Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch M II
Digitales Schulbuch M I
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Orthogonale Affinität und Verschiebung

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Die allgemeine Exponantialfunktion hat folgende Funktionsgleichung:
$f: \, y = k\cdot a^{x-b} +c\qquad $ mit $a \in\mathbb{R}^+\setminus\{1\}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $b$, $c \in \mathbb{R}$
$f: \, y = k\cdot a^{x-b} +c$
$a \in\mathbb{R}^+\setminus\{1\}$, $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $b$, $c \in \mathbb{R}$
Sie entsteht durch Abbildung der exponentiellen Grundfunktion $y=a^x$ mit einer orthogonalen Affinität und Verschiebung mit einem Vektor.

Abbilden der Grundfunktion

AbbildungFunktionGraph
Orthogonale Affinität mit dem Faktor $k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ $y = a^x \quad \overset{\scriptsize{k}}\longmapsto \quad y = k\cdot a^x$ $|k| > 1:$ Streckung in $y$-Richtung
$|k| < 1:$ Stauchung in $y$-Richtung
Ist $k$ negativ, wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ $y = a^x \quad \overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \quad y = a^{x-b} +c$ Verschiebung um
$b$ Einheiten entlang der $x$-Achse und
$c$ Einheiten entlang der $y$-Achse

Orthogonale Affinität

Der Faktor $k \in \mathbb{R}$ bildet die exponentielle Grundfunktion $f_1: \, y = a^x$ durch orthogonale Affinität auf $f':\, y = k\cdot a^x$ ab:
$ y = a^x \,\overset{k}\longmapsto \, y = k\cdot a^x $
Der zugehörige Graph wird entsprechend gestreckt oder gestaucht:
  • $|k| > 1 : \quad $ Strechung entlang der $y$-Achse
  • $|k| < 1 : \quad$ Stauchung entlang der $y$-Achse
  • Ist $k$ negativ, wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.

Verschiebung

$f_1$ wird durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b \\ c}$ auf $f'$ abgebildet:
$ y = a^x \,\overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \, y = a^{x-b} +c$
Der Graph wird um $b$ Einheiten entlang $x$-Achse und $c$ Einheiten entlang der $y$-Achse in positive Richtung verschoben.

Eigenschaften

  • Definitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • Wertemenge:
    • $k > 0: \quad $ $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y > c \}$
    • $k < 0: \quad $ $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y <c \}$
  • Monotonie:
    $a > 1 $ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
    $a > 1 $ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $y = c$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
Zeichne jeweils den Graphen der angegebenen Funktion gemeinsam mit dem Graphen von $f:\, y = 2^x$ für $x \in [-2;2]$ in ein Koordinatensystem. Vergleiche anschließend beide Graphen miteinander.
(2)
$f_2: \, y = 0,8\cdot 2^x$
(4)
$f_4:\, y = 2^{x-1} $
(6)
$f_6:\, y = 2^{x+1}-3$
b)
Bilde den Graphen der Funktion $g: \, y = 1,5^x $ durch othogonale Affinität mit dem Faktor $k=2$ und Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{1\\-2}$ ab. Gib die Gleichung des Bildgraphen und die Eigenschaften von $g'$ an.
Vertausche anschließend die Reihenfolge der Abbildungen und vergleiche beide Ergebnisse.
c)
Untersuche $h:\, y = 0,5\cdot 3^{x-1}+8 $ auf folgende Eigenschaften:
  • Definitionsmenge $\mathbb{D}$
  • Wertemenge $\mathbb{W}$
  • Monotonie
  • Asymptoten
d)
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 1: Funktionsgraphen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 1: Funktionsgraphen
#exponentialfunktion#definitionsbereich#verschiebung#orthogonaleaffinität#wertebereich

Aufgabe 1

Bilde den Graphen von $f$ jeweils durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k$ ab. Gib die Gleichung des Bildgraphen an und beschreibe seinen Verlauf.
b)
$f:\, y = 1,5^x\quad$ $k = 0,5 $
d)
$f:\, y = 0,75^x\quad$ $k = -2 $
f)
$f:\, y = -2^x-4\quad$ $k = -2 $
#orthogonaleaffinität

Aufgabe 2

Bilde den Graphen von $f$ jeweils durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ ab. Gib die Funktionsgleichung des Bildgraphen an und beschreibe seinen Verlauf.
b)
$f: \, y = 0,4^x $
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{4\\0}$
d)
$f: \, y = -3\cdot 2^{x-4} $
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\0,5}$
f)
$f: \, y = -3\cdot 2^{x-4} -2 $
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{-5\\2}$
#vektoren#verschiebung

Aufgabe 3

Bilde den Graphen von $f$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k$ und anschließend durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ ab. Gib die Gleichung des Bildgraphen an.
b)
$f: \, y = -7^x$
$k = -2$
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\-4}$
d)
$f:\, y = 6,5^{x-2}$
$k = 3$
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{0\\0}$
f)
$f: \, y = 4,5^{x-3}+3$
$k = -4$
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\-3}$
#vektoren#orthogonaleaffinität#verschiebung

Aufgabe 4

Durch welche Abbildungen entsteht der Graph von $f$ aus dem Graphen der zugehörigen Grundfunktion? Untersuche $f$ auf folgende Eigenschaften:
  • Definitionsmenge $\mathbb{D}$
  • Wertemenge $\mathbb{W}$
  • Monotonie
  • Asymptoten
b)
$f:\, y = -1,5^x $
d)
$f:\, y = 2\cdot 3^{x+2}+1,5 $
f)
$f:\, y = -0,3\cdot 10^{x-4} +3 $
#asymptote#wertebereich#definitionsbereich#monotonie

Aufgabe 5

Gegeben sind jeweils folgende Graphen:
  • Der Graph einer Exponentialfunktion $i: \, y = a^x$ (grün).
  • Der Graph von $i_1$ (blau) entsteht durch Parallelverschiebung des Graphen von $i$.
  • Der Graph von $i_2$ (rot) entsteht durch das Abbilden des Graphen von $i_1$ durch eine orthogonale Affinität.
Gib mögliche Funktionsgleichungen für $i$, $i_1$ und $i_2$ an.
b)
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 3: Funktionsgraphen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 3: Funktionsgraphen
d)
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 5: Funktionsgraphen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 5: Funktionsgraphen
#verschiebung#orthogonaleaffinität
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
(1)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Um beide Graphen zu zeichnen, lege eine Wertetabelle an. Anschließend kannst du die jeweiligen Wertepaare als Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem abbilden und die beiden Graphen skizzieren.
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y=2^x$$0,25$$0,5$$1$$2$$4$
$y = -2^x$$-0,25$$-0,5$$-1$$-2$$-4$
$x$$y = 2^x$$y = -2^x$
$-2$$0,25$$-0,25$
$-1$$0,5$$-0,5$
$0$$1$$-1$
$1$$2$$-2$
$2$$4$$-4$
Damit erhältst du dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 1: $f:\, y = 2^x$ und $f_1: \,y = -2^x $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 1: $f:\, y = 2^x$ und $f_1: \,y = -2^x $
$\blacktriangleright$  Graphen vergleichen
Vergleiche beide Graphen miteinander. Du kannst dir zur Unterstützung auch die Funktionswerte deiner Wertetabelle ansehen.
Dir sollte auffallen, dass der Graph von $f_1$ die Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$-Achse ist. Bei den Funktionswerten kannst du das daran erkennen, dass $f_1(x)= -f(x)$ ist.
Diese Spiegelung entsteht durch das negative Vorzeichen vor dem Funktionsterm von $f_1$.
Allgemein gilt:
Der Graph einer Funktion der Form $y = -k\cdot a^x$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $y = k\cdot a^x$ an der $x$-Achse.
(2)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Um beide Graphen zu zeichnen, lege eine Wertetabelle an. Anschließend kannst du die jeweiligen Wertepaare als Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem abbilden und die beiden Graphen skizzieren.
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y=2^x$$0,25$$0,5$$1$$2$$4$
$y = 0,8\cdot 2^x$$0,1$$0,4$$0,8$$1,6$$3,2$
$x$$y = 2^x$$y = -2^x$
$-2$$0,25$$0,1$
$-1$$0,5$$0,4$
$0$$1$$0,8$
$1$$2$$1,6$
$2$$4$$3,2$
Damit erhältst du dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 2: $f:\, y = 2^x$ und $f_2: \,y = 0,8\cdot 2^x $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 2: $f:\, y = 2^x$ und $f_2: \,y = 0,8\cdot 2^x $
$\blacktriangleright$  Graphen vergleichen
Vergleiche beide Graphen miteinander. Du kannst dir zur Unterstützung auch die Funktionswerte deiner Wertetabelle ansehen.
Dir sollte auffallen, dass der Graph von $f_2$ zwar vermutlich dieselbe Asymptote besitzt, aber langsamer ansteigt als der Graph von $f$. Der Graph ist also im Vergleich zu dem von $f$ gestaucht.
Allgemein gilt:
Der Graph einer Funktion der Form $y = k\cdot a^x$ mit $0<k < 1$ entsteht durch Stauchung des Graphen von $y = a^x$ um den Faktor $k$.
Der Graph von $f$ wurde also durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsfaktor $k$ abgebildet. Dadurch entsteht der Graph von $f_2$.
(3)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Um beide Graphen zu zeichnen, lege eine Wertetabelle an. Anschließend kannst du die jeweiligen Wertepaare als Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem abbilden und die beiden Graphen skizzieren.
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y=2^x$$0,25$$0,5$$1$$2$$4$
$y = 2\cdot2^x$$0,5$$1$$2$$4$$8$
$x$$y = 2^x$$y = 2\cdot2^x$
$-2$$0,25$$0,5$
$-1$$0,5$$1$
$0$$1$$2$
$1$$2$$4$
$2$$4$$8$
Damit erhältst du dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 3: $f:\, y = 2^x$ und $f_3: \,y = 2\cdot2^x $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 3: $f:\, y = 2^x$ und $f_3: \,y = 2\cdot2^x $
$\blacktriangleright$  Graphen vergleichen
Vergleiche beide Graphen miteinander. Du kannst dir zur Unterstützung auch die Funktionswerte deiner Wertetabelle ansehen.
Dir sollte auffallen, dass der Graph von $f_3$ im Vergleich zum Graphen von $f$ schneller steigt und trotzdem vermutlich die gleiche Asymptote besitzt. Der Graph ist also im Vergleich zu dem von $f$ gestreckt.
Allgemein gilt:
Der Graph einer Funktion der Form $y = k\cdot a^x$ mit $1<k$ entsteht durch Stauchung des Graphen von $y = a^x$ um den Faktor $k$. Kommt dann noch ein negatives Vorzeichen dazu, ist also $k< -1$, wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
Der Graph von $f$ wurde also durch orthogonale Affinität mit dem Affinitätsfaktor $k$ abgebildet. Dadurch entsteht der Graph von $f_3$.
(4)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Um beide Graphen zu zeichnen, lege eine Wertetabelle an. Anschließend kannst du die jeweiligen Wertepaare als Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem abbilden und die beiden Graphen skizzieren.
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y=2^x$$0,25$$0,5$$1$$2$$4$
$y = 2^{x-1}$$0,125$$0,25$$0,5$$1$$2$
$x$$y = 2^x$$y = 2^{x-1}$
$-2$$0,25$$0,125$
$-1$$0,5$$0,25$
$0$$1$$0,5$
$1$$2$$1$
$2$$4$$2$
Damit erhältst du dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 4: $f:\, y = 2^x$ und $f_4: \,y = 2^{x-1} $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 4: $f:\, y = 2^x$ und $f_4: \,y = 2^{x-1} $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 5: $f:\, y = 2^x$ und $f_4: \,y = 2^{x-1} $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 5: $f:\, y = 2^x$ und $f_4: \,y = 2^{x-1} $
Allgemein gilt:
Der Graph einer Funktion der Form $y = a^{x-b}$ entsteht durch Verschiebung des Graphen von $y =a^x$ um $b$ Einheiten entlang der $x$-Achse in positiver Richtung. Diese Verschiebung kann durch den Vektor $\overrightarrow{v} = \scriptsize{\pmatrix{b\\0}}$ dargestellt werden:
$y = a^x \overset{\scriptsize{\overrightarrow{v}}}\longmapsto y = a^{x-b}$
(5)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Um beide Graphen zu zeichnen, lege eine Wertetabelle an. Anschließend kannst du die jeweiligen Wertepaare als Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem abbilden und die beiden Graphen skizzieren.
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y=2^x$$0,25$$0,5$$1$$2$$4$
$y = 2^x-2$$-1,75$$-1,5$$-1$$0$$2$
$x$$y = 2^x$$y =2^x-2$
$-2$$0,25$$-1,75$
$-1$$0,5$$-1,5$
$0$$1$$-1$
$1$$2$$0$
$2$$4$$2$
Damit erhältst du dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 6: $f:\, y = 2^x$ und $f_5: \,y = 2^x-2 $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 6: $f:\, y = 2^x$ und $f_5: \,y = 2^x-2 $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 7: $f:\, y = 2^x$ und $f_5: \,y = 2^x-2 $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 7: $f:\, y = 2^x$ und $f_5: \,y = 2^x-2 $
Allgemein gilt:
Der Graph einer Funktion der Form $y = a^x+c$ entsteht durch Verschiebung des Graphen von $y = a^x$ um $c$ Einheiten entlang der $y$-Achse. Diese Verschiebung kann durch den Vektor $\overrightarrow{v} = \scriptsize{\pmatrix{0\\c}}$ dargestellt werden:
$y = a^x \overset{\scriptsize{\overrightarrow{v}}}\longmapsto y = a^{x}+c$
Die waagerechte Asymptote besitzt dann die Gleichung $y = c$.
(6)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Um beide Graphen zu zeichnen, lege eine Wertetabelle an. Anschließend kannst du die jeweiligen Wertepaare als Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem abbilden und die beiden Graphen skizzieren.
Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$y=2^x$$0,25$$0,5$$1$$2$$4$
$y = 2^{x+1}-3$$-2,5$$-2$$-1$$1$$5$
$x$$y = 2^x$$y = 2^{x+1}-3$
$-2$$0,25$$-2,5$
$-1$$0,5$$-2$
$0$$1$$-1$
$1$$2$$1$
$2$$4$$5$
Damit erhältst du dann folgende Abbildung:
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 8: $f:\, y = 2^x$ und $f_6: \, y = 2^{x+1}-3 $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 8: $f:\, y = 2^x$ und $f_6: \,y = 2^{x+1}-3 $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 9: $f:\, y = 2^x$ und $f_6: \, y = 2^{x+1}-3 $
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 9: $f:\, y = 2^x$ und $f_6: \,y = 2^{x+1}-3 $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben, wenn erst $k$ und dann $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ angewendet wird
Die ursprüngliche Funktionsgleichung lautet $g: \, y = 1,5^x$. Bildest du den Graph einer Funktion $f: \, y = f(x)$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k$ ab, erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$f':\, y = k\cdot f(x)$
$f':\, y = k\cdot f(x)$
Du musst also den ursprünglichen Funktionsterm mit $k$ multiplizieren:
$g'_1:\, y = 2\cdot 1,5^x $
Eine Verschiebung des Graphen von $f$ mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ wirkt sich auf die Funktionsgleichung $f:\, y = f(x)$ wie folgt aus:
$f': \, y = f(x-b)+c$
$f': \, y = f(x-b)+c$
Du erhältst damit folgende Funktion für den Bildgraphen:
$g': \, y = 2\cdot 1,5^{x-1} - 2$
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben, wenn erst $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ und dann $k$ angewendet wird
Nun sollst du die Reihenfolge der Abbildungen vertauschen. Gehe dazu wie oben vor, aber beginne mit der Verschiebung mit $\overrightarrow{v}$.
Die Gleichung des mit $\overrightarrow{v}$ verschobenen Bildgraphen lautet:
$g''_1: \, y = 1,5^{x-1}-2$
Für die Abbilung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = 2$, musst du nun den neuen Funktionsterm des bereits verschobenen Graphen mit $k$ multiplizieren:
$\begin{array}[t]{rll} g'': \, y &=& 2\cdot \left(1,5^{x-1}-2\right) \\[5pt] &=&2\cdot 1,5^{x-1}-4 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Ergebnisse vergleichen
Betrachtest du die Ergebnisse, sollte dir auffallen, dass die verschiedenen Reihenfolgen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. In Aufgabenstellungen ist es daher immer wichtig, die geforderte Reihenfolge der Abbildungen zu beachten.
Insgesamt kannst du feststellen, dass es einen Unterschied macht, ob du den Graphen einer Funktion zuerst verschiebst und anschließend streckst oder stauchst oder andersherum.
c)
$\blacktriangleright$  Funktion auf Eigenschaften untersuchen
Vergleiche die Funktion mit der zugehörigen Grundfunktion $f:\, y = 3^x$ und versuche aus dieser die entsprechenden Eigenschaften abzuleiten.
  • Die Definitionsmenge einer Exponentialfunktion der Form $y = k\cdot a^{x-b} +c$ ist immer die gesamte Menge der reellen Zahlen, da jede beliebige Zahl für $x$ eingesetzt werden kann. Also gilt auch hier:
    $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • Die Wertemenge jeder Grundfunktion $y = a^x$ ist immer die Menge der positiven reellen Zahlen. Die Abbildung durch orthogonale Affinität verändert daran nichts, solang der Faktor $k$ positiv ist. Ist $k$ negativ, ändert sich die Wertemenge in die Menge der negativen reellen Zahlen.
    Durch eine Verschiebung entlang der $x$-Achse ändert sich die Wertemenge ebenfalls nicht.
    Durch eine Verschiebung entlang der $y$-Achse verändert sich die Wertemenge. Für eine Funktion $f: \, y = k\cdot a^x + c$ gilt:
    • $k > 0$: $\mathbb{W}_f = \{y\in \mathbb{R} \mid y > c \}$
    • $k < 0$: $\mathbb{W}_f = \{y\in \mathbb{R} \mid y < c\}$
    Hier gilt also $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 8\}$.
  • Die Monotonie einer Funktion $f: \, y = k\cdot a^{x-b} +c$ hängt nur von $k$ und $a$ ab:
    • $k> 0$, $a > 1$: $f$ ist streng monoton steigend.
    • $k> 0$, $0 < a < 1$: $f$ ist streng monoton fallend.
    • $k< 0$, $a > 1$: $f$ ist streng monoton fallend.
    • $k< 0$, $0 < a < 1$: $f$ ist streng monoton steigend.
    In diesem Fall ist $k = 2 > 0$ und $a=3 >1$, also ist $h$ streng monoton steigend.
  • Eine Asymptote ist eine Funktion, der sich die betrachtete Funktion im Unendlichen annähert. Jede Exponentialfunktion der Form $y = k\cdot a^{x-b}+c$ besitzt eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y= c$. Ist $c = 0$ ist die Asymptote die $x$-Achse.
    Betrachtest du die Grundfunktion $y = 3^x$, so ist hier die Asymptote die $x$-Achse. Der Graph von $h$ wurde im Vergleich zum Graphen der Grundfunktion unter anderem entlang der $y$-Achse verschoben. Damit verschiebt sich auch die Asymptote.
    In diesem Fall ist $c = 8$, also besitzt $h$ die einzige Asymptote mit der Gleichung $y = 8$.
d)
$\blacktriangleright$  Mögliche Funktionsgleichung für $\boldsymbol{i}$ bestimmen
Bestimme zunächst eine mögliche Funktionsgleichung für den grünen Graphen. Diese soll die Form $i:\, y =a^x$ haben. Du musst also die Basis $a$ bestimmen. Lies dazu beispielsweise den Funktionswert $y$ an der Stelle $x=1$ ab.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& a^x&\quad \scriptsize \mid\; x=1; y =3 \\[5pt] 3&=& a^1 \\[5pt] 3&=& a \end{array}$
Also ist eine mögliche Funktionsgleichung des grünen Graphen $i: \, y = 3^x$.
$\blacktriangleright$  Mögliche Funktionsgleichung für $\boldsymbol{i_1}$ bestimmen
Der blaue Graph der Funktion $i_1$ entsteht durch Parallelverschiebung des Graphen von $i$. Vergleiche dazu beide Graphen miteinander. Dir sollte auffallen, dass $i_1$ eine andere waagerechte Asymptote besitzt als $i$. Der Graph muss also entlang der $y$-Achse verschoben sein. Daraus ergibt sich eine Funktionsgleichung der Form $i_1: \, y =3^x +c$. Die Asymptote von $i_1$ hat die Gleichung $y = -1$. Also ist $c = -1$ und damit:
$i_1: \, y =3^x -1$
Du kannst den Parameter $c$ auch an der Differenz der Funktionswerte ablesen. An der Stelle $x=1$ hat $i$ beispielsweise den Funktionswert $y_i = 3 $ und $i_1$ den Funktionswert $y_{i_1} = 2$. Die Differenz ist $c = -1$. Diese Methode kannst du nur dann verwenden, wenn du davon ausgehst, dass der Graph nur entlang der $y$-Achse, nicht aber entlang der $x$-Achse verschoben ist.
$\blacktriangleright$  Mögliche Funktionsgleichung für $\boldsymbol{i_2}$ bestimmen
Der rote Graph der Funktion $i_2$ entsteht aus dem von $i_1$ durch Abbildung mit einer orthogonalen Affinität mit dem Faktor $i$. Also hat die Funktionsgleichung die Form $i_2: \, y = k\cdot \left(3^x -1 \right)$.
Um $k$ zu bestimmen, kannst du den Funktionswert von $i_2$ beispielsweise an der Stelle $x = 1$ ablesen und in die Funktiosngleichung einsetzen und nach $k$ auflösen:
$\begin{array}[t]{lrll} i_2:& \, y&=& k\cdot \left( 3^x -1\right) &\quad \scriptsize \mid\; x =1; y =1\\[5pt] &1&=&k\cdot \left(3^1 -1\right) \\[5pt] &1&=& k\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] &0,5&=& k \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} 0,5&=& k \end{array}$
Also ist:
$\begin{array}[t]{lrll} i_2: &\, y&=& 0,5\cdot \left(3^x -1\right) \\[5pt] &&=&0,5\cdot 3^x-0,5 \end{array}$

Aufgabe 1

Der Graph einer Funktion wird durch eine orthogonale Affinität mit dem Faktor $k$ abgebildet, indem der Funktionsterm mit dem Faktor $k$ multipliziert wird. Multipliziere also jeweils den angegebenen Funktionsterm mit dem zugehörigen Faktor $k$ und achte darauf gegebenenfalls Klammern zu setzen.
Um den Verlauf des Graphen zu beschreiben, beachte die Verschiebungen, Streckungen/Stauchungen und die Vorzeichen innerhalb des Funktionsterms.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=2$ ergibt für $f(x)= 0,5^x$ folgende Gleichung für den Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& k\cdot f(x) \\[5pt] &=& 2\cdot 0,5^x\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\, y =2\cdot 0,5^x$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 0,5 < 1$ und dem Faktor $k= 2 > 0$. Der Graph ist also streng monoton fallend. Außerdem ist der Graph im Vergleich zu dem seiner Grundfunktion $y = 0,5^x$ nicht verschoben. Der Graph von $f'$ besitzt also genau wie der von $f$ die $x$-Achse als waagerechte Asymptote. Setzt du in die Funktionsgleichung $x=0$ ein, kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen. Dieser ändert sich durch die Abbildung durch orthogonale Affinität, da der Graph für $k>1$ gestreckt wird. Der Graph von $f'$ schneidet die $y$-Achse bei $y = 2\cdot 0,5^0 =2$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=0,5$ ergibt für $f(x)= 1,5^x$ folgende Gleichung für den Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& k\cdot f(x) \\[5pt] &=& 0,5\cdot 1,5^x\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\, y =0,5\cdot 1,5^x$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 1,5 > 1$ und dem Faktor $k= 0,5 > 0$. Der Graph ist also streng monoton steigend. Außerdem ist der Graph im Vergleich zu dem seiner Grundfunktion $y = 1,5^x$ nicht verschoben. Der Graph von $f'$ besitzt also genau wie der von $f$ die $x$-Achse als waagerechte Asymptote. Setzt du in die Funktionsgleichung $x=0$ ein, kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen. Dieser ändert sich durch die Abbildung durch orthogonale Affinität, da der Graph für $0<k<1$ gestaucht wird. Der Graph von $f'$ schneidet die $y$-Achse bei $y = 0,5\cdot 1,5^0 =0,5$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=5$ ergibt für $f(x)= 5^x+2$ folgende Gleichung für den Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& k\cdot f(x) \\[5pt] &=& 5\cdot\left(5^x+2\right)\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\, y =5\cdot 5^x + 10$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 5 > 1$ und dem Faktor $k= 5 > 0$. Der Graph ist also streng monoton steigend. Im Vergleich zum Graphen der Grundfunktion $y = 5^x$ ist der Graph von $f'$ um $10$ Einheiten entlang der $y$-Achse verschoben. Die waagerechte Asymptote ist demnach die Gerade zu $y = 10$. Setzt du in die Funktionsgleichung $x=0$ ein, kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen. Dieser ändert sich durch die Abbildung durch orthogonale Affinität, da der Graph für $-1<k<1$ gestaucht wird, und durch die Verschiebung. Der Graph von $f'$ schneidet die $y$-Achse bei $y = 5\cdot 5^0 +10 =15$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-2$ ergibt für $f(x)= 0,75^x$ folgende Gleichung für den Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& k\cdot f(x) \\[5pt] &=& -2\cdot 0,75^x\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\, y =-2\cdot 0,75^x$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 0,75 < 1$ und dem Faktor $k= -2 < 0$. Der Graph ist also streng monoton steigend. Im Vergleich zum Graphen der Grundfunktion $y = 0,75^x$ ist der Graph von $f'$ nicht verschoben. Die waagerechte Asymptote ist demnach ebenfalls die $x$-Achse. Setzt du in die Funktionsgleichung $x=0$ ein, kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen. Dieser ändert sich durch die Abbildung durch orthogonale Affinität, da der Graph für $k<-1$ gestreckt wird. Der Graph von $f'$ schneidet die $y$-Achse bei $y = -2\cdot 0,75^0 =-2$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-0,5$ ergibt für $f(x)= -0,3^x$ folgende Gleichung für den Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& k\cdot f(x) \\[5pt] &=& -0,5\cdot \left(-0,3^x\right)\\[5pt] &=& 0,5\cdot 0,3^x\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\, y =0,5\cdot 0,3^x$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 0,3 < 1$ und dem Faktor $ 0,5 > 0$. Der Graph ist also streng monoton fallend. Im Vergleich zum Graphen der Grundfunktion $y = 0,3^x$ ist der Graph von $f'$ nicht verschoben. Die waagerechte Asymptote ist demnach ebenfalls die $x$-Achse. Setzt du in die Funktionsgleichung $x=0$ ein, kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen. Dieser ändert sich durch die Abbildung durch orthogonale Affinität, da der Graph für $-1<k<1$ gestaucht wird. Der Graph von $f'$ schneidet die $y$-Achse bei $y = 0,5\cdot 3^0 =0,5$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-2$ ergibt für $f(x)= -2^x-4$ folgende Gleichung für den Bildgraphen:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& k\cdot f(x) \\[5pt] &=& -2\cdot \left(-2^x-4\right)\\[5pt] &=& 2\cdot 2^x+8\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\, y =2\cdot 2^x+8$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 2 > 1$ und dem Faktor $ 2 > 0$. Der Graph ist also streng monoton wachsend. Im Vergleich zum Graphen der Grundfunktion $y = 2^x$ ist der Graph von $f'$ um $8$ Einheiten entlang der $y$-Achse verschoben. Die waagerechte Asymptote ist demnach die Gerade zu $y = 8$. Setzt du in die Funktionsgleichung $x=0$ ein, kannst du den $y$-Achsenabschnitt bestimmen. Dieser ändert sich durch die Abbildung durch orthogonale Affinität, da der Graph für $-1<k<1$ gestaucht wird, und die Verschiebung. Der Graph von $f'$ schneidet die $y$-Achse bei $y = 2\cdot 2^0 +8=10$.

Aufgabe 2

Wird der Graph einer Funktion $f: \, y =f(x)$ durch Verschiebung mit einem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ abgebildet, entsteht die Funktionsgleichung des Bildgraphen wie folgt:
$f':\, y = f(x-b)+c $
$f':\, y = f(x-b)+c $
Du kannst also die Informationen aus der Aufgabenstellung in diese Formel einsetzen und erhältst die Funktionsgleichung des Bildgraphen. Beschreibe anschließend den Verlauf des Bildgraphen, indem du ihn beispielsweise vom Verlauf des Graphen einer Grundfunktion ableitest.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Der Graph von $f$ mit $f:\, y = 6^x$ wird mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{2\\6}$ durch Verschiebung abgebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& f(x-b)+c\\[5pt] &=& 6^{x-2} + 6 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet somit $f':\, y = 6^{x-2} + 6$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 6$, deren Graph entlang der $x$- und $y$-Achse verschoben ist. Wegen $a> 1$ ist $f'$ streng monoton steigend. Durch die Verschiebung ändert sich die Asymptote und der Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Die Gleichung der waagerechten Asymptote kannst du aus der Funktionsgleichung ablesen, sie ergibt sich aus der Verschiebung entlang der $y$-Achse, besitzt also die Gleichung $y = 6$.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ berechnest:
$f'(0) = 6^{0-2}+6 = \frac{217}{36}$
Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = \frac{217}{36}$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Der Graph von $f$ mit $f:\, y = 0,4^x$ wird mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{4\\0}$ durch Verschiebung abgebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& f(x-b)+c\\[5pt] &=& 0,4^{x-4} + 0 \\[5pt] &=& 0,4^{x-4} \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet somit $f':\, y = 0,4^{x-4}$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 0,4$, deren Graph entlang der $x$- und $y$-Achse verschoben ist. Wegen $a< 1$ ist $f'$ streng monoton fallend. Da der Graph zwar entlang der $x$-Achse, aber nicht entlang der $y$-Achse verschoben ist, ändert sich die Asymptote nicht, aber der $y$-Achsenabschnitt. Die $x$-Achse ist also die waagerechte Asymptote des Graphen von $f'$.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ berechnest:
$f'(0) = 0,4^{0-4} = \frac{625}{16}$
Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = \frac{625}{16}$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Der Graph von $f$ mit $f:\, y = -4^{x+1}$ wird mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-2\\5}$ durch Verschiebung abgebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& f(x-b)+c\\[5pt] &=& -4^{(x-(-2))+1} + 5 \\[5pt] &=& -4^{x+3}+5 \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y = -4^{x+3}+5 $
Die Gleichung des Bildgraphen lautet somit $f':\, y = -4^{x+3}+5$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 4$, deren Graph an der $x$-Achse gespiegelt und entlang der $x$- und $y$-Achse verschoben ist. Wegen $a> 1$ und dem negativen Vorzeichen ist $f'$ streng monoton fallend. Durch die Verschiebung ändert sich die Asymptote und der Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Die Gleichung der waagerechten Asymptote kannst du aus der Funktionsgleichung ablesen, sie ergibt sich aus der Verschiebung entlang der $y$-Achse, besitzt also die Gleichung $y = 5$.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ berechnest:
$f'(0) = -4^{0+3}+5 = -59$
Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = -59$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Der Graph von $f$ mit $f:\, y = -3^{x+2}-4$ wird mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\0,5}$ durch Verschiebung abgebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& f(x-b)+c\\[5pt] &=& -3^{(x-3)+1} -4 + 0,5 \\[5pt] &=& -3^{x-2}-3,5 \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y = -3^{x-2}-3,5 $
Die Gleichung des Bildgraphen lautet somit $f':\, y = -3^{x-2}-3,5 $.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 3$, deren Graph an der $x$-Achse gespiegelt und entlang der $x$- und $y$-Achse verschoben ist. Wegen $a> 1$ und dem negativen Vorzeichen ist $f'$ streng monoton fallend. Durch die Verschiebung ändert sich die Asymptote und der Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Die Gleichung der waagerechten Asymptote kannst du aus der Funktionsgleichung ablesen, sie ergibt sich aus der Verschiebung entlang der $y$-Achse, besitzt also die Gleichung $y = -3,5$.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ berechnest:
$f'(0) = -3^{0-2}-3,5 = -\frac{65}{18} $
Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = -\frac{65}{18}$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Der Graph von $f$ mit $f:\, y = 2^{x}+3$ wird mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\-3}$ durch Verschiebung abgebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& f(x-b)+c\\[5pt] &=& 2^{x-1} +3 -3 \\[5pt] &=& 2^{x-1}\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet somit $f':\, y = 2^{x-1} $.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 2$, deren Graph entlang der $x$-Achse verschoben ist. Wegen $a> 1$ ist $f'$ streng monoton steigend. Durch die Verschiebung entlang der $x$-Achse ändert sich die Asymptote nicht, aber der Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Die waagerechte Asymptote ist also weiterhin die $x$-Achse.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ berechnest:
$f'(0) = 2^{0-1} = \frac{1}{2} $
Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = \frac{1}{2}$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Der Graph von $f$ mit $f:\, y = -3\cdot 2^{x-4}-2$ wird mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-5\\2}$ durch Verschiebung abgebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y &=& f(x-b)+c\\[5pt] &=& -3\cdot 2^{(x-(-5))-4}-2+2\\[5pt] &=& -3\cdot 2^{x+1}\\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y = -3\cdot 2^{x+1}$
Die Gleichung des Bildgraphen lautet somit $f':\, y = -3\cdot 2^{x+1} $.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Bildgraphen beschreiben
$f'$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $a = 2$, deren Graph gestreckt, an der $x$-Achse gespiegelt und entlang der $x$-Achse verschoben ist. Wegen $a> 1$ und dem negativen Vorzeichen ist $f'$ streng monoton fallend. Durch die Verschiebung entlang der $x$-Achse ändert sich die Asymptote nicht, aber der Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Die waagerechte Asymptote ist also weiterhin die $x$-Achse.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ berechnest:
$f'(0) = -3\cdot 2^{0+1} = -6 $
Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = -6$.

Aufgabe 3

Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k$ ab. Die Gleichung der Funktion $f_1$ des Bildgraphen ergibt sich aus der Funktion $f:\, y = f(x)$ wie folgt:
$f_1: \, y = k\cdot f(x)$
$f_1: \, y = k\cdot f(x)$
Anschließend sollst du auf den Graphen von $f_1$ die Abbildung durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ anwenden. Die Gleichung der Funktion $f'$ des Bildgraphen ergibt sich aus der Funktion $f_1:\, y = f_1(x)$ wie folgt:
$f': \, y = f_1(x-b) +c$
$f': \, y = f_1(x-b) +c$
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität und anschließend die Verschiebung aus.
1. Schritt: Orthogonale Affinität anwenden
Der Graph von $f:\, y = 1,5^x$ soll mit Hilfe der orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k= -3$ abgebildet werden. Setze diese Informationen in die Formel von oben ein, und bestimme so die zugehörige Funktionsgleichung des Bildgraphen von $f_1$.
$\begin{array}[t]{rll} f_1: \, y &=&k\cdot f(x) \\[5pt] &=& -3\cdot 1,5^x \end{array}$
2. Schritt: Verschiebung ausführen
Bilde nun den Graphen von $f_1:\, y = -3\cdot 1,5^x$ durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-2\\1}$ ab, indem du den Funtionsterm und die Einträge des Vektors in die zweite Formel von oben einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y&=& f_1(x-b) +c \\[5pt] &=& -3\cdot 1,5^{x-(-2)} +1 \\[5pt] &=& -3\cdot 1,5^{x+2} +1 \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y=-3\cdot 1,5^{x+2} +1 $
Die Gleichung des Bildgraphen nach Anwendung beider Abbildungen lautet $f': \, y = -3\cdot 1,5^{x+2} +1$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität und anschließend die Verschiebung aus.
1. Schritt: Orthogonale Affinität anwenden
Der Graph von $f:\, y = -7^x$ soll mit Hilfe der orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k= -2$ abgebildet werden. Setze diese Informationen in die Formel von oben ein, und bestimme so die zugehörige Funktionsgleichung des Bildgraphen von $f_1$.
$\begin{array}[t]{rll} f_1: \, y &=&k\cdot f(x) \\[5pt] &=& -2\cdot \left(-7^x\right)\\[5pt] &=& 2\cdot 7^x\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Verschiebung ausführen
Bilde nun den Graphen von $f_1:\, y = 2\cdot 7^x$ durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\-4}$ ab, indem du den Funtionsterm und die Einträge des Vektors in die zweite Formel von oben einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y&=& f_1(x-b) +c \\[5pt] &=& 2\cdot 7^{x-1}-4 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung des Bildgraphen nach Anwendung beider Abbildungen lautet $f': \, y =2\cdot 7^{x-1}-4 $.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität und anschließend die Verschiebung aus.
1. Schritt: Orthogonale Affinität anwenden
Der Graph von $f:\, y = -4^x-5$ soll mit Hilfe der orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k= 4$ abgebildet werden. Setze diese Informationen in die Formel von oben ein, und bestimme so die zugehörige Funktionsgleichung des Bildgraphen von $f_1$.
$\begin{array}[t]{rll} f_1: \, y &=&k\cdot f(x) \\[5pt] &=& 4\cdot \left(-4^x-5\right)\\[5pt] &=& -4\cdot4^x-20\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Verschiebung ausführen
Bilde nun den Graphen von $f_1:\, y =-4\cdot4^x-20$ durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\5}$ ab, indem du den Funtionsterm und die Einträge des Vektors in die zweite Formel von oben einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y&=& f_1(x-b) +c \\[5pt] &=& -4\cdot4^{x-3}-20 +5 \\[5pt] &=& -4\cdot4^{x-3}-15 \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y= -4\cdot4^{x-3}-15 $
Die Gleichung des Bildgraphen nach Anwendung beider Abbildungen lautet $f': \, y =-4\cdot4^{x-3}-15 $.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität und anschließend die Verschiebung aus.
1. Schritt: Orthogonale Affinität anwenden
Der Graph von $f:\, y = 6,5^{x-2}$ soll mit Hilfe der orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k= 3$ abgebildet werden. Setze diese Informationen in die Formel von oben ein, und bestimme so die zugehörige Funktionsgleichung des Bildgraphen von $f_1$.
$\begin{array}[t]{rll} f_1: \, y &=&k\cdot f(x) \\[5pt] &=& 3\cdot 6,5^{x-2}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Verschiebung ausführen
Bilde nun den Graphen von $f_1:\, y =3\cdot 6,5^{x-2}$ durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{0\\0}$ ab, indem du den Funtionsterm und die Einträge des Vektors in die zweite Formel von oben einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y&=& f_1(x-b) +c \\[5pt] &=& 3\cdot 6,5^{(x-0)-2}-0 \\[5pt] &=& 3\cdot 6,5^{x-2} \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y= 3\cdot 6,5^{x-2} $
Die Gleichung des Bildgraphen nach Anwendung beider Abbildungen lautet $f': \, y =3\cdot 6,5^{x-2} $.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität und anschließend die Verschiebung aus.
1. Schritt: Orthogonale Affinität anwenden
Der Graph von $f:\, y = -\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} -1$ soll mit Hilfe der orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k= -3$ abgebildet werden. Setze diese Informationen in die Formel von oben ein, und bestimme so die zugehörige Funktionsgleichung des Bildgraphen von $f_1$.
$\begin{array}[t]{rll} f_1: \, y &=&k\cdot f(x) \\[5pt] &=& \left(-3\right)\cdot \left( -\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} -1\right)\\[5pt] &=& 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} +3\\[5pt] \end{array}$
$ f_1: \, y = 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} +3$
2. Schritt: Verschiebung ausführen
Bilde nun den Graphen von $f_1:\, y =3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} +3$ durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\1}$ ab, indem du den Funtionsterm und die Einträge des Vektors in die zweite Formel von oben einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y&=& f_1(x-b) +c \\[5pt] &=& 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{(x-1)-1} +3+1 \\[5pt] &=& 3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} +4 \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y=3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} +4 $
Die Gleichung des Bildgraphen nach Anwendung beider Abbildungen lautet $f': \, y =3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} +4$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen angeben
Führe zunächst die Abbildung durch orthogonale Affinität und anschließend die Verschiebung aus.
1. Schritt: Orthogonale Affinität anwenden
Der Graph von $f:\, y = 4,5^{x-3}+3$ soll mit Hilfe der orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k= -4$ abgebildet werden. Setze diese Informationen in die Formel von oben ein, und bestimme so die zugehörige Funktionsgleichung des Bildgraphen von $f_1$.
$\begin{array}[t]{rll} f_1: \, y &=&k\cdot f(x) \\[5pt] &=& \left(-4\right)\cdot \left( 4,5^{x-3}+3\right)\\[5pt] &=& -4\cdot 4,5^{x-3} - 12\\[5pt] \end{array}$
$ f_1: \, y = -4\cdot 4,5^{x-3} - 12$
2. Schritt: Verschiebung ausführen
Bilde nun den Graphen von $f_1:\, y = -4\cdot 4,5^{x-3} - 12$ durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\-3}$ ab, indem du den Funtionsterm und die Einträge des Vektors in die zweite Formel von oben einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f':\, y&=& f_1(x-b) +c \\[5pt] &=& -4\cdot 4,5^{(x-3)-3} - 12 -3 \\[5pt] &=& -4\cdot 4,5^{x-6} - 15 \\[5pt] \end{array}$
$ f':\, y=-4\cdot 4,5^{x-6} - 15 $
Die Gleichung des Bildgraphen nach Anwendung beider Abbildungen lautet $f': \, y =-4\cdot 4,5^{x-6} - 15$.

Aufgabe 4

Bestimme für jede Funktion die zugehörige Grundfunktion der Form $y =a^x$ und vergleiche beide Funktionsterme miteinander. Leite daraus die Abbildungen ab, durch welche der Graph der Grundfunktion auf den von $f$ abgebildet wird.
Aus folgenden Regeln kannst du die Eigenschaften von $f:\, y = k\cdot a^{x-b}+c$ bestimmen:
Es kann jede reelle Zahl für $x$ eingesetzt werden. Somit ist die Definitionsmenge die gesamte Menge der reellen Zahlen.
Die Wertemenge einer Exponentialfunktion der Form $y = k\cdot a^{x-b} +c$ ergibt sich immer wie folgt:
  • $k > 0$: $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y > c\}$
  • $k< 0$: $\mathbb{W} = \{y\in \mathbb{R} \mid y < c\}$
Die Monotonie hängt vom Faktor $k$ und der Basis $a$ wie folgt ab:
  • $k > 0$, $0 < a <1 $: $f$ ist streng monoton fallend.
  • $k > 0$, $1 < a $: $f$ ist streng monoton steigend.
  • $k < 0$, $0 < a <1 $: $f$ ist streng monoton steigend.
  • $k < 0$, $1 < a $: $f$ ist streng monoton fallend.
Die einzige Asymptote ist eine waagerechte Asymptote, und zwar die Gerade mit der Gleichung $y = c$.
a)
$\blacktriangleright$  Abbildungen angeben
Gegeben ist $f:\, y = 3\cdot 1,2^x$. Die zugehörige Grundfunktion ist $g: \, y = 1,2^x$. Der einzige Unterschied ist also der Faktor $3$. Dieser bildet den Graphen der Grundfunktion $g$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=3$ ab. Da $k > 1$ ist, wird der Graph der Grundfunktion entlang der $y$-Achse gestreckt. Dadurch entsteht der Graph von $f$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Leite die Eigenschaften aus obigen Regeln ab.
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y> 0 \} $ $= \mathbb{R}^+$
  • Wegen $a= 1,2 > 1$ und $k= 3>0$ ist $f$ streng monoton steigend.
  • Asymptote: $y = 0$, also die $x$-Achse.
b)
$\blacktriangleright$  Abbildungen angeben
Gegeben ist $f:\, y = -1,5^x$. Die zugehörige Grundfunktion ist $g: \, y = 1,5^x$. Der einzige Unterschied ist also der Faktor $-1$. Dieser bildet den Graphen der Grundfunktion $g$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-1$ ab. Da $k = -1$ ist, wird der Graph der Grundfunktion dadurch an der $x$-Achse gespiegelt. Dadurch entsteht der Graph von $f$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Leite die Eigenschaften aus obigen Regeln ab.
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y< 0 \} $ $= \mathbb{R}^-$
  • Wegen $a= 1,5 > 1$ und $k= -1<0$ ist $f$ streng monoton fallend.
  • Asymptote: $y = 0$, also die $x$-Achse.
c)
$\blacktriangleright$  Abbildungen angeben
Gegeben ist $f:\, y = 10\cdot 4,3^x +3$. Die zugehörige Grundfunktion ist $g: \, y = 4,3^x$. Der Unterschied hier ist sowohl der Faktor $10$, als auch der Summand $3$. Der Faktor bildet den Graphen der Grundfunktion $g$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=3$ ab. Da $k = 3 > 1$ ist, wird der Graph der Grundfunktion dadurch entlang der $y$-Achse gestreckt.
Durch den Summanden $c = 3$, wird der Graph zusätzlich zur Streckung entlang der $y$-Achse verschoben.
Dadurch entsteht insgesamt der Graph von $f$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Leite die Eigenschaften aus obigen Regeln ab.
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y> 3 \} $
  • Wegen $a= 4,3 > 1$ und $k= 10>0$ ist $f$ streng monoton steigend.
  • Asymptote: $y = c = 3$
d)
$\blacktriangleright$  Abbildungen angeben
Gegeben ist $f:\, y = 2\cdot 3^{x+2} +1,5$. Die zugehörige Grundfunktion ist $g: \, y = 3^x$. Die Unterschiede hier sind der Faktor $2$, der Summand $2$ im Exponenten und der Summand $1,5$. Der Faktor bildet den Graphen der Grundfunktion $g$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=2$ ab. Da $k = 2 > 1$ ist, wird der Graph der Grundfunktion dadurch entlang der $y$-Achse gestreckt.
Durch den Summanden im Exponenten $b = -2$, wird der Graph zusätzlich entlang der $x$-Achse in negative Richtung verschoben. Durch den Summanden $c = 1,5$ wird der Graph anschließend entlang der $y$-Achse in positiver Richtung verschoben.
Dadurch entsteht insgesamt der Graph von $f$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Leite die Eigenschaften aus obigen Regeln ab.
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y> 1,5 \} $
  • Wegen $a= 3 > 1$ und $k= 2>0$ ist $f$ streng monoton steigend.
  • Asymptote: $y = c = 1,5$
e)
$\blacktriangleright$  Abbildungen angeben
Gegeben ist $f:\, y = -0,5\cdot 4^{x+2} -0,5$. Die zugehörige Grundfunktion ist $g: \, y = 4^x$. Die Unterschiede hier sind der Faktor $-0,5$, der Summand $2$ im Exponenten und der Summand $-0,5$. Der Faktor bildet den Graphen der Grundfunktion $g$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-0,5$ ab. Da $ -1< -0,5 < 0$ ist, wird der Graph der Grundfunktion dadurch entlang der $y$-Achse gestaucht und an der $x$-Achse gespiegelt.
Durch den Summanden im Exponenten $b = -2$, wird der Graph zusätzlich entlang der $x$-Achse in negativer Richtung verschoben. Durch den Summanden $c = -0,5$ wird der Graph anschließend entlang der $y$-Achse in negativer Richtung verschoben.
Dadurch entsteht insgesamt der Graph von $f$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Leite die Eigenschaften aus obigen Regeln ab.
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y< -0,5 \} $
  • Wegen $a= 4 > 1$ und $k= -0,5 < 0$ ist $f$ streng monoton fallend.
  • Asymptote: $y = c = -0,5$
f)
$\blacktriangleright$  Abbildungen angeben
Gegeben ist $f:\, y = -0,3\cdot 10^{x-4} + 3$. Die zugehörige Grundfunktion ist $g: \, y = 10^x$. Die Unterschiede hier sind der Faktor $-0,3$, der Summand $-4$ im Exponenten und der Summand $3$. Der Faktor bildet den Graphen der Grundfunktion $g$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-0,3$ ab. Da $ -1< -0,3 < 0$ ist, wird der Graph der Grundfunktion dadurch entlang der $y$-Achse gestaucht und an der $x$-Achse gespiegelt.
Durch den Summanden im Exponenten $b = 4$, wird der Graph zusätzlich entlang der $x$-Achse in positiver Richtung verschoben. Durch den Summanden $c = 3$ wird der Graph anschließend entlang der $y$-Achse in positiver Richtung verschoben.
Dadurch entsteht insgesamt der Graph von $f$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften untersuchen
Leite die Eigenschaften aus obigen Regeln ab.
  • $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
  • $\mathbb{W} = \{y \in \mathbb{R} \mid y< 3 \} $
  • Wegen $a= 10 > 1$ und $k= -0,3 < 0$ ist $f$ streng monoton fallend.
  • Asymptote: $y = c = 3$

Aufgabe 5

Bestimme zuerst die Funktionsgleichung von $i:\, y = a^x$, indem du den grünen Graphen betrachtest.
Lies also die Koordinaten eines Punkts auf dem Graphen ab und setze diese in die Funktionsgleichung ein. Du kannst die so entstandene Gleichung dann nach $a$ auflösen. Am einfachsten kannst du die Gleichung lösen, wenn du den Punkt mit der $x$-Koordinate $x =1$ verwendest.
Der Graph von $i_1$ entsteht durch Parallelverschiebung des Graphen von $i$. Die Funktionsgleichung hat daher die Form $i_1:\, y = a^{x-b}+c$, wobei $a$ bereits bekannt ist.
  • $c$ gibt die Verschiebung entlang der $y$-Achse an. Diese kannst du daher anhand der Asymptote bestimmen, die du aus der Abbildung ablesen kannst.
  • $b$ gibt die Verschiebung entlang der $x$-Achse an. Diese kannst du entweder der Abbildung entnehmen oder du kannst die Koordinaten eines Punkt des Graphen von $i_1$ ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Diese Gleichung kannst du nach $b$ lösen.
Der Graph von $i_2$ entsteht durch Abbildung mit einer orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k$ von $i_1$. Die Funktionsgleichung hat also die Form $i_2:\, y = k\cdot \left( a^{x-b} +c\right)$, wobei $a$, $b$ und $c$ bereits bekannt sind.
Der Faktor $k$ spiegelt bzw. streckt oder staucht den Graphen von $i_1$. Du kannst ihn bestimmen, indem du die Koordinaten eines Punkts auf dem Graphen von $i_2$ abliest, in die Funktionsgleichung einsetzt und diese Gleichung nach $k$ löst.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i}$ bestimmen
Aus der Abbildung kannst du beispielsweise die Koordinaten von $P(1\mid 4)$ ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} i: & y&=& a^x&\quad \scriptsize P(1\mid 4) \\[5pt] &4&=&a^1 \\[5pt] &4&=&a \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung von $i$ lautet demnach $i:\, y = 4^x$.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_1}$ bestimmen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 10: Verschiebung um eine Längeneinheit
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 10: Verschiebung um eine Längeneinheit
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_2}$ bestimmen
Auf dem Graphen von $i_2$ liegt beispielsweise der Punkt $Q(1\mid 6)$.
$\begin{array}[t]{rll} i_2:& y&=& k\cdot \left(4^x-1\right) &\quad \scriptsize Q(1\mid 6) \\[5pt] &6&=& k\cdot \left(4^1-1\right) \\[5pt] &6&=& k\cdot 3&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] &2&=& k \end{array}$
$k =2$
$\begin{array}[t]{rll} i_2: &y &=& 2\cdot \left( 4^x-1 \right) \\[5pt] &y&=& 2\cdot 4^x -2 \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also $i_2: \, y= 2\cdot 4^x-2$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i}$ bestimmen
Aus der Abbildung kannst du beispielsweise die Koordinaten von $P(1\mid 1,5)$ ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} i: & y&=& a^x&\quad \scriptsize P(1\mid 1,5) \\[5pt] &1,5&=&a^1 \\[5pt] &1,5&=&a \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung von $i$ lautet demnach $i:\, y = 1,5^x$.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_1}$ bestimmen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 11: Verschiebung um $4$ Längeneinheiten
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 11: Verschiebung um $4$ Längeneinheiten
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_2}$ bestimmen
Auf dem Graphen von $i_2$ liegt beispielsweise der Punkt $Q(0\mid 2,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} i_2:& y&=& k\cdot 1,5^{x+4} &\quad \scriptsize Q(0\mid 2,5) \\[5pt] &2,5&=& k\cdot 1,5^{0+4} \\[5pt] &2,5&=& k\cdot 1,5^{4}&\quad \scriptsize \mid\; :1,5^4\\[5pt] &\frac{40}{81}&=& k \end{array}$
$ k = \frac{40}{81} $
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also $i_2: \, y= \frac{40}{81}\cdot 1,5^{x+4}$.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i}$ bestimmen
Aus der Abbildung kannst du beispielsweise die Koordinaten von $P(1\mid 0,5)$ ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} i: & y&=& a^x&\quad \scriptsize P(1\mid 0,5) \\[5pt] &0,5&=&a^1 \\[5pt] &0,5&=&a \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung von $i$ lautet demnach $i:\, y = 0,5^x$.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_1}$ bestimmen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 12: Verschiebung um eine Längeneinheit
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 12: Verschiebung um eine Längeneinheit
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_2}$ bestimmen
Auf dem Graphen von $i_2$ liegt beispielsweise der Punkt $Q(-1\mid 0,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} i_2:& y&=& k\cdot \left(0,5^{x}-1\right) &\quad \scriptsize Q(-1\mid 0,5) \\[5pt] &0,5&=& k\cdot\left(0,5^{-1}-1\right) \\[5pt] &0,5&=& k \end{array}$
$ k = 0,5 $
$\begin{array}[t]{rll} i_2:& y &=& 0,5\cdot \left(0,5^{x}-1\right) \\[5pt] &y&=& 0,5\cdot 0,5^{x}-0,5 \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also
$i_2: \, y= 0,5\cdot 0,5^{x}-0,5$
$i_2: \, y= 0,5\cdot 0,5^{x}-0,5$
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i}$ bestimmen
Aus der Abbildung kannst du beispielsweise die Koordinaten von $P(1\mid 2)$ ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} i: & y&=& a^x&\quad \scriptsize P(1\mid 2) \\[5pt] &2&=&a^1 \\[5pt] &2&=&a \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung von $i$ lautet demnach $i:\, y = 2^x$.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_1}$ bestimmen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 13: Verschiebung in beide Richtungen
Exponentialfunktion: Orthogonale Affinität und Verschiebung
Abb. 13: Verschiebung in beide Richtungen
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{i_2}$ bestimmen
Auf dem Graphen von $i_2$ liegt beispielsweise der Punkt $Q(-1\mid 3)$.
$\begin{array}[t]{rll} i_2:& y&=& k\cdot \left( 2^{x+1}-4\right) &\quad \scriptsize Q(-1\mid 3) \\[5pt] &3&=& k\cdot\left( 2^{-1+1}-4\right) \\[5pt] &3&=& k\cdot (-3)&\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] &-1&=& k \end{array}$
$ k = -1 $
$\begin{array}[t]{rll} i_2:& y &=& -1\cdot \left(2^{x+1}-4\right) \\[5pt] &y&=& -2^{x+1}+4 \end{array}$
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet also $i_2: \, y= -2^{x+1}+4$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[13]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App