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Wachstumsprozesse

Spickzettel
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Das exponentielle Wachstum beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand $B(t)$) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor wächst.
Exponentielles Wachstum kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
  • Der Wachstumsfaktor $a$ ist die Größe, die das Wachstum des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt. Dieser Faktor ist immer größer $1$.
  • Der Anfangswert/Anfangsbestand $B_0$ gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ an.
  • Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.
#wachstum#exponentielleswachstum
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

#wachstum#exponentialfunktion

Aufgabe 1

#exponentialfunktion#wachstum

Aufgabe 2

#exponentialfunktion#wachstum

Aufgabe 3

a)
Gib eine Gleichung für die Werte aus der Tabelle an, sodass die Funktionsgleichung erfüllt wird.
b)
Welchen Wert für $p$ erhältst du für $x=15$?
#wachstum

Aufgabe 4

#exponentialfunktion#wachstum

Aufgabe 5

#wachstum#exponentialfunktion

Aufgabe 6

a)
Gib eine Gleichung für die Werte aus der Tabelle an, sodass die Funktionsgleichung erfüllt wird.
b)
Welchen Wert für $p$ erhältst du für $x=10$?
#wachstum#exponentialfunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
https://goo.gl/ofofnZ – Marina Bay Sands, Singapore, Someformofhuman, CC BY-SA.
[3]
Public Domain.
[4]
https://goo.gl/PKSYhP , cyclonebill, CC BY-SA.
[5]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Salmonellen bestimmen
Eine Salmonelle verdoppelt sich alle $20$ Minuten. Wenn du die Anzahl der Salmonellen in in jedem Zeitintervall mit $2$ multiplizierst, erhältst du folgende Werte:
ZeitAnzahl Salmonellen
$0$$1$
$20$$2$
$40$$4$
$60$$8$
$80$$16$
$100$$32$
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen
Es handelt sich bei diesem Vorgang um exponentielles Wachstum. Das exponentielle Wachstum beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor wächst.
Exponentielles Wachstum kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=B_0\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
  • Der Wachstumsfaktor $a$ ist die Größe, die das Wachstum des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt. Dieser Faktor ist immer größer $1$.
  • Der Anfangswert/Anfangsbestand $B_0$ gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ an.
  • Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.
In diesem Beispiel haben wir zu Beginn einen Bestand von $B_0=1$. Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $2$, da sich der Bestand immer im gleichen Zeitintervall verdoppelt. Das Zeitintervall in dem die Verdopplung stattfindet beträgt $20$ Minuten. Damit die Anzahl der Salmonellen zu jeder Minute und nicht nur zu jeder $20.$ Minute betrachtet werden kann, musst du $t$ noch mit dem Faktor $\frac{1}{20}$ multiplizieren.
Wenn du alle Werte in die angegebene Gleichung einsetzt, ergibt sich:
$B(t)=1\cdot 2^{\frac{1}{20}\cdot t}$
Das Wachstum wird mit der Gleichung $B(t)=1\cdot 2^{\frac{1}{20}\cdot t}$ beschrieben.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt an der die Infektionsdosis überschritten wird angeben
Um den Zeitpunkt zu berechnen, an dem die infektiöse Dosis überschritten wird, musst du die Formel für exponentielles Wachstum nach $t$ umformen.
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=& B_0 \cdot a^{\frac{1}{20}\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; : B_0 \\[5pt] \frac{B(t)}{B_0}&=& a^{\frac{1}{20}\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; lg \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& lg (a^{\frac{1}{20}\cdot t}) &\quad \scriptsize \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& \frac{1}{20}\cdot t\cdot lg(a) &\quad \scriptsize \mid\; :lg(a) \mid\; \cdot 20 \\[5pt] 20\cdot \frac{lg(\frac{B(t)}{B_0})}{lg(a)}&=& t&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] t&=& 20\cdot \frac{lg(\frac{10^4}{1})}{lg(2)}&\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx& 265,75 \end{array}$
Nach ca. $266$ Minuten, also ca. $4,4$ Stunden ist die Dosis von $10^4$ Salmonellen erreicht.
#wachstum#exponentielleswachstum

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung für Bevölkerungswachstum aufstellen
Du sollst eine Gleichung für das Bevölkerungswachstum in Singapur aufstellen. Verwende dazu die Formel aus der Einfürhungsaufgabe.
$B(t)=B_0\cdot a^t$
$B(t)=B_0\cdot a^t$
Heute leben dort ca. $5.800.00$ Menschen, was dem Anfangsbestand $B_0$ entspricht. Es ist außerdem gegeben, dass die Bevölkerung um $2\%$ wächst. Die Wachstumsrate $a$ ist deswegen $a=1,02$. Mit diesen Angaben kannst du die Gleichung für exponentielles Wachstum aufstellen.
$B(t)=5.800.00\cdot 1,02^t$
Die Gleichung, die das Bevölkerungswachstum in Singapur beschreibt, lautet $B(t)=5.800.00\cdot 1,02^t$.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Menschen in $\boldsymbol{15}$ Jahren berechnen
Die Anzahl der Menschen, die in $15$ Jahren in Singapur lebt, kannst du berechnen, indem du $t=15$ in die Gleichung einsetzt.
$B(15)=5.800.00\cdot 1,02^{15}=7.806.036$
In $15$ Jahren leben ca. $7.806.036$ Menschen in Singapur.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Überschreitung von $\boldsymbol{6.500.000}$ Einwohnern bestimmen
Du sollst berechnen, wann eine Einwohnerzahl von $6.500.000$ überschritten wird. Dazu setzt du diesen Wert für $B(t)$ in die Gleichung für exponentielles Wachstum ein und formst nach $t$ um.
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=& B_0 \cdot a^t &\quad \scriptsize \mid\; : B_0 \\[5pt] \frac{B(t)}{B_0}&=& a^t &\quad \scriptsize \mid\; lg \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& lg(a^t) &\quad \scriptsize \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& t\cdot lg(a) &\quad \scriptsize \mid\; :lg(a)\\[5pt] \frac{lg(\frac{B(t)}{B_0})}{lg(a)}&=& t&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] t&=&\frac{lg(\frac{6.500.000}{5.800.000})}{lg(1,02)}&\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&5,75 \end{array}$
In ca. $5,75$ Jahren wird die Einwohnerzahl von $6.500.000$ überschritten.
#wachstum#exponentielleswachstum

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
Lea möchte $150$ Euro auf ihrer Bank anlegen. Dies entspricht dem Startguthaben $B_0$ zum Zeitpunkt $t=0$. Der Zinssatz beträgt $1,5\;\%$, also ist eine Wachstumsrate von $a=1,15$ gegeben. Da die Wachstumsrate zu jedem Zeitpunkt konstant ist, handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. Du kannst die Formel aus der Einführungsaufgabe verwenden, um das Guthaben von Lea zu beschreiben.
$B(t)=B_0\cdot a^t$
$B(t)=B_0\cdot a^t$
Setze die gegebeben Werte ein:
$B(t)=150\cdot 1,15^t$
Die Funktionsgleichung $B(t)=150\cdot 1,15^t$ beschreibt das Guthaben auf Leas Bankkonto.
b)
$\blacktriangleright$ Betrag nach $\boldsymbol{4}$ Jahren berechnen
Du sollst den Betrag berechnen, den Lea nach $4$ Jahren auf ihrem Konto hat. Dazu kannst du $t=4$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
$B(4)=150\cdot 1,015^4=159,20$
Nach $4$ Jahren hat sie $159,20$ Euro auf dem Konto.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt von $200$ Euro Guthaben berechnen
Den Zeitpunkt, an dem der Kontostand $200$ Euro beträgt, kannst du berechnen, indem du $B(t)=200$ in die Funktionsgleichung einsetzt und nach $t$ auflöst:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=& B_0 \cdot a^t &\quad \scriptsize \mid\; : B_0 \\[5pt] \frac{B(t)}{B_0}&=& a^t &\quad \scriptsize \mid\; lg \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& lg(a^t) &\quad \scriptsize \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& t\cdot lg(a) &\quad \scriptsize \mid\; :lg(a)\\[5pt] \frac{lg(\frac{B(t)}{B_0})}{lg(a)}&=& t&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] t&=&\frac{lg(\frac{200}{150})}{lg(1,015)}&\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&19,32 \end{array}$
Nach ca. $19$ Jahren hat sie $200$ Euro auf dem Konto. Sie sollte sich also noch eine weitere Geldquelle suchen, um bald in Urlaub fahren zu können.
#wachstum#exponentielleswachstum

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
Betrachtest du die Wertetabelle und nimmst $x$ als Zeitintervall und $p$ als Bestand $B(t)$ an, kannst du sehen, dass sich der Bestand in jedem Zeitintervall verdoppelt. Die Werte in der Tabelle gehören deswegen zu einem exponentiellen Wachstum mit Wachstumsfaktor $a=2$. Der Anfangsbestand $B_0$ ist dir mit $B_0=2$ gegeben. Verwende die Formel für exponentielles Wachstum.
$B(t)=B_0\cdot a^t$
$B(t)=B_0\cdot a^t$
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
$B(t)=2\cdot 2^x$
Die Gleichung $B(t)=2\cdot 2^x$ wird nun erfüllt, wenn du die Werte aus der Tabelle einsetzt.
b)
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{x=15}$ berechnen
Setze $x=15$ in die Formel ein, die du aufgestellt hast und du erhältst den zugehörigen Wert für $p$.
$B(15)=2\cdot 2^{15}=65536$
Der zugehörige $p$ Wert ist $p=65536$.
#exponentielleswachstum#wachstum

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
Zu Beginn ist ein Bestand von $B_0=10^2$ Milchsäurebakterien vorhanden. Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $2$, da sich der Bestand immer im gleichen Zeitintervall verdoppelt. Das Zeitintervall in dem die Verdopplung stattfindet beträgt $25$ Minuten. Damit die Anzahl der Salmonellen zu jeder Minute und nicht nur zu jeder $25.$ Minute betrachtet werden kann, musst du $t$ noch mit dem Faktor $\frac{1}{25}$ multiplizieren.
Wenn du alle Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe einsetzt, ergibt sich:
$B(t)=10^2\cdot 2^{\frac{1}{25}\cdot t}$
Das Wachstum wird mit der Gleichung $B(t)=10^2\cdot 2^{\frac{1}{25}\cdot t}$ beschrieben.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Milchsäurebakterien nach $100$ Minuten berechnen
Um die Anzahl an Milchsäurebakterien nach $100$ Minuten zu berechnen, kannst du $t=100$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
$B(100)=10^2\cdot 2^{\frac{1}{25}\cdot 100}=1600$
Nach $100$ Minuten sind $1600$ Milchsäurebakterien vorhanden.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt von $\boldsymbol{10^4}$ Milchsäurebakterien berechnen
Den Zeitpunkt an dem $10^4$ Bakterien vorhanden sind kannst du berechnen, indem du $B(t)=10^4$ in die Formel einsetzt und nach $t$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=& B_0 \cdot a^{\frac{1}{25}\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; : B_0 \\[5pt] \frac{B(t)}{B_0}&=& a^{\frac{1}{25}\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; lg \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& lg (a^{\frac{1}{25}\cdot t}) &\quad \scriptsize \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& \frac{1}{25}\cdot t\cdot lg(a) &\quad \scriptsize \mid\; :lg(a) \mid\; \cdot 25 \\[5pt] 25\cdot \frac{lg(\frac{B(t)}{B_0})}{lg(a)}&=& t&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] t&=& 25\cdot \frac{lg(\frac{10^4}{10^2})}{lg(2)}&\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx& 166,1 \end{array}$
Die Anzahl von $10^4$ Milchsäurebakterien ist nach ca. nach $166$ Minuten erreicht.
#exponentielleswachstum#wachstum

Aufgabe 5

Das Wachstum der Pflanze kann in den beiden Zeitabschnitten jeweils als konstant betrachtet werden, deswegen handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. Die Pflanze hat zum Zeitpunkt $t=0$ eine Höhe von $10\;\text{cm}$, dies entspricht dem $B_0$-Wert. Die Wachstumsrate beträgt in den ersten $4$ Wochen $a_1=1,1$ und anschließend $a_2=1,07$.
Mit diesen Angaben kannst du die Wachstumsfunktion für die Phase $1$ aufstellen:
$B_1(t)=10\cdot 1,1^t$
Diese Gleichung kannst du im Folgenden verwenden.
a)
$\blacktriangleright$ Größe der Pflanze nach $2$ Wochen berechnen
In den ersten zwei Wochen befindet sich die Pflanze noch in Phase $1$ des Wachstums. Du kannst also die Gleichung $B_1(t)$ verwenden und $t=2$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
$B_1(2)=10\cdot 1,1^2=12,1$
Die Pflanze ist nach $2$ Wochen $12,1\;\text{cm}$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Größe der Pflanze nach $6$ Wochen berechnen
Um die Größe der Pflanze nach $6$ Wochen zu berechnen, kannst du in folgenden Schritten vorgehen:
  • Größe der Pflanze nach $4$ Wochen berechnen, indem du $B_1(t)$ verwendest.
  • Funktionsgleichung für zweite Wachstumsphase aufstellen, deren $B_2(0)$-Wert dem $B_1(4)$-Wert entspricht.
  • Größe der Pflanze nach $6$ Wochen berechnen, indem du das Wachstum in Phase $2$ zwei Wochen lang betrachtest. Verwende dazu die Gleichung, die die zweite Phase des Wachstums beschreibt.
Größe der Pflanze nach $4$ Wochen berechnen
Um die Größe der Pflanze nach $4$ Wochen zu berechnen, kannst du die Wachstumsformel für die Phase $1$ verwenden. Setze $t=4$ in die Formel ein:
$B_1(t)=10\cdot 1,1^t$
$B_1(4)=10\cdot 1,1^4=14,64$
Nach $4$ Wochen ist die Pflanze $14,64\;\text{cm}$ groß.
Funktionsgleichung für die zweite Wachstumsphase aufstellen
Der Anfangsbestand $B_2(0)$ der zweiten Wachstumsphase entspricht dem Endbestand der ersten Wachstumsphase. Deswegen ist $B_2(0)=14,64$. Die Pflanze wächst wöchentlich $7\%$, deswegen ist die Wachstumsrate $a=1,07$. Setze diese Werte in die allgemeine Formel für das exponentielle Wachstum ein.
$B_2(t)=14,64 \cdot 1,07^t$
Die Wachstumsgleichung für die Phase $2$ lautet $B_2(t)=14,64 \cdot 1,07^t$.
Größe der Pflanze nach $6$ Wochen berechnen
Die ersten $4$ Wochen des Wachstums liegen in Phase $1$ die anderen $2$ in Phase $2$. Deswegen musst du das Wachstum der Pflanze nun noch $2$ Wochen lang in der Phase $2$ betrachten. Setze $t=2$ in die Formel ein.
$B_2(2)=14,64 \cdot 1,07^2 \approx 16,76$
Die Pflanze ist nach $6$ Wochen ca. $16,76\;\text{cm}$ groß.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen an dem die Pflanze $\boldsymbol{12\;\text{cm}}$ groß ist
In Aufgabenteil b) hast du berechnet, dass die Pflanze am Ende der ersten Wachstumsphase ca. $14,64\;\text{cm}$, also größer als $12\;\text{cm}$ ist. Du kannst deswegen die Formel der ersten Phase verwenden und nach $t$ umstellen.
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=& B_0 \cdot a^t &\quad \scriptsize \mid\; : B_0 \\[5pt] \frac{B(t)}{B_0}&=& a^t &\quad \scriptsize \mid\; lg \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& lg(a^t) &\quad \scriptsize \\[5pt] lg(\frac{B(t)}{B_0})&=& t\cdot lg(a) &\quad \scriptsize \mid\; :lg(a)\\[5pt] \frac{lg(\frac{B(t)}{B_0})}{lg(a)}&=& t&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] t&=&\frac{lg(\frac{12}{10})}{lg(1,1)}&\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&1,91 \end{array}$
Nach ca. $1,9$ Wochen ist die Größe von $12\;\text{cm}$ erreicht.
#exponentielleswachstum#wachstum

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
Betrachtest du die Wertetabelle und nimmst $x$ als Zeitintervall und $p$ als Bestand $B(t)$ an, kannst du sehen, dass sich der Bestand in jedem Zeitintervall vervierfacht. Deswegen kannst du von einem exponentiellen Wachstum mit Wachstumsfaktor $a=4$ ausgehen. Der Anfangsbestand $B_0$ ist dir mit $B_0=2$ gegeben. Verwende die Formel für exponentielles Wachstum.
$B(t)=B_0\cdot a^t$
$B(t)=B_0\cdot a^t$
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
$B(t)=2\cdot 4^x$
Die Gleichung $B(t)=2\cdot 4^x$ wird nun erfüllt, wenn du die Werte aus der Tabelle einsetzt.
b)
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{x=10}$ berechnen
Setze $x=10$ in die Formel ein, die du aufgestellt hast und du erhältst den zugehörigen Wert für $p$.
$B(10)=2\cdot 4^{10}=2097152$
Der zugehörige $p$ Wert ist $p=2097152$.
#exponentielleswachstum#wachstum
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