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Einführung

Spickzettel
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Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in deren Funktionsterm die Variable, meistens $x$, im Exponenten steht. Für Exponentialfunktionen der Form $f:\, y = k\cdot a^x $ mit $a > 1 $ gelten folgende Eigenschaften:
  • Definitionsmenge: $\mathbb{R}$
  • Wertemenge:
    • $k > 0: \quad $ $\mathbb{R}^+ = \{y \in \mathbb{R} \mid y >0 \}$
    • $k < 0: \quad $ $\mathbb{R}^- = \{y \in \mathbb{R} \mid y <0 \}$
  • Monotonie:
    $a > 1 $ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
    $a > 1 $ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $f$ besitzt die $x$-Achse als waagerechte Asymptote und keine senkrechte Asymptote.
#definitionsbereich#wertebereich#asymptote#monotonie#exponentialfunktion
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Einführungsaufgabe

a)
Betrachte die folgende Exponentialfunktion:
$f: \quad y= 2^x$
Skizziere den zugehörigen Funktionsgraphen für $x\in [-3; 3]$ und bestimme mit Hilfe der Abbildung Näherungswerte für folgende Potenzen:
  • $2^{0,5}$
  • $2^{-1,5}$
  • $2^{2,3}$
b)
Bestimme jeweils die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion mit der angegebenen Form, die die jeweiligen Eigenschaften erfüllt.
(2)
$g_1: \, y = k\cdot a^x$
$P_1(2 \mid 5)$
$Q_1(0\mid 0,2)$
(4)
$g_3: \, y = k\cdot a^x +c$
$P_2(1 \mid 15)$
$Q_2(2\mid 33)$
$c = 6$
c)
Betrachte den Graphen aus Aufgabenteil a) und untersuche ihn auf folgende Eigenschaften.
  • Definitionsmenge
  • Wertemenge
  • Asymptoten
  • Monotonie
Skizziere anschließend die Graphen folgender Funktionen und gib die Eigenschaften an.
(1)
$f_1: \, y= -2^x$
(2)
$f_2:\, y = 0,5^x$
(3)
$f_3: \, y = -0,5^x$
d)
Betrachte den gegebenen Funktionsgraphen. Bestimme die Gleichung einer zugehörigen Exponentialfunktion $h: y = k\cdot a^x +c$.
e)
Skizziere den Graphen der Funktion $k: \, y = -\left(\frac{1}{4}\right)^x $ für $x \in [-1,5;3,5]$.
Löse anschließend folgende Gleichungen näherungsweise mit Hilfe der Abbildung.
(2)
$-\left(\frac{1}{4}\right)^x = -x-6$
#wertebereich#asymptote#definitionsbereich#monotonie#exponentialfunktion

Aufgabe 1

Skizziere jeweils die Graphen folgender Funktionen in einem Koordinatensystem für $x\in [-3;3]$
b)
$f_2: \, y = -2^x$
d)
$f_4: \, y = -\left(\frac{2}{3}\right)^x$

Aufgabe 2

Bestimme jeweils eine Näherung der folgenden Potenzen mit Hilfe einer Abbildung.
b)
$2^{-1,3}$
d)
$-\left(\frac{2}{3}\right)^{-1,5}$
f)
$1,5^{-0,3}$
h)
$-2^{-2,5}$
#potenz

Aufgabe 3

Bestimme jeweils die Gleichung einer Exponentialfunktion $f:\, y =a^x$, deren Graph durch den Punkt $A$ verläuft.
b)
$A(3\mid 64) $
d)
$A(3\mid 216)$
#exponentialfunktion

Aufgabe 4

Bestimme jeweils die Gleichung einer Exponentialfunktion $f: \, y = k\cdot a^x$, deren Graph durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
b)
$A(0,5\mid 0,9 )$, $B(3 \mid 218,7)$
d)
$A(1\mid 4)$, $B(2\mid 6)$
#exponentialfunktion

Aufgabe 5

Bestimme jeweils eine Gleichung der Exponentialfunktion $f:\, y = k\cdot a^x+c$, die die geforderten Eigenschaften erfüllt.
b)
$A(1\mid 3,08)$
$B(2\mid 3,016)$
$k = 0,4$
d)
$A(3\mid -188,2)$
$B(0\mid -6,2)$
$a=3$
f)
$A(2\mid 11)$
$B(3\mid 10,1)$
$C(4 \mid 10,01)$
#exponentialfunktion

Aufgabe 6

Skizziere jeweils den Graphen der Exponentialfunktion für $x\in [-2;2]$ und gib folgende Eigenschaften an:
  • Definitionsmenge
  • Wertemenge
  • Asymptoten
  • Monotonie
b)
$f: \quad y =\left(\frac{2}{3}\right)^x$
d)
$f: \quad y = 0,75^x-3$
#wertebereich#definitionsbereich#exponentialfunktion#monotonie#asymptote

Aufgabe 7

Gib zu folgenden Funktionsgraphen jeweils eine mögliche Gleichung einer Exponentialfunktion der Form $y = k\cdot a^x +c$ an.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 2: Funktionsgraphen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 2: Funktionsgraphen
#exponentialfunktion

Aufgabe 8

Löse die Gleichungen mit Hilfe einer Zeichnung näherungsweise.
b)
$2^x = 5$
d)
$\left(\frac{1}{2}\right)^x -2 = -1,2$
f)
$0,1^x =10x-3 $
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Du sollst den Funktionsgraphen der Exponentialfunktion im Intervall $[-3 ; 3]$ skizzieren. Lege dazu eine Wertetabelle an, in der du einige Werte für $x$ und die zugehörigen Funktionswerte zusammen trägst. Anschließend kannst du diese Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Achte darauf, dass das Koordinatensystem groß genug sein muss, um alle Werte $x \in [-3; 3]$ und die zugehörigen Funktionswerte abzubilden.
Berechne beispielsweise die Funktionswerte für $-3$, $-1$, $0$, $1$, $2$ und $3$.
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& 2^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2^1}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& 2^{1} \\[5pt] &=& 2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=& 2^{3} \\[5pt] &=& 8\\[5pt] \end{array}$
Du erhältst also folgende Wertetabelle:
$x$$-3$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$\frac{1}{8}$$\frac{1}{2}$$1$$2$$4$$8$
$x$$y$
$-3$$\frac{1}{8}$
$-1$$\frac{1}{2}$
$0$$1$
$1$$2$
$2$$4$
$3$$8$
Mit Hilfe dieser Wertepaare kannst du nun den Graphen skizzieren. Achte darauf, das Koordinatensystem groß genug zu zeichnen. Die $y$-Achse muss mindestens von $y = \frac{1}{8}$ bis $y = 8$ reichen. Du erhältst folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 1: Funktionsgraph $f: \, y = 2^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 1: Funktionsgraph $f: \, y = 2^x$
$\blacktriangleright$  Näherungswerte bestimmen
Du sollst nun Näherungswerte für verschiedene Potenzen von $2$ berechnen. Dies sind Funktionswerte der Exponentialfunktion $f: \, y= 2^x$, deren Graphen du oben skizziert hast. Du kannst die Potenzen also bestimmen, indem du an dem Graphen den entsprechenden Funktionswert für den jeweiligen Exponenten abliest.
Lies also für $2^{0,5}$ den Funktionswert an der Stelle $x = 0,5$ ab. Du erhältst dann:
$2^{0,5} = f(0,5) \approx 1,4$
Entsprechend ergibt sich auch:
$2^{-1,5} = f(-1,5) \approx 0,4$
$2^{2,3} = f(2,3) \approx 4,9$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Die gesuchte Funktionsgleichung soll die Form $y = a^x$ haben. Gegeben sind die Koordinaten eines Punktes. Setze diese in die Funktionsgleichung ein und löse diese nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& a^x &\quad \scriptsize \mid\; P(4\mid 81) \\[5pt] 81&=&a^4 &\quad \scriptsize \sqrt{\,} \\[5pt] 9&=&a^2 &\quad \scriptsize \sqrt{\,}\\[5pt] 3&=&a \end{array}$
$ a = 3$
$a=-3$ würde ebenfalls die Gleichung lösen, da $(-3)^2 = 9$ ebenfalls gilt. Hier werden allerdings nur Exponentialfunktionen mit positiver Basis, also $a > 0$ betrachtet.
Die Funktionsgleichung lautet also $g:\, y = 3^x$.
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Gesucht ist eine Funktionsgleichung der Form $y = k\cdot a^x$. Zu bestimmen sind also die beiden Unbekannten $k$ und $a$. Gegeben sind dir die Koordinaten von zwei Punkten, die auf dem zugehörigen Funktionsgraphen liegen sollen. Setzt du diese Koordinaten jeweils in die Funktionsgleichung ein, erhältst du zwei Gleichungen, die von $a$ und $k$ abhängen. Dies ist also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, das du mit den dir bekannten Verfahren lösen kannst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&5&=& k\cdot a^2 \\ \text{II}\quad&0,2&=& k\cdot a^0 \\ &0,2&=& k \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}&5&=& k\cdot a^2 \\ \text{II}&0,2&=& k\cdot a^0 \\ &0,2&=& k \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung weißt du bereits, dass $k = 0,2$ ist. Setze dies in die erste Gleichung ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& k\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\; k =0,2 \\[5pt] 5&=& 0,2\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\; :0,2 \\[5pt] 25&=& a^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 5&=&a \\[5pt] \end{array}$
$ a = 5 $
Hier gilt wie in Teil (1), dass $a = -5$ ebenfalls Lösung der Gleichung ist, aber hier nicht relevant ist, da die Basis der Exponentialfunktion positiv sein muss.
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also $g_1: \, y = 0,2\cdot 5^x$.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Hier ist eine Funktionsgleichung der Form $ y = k\cdot a^x +c$ gesucht, wobei $a = 2$ bereits vorgegeben ist.
Zusätzlich hast du die Koordinaten zweier Punkte gegeben, die auf dem zugehörigen Funktionsgraphen liegen sollen. Setze diese jeweils gemeinsam mit $a=2$ in die Funktionsgleichung ein und löse das lineare Gleichungssystem.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&23&=& k\cdot 2^1 +c \\ &23&=& k\cdot 2 +c \\ \text{II}\quad&83&=& k\cdot 2^3+c\\ &83&=& k\cdot 8 +c \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}&23&=& k\cdot 2^1 +c \\ &23&=& k\cdot 2 +c \\ \text{II}&83&=& k\cdot 2^3+c\\ &83&=& k\cdot 8 +c \\ \end{array}$
Löse beispielsweise die erste Gleichung nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 23&=& k\cdot 2 +c &\quad \scriptsize \mid\; -k\cdot 2\\[5pt] 23-k\cdot 2&=& c \end{array}$
$ c= 23-k\cdot 2$
Dies kannst du nun in $\text{II}$ einsetzen. so erhältst du eine Gleichung, die nur noch von $k$ abhängt, sodass du sie nach $k$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 83 &=& k\cdot 8 +c &\quad \scriptsize \mid\; c = 23-k\cdot 2 \\[5pt] 83&=& k\cdot 8+23-k\cdot 2 \\[5pt] 83&=& k\cdot 6 +23&\quad \scriptsize \mid\; -23\\[5pt] 60&=& k\cdot 6&\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 10&=& k \end{array}$
$ k=10 $
Setze dies wiederum in $c$ ein, um $c$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 13-k\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; k = 10\\[5pt] &=& 13-10\cdot 2 \\[5pt] &=&-7 \end{array}$
$ c = -7 $
Die Funktionsgleichung lautet also $g_2: \, y = 10\cdot 2^x -7$.
(4)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Hier ist eine Funktionsgleichung der Form $y = k\cdot a^x +c$ gesucht, wobei $c =6$ schon vorgegeben ist. Zusätzlich kennst du die Koordinaten zweier Punkte, die auf dem zugehörigen Funktionsgraphen liegen sollen. Setze diese jeweils gemeinsam mit $c =6$ in die Funktionsgleichung ein. So erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten $k$ und $a$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&15&=& k\cdot a^1 +6 \\ &15&=& k\cdot a +6 \\ \text{II}\quad&33&=& k\cdot a^2 +6\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}&15&=& k\cdot a^1 +6 \\ &15&=& k\cdot a +6 \\ \text{II}&33&=& k\cdot a^2 +6\\ \end{array}$
Löse beispielsweise die erste Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 15&=& k\cdot a +6&\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt] 9&=& k\cdot a&\quad \scriptsize \mid\; :a \\[5pt] \frac{9}{a}&=& k \\[5pt] \end{array}$
$ k = \frac{9}{a} $
Setze dies in die zweite Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} 33&=& k\cdot a^2 +6 &\quad \scriptsize \mid\; k = \frac{9}{a} \\[5pt] 33&=& \frac{9}{a}\cdot a^2 + 6&\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] 27&=&9a &\quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt] 3&=& a \end{array}$
$ a = 3 $
Für $k$ ergibt sich damit:
$\begin{array}[t]{rll} k&=& \frac{9}{a} &\quad \scriptsize \mid\; a =3\\[5pt] &=& \frac{9}{3} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$ k = 3 $
Die Funktionsgleichung lautet also $g_3: y = 3\cdot 3^x+6$.
c)
$\blacktriangleright$  Eigenschaften angeben
Betrachte die Exponentialfunktion, die zu dem Graphen gehört:
$f: \, y = 2^x$
  • Die Definitionsmenge, gibt alle Zahlen an, die in den Funktionsterm eingesetzt werden können. Dabei müssen Definitionslücken berücksichtigt werden, die zum Beispiel dadurch entstehen, dass durch Null geteilt werden würde.
    Bei der hier betrachteten Funktion, gibt es solche Lücken nicht. Du kannst jede Zahl in den Funktionsterm einsetzen. Daher ist die Definitionsmenge die gesamte Menge der reellen Zahlen:
    $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • Die Wertemenge ist dagegen die Menge der Ergebnisse, die entstehen, wenn alle Zahlen aus dem Definitionsbereich in den Funktionsterm eingesetzt werden würden.
    Der Term $2^x$ ist immer eine Potenz einer positiven Zahl und damit immer positiv. Für negative Werte ergeben sich aber auch Funktionswerte, die sich Null annähern. Für größerwerdende $x$ wird auch der Funktionswert beliebig groß. Insgesamt ist der Wertebereich also nach oben hin unbegrenzt und nach unten durch Null begrenzt, die aber nicht als Funktionswert angenommen werden kann:
    $\mathbb{W} = \mathbb{R}^+$
  • Asymptoten sind Funktionen, denen sich die gegebene Funktion im Unendlichen annähert.
    Betrachtest du den Funktionsgraphen von $f$, kannst du sehen, dass sich der Graph für immer kleinerwerdene $x$ zwar immer weiter der $x$-Achse annähert, diese aber niemals schneidet. Eine Asymptote von $f$ ist also die $x$-Achse. Dies kannst du auch daran erkennen, dass der Wertebereich alle reellen Zahlen beinhaltet, die größer als Null sind. Die Funktionswerte nähern sich also für immer kleinere $x$ der Null an, erreichen diese aber nicht. Weitere Asymptoten gibt es nicht.
  • Betrachtest du den Funktionsgraphen, kannst du sehen, dass die Funktionswerte für größere $x$ auch immer größer werden. Solche Funktionen nennt man streng monoton steigend.
    Die Funktion $f: \, y = 2^x$ ist also streng monoton steigend.
Die oben genannten Eigenschaften gelten für jede Exponentialfunktion der Form $y = k\cdot a^x$ mit $a > 1$ und $k >0$.
(1)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Du kannst beispielsweise folgende Wertetabelle verwenden:
$x$$-3$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$-\frac{1}{8}$$-\frac{1}{2}$$-1$$-2$$-4$$-8$
$x$$y$
$-3$$-\frac{1}{8}$
$-1$$-\frac{1}{2}$
$0$$-1$
$1$$-2$
$2$$-4$
$3$$-8$
Du erhältst dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 2: Funktionsgraph $f_1: \, y = -2^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 2: Funktionsgraph $f_1: \, y = -2^x$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Betrachtest du den Funktionsgraphen, kannst du erkennen, dass dieser gerade die Spiegelung des Graphen von $f: \, y =2^x$ an der $x$-Achse ist. Dementsprechend kannst du auch die Eigenschaften aus denen von $f$ ableiten.
  • Die Definitionsmenge ist die gleiche wie bei $f$, da weiterhin alle beliebigen Werte aus $\mathbb{R}$ eingesetzt werden können:
    $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • Im Vergleich zu $f$ besitzt jeder Funktionswert von $f_1$ ein negatives Vorzeichen. Es gilt $f_1(x)=-f(x)$. Gleiches gilt also für den Wertebereich, sodass diesen aus den negativen reellen Zahlen besteht:
    $\mathbb{W} = \mathbb{R}^-$
  • Die Asymptote ist wie bei $f$ die $x$-Achse. Du kannst dies auch hier in der Abbildung erkennen oder aus der Wertemenge ableiten.
  • Die Monotonie kehrt sich durch das negative Vorzeichen um, dies kannst du auch im Schaubild erkennen. Der Graph von $f_1$ fällt. $f_1$ ist also in $\mathbb{D}$ streng monoton fallend.
Die oben bestimmten Eigenschaften gelten für jede Funktion der Form $y = k\cdot a^x$ mit $a > 1$ und $k < 0$.
(2)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für $f_2:\, y = 0,5^x$ erhältst du beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-3$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$8$$2$$1$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{8}$
$x$$y$
$-3$$8$
$-1$$2$
$0$$1$
$1$$\frac{1}{2}$
$2$$\frac{1}{4}$
$3$$\frac{1}{8}$
Du erhältst dann in etwa folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 3: Funktionsgraph $f_2: \, y = 0,5^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 3: Funktionsgraph $f_2: \, y = 0,5^x$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Betrachtest du den Funktionsgraphen, sollte dir auffallen, dass dieser gerade die Spiegelung des Graphen von $f$ an der $y$-Achse ist. Entsprechend kannst du die Eigenschaften von $f_2$ von denen von $f$ ableiten.
  • Die Definitionsmenge ist die gleiche wie bei $f$, da weiterhin alle beliebigen Werte aus $\mathbb{R}$ eingesetzt werden können:
    $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • Im Vergleich zu $f$ werden die gleichen Funktionswerte angenommen, allerdings für unterschiedliche $x$-Werte. Es ist beispielsweise $f_2(3)= 0,125$, und $f(-3)= 0,125$. Es gilt $f_2(x) = f(-x)$. Insgesamt ist daher die Wertemenge die gleiche wie bei $f$:
    $\mathbb{W} = \mathbb{R}^+$
  • Die Asymptote ist wie bei $f$ die $x$-Achse. Du kannst dies auch hier in der Abbildung erkennen oder aus der Wertemenge ableiten.
  • Die Monotonie kehrt sich durch die Spiegelung um. Am Schaubild kannst du erkennen, dass der Graph fällt. $f_2$ ist also streng monoton fallend.
Diese Eigenschaften gelten für alle Funktionen der Form $f:\, y = k\cdot a^x$ mit $0 < a < 1$ und $k> 0$.
(3)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für $f_3:\, y = -0,5^x$ erhältst du beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-3$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$-8$$-2$$-1$$-\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$$-\frac{1}{8}$
$x$$y$
$-3$$-8$
$-1$$-2$
$0$$-1$
$1$$-\frac{1}{2}$
$2$$-\frac{1}{4}$
$3$$-\frac{1}{8}$
Du erhältst dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 4: Funktionsgraph $f_3: \, y = -0,5^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 4: Funktionsgraph $f_3: \, y = -0,5^x$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Betrachtest du den Funktionsgraphen, erkennst du dass dieser gerade die Spiegelung des Graphen von $f_2: \, y = 0,5^x$ an der $x$-Achse ist. Entsprechend kannst du auch die Eigenschaften ableiten:
  • Die Definitionsmenge ist die gleiche wie bei $f$, da weiterhin alle beliebigen Werte aus $\mathbb{R}$ eingesetzt werden können:
    $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • Die Funktionswerte ändern sich von positiv zu negativ. Entsprechend verändert sich die Wertemenge:
    $\mathbb{W} = \mathbb{R}^-$
  • Die Asymptote ist wie bei $f_2$ die $x$-Achse. Du kannst dies auch hier in der Abbildung erkennen oder aus der Wertemenge ableiten.
  • Die Monotonie kehrt sich durch das negative Vorzeichen um, dies kannst du auch im Schaubild erkennen. Der Graph von $f_3$ fällt. $f_3$ ist also in $\mathbb{D}$ streng monoton fallend.
Diese Eigenschaften gelten für alle Funktionen der Form $y = k\cdot a^x$ mit $0 < a < 1$ und $k < 0$.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Gesucht ist die Gleichung einer Exponentialfunktion der Form $f: \, y = k \cdot a^x +c$. Du musst also Werte für die Parameter $k$, $a$ und $c$ bestimmen. Dazu musst du der Abbildung drei Informationen entnehmen, aus denen du ein lineares Gleichungssystem aufstellen kannst. Möglich sind beispielsweise Asymptoten oder die Koordinaten von Punkten auf dem Graphen. Setze diese Informationen jeweils in die obige Funktionsgleichung ein. So erhältst du ein lineares Gleichungssystem, das du nach $k$, $a$ und $c$ lösen kannst.
Du kannst der Abbildung beispielsweise entnehmen, dass die Gerade mit $y = 1$ vermutlich eine waagerechte Asymptote ist. Bei einer Funktion der Form $y = k\cdot a^x +c$ wird die Gleichung der waagerechten Asymptote immer durch $y =c$ beschrieben. Du weißt daher also bereits, dass $c = 1$ sein muss:
$h:\, y = k\cdot a^x +1$
Desweiteren kannst du zum Beispiel folgende Koordinaten ablesen: $A(0\mid 3)$ und $B(1\mid 8)$. Damit erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3&=& k\cdot a^0 +1 \\ &3&=& k +1 \\ \text{II}\quad&8&=& k\cdot a^1 +1\\ &8&=& k\cdot a +1\\ \end{array}$
Die erste Gleichung hängt nur noch von $k$ ab, löse diese also nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 3&=& k +1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 2&=&k \end{array}$
Setze dies jetzt für $k$ in die zweite Gleichung ein, um diese nach $a$ zu lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 8&=& k\cdot a +1 \\[5pt] 8&=& 2\cdot a +1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 7&=& 2\cdot a&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 3,5&=& a \end{array}$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also $h: \, y = 2\cdot 3,5^x +1$.
e)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$-4$$-1$$-\frac{1}{4}$$-\frac{1}{16}$$-\frac{1}{64}$
$x$$y$
$-1$$-4$
$0$$-1$
$1$$-\frac{1}{4}$
$2$$-\frac{1}{16}$
$3$$-\frac{1}{64}$
Du erhältst dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 5: Funktionsgraph $k: \, y = -\left(\frac{1}{4}\right)^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 5: Funktionsgraph $k: \, y = -\left(\frac{1}{4}\right)^x$
(1)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Gesucht ist eine Näherung zur Lösung der Gleichung $ -\left(\frac{1}{4}\right)^x = -3$. Betrachtest du beide Seiten der Gleichung als Funktionsterme, ist die Lösung für $x$ gerade die Schnittstelle der beiden Funktionen. Ergänze in der Abbildung also die Gerade mit der Gleichung $y = -3$ und bestimme den Schnittpunkt. Die $x$-Koordinate des Schnittpunkts ist dann die gesuchte Lösung.
Du erhältst dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 6: Schnittpunktbestimmung
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 6: Schnittpunktbestimmung
Die Koordinaten des Schnittpunkts sind ca. $S(-0,8\mid -3)$, also ist die Lösung der Gleichung $x \approx -0,8$.
(2)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Gesucht ist eine Näherung zur Lösung der Gleichung $ -\left(\frac{1}{4}\right)^x = -x-6$. Betrachtest du beide Seiten der Gleichung als Funktionsterme, ist die Lösung für $x$ gerade die Schnittstelle der beiden Funktionen. Ergänze in der Abbildung also die Gerade mit der Gleichung $y = -x-6$ und bestimme den Schnittpunkt. Die $x$-Koordinate des Schnittpunkts ist dann die gesuchte Lösung.
Du erhältst dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 7: Schnittpunktbestimmung
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 7: Schnittpunktbestimmung
Die Koordinaten des Schnittpunkts sind ca. $S(-0,8\mid -3)$, also ist die Lösung der Gleichung $x \approx -1,1$.
#potenzgesetze#schnittpunkt

Aufgabe 1

Hier kannst du wie in Teil a) der Einführungsaufgabe vorgehen. Das Intervall soll von $x = -3$ bis $x = 3$ gehen. Berechne also beispielsweise die Funktionswerte für $x=-3$, $x =-1$, $x =0$, $x =1$, $x =2$ und $x =3$.
a)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
$\begin{array}[t]{rll} f_1(-1)&=& 1,5^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1,5^1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1,5}\\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_1(1)&=& 1,5^{1} \\[5pt] &=& 1,5 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_1(3)&=&1,5^3 \\[5pt] &=& 1,5\cdot 1,5\cdot 1,5\\[5pt] &=& 3,375\\[5pt] \end{array}$
Trage diese Funktionswerte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Achte darauf, dass du die $y$-Achse so weit zeichnest, dass der tiefste und auch der höchste Funktionswert eingetragen werden können. Das Koordinatensystem muss also mindestens von $y =\dfrac{8}{27} $ bis $y= 3,375$ reichen. Legst du dann einen Graphen durch die Punkte, erhältst du in etwa folgende Abbildung.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 8: $f_1: \, y = 1,5^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 8: $f_1: \, y = 1,5^x$
b)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
$\begin{array}[t]{rll} f_2(-1)&=& -2^{-1} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2^1} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\\[5pt] &=& -0,5 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2(1)&=& -2^{1} \\[5pt] &=& -2 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2(3)&=&-2^3 \\[5pt] &=& -2\cdot 2\cdot 2\\[5pt] &=& -8\\[5pt] \end{array}$
Trage diese Funktionswerte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Achte darauf, dass du die $y$-Achse so weit zeichnest, dass der tiefste und auch der höchste Funktionswert eingetragen werden können. Das Koordinatensystem muss also mindestens von $y =-8 $ bis $y= -0,125$ reichen. Legst du dann einen Graphen durch die Punkte, erhältst du in etwa folgende Abbildung.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 9: $f_2: \, y = -2^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 9: $f_2: \, y = -2^x$
c)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
$\begin{array}[t]{rll} f_3(-1)&=& \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\[5pt] &=& 2\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_3(1)&=& \left(\frac{1}{2}\right)^{1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_3(3)&=&\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\[5pt] &=& \frac{1}{8}\\[5pt] &=& 0,125\\[5pt] \end{array}$
Trage diese Funktionswerte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Achte darauf, dass du die $y$-Achse so weit zeichnest, dass der tiefste und auch der höchste Funktionswert eingetragen werden können. Das Koordinatensystem muss also mindestens von $y =0,125 $ bis $y= 8$ reichen. Legst du dann einen Graphen durch die Punkte, erhältst du in etwa folgende Abbildung.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 10: $f_3: \, y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 10: $f_3: \, y = \left(\frac{1}{2}\right)$
d)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
$\begin{array}[t]{rll} f_4(-1)&=& -\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^1} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{\frac{2}{3}}\\[5pt] &=&- \dfrac{3}{2}\\[5pt] &=& -1,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_4(1)&=& -\left(\frac{2}{3}\right)^{1} \\[5pt] &=& -\frac{2}{3} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_4(3)&=&-\left(\frac{2}{3}\right)^3 \\[5pt] &=&- \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\\[5pt] &=&- \frac{8}{27}\\[5pt] \end{array}$
Trage diese Funktionswerte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Achte darauf, dass du die $y$-Achse so weit zeichnest, dass der tiefste und auch der höchste Funktionswert eingetragen werden können. Das Koordinatensystem muss also mindestens von $y =-3,375 $ bis $y= - \dfrac{8}{27}$ reichen. Legst du dann einen Graphen durch die Punkte, erhältst du in etwa folgende Abbildung.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 11: $f_4: \, y = -\left(\frac{2}{3}\right)^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 11: $f_4: \, y = -\left(\frac{2}{3}\right)^x$

Aufgabe 2

Gehe vor wie in Teil a) der Einführungsaufgabe. Betrachte den Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion und lies den gesuchten Funktionswert ab.
a)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $2^{0,6}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y = 2^x$ an der Stelle $x= 0,6$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil a) der Einführungsaufgabe skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =0,6$ dort ab. Du erhältst:
$2^{0,6}\approx 1,5 $
b)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $2^{-1,3}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y = 2^x$ an der Stelle $x= -1,3$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil a) der Einführungsaufgabe skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =-1,3$ dort ab. Du erhältst:
$2^{-1,3}\approx 0,4 $
c)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1,5}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y =-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ an der Stelle $x= 1,5$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil d) von Aufgabe 1 skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =1,5$ dort ab. Du erhältst:
$-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1,5}\approx -0,5$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1,5}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y =-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ an der Stelle $x= -1,5$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil d) von Aufgabe 1 skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =-1,5$ dort ab. Du erhältst:
$-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1,5}\approx -1,8$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $1,5^{1,5}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y =1,5^x$ an der Stelle $x= 1,5$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil a) von Aufgabe 1 skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =1,5$ dort ab. Du erhältst:
$1,5^{1,5}\approx 1,8$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $1,5^{-0,3}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y =1,5^x$ an der Stelle $x= -0,3$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil a) von Aufgabe 1 skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =-0,3$ dort ab. Du erhältst:
$1,5^{-0,3}\approx 0,9$
g)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $-2^{0,7}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y =-2^x$ an der Stelle $x= 0,7$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil b) von Aufgabe 1 skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =0,7$ dort ab. Du erhältst:
$-2^{0,7}\approx -1,6$
h)
$\blacktriangleright$  Potenzwert graphisch bestimmen
Gesucht ist $-2^{-2,5}$, also der Funktionswert der Exponentialfunktion $f:\, y =-2^x$ an der Stelle $x= -2,5$. Du hast den Graphen der Funktion $f$ bereits in Teil b) von Aufgabe 1 skizziert.
Lies also den Funktionswert an der Stelle $x =-2,5$ dort ab. Du erhältst:
$-2^{-2,5}\approx -0,2 $

Aufgabe 3

Du kannst hier vorgehen wie in Teil b) (1) der Einführungsaufgabe. Setze also in die Funktionslgeichung $y = a^x$ die Koordinaten des Punktes $A$ ein und löse die Gleichung mit Hilfe einer Wurzel nach $a$ auf.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Du hast die Koordinaten $A(4\mid 625)$ gegeben. Setze also $x =4$ und $y = 625$ in die allgemeine Gleichung $y =a^x$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&a^x \\[5pt] 625&=& a^4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 25&=& a^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \pm 5&=& a \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung von $f$ lautet demnach $f: \, y = 5^x$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Du hast die Koordinaten $A(3\mid 64)$ gegeben. Setze also $x =3$ und $y = 64$ in die allgemeine Gleichung $y =a^x$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&a^x \\[5pt] 64&=& a^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 4&=& a \end{array}$
Die Gleichung von $f$ lautet demnach $f: \, y = 4^x$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Du hast die Koordinaten $A(2\mid 2,25)$ gegeben. Setze also $x =2$ und $y = 2,25$ in die allgemeine Gleichung $y =a^x$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&a^x \\[5pt] 2,25&=& a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \pm1,5&=& a \end{array}$
Die Gleichung von $f$ lautet demnach $f: \, y = 1,5^x$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Du hast die Koordinaten $A(3\mid 216)$ gegeben. Setze also $x =3$ und $y = 216$ in die allgemeine Gleichung $y =a^x$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&a^x \\[5pt] 216&=& a^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 6&=& a \end{array}$
Die Gleichung von $f$ lautet demnach $f: \, y = 6^x$.

Aufgabe 4

Hier kannst du wie in Teil b) (2) der Einführungsaufgabe vorgehen. Setze also jeweils die Koordinaten der beiden Punkte in die allgemeine Gleichung $y = k\cdot a^x$ ein. So erhältst du zwei Gleichungen mit den Variablen $k$ und $a$. Dies ist ein Gleichungssystem, welches du lösen kannst:
  • Löse eine Gleichung nach $k$ auf.
  • Setze den Ausdruck für $k$ in die zweite Gleichung ein. Diese hängt nun nur noch von $a$ ab. Du kannst diese also nach $a$ auflösen.
  • Setze den berechneten Wert für $a$ in den Ausdruck für $k$ ein und berechne so $k$.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die allgemeine Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-18&=&k\cdot a^2\\ \text{II}\quad&-54&=&k\cdot a^3\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&-18&=&k\cdot a^2\\ \text{II}\,&-54&=&k\cdot a^3\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad -18&=&k\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\; :a^2 \\[5pt] \dfrac{-18}{a^2}&=&k \end{array}$
$ k= \dfrac{-18}{a^2} $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad -54&=& k\cdot a^3&\quad \scriptsize k =\dfrac{-18}{a^2} \\[5pt] -54&=&\dfrac{-18}{a^2} \cdot a^3 \\[5pt] -54&=&-18\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :(-18)\\[5pt] 3&=& a \end{array}$
$ a =3 $
Für $k$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&\dfrac{-18}{a^2} &\quad \scriptsize \mid\; a=3 \\[5pt] &=& \dfrac{-18}{3^2} \\[5pt] &=&-2 \end{array}$
$ k = -2 $
Die Gleichung von $f$ lautet $f: \, y = -2\cdot 3^x$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die allgemeine Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,9&=&k\cdot a^{0,5}\\ \text{II}\quad&218,7&=&k\cdot a^3\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&0,9&=&k\cdot a^{0,5}\\ \text{II}\,&218,7&=&k\cdot a^3\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 0,9&=&k\cdot a^{0,5} &\quad \scriptsize \mid\; :a^{0,5} \\[5pt] \dfrac{0,9}{a^{0,5}}&=&k \end{array}$
$ k= \dfrac{0,9}{a^{0,5}} $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 218,7&=& k\cdot a^3&\quad \scriptsize k =\dfrac{0,9}{a^{0,5}} \\[5pt] 218,7&=&\dfrac{0,9}{a^{0,5}} \cdot a^3 \\[5pt] 218,7&=&0,9\cdot a^{2,5} &\quad \scriptsize \mid\; :0,9\\[5pt] 243&=& a^{2,5} &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 59.049&=&a^{5} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[5]{\,}\\[5pt] 9&=& a \end{array}$
$ a = 9$
Für $k$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&\dfrac{0,9}{a^{0,5}} &\quad \scriptsize \mid\; a=9 \\[5pt] &=& \dfrac{0,9}{9^{0,5}} \\[5pt] &=& 0,3 \end{array}$
$ k = 0,3 $
Die Gleichung von $f$ lautet $f: \, y = 0,3\cdot 9^x$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die allgemeine Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-0,05&=&k\cdot a^{2}\\ \text{II}\quad&-0,0125&=&k\cdot a^4\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&-0,05&=&k\cdot a^{2}\\ \text{II}\,&-0,0125&=&k\cdot a^4\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad -0,05&=&k\cdot a^{2} &\quad \scriptsize \mid\; :a^{2} \\[5pt] \dfrac{-0,05}{a^{2}}&=&k \end{array}$
$ k=\dfrac{-0,05}{a^{2}}$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad -0,0125&=& k\cdot a^4&\quad \scriptsize k =\dfrac{-0,05}{a^{2}} \\[5pt] -0,0125&=&\dfrac{-0,05}{a^{2}} \cdot a^4 \\[5pt] -0,0125&=&-0,05\cdot a^{2} &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,05)\\[5pt] 0,25&=& a^{2} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 0,5&=&a \end{array}$
$ a = 0,5$
Für $k$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&\dfrac{-0,05}{a^{2}} &\quad \scriptsize \mid\; a=0,5 \\[5pt] &=& \dfrac{-0,05}{0,5^{2}} \\[5pt] &=&- 0,2 \end{array}$
$ k =-0,2 $
Die Gleichung von $f$ lautet $f: \, y = -0,2\cdot 0,5^x$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die allgemeine Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4&=&k\cdot a^{1}\\ \text{II}\quad&6&=&k\cdot a^2\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&4&=&k\cdot a^{1}\\ \text{II}\,&6&=&k\cdot a^2\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 4&=&k\cdot a^{1} &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] \frac{4}{a}&=&k \end{array}$
$ k = \frac{4}{a}$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 6&=& k\cdot a^2&\quad \scriptsize k =\frac{4}{a} \\[5pt] 6&=&\frac{4}{a} \cdot a^2 \\[5pt] 6&=&4\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] \frac{3}{2}&=& a \end{array}$
$ a = \frac{3}{2}$
Für $k$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&\frac{4}{a} &\quad \scriptsize \mid\; a=\frac{3}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{\frac{3}{2}} \\[5pt] &=&\frac{8}{3} \end{array}$
$ \frac{8}{3} $
Die Gleichung von $f$ lautet $f: \, y = \frac{8}{3}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x$.

Aufgabe 5

Gehe ähnlich vor wie in Teil b) (3) und (4) der Einführungsaufgabe. Setze die vorhandenen Informationen in die allgemeine Gleichung $f: \, y = k\cdot a^x+c$ ein. Löse das dabei entstandene Gleichungssystem nach den verbleibenden Variablen auf.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Du hast die Koordinaten zweier Punkte auf dem Graphen der Exponentialfunktion und den Parameter $c=1$ vorgegeben. Setzt du $c$ in die allgemeine Gleichung ein, erhältst du bereits folgendes:
$f:\, y = k\cdot a^x +1$
Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-8&=& k \cdot a^2 +1\\ \text{II}\quad&-26&=&k\cdot a^3 +1\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&-8&=& k \cdot a^2 +1\\ \text{II}\,&-26&=&k\cdot a^3 +1\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} -8 &=& k\cdot a^2 +1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -9&=&k\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\; :a^2 \\[5pt] \dfrac{-9}{a^2}&=&k \end{array}$
$ k = \dfrac{-9}{a^2}$
Setze $k$ nun in die zweite Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II} -26&=& k\cdot a^3 +1 &\quad \scriptsize \mid\; k = \dfrac{-9}{a^2}\\[5pt] -26&=& \dfrac{-9}{a^2}\cdot a^3 +1 \\[5pt] -26&=& -9\cdot a +1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -27&=&-9a &\quad \scriptsize \mid\; : (-9) \\[5pt] 3&=& a \end{array}$
$ a= 3$
Setze $a$ nun in $k$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&\dfrac{-9}{a^2} \\[5pt] &=& \dfrac{-9}{3^2}&\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] &=& -1 \end{array}$
$ k = -1 $
Die Funktionsgleichung lautet demnach $f: \, y = -3^x+1$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze $k = 0,4$ in die allgemeine Gleichung ein:
$f: \, y = 0,4 \cdot a^x +c$
Setze nun jeweils die Koordinaten der beiden Punkte in die Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3,08&=&0,4\cdot a^1 +c\\ \text{II}\quad&3,016&=& 0,4\cdot a^2 +c\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&3,08&=&0,4\cdot a^1 +c\\ \text{II}\,&3,016&=& 0,4\cdot a^2 +c\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} 3,08&=& 0,4\cdot a +c &\quad \scriptsize \mid\; -0,4a\\[5pt] 3,08 -0,4a&=& c \\[5pt] \end{array}$
$ c = 3,08 -0,4a $
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II} 3,016 &=& 0,4\cdot a^2 +c &\quad \scriptsize \mid\; c = 3,08 -0,4a\\[5pt] 3,016 &=& 0,4\cdot a^2 +3,08 -0,4a &\quad \scriptsize \mid\; -3,08\\[5pt] -0,064&=& 0,4\cdot a^2 -0,4a&\quad \scriptsize \mid\; :0,4 \\[5pt] -0,16&=& a^2-a &\quad \scriptsize \mid\; +0,16\\[5pt] 0&=& a^2-a +0,16\\[5pt] \end{array}$
$ 0 = a^2-a +0,16 $
Verwende die $p$-$q$-Formel:
$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q} &\quad \scriptsize \mid\; p = -1, q =0,16 \\[5pt] &=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2 -0,16} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{100}} \\[5pt] a_1&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{10} = 0,8 \\[5pt] a_2&=& \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{10} = 0,2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{10} 0,8 \\[5pt] &=&0,8 \\[5pt] a_2&=& \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{10} \\[5pt] &=&0,2 \\[5pt] \end{array}$
Für $a$ gibt es also zwei Möglichkeiten. Berechne für beide Möglichkeiten die Werte von $c$:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 3,08 -0,4a \\[10pt] c_1&=& 3,08-0,4\cdot a_1 \\[5pt] &=&3,08-0,4\cdot 0,8 \\[5pt] &=& 2,76\\[10pt] c_2&=& 3,08-0,4\cdot a_2 \\[5pt] &=& 3,08-0,4\cdot 0,2 \\[5pt] &=&3 \end{array}$
Für $f$ gibt es zwei mögliche Funktionsgleichungen:
$f_1: \, y = 0,4\cdot 0,8^x+2,76$
$f_2: \, y = 0,4\cdot 0,2^x +3$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Du hast bereits $k=5$ und $c=2$ gegeben. Setze ein:
$f: \, y = 5\cdot a^x +2$
Setze nun die Koordinaten von $A$ ein, um die gleichung nach $a$ zu lösen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 5\cdot a^x +2&\quad \scriptsize \mid\; A(2\mid 2,05) \\[5pt] 2,05&=& 5\cdot a^2 +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 0,05&=& 5a^2&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 0,01&=&a^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \pm 0,1&=&a \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 5\cdot a^x +2\\[5pt] 2,05&=& 5\cdot a^2 +2 \\[5pt] \pm 0,1&=&a \end{array}$
Eine Funktionsgleichung von $f$ lautet also $f: \, y = 5\cdot 0,1^x +2$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze $a=3$ in die allgemeine Gleichung ein:
$f: \, y = k\cdot 3^x +c$
Setze nun jeweils die Koordinaten der beiden Punkte in die Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -188,2&=& k\cdot 3^3+c\\ \text{II}\quad& -6,2&=& k\cdot 3^0 +c\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,& -188,2&=& k\cdot 3^3+c\\ \text{II}\,& -6,2&=& k\cdot 3^0 +c\\ \end{array}$
Löse die zweite Gleichung nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II} -6,2&=& k\cdot 3^0 +c \\[5pt] -6,2&=& k + c &\quad \scriptsize \mid\;-c \\[5pt] -6,2-c&=& k \end{array}$
$ k = -6,2-c $
Einsetzen in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} -188,2&=& k\cdot 3^3 +c &\quad \scriptsize \mid\; k =-6,2-c\\[5pt] -188,2&=& (-6,2-c)\cdot 27 +c \\[5pt] -188,2&=& -167,4-26c &\quad \scriptsize \mid\; +167,4 \\[5pt] -20,8&=& -26c &\quad \scriptsize \mid\; :(-26) \\[5pt] 0,8&=&c \end{array}$
$ c = 0,8 $
Setze dies nun in $k$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} k&=& -6,2-c &\quad \scriptsize \mid\; c = 0,8\\[5pt] &=&-6,2 -0,8 \\[5pt] &=&-7 \end{array}$
$ k = -7 $
Die Gleichung lautet demnach $f: \, y = -7\cdot 3^x +0,8$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze $k =0,1$ in die Gleichung ein:
$f: \, y = 0,1 \cdot a^x +c$
Setze jeweils die Koordinaten der beiden Punkte in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1.000&=& 0,1\cdot a^4 +c\\ \text{II}\quad&10&=& 0,1\cdot a^2 +c\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&1.000&=& 0,1\cdot a^4 +c\\ \text{II}\,&10&=& 0,1\cdot a^2 +c\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 1.000&=& 0,1 \cdot a^4 +c &\quad \scriptsize \mid\; -0,1\cdot a^4 \\[5pt] 1.000 - 0,1\cdot a^4&=& c \end{array}$
$ c = 1.000 - 0,1\cdot a^4 $
Setze dies in die zweite Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} 10&=& 0,1 \cdot a^2 +c &\quad \scriptsize \mid\; c= 1.000 - 0,1\cdot a^4 \\[5pt] 10&=& 0,1 \cdot a^2 +1.000 - 0,1\cdot a^4&\quad \scriptsize \mid\; -1.000\\[5pt] -990&=&0,1\cdot a^2-0,1\cdot a^4 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,1)\\[5pt] 9.900&=& -a^2 +a^4 &\quad \scriptsize \mid\; -9.900\\[5pt] 0&=&a^4 -a^2 -9.900 \\[5pt] \end{array}$
$ 0 = a^4 -a^2 -9.900 $
Substituierst du nun $a^2 = z$, kannst du die Gleichung mit der $p$-$q$-Formel lösen.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&a^4 -a^2 -9.900 &\quad \scriptsize \mid\; a^2=z\\[5pt] 0&=&z^2-z-9.900 \end{array}$
$ 0=z^2-z-9.900 $
$\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 -q} &\quad \scriptsize \mid\; p = -1, q= -9.900 \\[5pt] &=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2 +9.900}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{39.601}{4}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{199}{2} \\[5pt] z_1&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{199}{2} = 100 \\[5pt] z_2&=&\dfrac{1}{2} - \dfrac{199}{2} = -99 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{…} \\[5pt] z_1&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{199}{2}\\[5pt] &=& 100\\[5pt] z_2&=&\dfrac{1}{2} - \dfrac{199}{2}\\[5pt] &=& -99 \end{array}$
Ein Quadrat kann nicht negativ sein, daher fällt $z_2 = -99$ als Lösung weg. Resubstituiere nun wieder, um die Lösung für $a$ zu berechnen: $\begin{array}[t]{rll} z&=&a^2 \\[5pt] 100&=&a^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \pm 10&=&a \end{array}$
Es ist also $a = 10$. Berechne nun $c$:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 1.000 - 0,1\cdot a^4 \\[5pt] &=& 1.000- 0,1 \cdot 10^4 \\[5pt] &=&0 \end{array}$
$ c = 0 $
Die Funktionsgleichung lautet also $f: \, y = 0,1\cdot 10^x$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Setze die Koordinaten der drei Punkte jeweils in die Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&11&=&k\cdot a^2 +c \\ \text{II}\quad&10,1&=&k\cdot a^3 +c\\ \text{III}\quad&10,01&=&k\cdot a^4 +c\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\,&11&=&k\cdot a^2 +c \\ \text{II}\,&10,1&=&k\cdot a^3 +c\\ \text{III}\,&10,01&=&k\cdot a^4 +c\\ \end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}& 11&=&k \cdot a^2 +c &\quad \scriptsize \mid\;-k\cdot a^2 \\[5pt] &11-k\cdot a^2&=&c \end{array}$
$c = 11-k\cdot a^2 $
Setze dies nun in die übrigen beiden Gleichungen ein:
$\begin{array}{} \text{Ia}\quad&c&=& 11-k\cdot a^2\\ \text{IIa}\quad&10,1&=&k \cdot a^3 + 11-k\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\;-11 \\ \text{IIIa}\quad&10,01&=&k\cdot a^4 +11-k\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\;-11 \\ \hline \text{IIa}\quad&-0,9&=&k \cdot a^3-k\cdot a^2\\ \text{IIIa}\quad&-0,99&=&k\cdot a^4-k\cdot a^2\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{Ia}\,&c&=& …\\ \text{IIa}\,&10,1&=&…\\ \text{IIIa}\,&10,01&=&… \\ \hline \text{IIa}\,&-0,9&=&…\\ \text{IIIa}\,&-0,99&=&…\\ \end{array}$
Löse nun $\text{IIa}$ nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IIa}& -0,9&=&k \cdot a^3-k\cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] &-0,9&=&k \cdot \left(a^3-a^2\right) &\quad \scriptsize \mid\;: (a^3-a^2) \\[5pt] &\dfrac{-0,9}{a^3-a^2}&=& k \\[5pt] \end{array}$
$ k = \dfrac{-0,9}{a^3-a^2} $
Setze dies in $\text{IIIa}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IIIa}& -0,99&=&k\cdot a^4-k\cdot a^2 \\[5pt] &-0,99&=& k\cdot \left(a^4-a^2\right)&\quad \scriptsize \mid\; k =\dfrac{-0,9}{a^3-a^2} \\[5pt] &-0,99&=&\dfrac{-0,9}{a^3-a^2}\cdot \left(a^4-a^2\right) \\[5pt] &-0,99&=&-0,9\cdot \dfrac{a^2-1}{a-1} &\quad \scriptsize \text{3. binomische Formel}\\[5pt] &-0,99&=&-0,9\cdot \dfrac{(a-1)\cdot (a+1)}{a-1} \\[5pt] &-0,99&=&-0,9\cdot (a+1) &\quad \scriptsize \mid\;: (-0,9) \\[5pt] &1,1&=&a+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] &0,1&=& a \end{array}$
$ a = 0,1$
Berechne nun $k$, indem du $a= 0,1$ in $k$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&\dfrac{-0,9}{a^3-a^2} &\quad \scriptsize \mid\; a =0,1\\[5pt] &=&\dfrac{-0,9}{0,1^3-0,1^2} \\[5pt] &=& 100 \end{array}$
$ k = 100 $
Setze nun $k =100$ und $a = 0,1$ in $c$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} c&=&11-k\cdot a^2 \\[5pt] &=& 11- 100\cdot 0,1^2\\[5pt] &=&10 \end{array}$
$ c = 10 $
Die Funktionsgleichung lautet also $f:\, y = 100\cdot 0,1^x+10$.
#substitution#pq-formel

Aufgabe 6

Du kannst hier vorgehen, wie in Teil c) der Einführungsaufgabe. Berechne zunächst verschiedene Funktionswerte, um den Graphen der Exponentialfunktion durch die entsprechenden Punkte zu legen. Du kannst diese beispielsweise in einer Wertetabelle festhalten.
Anschließend kannst du mit den allgemeinen Eigenschaften einer Exponentialfunktion auf die Eigenschaften des jeweiligen Graphen schließen.
a)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für $ y = -1,5^x$ kannst du beispielsweise folgende Wertetabelle aufstellen:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y$$-\frac{4}{9}$$-\frac{2}{3}$$-1$$-\frac{3}{2}$$-\frac{9}{4}$
$x$$y$
$-2$$-\frac{4}{9}$
$-1$$-\frac{2}{3}$
$0$$-1$
$1$$-\frac{3}{2}$
$2$$-\frac{9}{4}$
Trage nun die Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein und lege einen Graphen durch die Punkte. Du erhältst dann ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 12: $f: \, y = -1,5^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 12: $f: \, y = -1,5^x$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften überprüfen
Für $x$ kannst du jeden beliebigen Wert einsetzen. Für die Definitionsmenge gilt daher:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Beachte für die Wertemenge, dass $a^x > 0$ bzw. $-a^x < 0$ ist für alle $x$, wenn $a > 0$ ist. Im Funktionsterm von $f$ gibt es keine weiteren Summanden oder Faktoren. Also gibt es nur diese Einschränkung. Für die Wertemenge gilt daher:
$\mathbb{W} = \{y\in \mathbb{R}\mid y < 0 \}$
Für jede Exponentialfunktion der Form $y = a^x$ oder $y = -a^x$ mit $a >0 $ und $a\neq 1$ ist die $x$-Achse eine waagerechte Asymptote. Senkrechte oder schiefe Asymptoten gibt es bei Exponentialfunktionen dieser Form nicht, da der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$, also nicht begrenzt ist.
Für größer werdende $x$ wird der Funktionswert immer kleiner. Dies kannst du sowohl an deiner Wertetabelle bzw. deiner Skizze als auch am Funktionsterm erkennen.
Da also $a = 1,5> 1 $ ist, der Funktionsterm aber ein negatives Vorzeichen besitzt, ist der Graph von $f$ streng monoton fallend.
b)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für $ y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ kannst du beispielsweise folgende Wertetabelle aufstellen:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y$$\frac{9}{4}$$\frac{3}{2}$$1$$\frac{2}{3}$$\frac{4}{9}$
$x$$y$
$-2$$\frac{9}{4}$
$-1$$\frac{3}{2}$
$0$$1$
$1$$\frac{2}{3}$
$2$$\frac{4}{9}$
Trage nun die Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein und lege einen Graphen durch die Punkte. Du erhältst dann ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 13: $f: \, y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 13: $f: \, y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften überprüfen
Für $x$ kannst du jeden beliebigen Wert einsetzen. Für die Definitionsmenge gilt daher:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Beachte für die Wertemenge, dass $a^x > 0$ bzw. $-a^x < 0$ ist für alle $x$, wenn $a > 0$ ist. Im Funktionsterm von $f$ gibt es keine weiteren Summanden oder Faktoren. Also gibt es nur diese Einschränkung. Für die Wertemenge gilt daher:
$\mathbb{W} = \{y\in \mathbb{R}\mid y > 0 \}$
Für jede Exponentialfunktion der Form $y = a^x$ oder $y = -a^x$ mit $a >0 $ und $a\neq 1$ ist die $x$-Achse eine waagerechte Asymptote. Senkrechte oder schiefe Asymptoten gibt es bei Exponentialfunktionen dieser Form nicht, da der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$, also nicht begrenzt ist.
Für größer werdende $x$ wird der Funktionswert immer kleiner. Dies kannst du sowohl an deiner Wertetabelle bzw. deiner Skizze als auch am Funktionsterm erkennen.
Da also $a =\frac{2}{3}< 1 $ ist und der Funktionsterm kein negatives Vorzeichen besitzt, ist der Graph von $f$ streng monoton fallend.
c)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für $ y = -0,5^x + 2$ kannst du beispielsweise folgende Wertetabelle aufstellen:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y$$-2$$0$$1$$1,5$$1,75$
$x$$y$
$-2$$-2$
$-1$$0$
$0$$1$
$1$$1,5$
$2$$1,75$
Trage nun die Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein und lege einen Graphen durch die Punkte. Du erhältst dann ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 14: $f: \, y =-0,5^x + 2$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 14: $f: \, y = -0,5^x + 2$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften überprüfen
Für $x$ kannst du jeden beliebigen Wert einsetzen. Für die Definitionsmenge gilt daher:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Beachte für die Wertemenge, dass $a^x > 0$ bzw. $-a^x < 0$ ist für alle $x$, wenn $a > 0$ ist. Im Funktionsterm von $f$ wird auf diesen Teil, der immer $< 0$ ist anschließend noch $2$ addiert. Für die Wertemenge gilt daher:
$\mathbb{W} = \{y\in \mathbb{R}\mid y < 2 \}$
Für jede Exponentialfunktion der Form $y = a^x+c$ oder $y = -a^x+c$ mit $a >0 $ und $a\neq 1$ ist die Gerade mit $y = c$ eine waagerechte Asymptote. Senkrechte oder schiefe Asymptoten gibt es bei Exponentialfunktionen dieser Form nicht, da der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$, also nicht begrenzt ist. Die Gerade mit $y = 2$ ist also eine waagerechte Asymptote des Graphen von $f$.
Für größer werdende $x$ wird der Funktionswert immer größer. Dies kannst du sowohl an deiner Wertetabelle bzw. deiner Skizze als auch am Funktionsterm erkennen.
Da also $a =0,5< 1 $ ist, der Funktionsterm aber ein negatives Vorzeichen besitzt, ist der Graph von $f$ streng monoton steigend.
d)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Für $ y = 0,75^x- 3$ kannst du beispielsweise folgende Wertetabelle aufstellen:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y$$-\frac{11}{9}$$-\frac{5}{3}$$-2$$-\frac{9}{4}$$-\frac{39}{16}$
$x$$y$
$-2$$-\frac{11}{9}$
$-1$$-\frac{5}{3}$
$0$$-2$
$1$$-\frac{9}{4}$
$2$$-\frac{39}{16}$
Trage nun die Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein und lege einen Graphen durch die Punkte. Du erhältst dann ein ähnliches Schaubild wie das folgende:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 15: $f: \, y =0,75^x- 3$
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 15: $f: \, y = 0,75^x- 3$
$\blacktriangleright$  Eigenschaften überprüfen
Für $x$ kannst du jeden beliebigen Wert einsetzen. Für die Definitionsmenge gilt daher:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Beachte für die Wertemenge, dass $a^x > 0$ bzw. $-a^x < 0$ ist für alle $x$, wenn $a > 0$ ist. Im Funktionsterm von $f$ wird von diesem Teil, der immer $> 0$ ist, anschließend noch $3$ subtrahiert. Für die Wertemenge gilt daher:
$\mathbb{W} = \{y\in \mathbb{R}\mid y > -3 \}$
Für jede Exponentialfunktion der Form $y = a^x+c$ oder $y = -a^x+c$ mit $a >0 $ und $a\neq 1$ ist die Gerade mit $y = c$ eine waagerechte Asymptote. Senkrechte oder schiefe Asymptoten gibt es bei Exponentialfunktionen dieser Form nicht, da der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$, also nicht begrenzt ist. Die Gerade mit $y = -3$ ist also eine waagerechte Asymptote des Graphen von $f$.
Für größer werdende $x$ wird der Funktionswert immer kleiner. Dies kannst du sowohl an deiner Wertetabelle bzw. deiner Skizze als auch am Funktionsterm erkennen.
Da also $a =0,75< 1 $ ist und der Funktionsterm kein negatives Vorzeichen besitzt, ist der Graph von $f$ streng monoton fallend.

Aufgabe 7

Gehe hier vor wie in Teil d) der Einführungsaufgabe. Versuche möglichst genaue Informationen über den Graphen aus der Abbildung abzulesen. Stelle damit ein lineares Gleichungssystem auf und löse dieses nach den drei Parametern $k$, $a$ und $c$. Orientiere dich beispielsweise an Asymptoten und möglichen Punkten auf dem jeweiligen Graphen.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Betrachte den grünen Graphen in der Abbildung. Du kannst erkennen, dass er wahrscheinlich eine waagerechte Asymptote mit $y = -4$ besitzt. Daraus kannst du bereits auf den Parameterwert $c = -4$ schließen. Es bleiben also noch die beiden Parameter $k$ und $a$. Lies dazu die Koordinaten zweier Punkte des Graphen ab. Setzt du diese zusammen mit dem bereits bekannten Wert für $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung $y =k\cdot a^x+c$ ein, erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Du kannst beispielsweise folgende Koordinaten ablesen:
  • $P(0\mid -3,5)$
  • $Q(1\mid -1,5)$
Damit erhältst du ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -3,5 &=& k\cdot a^0 -4 \\ & -3,5 &=& k -4 \\ \text{II}\quad& -1,5 &=& k\cdot a^1-4 \\ & -1,5 &=& k\cdot a-4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}& -3,5 &=& k\cdot a^0 -4 \\ & -3,5 &=& k -4 \\ \text{II}& -1,5 &=& k\cdot a^1-4 \\ & -1,5 &=& k\cdot a-4 \\ \end{array}$
Die erste Gleichung hängt nur von $k$ ab. Löse sie also auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad -3,5 &=& k-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 0,5&=& k \\[5pt] \end{array}$
$ k = 0,5 $
Dies kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen und so einen Wert für $a$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad -1,5&=&k\cdot a - 4 &\quad \scriptsize \mid\; k = 0,5 \\[5pt] -1,5&=&0,5\cdot a -4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 2,5&=& 0,5\cdot a&\quad \scriptsize \mid\;:0,5 \\[5pt] 5&=& a \end{array}$
$ a = 5 $
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also:
$f: \quad y = 0,5\cdot 5^x -4$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Betrachte den roten Graphen in der Abbildung. Hier lässt sich die Asymptote $y = 5$ schätzen. Du erhältst also bereits den Wert $c = 5$. Es verbleiben noch die beiden Parameter $k$ und $a$. Lies also die Koordinaten zweier Punkte des Graphen ab. Setzt du diese in die allgemeine Funktionsgleichung $y =k\cdot a^x+c$ zusammen mit $c = 5$ ein, erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Du kannst beispielsweise folgende Koordinaten ablesen:
  • $P(0 \mid 1)$
  • $Q(1 \mid -7)$
Damit erhältst du ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 1 &=& k\cdot a^{0} +5 \\ & 1&=& k+5\\ \text{II}\quad& -7 &=& k\cdot a^1+5 \\ & -7 &=& k\cdot a+5 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}& 1 &=& k\cdot a^{0} +5 \\ & 1&=& k+5\\ \text{II}& -7 &=& k\cdot a^1+5 \\ & -7 &=& k\cdot a+5 \\ \end{array}$
Die erste Gleichung hängt nur von $k$ ab. Löse sie also auf:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 1 &=& k+5&\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -4&=& k \\[5pt] \end{array}$
$ k = -4 $
Dies kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen und so einen Wert für $a$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad -7&=&k\cdot a +5 &\quad \scriptsize \mid\; k = -4 \\[5pt] -7&=&-4\cdot a +5 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -12&=& -4\cdot a&\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] 3&=& a \end{array}$
$ a = 3 $
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also:
$f: \quad y = -4\cdot 3^x +5$
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Betrachte den roten Graphen in der Abbildung. Hier lässt sich die Asymptote $y = 0$ schätzen. Du erhältst also bereits den Wert $c = 0$. Es verbleiben noch die beiden Parameter $k$ und $a$. Lies also die Koordinaten zweier Punkte des Graphen ab. Setzt du diese in die allgemeine Funktionsgleichung $y =k\cdot a^x+c$ zusammen mit $c = 0$ ein, erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Du kannst beispielsweise folgende Koordinaten ablesen:
  • $P(1 \mid -1)$
  • $Q(0 \mid -0,1)$
Damit erhältst du ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -1 &=& k\cdot a^{1} \\ & -1&=& k\cdot a\\ \text{II}\quad& -0,1 &=& k\cdot a^0 \\ & -0,1&=& k \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}& -1 &=& k\cdot a^{1} \\ & -1&=& k\cdot a\\ \text{II}& -0,1 &=& k\cdot a^0 \\ & -0,1&=& k \\ \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung weißt du bereits, dass $k = -0,1$ ist. Setze dies in die erste Gleichung ein, um $a$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad -1 &=& k\cdot a&\quad \scriptsize \mid\; k=-0,1\\[5pt] -1 &=& -0,1\cdot a&\quad \scriptsize \mid\; :(-0,1)\\[5pt] 10&=& a \\[5pt] \end{array}$
$ a = 10 $
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also:
$f: \quad y = -0,1\cdot 10^x$

Aufgabe 8

Du kannst hier vorgehen wie in Teil e) der Einführungsaufgabe. Du kannst die beiden Seiten der Gleichung jeweils als Funktionsterm auffassen. Zeichne die zugehörigen Funktionsgraphen gemeinsam in eine Abbildung. Die Stelle $x$, an der sich die beiden Graphen schneiden, ist die Lösung der Gleichung.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung zeichnerisch lösen
Die linke Seite der Gleichung ist der Funktionsterm einer Exponentialfunktion zur Basis $0,1$. Die rechte Seite hängt nicht von $x$ ab. Gesucht ist also $x$ , für den der Funktionswert von $f: \, y = 0,1^x $ $4$ ist. Du musst also das Koordinatensystem mindestens so groß zeichnen, dass der Graph an mindestens einer Stelle den Funktionswert $4$ annehmen kann.
Verwende beispielsweise folgende Wertetabelle für deine Zeichnung:
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$10$$1$$0,1$$0,01$$0,001$
$x$$y$
$-1$$10$
$0$$1$
$1$$0,1$
$2$$0,01$
$3$$0,001$
Zeichnest du zudem noch die Gerade mit $y =4$ als Parallele zur $x$-Achse ein, kannst du den Schnittpunkt bestimmen.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 16: Schnittpunkt bestimmen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 16: Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt beider Graphen erhältst du also in etwa die Koordinaten $S(-0,6\mid 4)$. Die Lösung der Gleichung ist also $x \approx -0,6$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung zeichnerisch lösen
Die linke Seite der Gleichung ist der Funktionsterm einer Exponentialfunktion zur Basis $2$. Die rechte Seite hängt nicht von $x$ ab. Gesucht ist also ein Wert von $x$ , für den der Funktionswert von $f: \, y = 2^x $ $5$ ist. Du musst also das Koordinatensystem mindestens so groß zeichnen, dass der Graph an mindestens einer Stelle den Funktionswert $5$ annehmen kann.
Verwende beispielsweise folgende Wertetabelle für deine Zeichnung:
$x$$0$$1$$2$$3$
$y$$1$$2$$4$$8$
$x$$y$
$0$$1$
$1$$2$
$2$$4$
$3$$8$
Zeichnest du zudem noch die Gerade mit $y =5$ als Parallele zur $x$-Achse ein, kannst du den Schnittpunkt bestimmen.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 17: Schnittpunkt bestimmen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 17: Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt beider Graphen erhältst du also in etwa die Koordinaten $S(2,3\mid 5)$. Die Lösung der Gleichung ist also $x \approx 2,3$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung zeichnerisch lösen
Die linke Seite der Gleichung ist der Funktionsterm einer Exponentialfunktion zur Basis $2$. Die rechte Seite hängt nicht von $x$ ab. Gesucht ist also ein Wert von $x$ , für den der Funktionswert von $f: \, y = 2^x -2$ $5$ ist. Formst du die Gleichung zunächst so um, dass $2^x$ allein auf einer Seite steht, kannst du deine Zeichnung aus der letzten Teilaufgabe verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} 2^x -2&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 2^x&=& 7 \end{array}$
Ergänze in deiner Zeichnung aus Teil b) also die zur $x$-Achse parallele Gerade $y = 7$ und bestimme den Schnittpunkt.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 18: Schnittpunkt bestimmen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 18: Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt beider Graphen erhältst du also in etwa die Koordinaten $S(2,8\mid 7)$. Die Lösung der Gleichung ist also $x \approx 2,8$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung zeichnerisch lösen
Die linke Seite der Gleichung ist der Funktionsterm einer Exponentialfunktion zur Basis $\frac{1}{2}$. Die rechte Seite hängt nicht von $x$ ab. Gesucht ist also ein Wert von $x$ , für den der Funktionswert von $f: \, y = \left(\frac{1}{2}\right)^x -2$ $-1,2$ ist.
Verwende beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-1$$0$$1$$2$
$y$$0$$-1$$-\frac{3}{2}$$-\frac{7}{4}$
$x$$y$
$-1$$0$
$0$$-1$
$1$$-\frac{3}{2}$
$2$$-\frac{7}{4}$
Ergänzt du die zur $x$-Achse parallele Gerade $y = -1,2$, kannst du den Schnittpunkt bestimmen.
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 19: Schnittpunkt bestimmen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 19: Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt beider Graphen erhältst du also in etwa die Koordinaten $S(0,3\mid -1,2)$. Die Lösung der Gleichung ist also $x \approx 0,3$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung zeichnerisch lösen
Die linke Seite der Gleichung ist der Funktionsterm einer Exponentialfunktion zur Basis $0,2$. Die rechte Seite hängt ebenfalls von $x$ ab und stellt den Funktionsterm einer Gerade dar.
Um eine Gerade zu zeichnen, genügen die Koordinaten zweier Punkte. Stelle also für beide Funktionen eine Wertetabelle auf.
$x$$-1$$1$
$y$$0$$6$
$x$$y$
$-1$$0$
$1$$6$
Zeichne also den Graphen der Exponentialfunktion und die Gerade gemeinsam in ein geeignetes Koordinatensystem. Du erhältst dann eine ähnliche Abbildung wie die folgende:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 20: Schnittpunkt bestimmen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 20: Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt beider Graphen erhältst du also in etwa die Koordinaten $S(-0,4\mid 1,9)$. Die Lösung der Gleichung ist also $x \approx -0,4$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung zeichnerisch lösen
Die linke Seite der Gleichung ist der Funktionsterm einer Exponentialfunktion zur Basis $0,1$. Die rechte Seite hängt ebenfalls von $x$ ab und stellt den Funktionsterm einer Gerade dar.
Um eine Gerade zu zeichnen, genügen die Koordinaten zweier Punkte. Stelle also für beide Funktionen eine Wertetabelle auf.
$x$$0$$1$
$y$$-3$$7$
Zeichne also den Graphen der Exponentialfunktion und die Gerade gemeinsam in ein geeignetes Koordinatensystem. Du erhältst dann eine ähnliche Abbildung wie die folgende:
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 21: Schnittpunkt bestimmen
Exponentialfunktion: Einführung
Abb. 21: Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt beider Graphen erhältst du also in etwa die Koordinaten $S(0,3\mid 0,5)$. Die Lösung der Gleichung ist also $x \approx 0,3$.
#schnittpunkt
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