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Allgemeine Logarithmusfunktion

Spickzettel
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Die Funktion $f:\, y = \log_ax$ mit $a\in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}$ heißt Logarithmusfunktion zur Basis $a$ und wird auch als logarithmische Grundfunktion bezeichnet. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit $y=a^x$.
Die allgemeine Logarithmusfunktion besitzt folgende Funktionsgleichung:
$f_1:\, y = k\cdot \log_a(x-b) +c \qquad$ mit $k\in \mathbb{R} \setminus\{0\}$, $a\in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}$ und $b$, $c \in\mathbb{R}$
$f_1:\, y = k\cdot \log_a(x-b) +c$
$k\in \mathbb{R} \setminus\{0\}$, $a\in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}$ und $b$, $c \in\mathbb{R}$
Sie entsteht aus der logarithmischen Grundfunktion durch Abbildung mit einer orthogonalen Affinität und Verschiebung mit einem Vektor.

Abbilden der Grundfunktion

AbbildungFunktionGraph
Orthogonale Affinität mit dem Faktor $k \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ $y = \log_ax \quad \overset{\scriptsize{k}}\longmapsto \quad y = k\cdot \log_ax$ $|k| > 1:$ Streckung in $y$-Richtung
$|k| < 1:$ Stauchung in $y$-Richtung
Ist $k$ negativ, wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ $y = \log_ax \quad \overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \quad y = \log_a(x-b) +c$ Verschiebung um
$b$ Einheiten entlang der $x$-Achse und
$c$ Einheiten entlang der $y$-Achse

Orthogonale Affinität

Mit dem Faktor $k\in \mathbb{R} \setminus\{0\}$ wird die Grundfunktion mit $y= \log_ax$ mit einer orthogonalen Affinität auf $y = k\cdot \log_ax$ abgebildet:
$\log_ax $ $\quad \overset{\scriptsize{k}}\longmapsto \quad$ $k\cdot\log_ax$
Der zugehörige Funktionsgraph wird entsprechend gestaucht/gestreckt bzw. gespiegelt:
$|k| > 1:$ Streckung in $y$-Richtung
$|k| < 1:$ Stauchung in $y$-Richtung
Ist $k$ negativ, wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.

Verschiebung

Die Grundfunktion $y = \log_ax$ wird durch Verschiebung mit einem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ auf $y = \log_a (x-b) +c$ abgebildet:
$y = \log_ax $
$\, \overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \,$
$y = \log_a(x-b)+c$
Der zugehörige Funktionsgraph wird dadurch um $b$ Einheiten entlang der $x$-Achse und $c$ Einheiten entlang der $y$-Achse verschoben.

Eigenschaften

  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > b\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a > 1 $ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
    $a > 1 $ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b$
#exponentialfunktion#logarithmusfunktion
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Bestimme den Zusammenhang zwischen den folgenden drei Funktionen:
$f_1:\; y = \log_2 x $ $\qquad $ $ f_2: \; y = \log_8 x$ $\qquad$ $f_3: \; y = \log_{32}x$
b)
(1)
Bilde $f:\; y = \log_5 x$ jeweils durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k=-3$ und Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\-6}$ ab. Gib die Gleichungen der Bildgraphen an.
(2)
Führe die Abbildung aus der vorherigen Teilaufgabe hintereinander aus und gib die Gleichung des Bildgraphen an.
(3)
Vertausche die Reihenfolge der Abbildungen aus der vorherigen Teilaufgabe, indem du zuerst die Abbildung durch Verschiebung und anschließend die orthogonale Affinität ausführst. Was fällt dir auf?
c)
Gib die Gleichung der jeweiligen Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.
(2)
$f: \; y = \frac{1}{2}\cdot\lg (x-4) -1$
d)
Bestimme mit Hilfe einer Abbildung Näherungswerte für $\log_ 3 5$ und $\log_9 5$. Wie kannst du dieselbe Abbildung nutzen, um beide Werte zu bestimmen?
e)
Der Punkt $A(64\mid 2)$ soll auf dem Graphen von $f:\; y = \log_ax$ liegen. Bestimme $a$.
#orthogonaleaffinität#umkehrfunktion

Aufgabe 1

Bilde $f$ durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k$ und anschließender Verschiebung um den Vektor $\overrightarrow{v}$ ab. Gib die Gleichung des Bildgraphen an.
b)
$f: \, y = \log_5 x $
$k = -2$
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\-4}$
d)
$f:\, y = \log_{100}x + 4$
$k = 3$
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{0\\0}$
f)
$f: \, y = 3\log_{20}(x-10) +30$
$k = -4$
$\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\-3}$
#orthogonaleaffinität

Aufgabe 2

Bestimme eine Gleichung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$. Gib anschließend die Eigenschaften von $f^{-1}$ an.
b)
$f: \; y = 3^{x-3}$
d)
$f: \; y = \frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + \frac{1}{4}$
f)
$f: \; y = 0,01\cdot 100^{x+2} +10$
#umkehrfunktion

Aufgabe 3

Bestimme eine Gleichung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$. Gib die Eigenschaften von $f$ an.
b)
$y = \log_3(x+1)$
d)
$y = -\log_5(x+25) -2$
f)
$y = -2\cdot\log_{100}(x+5)+20 $
#umkehrfunktion

Aufgabe 4

a)
Zeichne den Graphen von $f:\; y = 2^x$ und der zugehörigen Umkehrfunktion $f^{-1}$ für $x\in [-4;8]$ und $y\in [-4;8].$
b)
Bestimme mit Hilfe der Abbildung aus Teilaufgabe a) Näherungswerte für folgende Terme:
(2)
$\log_26$
(4)
$3\cdot \log_25+1$
(6)
$-4\cdot\log_85 -2$
(8)
$-2\cdot\log_38 + 1$
(10)
$2\cdot\log_{1,5}\frac{1}{2} +3$
#umkehrfunktion

Aufgabe 5

Bestimme $a\in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}$, sodass der Punkt $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt.
b)
$f:\; y = \log_a(x -1)$, $A\left( 257\mid 8\right)$
d)
$f:\; y = 3\log_{a}(x+1)$, $A\left( 0,5\mid -3 \right)$
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang bestimmen
Führe einen Basiswechsel durch, um alle Logarithmen auf eine gemeinsame Basis zu bringen. Verwende dafür beispielsweise die Basis $2$. Für $f_2$ kannst du die Funktionsgleichung wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} f_2:\; y &=& \log_8 x&\quad \scriptsize \text{Basiswechsel} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 8} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 2^3}\\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{3}\\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \log_2x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2:\; y &=& \log_8 x\\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 8} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 2^3}\\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{3}\\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \log_2x \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $f_3$ kannst du wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} f_3:\; y&=& \log_{32} x &\quad \scriptsize \text{Basiswechsel} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 32} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 2^5} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{5}\\[5pt] &=& \frac{1}{5} \cdot \log_2x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_3:\; y&=& \log_{32} x \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 32} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{\log_2 2^5} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_2x}{5}\\[5pt] &=& \frac{1}{5} \cdot \log_2x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichungen von $f_2$ und $f_3$ lassen sich auf die Form $y = k\cdot \log_2 x$ bringen. $f_2$ und $f_3$ lassen sich also auf die Grundfunktion $f_1$ zurückführen. Sie entstehen durch Abbildung von $f_1$ mit einer orthogonalen Affinität. Die zugehörigen Funktionsgraphen gehen demnach aus dem von $f_1$ durch Stauchung um den Faktor $k$ hervor.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Abbildung durch orthogonale Affinität ausführen
Du sollst die Funktion $f: \; y = log_5 x$ mit einer orthogonalen Affinität mit dem Faktor $k = -3$ abbilden. Dazu kannst du folgende Formel nutzen:
$y = \log_ax \quad \overset{k}\longmapsto \quad y = k\cdot \log_ax $
$y = \log_ax $$\overset{k}\longmapsto y = k\cdot \log_ax $
Wende dies auf die gegebene Funktionsgleichung an.
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also $f':\; y = -3\cdot \log_5x$.
$\blacktriangleright$  Abbildung durch Verschiebung durchführen
Der Graph der Grundfunktion $f:\; y = \log_a x$ wird durch Verschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{b\\c}$ wie folgt abgebildet:
$y = \log_ax \quad \overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \quad y = \log_a (x-b) +c$
$y = \log_ax $
$\overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto $
$ y = \log_a (x-b) +c$
Setze also die gegebenen Werte ein. Die Gleichung des Bildgraphen lautet:
$f'':\; $ $y = \log_5 (x-1)-6$
(2)
$\blacktriangleright$  Abbildungen hintereinander ausführen
Die Gleichung von $f'$ ist bereits das Ergebnis der Abbildung mit einer orthogonalen Affinität. Wende darauf nun die Abbildung durch Verschiebung an.
Die Gleichung des Bildgraphen lautet:
$f_1: \; $ $ y = -3\cdot \log_5(x-1)-6 $.
(3)
$\blacktriangleright$  Reihenfolge der Abbildungen ändern
Wende nun die Abbildung durch orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = -3$ auf $f''$ an, deren Graph bereits verschoben ist:
$\begin{array}[t]{rll} f'':\; y &=&\log_5(x-1) - 6 \\[10pt] f_2:\; y&=& -3\cdot \left(\log_5(x-1) -6\right) \\[5pt] &=& -3\cdot \log_5(x-1) +18\\[5pt] \end{array}$
$ f_2:\; y= … $
Die Gleichung des Bildgraphen lautet also:
$f_2: \; $ $ y = -3\cdot \log_5(x-1) +18$
Dir sollte auffallen, dass sich $f_1$ und $f_2$ in der Verschiebung entlang der $y$-Achse unterscheiden, obwohl sie durch die gleichen Abbildungen der gleichen Grundfunktion entstanden sind. Der Unterschied ist die Reihenfolge, in der die Abbildungen ausgeführt wurden. Achte also bei Aufgabenstellungen immer auf die geforderte Reihenfolge der Abbildungen, die angewendet werden sollen.
c)
Die Gleichung der Umkehrfunktion von $f$ kannst du wie folgt bestimmen:
  1. Forme die Funktionsgleichung von $f$ nach $x$ um.
  2. Vertausche die Variablen $x$ und $y$.
(1)
$\blacktriangleright$  Umkehrfunktion bestimmen
Forme die Funktionsgleichung zunächst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot 4^{x+1} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] \dfrac{y}{3} &=& 4^{x+1} &\quad \scriptsize \mid\; \log_4\\[5pt] \log_4\frac{y}{3}&=& x+1&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] \log_4\frac{y}{3} - 1&=& x \\[5pt] \log_4 y -\log_43 - \log_4 4 &=& x \\[5pt] \log_4y -\left( \log_4 3 +\log_44\right)&=&x\\[5pt] \log_4 y - \log_4 (3\cdot 4)&=& x\\[5pt] \log_4 y - \log_4 12&=& x\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot 4^{x+1} \\[5pt] &…&\\[5pt] x&=&\log_4 y - \log_4 12 \\[5pt] \end{array}$
Vertausche nun die Variablen. Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}:\; $ $y = \log_4 x - \log_4 12$.
(2)
$\blacktriangleright$  Umkehrfunktion bestimmen
Forme die Funktionsgleichung zunächst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \frac{1}{2}\cdot \lg(x-4) -1&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] y+1&=& \frac{1}{2}\cdot \lg(x-4)&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2\cdot(y+1) &=&\lg(x-4) &\quad \scriptsize \mid\; 10^x\\[5pt] 10^{2\cdot(y+1)}&=& x-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 10^{2\cdot(y+1)} + 4 &=& x \\[5pt] \left(10^2\right)^{y+1} + 4&=& x \\[5pt] 100^{y+1} +4 &=& x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \frac{1}{2}\cdot \lg(x-4) -1 \\[5pt] &…& \\[5pt] x&=& 100^{y+1} +4 \\[5pt] \end{array}$
Vertausche nun die Variablen. Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}:\; $ $y =100^{x+1} +4$.
d)
$\blacktriangleright$  Näherungswerte bestimmen
Beide Näherungswerte kannst du mit derselben Abbildung bestimmen, indem du bei einem der beiden Logarithmen einen Basiswechsel durchführst. Wechsle beispielsweise von der Basis $9$ auf die Basis $3$.
$\begin{array}[t]{rll} \log_9 5&=& \dfrac{\log_3 5}{\log_3 9} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_3 5}{\log_3 3^2} \\[5pt] &=& \dfrac{\log_3 5}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \log_35 \end{array}$
Skizziere also den Graphen von $f:\; y = \log_3x$. Achte darauf, das Koordinatensystem so zu wählen, dass du den Funktionswert an der Stelle $x = 5$ ablesen kannst.
Logarithmusfunktion: Allgemeine Logarithmusfunktion
Abb. 1: Graph zu $f:\, y = \log_3x$
Logarithmusfunktion: Allgemeine Logarithmusfunktion
Abb. 1: Graph zu $f:\, y = \log_3x$
Du kannst beispielsweise folgenden Näherungswert ablesen:
$\log_35 \approx 1,4$
Für den zweiten Logarithmus ergibt sich entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \log_9 5&=&\frac{1}{2} \log_35\\[5pt] &\approx& \frac{1}{2} 1,4 \\[5pt] &=& 0,7 \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Du sollst den Wert für $a$ so bestimmen, dass der Punkt $A(64\mid 2)$ auf dem Graphen von $y = \log_ax$ liegt. Setze dazu die Koordinaten von $A$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\log_ax \\[5pt] 2&=&\log_a 64 &\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] a^2&=& 64 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] a&=& 8 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\log_ax \\[5pt] …\\[5pt] a&=& 8 \end{array}$
Für $a=8$ liegt der Punkt $A(64\mid 2)$ auf dem Graphen von $y = \log_ax$.

Aufgabe 1

Gehe wie in Teil b) der Einführungsaufgabe vor, indem du folgende Formeln verwendest:
$y = \log_ax $ $\, \overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \,$ $y = \log_a(x-b)+c$
$y = \log_ax $
$\, \overset{\overrightarrow{v}}\longmapsto \,$
$y = \log_a(x-b)+c$
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen bestimmen
Nach Anwendung der Abbildung durch die orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = -3$ erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f:\; y&=& \lg x \\[10pt] f':\; y&=& k\cdot \lg x\\[5pt] &=& -3\cdot \lg x \\[5pt] \end{array}$
Wende nun die Abbildung durch Verschiebung mit $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-2\\1}$ an:
$f'':\; y= -3\cdot…$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen bestimmen
Nach Anwendung der Abbildung durch die orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = -2$ erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f:\; y&=& \log_5 x \\[10pt] f':\; y&=& k\cdot \log_5 x\\[5pt] &=& -2\cdot \log_5 x \\[5pt] \end{array}$
Wende nun die Abbildung durch Verschiebung mit $\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\-4}$ an:
$f'':\; y= -2\cdot…$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen bestimmen
Nach Anwendung der Abbildung durch die orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = 4$ erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f:\; y&=& \log_3(x-5) \\[10pt] f':\; y&=& k\cdot \log_5 x\\[5pt] &=& 4\cdot \log_3 (x-5) \\[5pt] \end{array}$
Wende nun die Abbildung durch Verschiebung mit $\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\5}$ an:
$\begin{array}[t]{rll} f':\; y&=& 4\cdot \log_3 (x-5) \\[10pt] f'':\; y &=& 4\cdot \log_3 (x-5-3) +5 \\[5pt] &=& 4\cdot \log_3 (x-8) +5\\[5pt] \end{array}$
$ f'': \; y = 4\cdot …$
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen bestimmen
Nach Anwendung der Abbildung durch die orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = 3$ erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f:\; y&=& \log_{100}x + 4\\[10pt] f':\; y&=& k\cdot \left(\log_{100}x + 4\right)\\[5pt] &=&3\cdot \left(\log_{100}x + 4\right)\\[5pt] &=&3\cdot \log_{100}x + 12 \\[5pt] \end{array}$
$f':\; y = 3\cdot …$
Wende nun die Abbildung durch Verschiebung mit $\overrightarrow{v} = \pmatrix{0\\0}$ an:
$\begin{array}[t]{rll} f':\; y&=& 3\cdot \log_{100}x + 12 \\[10pt] f'':\; y &=& 3\cdot \log_{100}(x-0) + 12+0 \\[5pt] &=& 3\cdot \log_{100}x + 12 \\[5pt] \end{array}$
$f'':\; y = 3\cdot …$
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen bestimmen
Nach Anwendung der Abbildung durch die orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = -3$ erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f:\; y&=&\log_4(x+2) -5\\[10pt] f':\; y&=& k\cdot \left(\log_4(x+2) -5\right)\\[5pt] &=& -3\cdot \left(\log_4(x+2) -5\right)\\[5pt] &=& -3\cdot \log_4(x+2) + 15 \\[5pt] \end{array}$
$f':\; y= -3\cdot …$
Wende nun die Abbildung durch Verschiebung mit $\overrightarrow{v} = \pmatrix{1\\1}$ an:
$\begin{array}[t]{rll} f':\; y&=& -3\cdot \log_4(x+2) + 15 \\[10pt] f'':\; y &=& -3\cdot \log_4(x+2-1) + 15+1 \\[5pt] &=& -3\cdot \log_4(x+1) + 16 \\[5pt] \end{array}$
$f'':\;y = -3\cdot…$
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung des Bildgraphen bestimmen
Nach Anwendung der Abbildung durch die orthogonale Affinität mit dem Faktor $k = -4$ erhältst du folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f:\; y&=&3\log_{20}(x-10) +30\\[10pt] f':\; y&=& k\cdot \left(3\log_{20}(x-10) +30\right)\\[5pt] &=& -4\cdot \left(3\log_{20}(x-10) +30\right)\\[5pt] &=& -12\log_{20}(x-10) -120 \\[5pt] \end{array}$
$f':\; y = -12…$
Wende nun die Abbildung durch Verschiebung mit $\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\-3}$ an:
$\begin{array}[t]{rll} f':\; y&=& -12\log_{20}(x-10) -120 \\[10pt] f'':\; y &=& -12\log_{20}(x-10-3) -120-3 \\[5pt] &=& -12\log_{20}(x-13) -123 \\[5pt] \end{array}$
$f'': \; $ $y = -12\log_{20}(x-13) -123$

Aufgabe 2

Die Gleichung der Umkehrfunktion kannst du wie in Teil c) der Einführungsaufgabe bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Stelle die Funktionsgleichung mit Hilfe des Logarithmus nach $x$ um.
  2. Vertausche die Variablen $x$ und $y$ miteinander.
Wie du im Spickzettel nachlesen kannst, gelten für eine Logarithmusfunktion der Form $f:\; y = k\cdot \log_a (x-b) +c$ folgende Eigenschaften:
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > b\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a > 1 $ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
    $a > 1 $ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b$
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rrll} f:\,& y &=& 5^x &\quad \scriptsize \text{Logarithmusschreibweise} \\[5pt] &\log_5 y &=&x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} y &=& 5^x \\[5pt] \log_5 y &=&x \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}: \, y = \log_5 x$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f^{-1}}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D}= \{x\in \mathbb{R}\mid x > 0\} $ $= \mathbb{R}^+$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 5 > 1 $ und $k =1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = 0$, also die $y$-Achse
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rrll} f:\,& y &=& 3^{x-3} &\quad \scriptsize \text{Logarithmusschreibweise} \\[5pt] &\log_3y&=& x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] &\log_3y +3&=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} y &=& 3^{x-3} \\[5pt] &…&\\[5pt] \log_3y +3&=& x \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}: \, y =\log_3x +3 $.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f^{-1}}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > 0\} $ $= \mathbb{R}^+$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 3 > 1 $ und $k = 1> 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b= 0$, also die $y$-Achse
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rrll} f:\, &y &=& 10^{x}-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] &y+4&=& 10^x &\quad \scriptsize \text{Logarithmusschreibweise}\\[5pt] &\log_{10}(y+4)&=& x \\[5pt] &\lg(y+4)&=&x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} y &=& 10^{x}-4 \\[5pt] &…&\\[5pt] \lg(y+4)&=&x \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}: \, y =\lg(x+4) $.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f^{-1}}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x >-4\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 10 > 1 $ und $k = 1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = -4$
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rrll} f:\;& y&=& \frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + \frac{1}{4}&\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{4} \\[5pt] &y-\frac{1}{4}&=& \frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 8 \\[5pt] &8\left(y-\frac{1}{4}\right)&=& \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} &\quad \scriptsize \text{Logarithmusschreibweise} \\[5pt] &\log_{\frac{1}{2}} \left( 8\left(y-\frac{1}{4}\right)\right)&=& x-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] &\log_{\frac{1}{2}} \left( 8\left(y-\frac{1}{4}\right)\right) +1&=& x \\[5pt] &\log_{\frac{1}{2}} 8 + \log_{\frac{1}{2}} \left( y-\frac{1}{4} \right)&=& x \\[5pt] &-3 + \log_{\frac{1}{2}} \left( y-\frac{1}{4} \right)&=& x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} y&=& \frac{1}{8}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + \frac{1}{4} \\[5pt] &…&\\[5pt] x &=& -3 + \log_{\frac{1}{2}} \left( y-\frac{1}{4} \right) \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}:\; $ $y = \log_{\frac{1}{2}} \left(x-\frac{1}{4}\right) - 3$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f^{-1}}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x >\frac{1}{4}\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = \frac{1}{2} < 1 $ und $k = 1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
  • Asymptote: $x = b = \frac{1}{4}$
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rrll} f:\;& y&=& 3\cdot 9^{x+2} - 3&\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] &y+3&=& 3\cdot 9^{x+2} &\quad \scriptsize \mid\;: 3 \\[5pt] &\frac{1}{3}\cdot (y+3)&=& 9^{x+2} &\quad \scriptsize \text{Logarithmusschreibweise} \\[5pt] &\log_{9} \left( \frac{1}{3}\cdot (y+3)\right)&=& x+2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] &\log_{9} \left( \frac{1}{3}\cdot (y+3)\right) -2 &=& x \\[5pt] &\log_{9}\frac{1}{3} +\log_{9} \left(y+3\right)-2&=& x \\[5pt] &-\frac{1}{2}+ \log_{9} \left(y+3\right)-2&=& x \\[5pt] & \log_{9} \left(y+3\right)-2,5&=& x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} y&=& 3\cdot 9^{x+2} - 3 \\[5pt] &…&\\[5pt] x&=& \log_{9} \left(y+3\right)-2,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}:\; y = \log_{9} \left(x+3\right)-2,5$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f^{-1}}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x >-3\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 9 > 1 $ und $k = 1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = -3$
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rrll} f:\;& y&=& 0,01\cdot 100^{x+2} +10&\quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] &y-10&=& 0,01\cdot 100^{x+2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100 \\[5pt] &100\cdot (y-10)&=& 100^{x+2} &\quad \scriptsize \text{Logarithmusschreibweise} \\[5pt] &\log_{100} \left( 100\cdot (y-10)\right)&=& x+2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] &\log_{100} \left( 100\cdot (y-10)\right) -2 &=& x \\[5pt] &\log_{100} 100+\log_{100} \left( y-10\right)-2&=& x \\[5pt] &1 +\log_{100} \left( y-10\right)-2 &=& x \\[5pt] & \log_{100} \left( y-10\right)-1 &=& x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rrll} y&=& 0,01\cdot 100^{x+2} +10 \\[5pt] &…& \\[5pt] x&=& \log_{100} \left( y-10\right)-1 \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}:\; y = \log_{100} \left( x-10\right)-1$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f^{-1}}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > 10\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 100 > 1 $ und $k = 1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = 10$

Aufgabe 3

Die Gleichung der Umkehrfunktion kannst du wie in Teil c) der Einführungsaufgabe bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Stelle die Funktionsgleichung mit Hilfe der Exponentialschreibweise nach $x$ um.
  2. Vertausche die Variablen $x$ und $y$ miteinander.
Wie du im Spickzettel nachlesen kannst, gelten für eine Logarithmusfunktion der Form $f:\; y = k\cdot \log_a (x-b) +c$ folgende Eigenschaften:
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > b\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a > 1 $ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
    $a > 1 $ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
    $0 < a < 1$ und $k < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b$
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} f:\;& y &=& \lg x \\[5pt] &y&=& \log_{10} x &\quad \scriptsize\text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] &10^y&=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \lg x \\[5pt] y&=& \log_{10} x \\[5pt] 10^y&=& x \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}: \, y = 10^x $.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > 0\} $ $= \mathbb{R}^+$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 10 > 1 $ und $k =1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = 0$, also die $y$-Achse
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} f:\;& y &=& \log_3(x+1)&\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] &3^y&=& x+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] &3^y-1&=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \log_3(x+1) \\[5pt] &…& \\[5pt] x&=& 3^y-1 \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also
$f^{-1}: \, y = 3^x-1$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > -1\} $
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 3 > 1 $ und $k =1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = -1$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} f:\;& y &=& \log_2x -2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] &y+2&=& \log_2x &\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise}\\[5pt] &2^{y+2}&=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \log_2x -2 \\[5pt] &…& \\[5pt] x&=& 2^{y+2} \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}: \, y = 2^{x+2} $.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > 0\}$ $ = \mathbb{R}^+$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 2 > 1 $ und $k =1 > 0: \quad$ $f$ ist streng monoton steigend
  • Asymptote: $x = b = 0$, also die $y$-Achse
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} f:\;& y &=& -\log_5(x+25) -2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] &y+2&=& - \log_5(x+25) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] &-y-2&=&\log_5(x+25) &\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] &5^{-y-2}&=& x+25 &\quad \scriptsize \mid\; -25 \\[5pt] &5^{-y-2} -25&=&x\\[5pt] &5^{-(y+2)} -25&=&x\\[5pt] &\left(5^{-1}\right)^{y+2} -25&=&x\\[5pt] &\left(\frac{1}{5}\right)^{y+2} -25&=&x\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -\log_5(x+25) -2 \\[5pt] &…& \\[5pt] x&=&\left(\frac{1}{5}\right)^{y+2} -25\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}: \, $ $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x+2} -25$.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > -25\} $ $= \mathbb{R}^+$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 5 > 1 $ und $k = -1 < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
  • Asymptote: $x = b = -25$
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} f:\;& y &=& -3\cdot \log_{27}(x-3) + 9 &\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] &y-9&=& -3\cdot \log_{27}(x-3)&\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] &-\frac{1}{3}(y-9)&=& \log_{27}(x-3) &\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise}\\[5pt] &27^{-\frac{1}{3}(y-9)}&=& x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] &27^{-\frac{1}{3}(y-9)} +3&=& x \\[5pt] &\left(27^{-\frac{1}{3}}\right)^(y-9) + 3 &=& x \\[5pt] &\left(\frac{1}{3}\right)^{y-9} + 3 &=& x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -3\cdot \log_{27}(x-3) + 9\\[5pt] &…& \\[5pt] x&=& \left(\frac{1}{3}\right)^{y-9} + 3\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}: \,$ $ y =\left(\frac{1}{3}\right)^(x-9) + 3 $.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > 3\} $ $= \mathbb{R}^+$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 27 > 1 $ und $k =-3 < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton fallend
  • Asymptote: $x = b = 3$
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen
Forme zuerst nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} f:\;& y &=& -2\cdot\log_{100}(x+5)+20 &\quad \scriptsize \mid\; -20 \\[5pt] &y-20&=&-2\cdot\log_{100}(x+5) &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] &-\frac{1}{2}(y-20) &=& \log_{100} (x+5)&\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] &100^{-\frac{1}{2}(y-20)}&=& x+5 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] &100^{-\frac{1}{2}(y-20)} -5&=&x \\[5pt] &\left(100^{-\frac{1}{2}}\right)^{y-20}&=& x \\[5pt] &0,1^{y-20}&=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -2\cdot\log_{100}(x+5)+20 \\[5pt] &…&\\[5pt] x&=& 0,1^{y-20} \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}: \,$ $ y =0,1^{x-20} $.
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von $\boldsymbol{f}$ angeben
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \{x\in \mathbb{R}\mid x > -5\}$
  • Wertemenge: $\mathbb{W}= \mathbb{R}$
  • Monotonie:
    $a = 100 > 1 $ und $k =-2 < 0: \quad$ $f$ ist streng monoton wachsend
  • Asymptote: $x = b = -5$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Du sollst den Graphen von $f:\; y = 2^x$ und den der zugehörigen Umkehrfunktion zeichnen. Für den Bereich ist dir $x\in [-4;8]$ vorgegeben. Lege also eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen von $f$.
Den Graphen der Umkehrfunktion erhältst du durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der ersten Winkelhalbierenden.
Du erhältst in etwa folgendes Schaubild:
Logarithmusfunktion: Allgemeine Logarithmusfunktion
Abb. 2: $f: \; y = 2^x$ und $f^{-1}$
Logarithmusfunktion: Allgemeine Logarithmusfunktion
Abb. 2: $f: \; y = 2^x$ und $f^{-1}$
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $2^{2,5}$. Lies also den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x= 2,5$ ab:
$2^{2,5} \approx 5,5 $
(2)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $\log_26$. Lies also den Funktionswert von $f^{-1}$ an der Stelle $x= 6$ ab:
$\log_26 \approx 2,6 $
(3)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $3\cdot 2^{0,3}$. Lies also den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x= 0,3$ ab:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 2^{0,3}&=& 3\cdot f(0,3) \\[5pt] &\approx& 3\cdot 1,2 \\[5pt] &=& 3,6 \end{array}$
(4)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $3\cdot \log_25+1$. Lies also den Funktionswert von $f^{-1}$ an der Stelle $x= 5$ ab:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot \log_25+1&=& 3\cdot f^{-1}(5)+1 \\[5pt] &\approx& 3\cdot 2,3+1 \\[5pt] &=& 7,9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & &3\cdot \log_25+1\\[5pt] &=& 3\cdot f^{-1}(5)+1 \\[5pt] &\approx& 3\cdot 2,3+1 \\[5pt] &=& 7,9 \end{array}$
(5)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $0,5\cdot 4^{1,5}$. Damit du deine Abbildung verwenden kannst, musst du die Potenz erst auf die passende Basis bringen. Lies anschließend den Funktionswert von $f$ an der richtigen Stelle ab:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5\cdot 4^{1,5}&=& 0,5\cdot \left(2^2\right)^{1,5} \\[5pt] &=& 0,5\cdot 2^{2\cdot 1,5} \\[5pt] &=& 0,5\cdot 2^{3} \\[5pt] &=& 0,5\cdot f(3) \\[5pt] &=& 0,5\cdot 8 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
(6)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $-4\cdot\log_85 -2$. Damit du deine Abbildung verwenden kannst, musst du zuerst einen Basiswechsel durchführen. Lies anschließend den Funktionswert von $f^{-1}$ an der richtigen Stelle ab:
$\begin{array}[t]{rll} -4\cdot\log_85 -2&=& -4\cdot\dfrac{\log_25}{\log_28} -2 \\[5pt] &=& -4\cdot\dfrac{\log_25}{3} -2 \\[5pt] &\approx& -4\cdot\dfrac{2,3}{3} -2 \\[5pt] &\approx& -5,1 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&-4\cdot\log_85 -2\\[5pt] &=& -4\cdot\dfrac{\log_25}{\log_28} -2 \\[5pt] &=& -4\cdot\dfrac{\log_25}{3} -2 \\[5pt] &\approx& -4\cdot\dfrac{2,3}{3} -2 \\[5pt] &\approx& -5,1 \\[5pt] \end{array}$
(7)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $-0,5\cdot 4^{0,75}$. Damit du deine Abbildung verwenden kannst, musst du die Potenz zuerst auf die richtige Basis bringen. Lies anschließend den Funktionswert von $f$ an der richtigen Stelle ab:
$\begin{array}[t]{rll} -0,5\cdot 4^{0,75}&=& -0,5\cdot \left(2^2\right)^{0,75} \\[5pt] &=& -0,5\cdot 2^{2\cdot 0,75} \\[5pt] &=& -0,5\cdot 2^{1,5} \\[5pt] &\approx& -0,5\cdot 2,8 \\[5pt] &=& -1,4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&-0,5\cdot 4^{0,75}\\[5pt] &=& -0,5\cdot \left(2^2\right)^{0,75} \\[5pt] &=& -0,5\cdot 2^{2\cdot 0,75} \\[5pt] &=& -0,5\cdot 2^{1,5} \\[5pt] &\approx& -0,5\cdot 2,8 \\[5pt] &=& -1,4 \end{array}$
(8)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $-2\cdot\log_38 + 1$. Damit du deine Abbildung verwenden kannst, musst du zuerst einen Basiswechsel durchführen. Lies anschließend den Funktionswert von $f^{-1}$ an der richtigen Stelle ab:
$\begin{array}[t]{rll} -2\cdot\log_38 + 1&=& -2\cdot\dfrac{\log_28}{\log_23} + 1 \\[5pt] &=& -2\cdot\dfrac{3}{\log_23} + 1 \\[5pt] &=& \dfrac{-6}{\log_23} + 1 \\[5pt] &=& \dfrac{-6}{f^{-1}(3)} + 1 \\[5pt] &\approx& \dfrac{-6}{1,6} + 1 \\[5pt] &=& -2,75 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&-2\cdot\log_38 + 1\\[5pt] &=& -2\cdot\dfrac{\log_28}{\log_23} + 1 \\[5pt] &=& -2\cdot\dfrac{3}{\log_23} + 1 \\[5pt] &=& \dfrac{-6}{\log_23} + 1 \\[5pt] &=& \dfrac{-6}{f^{-1}(3)} + 1 \\[5pt] &\approx& \dfrac{-6}{1,6} + 1 \\[5pt] &=& -2,75 \end{array}$
(9)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $2\cdot\log_{5,5} 6,3 +2$. Damit du deine Abbildung verwenden kannst, musst du zuerst einen Basiswechsel durchführen. Lies anschließend den Funktionswert von $f^{-1}$ an der richtigen Stelle ab:
$\begin{array}[t]{rll} &&2\cdot\log_{5,5} 6,3 +2\\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{\log_26,3}{\log_25,5} +2 \\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{f^{-1}(6,3)}{f^{-1}(5,5)} +2 \\[5pt] &\approx &2\cdot\dfrac{2,7}{2,4} +2 \\[5pt] &=& 4,25 \\[5pt] \end{array}$
(10)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
Gesucht ist ein Näherungswert für $2\cdot\log_{1,5}\frac{1}{2} +3$. Damit du deine Abbildung verwenden kannst, musst du zuerst einen Basiswechsel durchführen. Lies anschließend den Funktionswert von $f^{-1}$ an der richtigen Stelle ab:
$\begin{array}[t]{rll} &&2\cdot\log_{1,5}\frac{1}{2} +3\\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{\log_2\frac{1}{2}}{\log_21,5} +3 \\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{-1}{\log_21,5} +3 \\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{-1}{f^{-1}(1,5)} +3 \\[5pt] &\approx &\dfrac{-2}{0,6} +3 \\[5pt] &=&-\frac{1}{3} \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 5

Dir ist jeweils die Gleichung einer Logarithmusfunktion $f$ gegeben, die vom Parameter $a$ abhängt. Du sollst $a$ so bestimmen, dass der Punkt $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt. Setze also die Koordinaten von $A$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf.
a)
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
$f:\; y = \log_ax $, $A\left( 81\mid 4 \right)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \log_ax \\[5pt] 4&=&\log_a81 &\quad \scriptsize \text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] a^4&=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] a^2&=& 9&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a&=& 3 \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet also $f:\; y = \log_3x$.
b)
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
$f:\; y = \log_a(x-1)$, $A\left( 257\mid 8\right)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \log_a(x -1) \\[5pt] 8&=&\log_a(257 -1) &\quad \scriptsize \\[5pt] 8&=& \log_a256 &\quad \scriptsize\text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] a^8&=& 256&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a^4&=& 16&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a^2&=& 4&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a&=& 2 \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet also $f:\; y = \log_3x$.
c)
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
$f:\; y = \log_a(x-3)+2$, $A\left( 4\mid 2\right)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \log_a(x-3)+2 \\[5pt] 2&=&\log_a(4 -3)+2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] 0&=& \log_a(1) &\quad \scriptsize\text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] a^0&=& 1 \end{array}$
Diese Gleichung ist für alle $a\in \mathbb{R}$ erfüllt. Es kann also jedes $a\in \mathbb{R}^+ \setminus\{1\}$ eingesetzt werden.
d)
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
$f:\; y = 3\log_{a}(x+1)$, $A\left( 0,5\mid -3 \right)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\log_{a}(x+1) \\[5pt] -3&=&3\log_{a}(0,5+1) &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] -1&=& \log_{a}(1,5) &\quad \scriptsize\text{Exponentialschreibweise} \\[5pt] a^{-1}&=& 1,5\\[5pt] \frac{1}{a}&=& 1,5&\quad \scriptsize \mid\;\cdot a\\[5pt] 1&=& 1,5a&\quad \scriptsize \mid\;:1,5\\[5pt] \frac{2}{3}&=& a \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet also $f:\; y= 3\log_{\frac{2}{3}}(x+1)$.
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