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Exponentialgleichungen

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Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung bei der die Variable, meist $x$, im Exponenten steht.
Die Gleichung $3\cdot 5^{2x+3}=6$ ist eine Exponentialgleichung. Ein Gleichung der Form $x^5=3$ nicht, da die Variable nicht im Exponenten steht.
Exponentialgleichungen lassen sich durch verschiedene Verfahren lösen:
  • Logarithimieren
  • Exponentenvergleich
  • grafisch
#exponentialfunktion
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Handelt es sich bei den folgenden Gleichung um Exponentialgleichungen?
$5^x= 3$
$\;$$x= 2$
$x^5= 3$
$\;$$0,66^x= 2$
$x^{0,3}= x^{0,2+3}$
$\;$$2x^{0,3+6}=3x^{0,4+6}$
$3^{6x}=6$
$\;$$1,5^{x}=1$
#exponentialfunktion

Aufgabe 1

Für welche $x$-Werte sind folgende Gleichungen erfüllt?
b)
$5^x=125$
d)
$3\cdot 3^x=81$
f)
$1\cdot3^x=243$
#exponentialfunktion

Aufgabe 2

Berechne den $x$-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist. Löse diese Aufgabe grafisch, indem du deinen Taschenrechner verwendest.
a)
$50=3^x$
b)
$75=4^x$
#exponentialfunktion

Aufgabe 3

Bestimme die $x$-Werte, für die die folgenden Gleichungen erfüllt sind. Löse diese Aufgabe, indem du die Exponenten vergleichst.
b)
$2^{3x+1}=128$
d)
$4^{5x-12}=64$
#exponentialfunktion

Aufgabe 4

Bestimme die $x$-Werte der folgenden Gleichungen mit dem Taschenrechner.
b)
$2\cdot4^{2x-3}=5$
d)
$7,6^x=30,5$
f)
$4\cdot6,7^{x-1,5}=30$
#exponentialfunktion

Aufgabe 5

Die Funktionsgleichung $y=2^{x-4}+4$ ist dir gegeben.
Für welche $x$-Werte nimmt die Funktionsgleichung die Funktionswerte $y\in$$\{4; 4,5; 4,25; 8\}$ an?
#exponentialfunktion

Aufgabe 6

Löse folgende Gleichungen mithilfe des Taschenrechners.
a)
Bestimme die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ für die Gleichung: $5^{2x+3}=2^{x-1}$
b)
Gib die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ für die Funktion $3^x=y$ mit dem Funktionswert $25$ an.
c)
Bestimme die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ für die Gleichung $4^{3x+2}=1^{x-2}$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 7

In welchen Punkten schneiden die Graphen folgender Funktionen die Achsen? Löse die Aufgabe grafisch mithilfe des Taschenrechners.
b)
$g: y=3\cdot 4^{2+x}-4$
#exponentialfunktion

Aufgabe 8

Löse folgende Gleichungen durch Logarithmieren. Du kannst dazu den Taschenrechner verwenden.
b)
$6^{2x-4}-2^{3x+4}=0$
d)
$2^{x+3}=10^{4x-2}$
#exponentialfunktion

Aufgabe 9

Bestimme die Nullstellen der folgenden Graphen von $f$.
a)
$f:y=3\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{x-5}-1$
b)
$f:y=3\cdot 2^{x-4}-3$
c)
$f:y=6\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{x-2}-1$
#exponentialfunktion

Aufgabe 10

Finde den Fehler in folgender Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot6^{4x-6}&=5^{4x-6}& &\quad \scriptsize \\[5pt] 18^{4x-6}&=5^{4x-6}& &\quad \scriptsize \;\mid \text{lg} \\[5pt] lg(18)\cdot(4x-6)&=lg(5)\cdot(4x-6)& &\quad \scriptsize \;\mid : \text{lg(5)} \\[5pt] \frac{lg(18)}{lg(5)}\cdot(4x-6)&=(4x-6)& &\quad \scriptsize \;\mid : (4x-6) \\[5pt] \frac{lg(18)}{lg(5)}&=\frac{(4x-6)}{(4x-6)}& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{lg(18)}{lg(5)}&\neq1& \end{array}$
#exponentialfunktion

Aufgabe 11

In welchem Punkt schneiden sich die Graphen der beiden Funktionen?
$f_1: y=5^{x+6}$
$f_2: y=3\cdot 5^{x+6}-1$
Berechne die Koordinaten der Punkte und überprüfe dein Ergebnis mit dem Taschenrechner.
#exponentialfunktion

Aufgabe 12

Bestimme den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen $g_1$ und $g_2$. Löse die Aufgabe zeichnerisch mithilfe des Taschenrechners.
$g_2: y= 4^{2x+3}$
#exponentialfunktion

Aufgabe 13

Gib die Lösungsmenge $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ an, für die folgende Ungleichungen erfüllt sind.
b)
$5,6^x < 200$
#exponentialfunktion

Aufgabe 14

In welchem Punkt schneiden sich die Graphen von $f_1$ und $f_2$?
$f_1: y=3^{x+2}$
$f_2: y=27$
Bestimme die Lösung rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis anschließend mit den Taschenrechner.
#exponentialfunktion

Aufgabe 15

In der Tabelle kannst du das Wachstum einer Bakterienpopulation beobeachten. Der $y$- Wert in der Tabelle beschreibt die Anzahl der Bakterien.
$t$ [min]$0 $$20 $$ 40$$ 60$$ 80$
$y$$10 $$20 $$ 40$$ 80$$160 $
$x$$y$
$0 $$ 10$
$20 $$20 $
$40 $$40 $
$60 $$80 $
$80 $$160 $
a)
Kann dieses Wachstum mit der Formel $y= b \cdot a^t$ beschrieben werden? Bestimme $a$ zwischen der $0.$ und $80.$ Minute.
b)
Wie viele Bakterien sind nach $120$ Minuten in der Population?
#wachstum#exponentialfunktion

Aufgabe 16

#exponentialfunktion

Aufgabe 17

#wachstum#exponentialfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

Handelt es sich bei den folgenden Gleichung um Exponentialgleichungen?
$5^x= 3$
$\;$$x= 2$
$x^5= 3$
$\;$$0,66^x= 2$
$x^{0,3}= x^{0,2+3}$
$\;$$2x^{0,3+6}=3x^{0,4+6}$
$3^{6x}=6$
$\;$$1,5^{x}=1$
#exponentialfunktion

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst einen $x$-Wert finden, für den die Gleichung $3 \cdot5^x=\frac{3}{5}$ erfüllt ist. Dies ist erfüllt, wenn die Zahl $5$ im Nenner steht. Damit die $5$ im Nenner steht, muss $x=-1$ sein. Du erhältst:
$3\cdot 5^{-1}=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$
Die Gleichung ist also für $x=-1$ erfüllt.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst einen $x$-Wert finden, für den die Gleichung $5^x=125$ erfüllt ist. Dazu musst du dir überlegen, wie oft du die $5$ mit sich selbst multiplizieren musst, damit du $125$ als Ergebnis erhältst.
Dies gilt für $5\cdot5 \cdot5 =125=5^3$.
Die Gleichung ist also für $x=3$ erfüllt.
c)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst einen $x$-Wert finden, für den die Gleichung $4\cdot 9^x=36$ erfüllt ist. Du weißt, dass $4\cdot 9= 36$ ist. Die Gleichung ist also nur für $x=1$ erfüllt, denn $9^1=9$.
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst einen $x$-Wert finden, für den die Gleichung $3\cdot 3^x=81$ erfüllt ist. Dazu musst du dir überlegen, wie oft du die $3$ mit sich selbst multiplizieren musst, damit du $81$ als Ergebnis erhältst.
Dies ist für $3\cdot3 \cdot3 \cdot3 =81=3^4$ erfüllt. Wenn du eine $3$ rausziehst, erhältst du $3^4=3\cdot 3^3=81$
Die Gleichung ist also für $x=3$ erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst einen $x$-Wert finden, für den die Gleichung $4\cdot 2^x=16$ erfüllt ist. Du weißt, dass $4\cdot 4=16$ ergibt. Die $4$ lässt sich zu $2^2$ umschreiben, somit erhältst du $4\cdot 2^2=16$.
Die Gleichung ist also für $x=2$ erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst einen $x$-Wert finden, für den die Gleichung $1\cdot 3^x=243$ erfüllt ist. Du weißt, dass $1\cdot 3^x=243$ das gleiche ist wie $3^x=243$. Überlege dir nun, wie oft du die $3$ mit sich selbst multiplizieren musst, damit du $243$ erhältst. Dies ist für $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 =3^5$ erfüllt.
Die Gleichung ist also für $x=5$ erfüllt.
#exponentialfunktion

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Du kannst die Gleichung graphisch mit dem Taschenrechner lösen, indem du zwei Funktionsgleichungen aufstellst:
$y_1=50$
$y_2=3^x$
Gib zuerst die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü deines Taschenrechners ein.
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 2: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 2: GTR-CASIO
Du kannst nun den Schnittpunkt der beiden Graphen bestimmen. Folgende Befehle können dir dabei helfen:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 4: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 4: GTR-CASIO
Der $x$-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=3,56$.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Du kannst die Gleichung graphisch mit dem Taschenrechner lösen, indem du zwei Funktionsgleichungen aufstellst:
$y_1=75$
$y_2=4^x$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü deines Taschenrechners ein.
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 6: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 6: GTR-CASIO
Du kannst nun den Schnittpunkt der beiden Graphen bestimmen. Folgende Befehle können dir dabei helfen:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 8: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 8: GTR-CASIO
Der $x$-Wert, für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=3,114$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert bestimmen, für den die Gleichung erfüllt ist, indem du die Exponenten vergleichst. Dazu musst du durch Umformen die Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung auf die gleiche Basis bringen.
Du hast die Gleichung $3^{x-3}=9$ gegeben. Damit du auf beiden Seiten die gleiche Basis erhältst, musst du die $9$ auf der rechten Seite der Gleichung zu $3^2$ umformen. Die Gleichung lautet nun:
$3^{x-3}=3^2$
Du kannst nun die Exponenten gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
Die Gleichung ist also für $x=5$ erfüllt.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert bestimmen, für den die Gleichung erfüllt ist, indem du die Exponenten vergleichst. Dazu musst du durch Umformen die Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung auf die gleiche Basis bringen.
Du hast die Gleichung $2^{3x+1}=128$ gegeben. Damit du auf beiden Seiten die gleiche Basis erhältst, musst du die $128$ auf der rechten Seite der Gleichung zu $2^7$ umformen. Die Gleichung lautet nun:
$2^{3x+1}=2^7$
Du kannst nun die Exponenten gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 3x+1&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 3x&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
Die Gleichung ist also für $x=2$ erfüllt.
c)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert bestimmen, für den die Gleichung erfüllt ist, indem du die Exponenten vergleichst. Dazu musst du durch Umformen die Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung auf die gleiche Basis bringen.
Du hast die Gleichung $2^{x+2}=8$ gegeben. Damit du auf beiden Seiten die gleiche Basis erhältst, musst du die $8$ auf der rechten Seite der Gleichung zu $2^3$ umformen. Die Gleichung lautet nun:
$2^{x+2}=2^3$
Du kannst nun die Exponenten gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} x+2&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Die Gleichung ist also für $x=1$ erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert bestimmen, für den die Gleichung erfüllt ist, indem du die Exponenten vergleichst. Dazu musst du durch Umformen die Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung auf die gleiche Basis bringen.
Du hast die Gleichung $4^{5x-12}=64$ gegeben. Damit du auf beiden Seiten die gleiche Basis erhältst, musst du die $64$ auf der rechten Seite der Gleichung zu $4^3$ umformen. Die Gleichung lautet nun:
$4^{5x-12}=4^3$
Du kannst nun die Exponenten gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 5x-12&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; +12\\[5pt] 5x&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] x&=& 3 \end{array}$
Die Gleichung ist also für $x=3$ erfüllt.
#exponentialfunktion

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert der Gleichung $4\cdot2^{x-2}=200$ berechnen, stelle dazu zwei Funktionsgleichungen auf und berechne den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen.
$y_1=4\cdot2^{x-2}$
$y_2=200$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü des Taschenrechners ein.
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 10: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 10: GTR-CASIO
Bestimme nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen. Dazu kannst du folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 12: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 12: GTR-CASIO
Der $x$-Wert für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=7,64$.
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert der Gleichung $2\cdot4^{2x-3}=5$ berechnen, stelle dazu zwei Funktionsgleichungen auf und berechne den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen.
$y_1=2\cdot4^{2x-3}$
$y_2=5$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü des Taschenrechners ein.
Bestimme nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dazu kannst du folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 14: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 14: GTR-CASIO
Der $x$-Wert für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=1,83$.
c)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert der Gleichung $1,6\cdot2^{x}=12$ berechnen, stelle dazu zwei Funktionsgleichungen auf und berechne den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen.
$y_1=1,6\cdot2^{x}$
$y_2=12$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü des Taschenrechners ein.
Bestimme nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dazu kannst du folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 16: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 16: GTR-CASIO
Der $x$-Wert für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=2,91$.
d)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert der Gleichung $7,6^{x}=30,5$ berechnen, stelle dazu zwei Funktionsgleichungen auf und berechne den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen.
$y_1=7,6^x$
$y:2=30,5$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü des Taschenrechners ein.
Bestimme nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dazu kannst du folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 18: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 18: GTR-CASIO
Der $x$-Wert für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=1,69$.
e)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert der Gleichung $2,3^{5-x}=20$ berechnen, stelle dazu zwei Funktionsgleichungen auf und berechne den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen.
$y_1=2,3^{5-x}$
$y_2=20$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü des Taschenrechners ein.
Bestimme nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dazu kannst du folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 20: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 20: GTR-CASIO
Der $x$-Wert für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=1,40$.
f)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Wert berechnen
Du sollst den $x$-Wert der Gleichung $4\cdot 6,7^{x-1,5}=30$ berechnen, stelle dazu zwei Funktionsgleichungen auf und berechne den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen.
$y_1=6,7^{x-1,5}$
$y_2=30$
Gib die Funktionsgleichungen in das $y$-Menü des Taschenrechners ein.
Bestimme nun den Schnittpunkt der beiden Funktionen, dazu kannst du folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 22: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 22: GTR-CASIO
Der $x$-Wert für den die Gleichung erfüllt ist, ist $x=2,56$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Werte berechnen
Du sollst die passenden $x$-Werte zu den angegebenen Funktionswerten berechnen.
Setze dazu die gegebenen $y$-Werte in die Funktionsgleichung $y=2^{x-4}+4$ ein und forme nach $x$ um.
$\boldsymbol{y=4}$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 4&=&2^{x-4}+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 0&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Term auf der rechten Seite kann nicht $0$ werden. Es gibt also keinen passenden $x$-Wert.
$\boldsymbol{y=4,5}$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 4,5&=&2^{x-4}+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 0,5&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Term auf der rechten Seite nimmt für $x=5$ den Wert $2^{-1}=0,5$ an. Der gesuchte $x$-Wert ist also $x=5$.
$\boldsymbol{y=5}$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 5&=&2^{x-4}+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 1&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Term auf der rechten Seite wird $1$, wenn der Exponent $0$ wird. Dies gilt nur für $x=4$.
$\boldsymbol{y=4,25}$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 4,25&=&2^{x-4}+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 0,25&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{4}&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{2^2}&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] 2^{-2}&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung wird für $x=2$ erfüllt.
$\boldsymbol{y=8}$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&2^{x-4}+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 4&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] 2^2&=&2^{x-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung wird für $x=6$ erfüllt.
#exponentialfunktion

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, kannst du deinen Taschenrechner zur Hilfe nehmen. Stelle zwei Funktionsgleichungen auf:
$y_1:5^{2x+3}$
$y_2:2^{x-1}$
Diese Funktionsgleichungen kannst du nun in das $y$-Menü des Taschenrechners eingeben. Bestimme den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen. Du kannst dazu folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow 6-\text{solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 24: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 24: GTR-CASIO
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich bei $x\approx-2,186$. Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{-2,186 \}$.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, kannst du deinen Taschenrechner zur Hilfe nehmen. Stelle zwei Funktionsgleichungen auf:
$y_1:3^x$
$y_2:25$
Diese Funktionsgleichungen kannst du nun in das $y$-Menü des Taschenrechners eingeben. Bestimme den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen. Du kannst dazu folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow 6-\text{solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 26: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 26: GTR-CASIO
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich bei $x\approx2,93$. Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{2,93 \}$.
c)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, kannst du deinen Taschenrechner zur Hilfe nehmen. Stelle zwei Funktionsgleichungen auf:
$y_1:4^{3x+2}$
$y_2:1^{x-2}$
Diese Funktionsgleichungen kannst du nun in das $y$-Menü des Taschenrechners eingeben. Bestimme den Schnittpunkt der Graphen der beiden Funktionen. Du kannst dazu folgenden Taschenrechnerbefehl verwenden:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow 6-\text{solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 28: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 28: GTR-CASIO
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich bei $x\approx-0,67$. Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{-0,67 \}$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen
Du sollst die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen berechnen. Gib dazu die Funktionsgleichung im $y$-Menü des Taschenrechners ein und lass dir den Graphen zeichnen.
Du kannst sehen, dass der Graph die $y$-Achse nicht schneidet. Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse kannst du berechnen, indem du folgenden Taschenrechnerbefehl verwendest:
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$ 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow$
$ \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
Wähle je eine Grenze aus die links und rechts von der Nullstelle liegt.
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 30: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 30: GTR-CASIO
Der Schnittpunkt an dem der Graph die $x$-Achse schneidet ist $S(6\;|\;0)$.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen
Du sollst die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen berechnen. Gib dazu die Funktionsgleichung im $y$-Menü des Taschenrechners ein und lass dir den Graphen zeichnen. Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse kannst du berechnen, indem du im Trace-Menü $x=0$ eingibst.
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 32: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 32: GTR-CASIO
Der Graph der Funktion schneidet die $y$-Achse bei $y=44$, also im Schnittpunkt $S(0\;|\;44)$.
Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse kannst du berechnen, indem du folgenden Taschenrechnerbefehl verwendest:
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$ 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow$
$ \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
Wähle je eine Grenze aus die links und rechts von der Nullstelle liegt.
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 34: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 34: GTR-CASIO
Der Schnittpunkt an dem der Graph die $x$-Achse schneidet ist $S(1\;|\;0)$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 8

Um die Gleichungen zu lösen, musst du nach $x$ auflösen. Verwende deinen Taschenrechner, um das Endergebnis auszurechnen.
a)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen durch logarithmieren
$\begin{array}[t]{rll} 4^{x+4}&=& 22^{3x+6} &\quad \scriptsize \mid\;lg \\[5pt] lg(4^{x+4})&=& lg(22^{3x+6}) &\quad \scriptsize \\[5pt] (x+4)\cdot lg(4)&=& lg(22) \cdot(3x+6) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot lg(4) +4\cdot lg(4)&=& lg(22) \cdot 3x +6 \cdot lg(22) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot lg(4)-lg(22) \cdot 3x &=& -4\cdot lg(4) +6 \cdot lg(22) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot(lg(4)-3\cdot lg(22)) &=& -4\cdot lg(4) +6 \cdot lg(22) &\quad \scriptsize \mid\;:(lg(4)-3\cdot lg(22))\\[5pt] x &=& \dfrac{-4\cdot lg(4) +6 \cdot lg(22)}{(lg(4)-3\cdot lg(22))} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&\approx& -1,65 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x\approx-1,65$ gelöst.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen durch logarithmieren
$\begin{array}[t]{rll} 6^{2x-4}-2^{3x+4}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2^{3x+4} \\[5pt] 6^{2x-4}&=& +2^{3x+4} &\quad \scriptsize \mid\;lg\\[5pt] lg(6^{2x-4})&=& lg(2^{3x+4}) &\quad \scriptsize \\[5pt] (2x-4)\cdot lg(6)&=& lg(2) \cdot(3x+4) &\quad \scriptsize \\[5pt] 2x\cdot lg(6) -4\cdot lg(6)&=& lg(2) \cdot 3x +4 \cdot lg(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] 2x\cdot lg(6)-lg(2) \cdot 3x &=& 4\cdot lg(6) +4 \cdot lg(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot(2\cdot lg(6)-3\cdot lg(2)) &=& 4\cdot lg(6) +4 \cdot lg(2) &\quad \scriptsize \mid\;:(2\cdot lg(6)-3\cdot lg(2))\\[5pt] x &=&\dfrac{4\cdot lg(6) +4 \cdot lg(2)}{(2\cdot lg(6)-3\cdot lg(2))} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&\approx& 6,61 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x\approx6,61$ gelöst.
c)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen durch logarithmieren
$\begin{array}[t]{rll} 3^{x-2}&=& 5^{2x-4} &\quad \scriptsize \mid\;lg \\[5pt] lg(3^{x-2})&=& lg(5^{2x-4}) &\quad \scriptsize \\[5pt] (x-2)\cdot lg(3)&=& lg(5) \cdot(2x-4) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot lg(3) -2\cdot lg(3)&=& lg(5) \cdot 2x -4 \cdot lg(5) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot lg(3)-lg(5) \cdot 2x &=& 2\cdot lg(3) -4\cdot lg(5) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot(lg(3)-2\cdot lg(5)) &=& 2\cdot lg(3) -4\cdot lg(5) &\quad \scriptsize \mid\;:(lg(3)-2\cdot lg(5)) \\[5pt] x &=& \dfrac{2\cdot lg(3) -4\cdot lg(5) }{(lg(3)-2\cdot lg(5)) } &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=2$ gelöst.
d)
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen durch logarithmieren
$\begin{array}[t]{rll} 2^{x+3}&=& 10^{4x-2} &\quad \scriptsize \mid\;lg \\[5pt] lg(2^{x+3})&=& lg(10^{4x-2}) &\quad \scriptsize \\[5pt] (x+3)\cdot lg(2)&=& lg(10) \cdot(4x-2) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot lg(2) +3\cdot lg(2)&=& lg(10) \cdot 4x -2 \cdot lg(10) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot lg(2)-lg(10) \cdot 4x &=& -3\cdot lg(2) -2 \cdot lg(10) &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot(lg(2)-4\cdot lg(10)) &=& -3\cdot lg(2) -2 \cdot lg(10) &\quad \scriptsize \mid\;:(lg(2)-4\cdot lg(10)) \\[5pt] x &=& \dfrac{ -3\cdot lg(2) -2 \cdot lg(10) }{(lg(2)-4\cdot lg(10)) } &\quad \scriptsize \\[5pt] x&\approx& 0,78 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x\approx0,78$ gelöst.
#exponentialfunktion

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Du sollst die Nullstelle des Graphen von $f$ bestimmen, dazu kannst du deinen Taschenrechner verwenden. Gib die Funktionsgleichung in das $y$-Menü des Taschenrechners ein und lass dir den Graphen zeichnen. Folgender Befehl kann dir bei der Berechnung helfen:
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$ 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow$
$ \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 36: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 36: GTR-CASIO
Die Nullstelle des Graphen der Funktion ist $x\approx6,2$.
b)
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Du sollst die Nullstelle des Graphen von $f$ bestimmen, dazu kannst du deinen Taschenrechner verwenden. Gib die Funktionsgleichung in das $y$-Menü des Taschenrechners ein und lass dir den Graphen zeichnen. Folgender Befehl kann dir bei der Berechnung helfen:
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$ 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow$
$ \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 38: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 38: GTR-CASIO
Die Nullstelle des Graphen der Funktion ist $x\approx4$.
c)
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Du sollst die Nullstelle des Graphen von $f$ bestimmen, dazu kannst du deinen Taschenrechner verwenden. Gib die Funktionsgleichung in das $y$-Menü des Taschenrechners ein und lass dir den Graphen zeichnen. Folgender Befehl kann dir bei der Berechnung helfen:
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
$\text{TI}:\;2\text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$ 2:\text{zero}$
$\text{CASIO}:\;\text{shift} \longrightarrow$
$ \;\text{G-solv}\longrightarrow \;\text{root}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 40: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 40: GTR-CASIO
Die Nullstelle des Graphen der Funktion ist $x\approx3,11$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$ Fehler finden
Um den Fehler zu finden, kannst du die Rechnung zunächst selbst durchfürhen und dann vergleichen.
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot6^{4x-6}&=5^{4x-6}& &\quad \scriptsize \\[5pt] 18^{4x-6}&=5^{4x-6}& &\quad \scriptsize \\[5pt] lg(18)\cdot(4x-6)&=lg(5)\cdot(4x-6)& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{lg(18)}{lg(5)}\cdot(4x-6)&=(4x-6)& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{lg(18)}{lg(5)}&=\frac{(4x-6)}{(4x-6)}& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{lg(18)}{lg(5)}&\neq1& \end{array}$
Der Fehler befindet sich in der Umformung zwischen der ersten und zweiten Zeile. Es werden zwei Zahlen mit unterschiedlichen Exponenten zusammengefasst. Dies widerspricht den Potenzgesetzen. Ansonsten sind keine Fehler in der Rechnung.
#exponentialfunktion

Aufgabe 11

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt berechnen
Um den Schnittpunkt der beiden Funktionen zu berechnen, musst du sie gleichsetzen und nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 5^{x+6}&=&3\cdot5^{x+6} -1 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \mid\;-5^{x+6} \\[5pt] 1&=&2\cdot5^{x+6} -1 &\quad \scriptsize \mid\;lg \\[5pt] lg(1)&=&lg(2\cdot5^{x+6}) &\quad \scriptsize \mid\;lg (1)=0\\[5pt] 0&=&lg(2) + lg(5)\cdot (x+6) &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&lg(2) + lg(5)\cdot x+6 \cdot lg(5) &\quad \scriptsize \mid\;- lg(5)\cdot x\\[5pt] - lg(5)\cdot x&=& lg(2) +6 \cdot lg(5) &\quad \scriptsize \mid\;:-lg (5)\\[5pt] x&=&\frac{lg(2) +6 \cdot lg(5)}{-lg(5)}\approx-6,43 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Graphen haben einen Schnittpunkt bei $x\approx-6,43$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 12

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt berechnen
Berechne den Schnittpunkt der Graphen von $g_1$ und $g_2$. Du kannst dazu die Funktionsgleichungen im $y$-Menü des Taschenrechners eingeben. Lass dir die Graphen zeichnen und bestimme den Schnittpunkt der Graphen. Folgender Taschenrechnerbefehl kann dir dabei helfen:
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow 5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow 6-\text{solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
$\text{TI}:2 \text{nd} \;\text{trace} \longrightarrow$
$5: \text{intersect}$
$\text{CASIO}: \text{shift} \longrightarrow$
$G-\text{Solv} \longrightarrow \text{ISCT}$
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 42: GTR-CASIO
Exponential und Logarithmusfunktion: Exponentialgleichungen
Abb. 42: GTR-CASIO
Die Graphen schneiden sich im Punkt $S(-1\;|\;4)$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 13

a)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen
Du sollst die Lösungsmenge $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ bestimmen, für die die Ungleichung $2,3^x <70$ erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 2,3^x&<& 70&\quad \scriptsize \mid\;lg \\[5pt] lg(2,3) \cdot x&<& lg(70)&\quad \scriptsize \mid\;: lg(2,3) \\[5pt] x&<&\frac{lg(70)}{lg(2,3) }&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Menge ist nur nach oben beschränkt, deswegen ergibt sich $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}\;|\; x<\frac{lg(70)}{lg(2,3) } \}$.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen
Du sollst die Lösungsmenge $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ bestimmen, für die die Ungleichung $5,6^x <200$ erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 5,6^x&<& 200&\quad \scriptsize \mid\;lg \\[5pt] lg(5,6) \cdot x&<& lg(200)&\quad \scriptsize \mid\;: lg(5,6) \\[5pt] x&<&\frac{lg(200)}{lg(5,6) }&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Menge ist nur nach oben beschränkt, deswegen ergibt sich $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}\;|\; x<\frac{lg(200)}{lg(5,6) } \}$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 14

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt berechnen
Setze die Funktionsgleichungen $f_1$ und $f_2$ gleich und löse nach $x$ auf, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 3^{x+2}&=& 27 &\quad \scriptsize \mid\; lg\\[5pt] lg(3)\cdot(x+2)&=& lg(27) &\quad \scriptsize \mid\; :lg(3)\\[5pt] (x+2)&=& \frac{lg(27)}{lg(3)} &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=& \frac{lg(27)}{lg(3)}-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Die Schnittstelle, an der sich die Graphen schneiden ist $x=1$. Um den Schnittpunkt der beiden Graphen zu bestimmen, musst du den zugehörigen Funktionnswert berechnen. Du kannst den Funktionswert entweder direkt ablesen bei $y_2=27$ oder du kannst $x=1$ in die Funktionsgleichung $y_1$ einsetzen, um den zugehörigen Funktionswert zu bestimmen.
$y_1=3^{1+2}=27$
Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist also $S(1\;|\;27)$.
#exponentialfunktion

Aufgabe 15

a)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Um zu überprüfen, ob das Wachstum mit der Formel $y=b\cdot a^t$ berechnet werden kann, musst du dir überlegen um welche Art von Wachstum es sich handelt. Du kannst erkennen, dass sich der $y$ Wert in der Tabelle in jedem Zeitintervall verdoppelt. Da der $y$-Wert in jedem Zeitintervall um den gleichen Faktor wächst, handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der Wachstumsfaktor $a$ ist $a=2$, da sich der $y$-Wert verdoppelt. Setze nun die Werte aus der Tabelle für einen beliebigen Zeitpunkt in die Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Beachte, dass für $t$ nicht die vergangenen Minuten eingesetzt werden, sondern das $n$-te Intervall. Der Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ wird durch $b$ beschrieben.
$y=b \cdot a^t$
Nach $0$ Minuten, also zum Zeitpunkt $t=0$ gilt:
$10=10 \cdot 2^0 =10$
Nach $20$ Minuten, also zum Zeitpunkt $t=1$ gilt:
$20=10 \cdot 2^1=20$
Die Werte aus der Tabelle erfüllen also die vorgegebene Gleichung.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Bakterien nach $\boldsymbol{120}$ Minuten berechnen
Du sollst die Anzahl an Bakterien nach $120$ Minuten berechnen. Überlege dir dazu, um das wievielte Intervall es sich handelt, wenn jedes Intervall $20$ Minuten lang ist.
$120:20=6$
Nach $120$ Minuten befindet sich das Wachstum im $6.$ Intervall, setze deswegen $t=6$ in die Gleichung ein. Der Anfangsbestand $b=10$ und der Wachstumsfaktor $a=2$ ändern sich während des gesamten Wachstums nicht.
$y=10 \cdot 2^t$
$y=10 \cdot 2^6=640$
Es sind $640$ Bakterien nach $120$ Minuten in der Population.
#exponentialfunktion

Aufgabe 16

Die Gleichung $y=b \cdot a^t$ beschreibt ein exponentielles Wachstum. Da das Auto eine Höchstgeschwindigkeit besitzt, ist die Geschwindigkeit des Autos durch eine Schranke beschränkt. Die Geschwindigkeit des Autos kann nicht durch die angegebene Gleichung beschrieben werden.
#exponentialfunktion

Aufgabe 17

$\blacktriangleright$ Bevölkerungsanzahl in $\boldsymbol{10}$ Jahren berechnen
Das Bevölkerungswachstum in China kann durch die allgemeine Gleichung $y=b \cdot a^t$ beschrieben werden, da der Wachstumsfaktor $a=1,05$ in jedem Zeitintervall gleich bleibt. Es handelt sich deswegen um exponentielles Wachstum. Der Anfangsbestand ist $b=1,4$. Setze diese Werte in die Gleichung ein und du erhältst:
$y=1,4 \cdot 1,05^{10}=2,28$
In $10$ Jahren leben ca. $2,28$ Milliarden Menschen in China.
#exponentialfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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