrix{1\\-0,27}=\pmatrix{3,7\\-1}$
Die Koordinaten deines Vektors können sich, je nachdem was du eingesetzt hast, von diesen Koordinaten unterscheiden. Du kannst ausprobieren, ob du richtig gerechnet hast, indem du überprüfst, ob dieser Vektor ein vielfaches deines berechneten Vektors ist. Wenn das der Fall ist, dann hast du richtig gerechnet und die Aufgabe korrekt gelöst.
#orthogonal#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
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