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Einführung

Spickzettel
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Das Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Für $a\in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$, $x\in \mathbb{R}$ und $y \in \mathbb{R}^+$ gilt daher:
$\log_{\color{#2D6EC8}{a}}\color{#a0321e}{y} = \color{#fa7d19}{x}\quad $ $\Leftrightarrow \quad$ $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#fa7d19}{x} = \color{#a0321e}{y}$
$\log_{\color{#2D6EC8}{a}}\color{#a0321e}{y} = \color{#fa7d19}{x}\quad $ $\Leftrightarrow \quad$ $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#fa7d19}{x} = \color{#a0321e}{y}$
Sprechweise: „ $\color{#fa7d19}{x}$ ist der Logarithmus von $\color{#a0321e}{y}$ zur Basis $\color{#2D6EC8}{a}$.“
$\color{#a0321e}{y}$ heißt Numerus des Logarithmus.
Das Ergebnis $\color{#fa7d19}{x}$ des Logarithmus ist die Zahl, mit der du die Basis $\color{#2D6EC8}{a}$ potenzieren musst, um den Numerus $\color{#a0321e}{y}$ zu erhalten.
Den Numerus kannst du berechnen, indem du den Logarithmus in die obige Exponentialschreibweise umformst und die Potenz berechnest.
Den Logarithmus kannst du ohne Taschenrechner auf zwei Wege berechnen:
  • Bestimme durch Ausprobieren, wie oft die Basis $a$ mit sich selbst multipliziert werden muss, um den entsprechenden Numerus zu erhalten.
  • Forme den Logarithmus in die Exponentialschreibweise um. Klammere die Basis $a$ so oft im Numerus $y$ aus, bis du eine Darstellung der Form $a\cdot a\cdot … \cdot a =a^x$ erhältst und fasse die linke Seite zu einer Potenz zusammen.
Ist die Basis $a=10$, wird oft folgende Schreibweise verwendet:
$\log_{10}y = \lg y$
$\log_{10}y = \lg y$
#logarithmus
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Einführungsaufgabe

a)
Berechne $x$ ohne Verwendung des Taschenrechners.
(2)
$x = \lg 1.000$
(4)
$\lg x = 5$
(6)
$\log_x 27= 3$
b)
Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt $\lg 3.285$? Schätze ohne Verwendung des Taschenrechners.
c)
Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion $f:\, y = 10^x$. Ergänze den Graphen der Logarithmusfunktion $f^{-1}: \, y = \lg x $ ohne Hilfe einer Wertetabelle und löse folgende Aufgaben näherungsweise mit Hilfe deiner Zeichnung.
(2)
$10^{-1,3}$
(4)
$\lg 0,2$
#logarithmus#logarithmusfunktion#exponentialfunktion

Aufgabe 1

Berechne den Logarithmus ohne Verwendung des Taschenrechners.
b)
$\log_381$
d)
$\lg10.000$
f)
$\log_327$
h)
$\log_5125$
j)
$\log_21.024$
#logarithmus

Aufgabe 2

Berechne den Numerus ohne Verwendung des Taschenrechners.
b)
$\log_4x = 2 $
d)
$\log_3x = \frac{1}{2} $
f)
$\lg x = 5$
h)
$\log_{0,5}x = -6 $
j)
$\log_{0,1}x = -2 $
#numerus#logarithmus

Aufgabe 3

Ordne ohne Verwendung des Taschenrechners zwischen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ein.
b)
$\lg 400 $
d)
$\log_{2}1.512$
#logarithmus

Aufgabe 4

Ordne der Größe nach ohne Verwendung des Taschenrechners.
a)
$10^3 $ $\quad$ $10^{-4,5} $ $\quad$ $\lg 10.000 $ $\quad$ $\lg{400} $
b)
$\lg 10 $ $\quad$ $\log_310 $ $\quad$ $\log_250 $ $\quad$ $5^{-2} $ $\quad$ $10^{-0,4} $ $\quad$ $\log_{0,5}8$
c)
$4^{-0,5} $ $\quad$ $\lg 140 $ $\quad$ $\log_{5}175 $ $\quad$ $\log_{7}35$ $\quad$ $6^{4}$
#potenz#logarithmus

Aufgabe 5

Berechne die fehlenden Werte für $a^n = c$ ohne Verwendung des Taschenrechners.
a)b)c)d)e)f)g)h)
$a$$4$$3$ $ 27$ $10 $$3$$ $
$n$$3$ $4$$ $$-4$$ -3$$ $$-3$
$c$ $27$$625$$ 3$$16 $ $243 $$125$
$a$$n$$c$
a)$4 $$3 $
b)$ 3$ $27$
c) $4 $$625$
d)$ 27$ $3$
e) $-4 $$ 16$
f)$10 $$ -3$
g)$3 $ $243 $
h) $-3 $$125$

Aufgabe 6

Bestimme mit Hilfe einer Abbildung jeweils einen Näherungswert.
b)
$10^{-0,5}$
d)
$10^{-0,3}$
f)
$\lg 0,3$
h)
$\lg 1,4$
#potenz#logarithmus

Aufgabe 7

Berechne mit dem Taschenrechner.
b)
$\lg 15$
d)
$\lg 0,04$
f)
$\lg 244,2$
h)
$\lg 13,574$
#logarithmus
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Einführungsaufgabe

a)
Das Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Daher gilt für $a\in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$, $x\in \mathbb{R}$ und $y \in \mathbb{R}^+$ folgende Äquivalenz:
$\log_{\color{#2D6EC8}{a}}\color{#a0321e}{y} = \color{#fa7d19}{x}\quad $ $\Leftrightarrow \quad$ $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#fa7d19}{x} = \color{#a0321e}{y}$
$\log_{\color{#2D6EC8}{a}}\color{#a0321e}{y} = \color{#fa7d19}{x}\quad $ $\Leftrightarrow \quad$ $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#fa7d19}{x} = \color{#a0321e}{y}$
Sprechweise: „ $\color{#fa7d19}{x}$ ist der Logarithmus von $\color{#a0321e}{y}$ zur Basis $\color{#2D6EC8}{a}$.“
Ist die Basis $a=10$, wird oft folgende Schreibweise verwendet:
$\log_{10}y = \lg y$
$\log_{10}y = \lg y$
$y$ heißt Numerus des Logarithmus.
Das Ergebnis $\color{#fa7d19}{x}$ des Logarithmus ist also die Zahl mit der du die Basis $\color{#2D6EC8}{a}$ potenzieren musst, um den Numerus $\color{#a0321e}{y}$ zu erhalten.
Den Numerus kannst du berechnen, indem du den Logarithmus in die obige Exponentialschreibweise umformst und die Potenz berechnest.
Den Logarithmus kannst du ohne Taschenrechner auf zwei Wege berechnen:
  • Bestimme durch Ausprobieren, wie oft die Basis $a$ mit sich selbst multipliziert werden muss, um den entsprechenden Numerus zu erhalten.
  • Forme den Logarithmus in die Exponentialschreibweise um. Klammere die Basis $a$ so oft im Numerus $y$ aus, bis du eine Darstellung der Form $a\cdot a\cdot … \cdot a =a^x$ erhältst und fasse die linke Seite zu einer Potenz zusammen.
(1)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \color{#fa7d19}{x}&=& \log_{\color{#2D6EC8}{2}}\color{#db2416}{16}\\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#fa7d19}{x}}&=& \color{#db2416}{16} \\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#fa7d19}{x}} &=& \color{#2D6EC8}{2}\cdot 8\\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#fa7d19}{x}} &=& \color{#2D6EC8}{2}\cdot \color{#2D6EC8}{2}\cdot 4 \\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#fa7d19}{x}} &=& \color{#2D6EC8}{2}\cdot\color{#2D6EC8}{2}\cdot \color{#2D6EC8}{2}\cdot \color{#2D6EC8}{2} \\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#fa7d19}{x}} &=&\color{#2D6EC8}{2}^{\color{#fa7d19}{4}}\\[5pt] \color{#fa7d19}{x} &=& \color{#fa7d19}{4} \end{array}$
Insgesamt gilt also $x = \log_216 = 4$.
(2)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\lg 1.000 \\[5pt] x&=&\log_{10}1.000 \\[5pt] 10^x &=& 1.000 \\[5pt] 10^x&=& 10\cdot 100 \\[5pt] 10^x&=& 10\cdot 10 \cdot 10 \\[5pt] 10^x&=& 10^3 \\[5pt] x&=& 3 \end{array}$
Insgesamt gilt also $x = \lg1.000 = 3$.
(3)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{\color{#2D6EC8}{3}}\color{#a0321e}{x}&=&\color{#fa7d19}{2} \\[5pt] \color{#a0321e}{x}&=& \color{#2D6EC8}{3}^{\color{#fa7d19}{2}}\\[5pt] \color{#a0321e}{x}&=& 9\\[5pt] \end{array}$
Der Numerus ist also $x = 9$.
(4)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \lg x&=&5 \\[5pt] \log_{10}x&=&5 \\[5pt] x&=& 10^5 \\[5pt] x&=& 100.000 \\[5pt] \end{array}$
Der Numerus ist also $x =100.000$.
(5)
$\blacktriangleright$  Basis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_x81&=&2 \\[5pt] x^2&=& 81&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] x&=& 9 \end{array}$
Die Basis ist also $x = 9$.
(6)
$\blacktriangleright$  Basis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_x27&=&3\\[5pt] x^3&=&27\\[5pt] \end{array}$
Wenn du die Lösung nicht auswendig weißt, kannst du sie auch durch Ausprobieren bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 2^3&=& 2\cdot 2\cdot 2 \\[5pt] &=& 8 \\[10pt] 3^3&=&3\cdot 3\cdot 3 \\[5pt] &=&27 \end{array}$
Die Basis ist also $x =3$.
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus einordnen
Du sollst den Logarithmus $\lg 3.285$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen einordnen. Es handelt sich dabei um einen Logarithmus zur Basis $10$. Bestimme also zunächst die nächst kleinere und nächstgrößere Zehnerpotenz, zwischen denen der Numerus $3.285$ liegt. Anschließend kannst du die zugehörigen Exponenten bestimmen.
Der Numerus $3.285$ liegt zwischen den beiden Zehnerpotenzen $1.000$ und $10.000$:
$\begin{array}[t]{rll} 1.000 & <& 3.285 &<& 10.000 \\[5pt] \underbrace{\lg 1.000}_{=3} & <& \lg 3.285 &<& \underbrace{\lg 10.000}_{=4} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1.000 & <& 3.285 \\[5pt] \underbrace{\lg 1.000}_{=3}& <& \lg 3.285 \\[10pt] 3.285 &<& 10.000 \\[5pt] \lg 3.285 &<& \underbrace{\lg 10.000}_{=4} \\[5pt] \end{array}$
Also ist $3 < \lg 3.285 < 4$.
c)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Lege für den Graphen der Exponentialfunktion eine Wertetabelle an. Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, kannst du den Graphen der Exponentialfunktion an der 1. Winkelhalbierenden spiegeln und erhältst so den Graphen der Logarithmusfunktion $f^{-1}$.
$x$$-3 $$ -2$$ -1 $$ 0$$ 1$
$y$$0,001 $$0,01$$0,1$$1$$10$
$x$$y$
$-3$$0,001$
$-2$$0,01$
$-1$$0,1$
$0$$1$
$1$$10$
Du erhältst dann in etwa folgende Abbildung:
Logarithmusfunktion: Einführung
Abb. 1: $\quad f:\, y = 10^x \quad $ und $\quad f^{-1}:\, y = \lg x$
Logarithmusfunktion: Einführung
Abb. 1: $f:\, y = 10^x \quad$ $f^{-1}:\, y = \lg x$
$\blacktriangleright$  Näherungswerte bestimmen
Bei allen vier gesuchten Werten handelt es sich um Funktionswerte der beiden Funktionen $f$ und $f^{-1}$, deren Graphen du oben gezeichnet hast.
Wähle den entsprechenden Graphen, den von $f$ für die Potenzen und den von $f^{-1}$ für die Logarithmen. Lies den gesuchten Funktionswert ab. So erhältst du den Näherungswert.
(1)
$\begin{array}[t]{rll} 10^{0,2}&=& f(0,2) \\[5pt] &\approx& 1,6 \end{array}$
(2)
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-1,3}&=& f(-1,3) \\[5pt] &\approx& 0,08 \end{array}$
(3)
$\begin{array}[t]{rll} \lg 0,6&=& f^{-1}(0,6) \\[5pt] &\approx& -0,2 \end{array}$
(4)
$\begin{array}[t]{rll} \lg 0,2&=& f^{-1}(0,2) \\[5pt] &\approx& -0,7 \end{array}$

Aufgabe 1

Du kannst hier vorgehen, wie in Teil a) der Einführungsaufgabe, indem du die Exponentialschreibweise verwendest. Anschließend bestimmst du den gesuchten Exponenten entweder durch Ausprobieren oder die Faktorisierung des Numerus mit Hilfe der Basis.
a)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_28 \\[5pt] 2^x&=& 8\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 4\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\\[5pt] 2^x&=&2^3\\[5pt] x&=&3 \\[5pt] \log_28&=&3 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_381 \\[5pt] 3^x&=& 81\\[5pt] 3^x&=& 3\cdot 27 \\[5pt] 3^x&=& 3\cdot 3\cdot 9 \\[5pt] 3^x&=& 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \\[5pt] 3^x&=& 3^4 \\[5pt] x&=& 4 \\[5pt] \log_381&=& 4 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_525 \\[5pt] 5^x&=& 25\\[5pt] 5^x&=& 5\cdot 5 \\[5pt] 5^x&=& 5^2 \\[5pt] x&=& 2 \\[5pt] \log_525&=& 2 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\lg10.000 \\[5pt] x&=&\log_{10}10.000\\[5pt] 10^x&=& 10.000 \\[5pt] 10^x&=& 10\cdot 1.000 \\[5pt] 10^x&=& 10\cdot 10\cdot 100\\[5pt] 10^x&=& 10\cdot 10\cdot 10 \cdot 10 \\[5pt] 10^x&=& 10^4\\[5pt] x&=&4\\[5pt] \lg10.000&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\lg10.000 \\[5pt] x&=&\log_{10}10.000\\[5pt] 10^x&=& 10.000 \\[5pt] &\vdots& \\[5pt] 10^x&=& 10^4\\[5pt] x&=&4\\[5pt] 4&=&\lg10.000 \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \log_232 \\[5pt] 2^x&=& 32\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 16 \\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 8\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\\[5pt] 2^x&=& 2^5\\[5pt] x&=& 5\\[5pt] \log_232&=& 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \log_232 \\[5pt] 2^x&=& 32\\[5pt] &\vdots&\\[5pt] 2^x&=& 2^5\\[5pt] x&=& 5\\[5pt] \log_232&=& 5 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_327 \\[5pt] 3^x&=& 27 \\[5pt] 3^x&=& 3\cdot 9 \\[5pt] 3^x&=& 3\cdot 3\cdot 3\\[5pt] 3^x&=&3^3 \\[5pt] x&=&3 \\[5pt] \log_327&=&3 \\[5pt] \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \log_464\\[5pt] 4^x&=& 64 \\[5pt] 4^x&=& 4\cdot 16\\[5pt] 4^x&=& 4\cdot 4\cdot 4 \\[5pt] 4^x&=& 4^3\\[5pt] x&=& 3 \\[5pt] \log_464&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_5125 \\[5pt] 5^x&=& 125\\[5pt] 5^x&=& 5\cdot 25\\[5pt] 5^x&=& 5\cdot 5\cdot 5\\[5pt] 5^x&=& 5^3\\[5pt] x&=& 3 \\[5pt] \log_5125&=&3 \\[5pt] \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \lg 100\\[5pt] x&=&\log_{10} 100\\[5pt] 10^x&=& 100 \\[5pt] 10^x&=& 10\cdot 10 \\[5pt] 10^x&=& 10^2\\[5pt] x&=& 2\\[5pt] \lg 100&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_2 1.024 \\[5pt] 2^x&=& 1.024\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 512 \\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 256\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 128\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 64\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 32\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4\\[5pt] 2^x&=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\\[5pt] 2^x&=& 2^{10}\\[5pt] x&=& 10\\[5pt] \log_21.024&=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_2 1.024 \\[5pt] 2^x&=& 1.024\\[5pt] &\vdots&\\[5pt] 2^x&=& 2^{10}\\[5pt] x&=& 10\\[5pt] 10&=& \log_21.024 \end{array}$

Aufgabe 2

Hier kannst du vorgehen wie in Teil a) der Einführungsaufgabe.
a)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2x&=&4 \\[5pt] x&=& 2^4 \\[5pt] x&=& 16 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4x&=&2 \\[5pt] x&=&4^2 \\[5pt] x&=& 16 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_5x&=&3 \\[5pt] x&=&5^3 \\[5pt] x&=& 125 \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3x&=&\frac{1}{2} \\[5pt] x&=&3^{\frac{1}{2}} \\[5pt] x&=& \sqrt{3} \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{125}x&=& \frac{1}{3} \\[5pt] x&=& 125^{\frac{1}{3}} \\[5pt] x&=& 5 \\[5pt] \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \lg x&=& 5 \\[5pt] \log_{10}x&=& 5 \\[5pt] x&=& 10^5 \\[5pt] x&=& 100.000 \\[5pt] \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{\frac{1}{4}}x&=& -2 \\[5pt] x&=& \left(\frac{1}{4} \right)^{-2}\\[5pt] x&=& \dfrac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{\frac{1}{4^2}} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{\frac{1}{16}} \\[5pt] x&=& 16\\[5pt] \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{0,5}x&=& -6 \\[5pt] x&=& 0,5^{-6} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{0,5^6} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{\frac{1}{64}} \\[5pt] x&=& 64 \\[5pt] \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{0,1}x &=& 2 \\[5pt] x&=& 0,1^2 \\[5pt] x&=& 0,01 \\[5pt] \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Numerus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{0,1}x &=& -2 \\[5pt] x&=& 0,1^{-2} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{0,1^2} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{0,01}\\[5pt] x&=& 100\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 3

Hier kannst du wie in Teil b) der Einführungsaufgabe vorgehen.
a)
$\blacktriangleright$  Logarithmus einordnen
Bei $\lg 0,08$ handelt es sich um einen Logarithmus zur Basis $10$. Bestimme also die nächst höhere und die nächst kleinere Zehnerpotenz von $0,08$:
$\underbrace{0,01}_{10^{-2}} < 0,08 < \underbrace{0,1}_{10^{-1}} $
Also gilt insgesamt:
$\begin{array}[t]{rml} 0,01 &< & 0,08 &<& 0,1 \\[5pt] 10^{-2} &< & 0,08 &<& 10^{-1} \\[5pt] -2 &< & \lg 0,08 &<& -1 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rml} 0,01 &< & 0,08 \\[5pt] 10^{-2} &< & 0,08 \\[5pt] -2 &< & \lg 0,08 \\[10pt] 0,08 &<& 0,1 \\[5pt] 0,08 &<& 10^{-1} \\[5pt] \lg 0,08 &<& -1 \\[5pt] \end{array}$
Und damit:
$-2 < \lg 0,08 < -1 $
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus einordnen
Bei $\lg 400$ handelt es sich um einen Logarithmus zur Basis $10$. Bestimme also die nächst höhere und die nächst kleinere Zehnerpotenz von $400$:
$\underbrace{100}_{10^2} < 400 < \underbrace{1.000}_{10^3} $
Also gilt insgesamt:
$\begin{array}[t]{rml} 100 &< & 400 &<& 1.000 \\[5pt] 10^{2} &< & 400 &<& 10^3 \\[5pt] 2 &< & \lg 400 &<& 3 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rml} 100 &< & 400 \\[5pt] 10^{2} &< & 400 \\[5pt] 2 &< & \lg 400 \\[10pt] 400 &<& 1.000 \\[5pt] 400 &<& 10^3 \\[5pt] \lg 400 &<& 3 \\[10pt] \end{array}$
Und damit:
$2 < \lg 400 < 3 $
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus einordnen
Bei $\log_3 5$ handelt es sich um einen Logarithmus zur Basis $3$. Bestimme also die nächst höhere und die nächst kleinere Potenz der Basis $3$ von $5$:
$\underbrace{3}_{3^1} < 5 < \underbrace{9}_{3^2} $
Also gilt insgesamt:
$\begin{array}[t]{rml} 3 &< & 5 &<& 9 \\[5pt] 3^{1} &< & 5 &<& 3^2 \\[5pt] 1 &< & \log_35 &<& 2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rml} 3 &< & 5 \\[5pt] 3^{1} &< & 5 & \\[5pt] 1 &< & \log_35 \\[10pt] 5 &<& 9 \\[5pt] 5 &<& 3^2 \\[5pt] \log_35 &<& 2 \\[5pt] \end{array}$
Und damit:
$1 < \log_35 < 2 $
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmus einordnen
Bei $\log_21.512$ handelt es sich um einen Logarithmus zur Basis $2$. Bestimme also die nächst höhere und die nächst kleinere Zweierpotenz von $1.512$:
$ \underbrace{1.024}_{2^{10}} < 1.512 < \underbrace{2.048}_{2^{11}} $
Also gilt insgesamt:
$\begin{array}[t]{rml} 1.024&< & 1.512 &<& 2.048 \\[5pt] 2^{10} &< & 1.512 &<& 2^{11} \\[5pt] 10 &< & \log_21.512 &<& 11 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rml} 1.024&< & 1.512 \\[5pt] 2^{10} &< & 1.512 \\[5pt] 10 &< & \log_21.512 \\[10pt] 1.512 &<& 2.048 \\[5pt] 1.512 &<& 2^{11} \\[5pt] \log_21.512 &<& 11 \\[10pt] \end{array}$
Und damit:
$10 < \log_21.512 < 11$

Aufgabe 4

Ordne die Ausdrücke, indem du sie unabhängig voneinander grob schätzt. Dadurch kannst du sie besseer miteinander vergleichen.
a)
$\blacktriangleright$  Terme ordnen
Den erstene Term kannst du genau berechnen:
$\color{#87c800}{10^3}= 1.000$
Den zweiten Term kannst du nach unten und nach oben abschätzen, indem du den Exponenten einmal auf- und einmal abrundest.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-5}&<& {10^{-4,5}} & <& 10^{-4} \\[5pt] 0,00001 &<& \color{#2D6EC8}{10^{-4,5}} & <& 0,0001 \\[5pt] \end{array}$
$10^{-5}< {10^{-4,5}} < 10^{-4}$
Also gilt:
$0,00001 < \color{#2D6EC8}{10^{-4,5}} < 0,0001$
Da es sich bei dem dritten Term um einen Logarithmus zur Basis $10$ handelt, kannst du auch diesen Term genau berechnen:
$\color{#a0321e}{\lg 10.000} = 4$
Den vierten Term kannst du wie in Teil b) von Aufgabe 3 abschätzen, indem du die zu $400$ nächst höhere und niedrigere Zehnerpotenz betrachtest:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{100}_{10^{2}} &< & 400 &<& \underbrace{1.000}_{10^3} \\[5pt] 2 &< & \color{#fa7d19}{\lg 400} &<& 3 \\[5pt] \end{array}$
$\underbrace{100}_{10^{2}} < 400 < \underbrace{1.000}_{10^3} $
Und damit:
$2 < \color{#fa7d19}{\lg 400} < 3 $
Insgesamt kannst du die Terme dann wie folgt ordnen:
$\color{#2D6EC8}{10^{-4,5}} < \color{#fa7d19}{\lg 400} < \color{#a0321e}{\lg 10.000} <\color{#87c800}{10^3} $
$\begin{array}[t]{rll} && \color{#2D6EC8}{10^{-4,5}} \\[5pt] &<& \color{#fa7d19}{\lg 400} \\[5pt] &<& \color{#a0321e}{\lg 10.000}\\[5pt] &<& \color{#87c800}{10^3}\\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Terme ordnen
Den ersten Term kannst du genau berechnen:
$\color{#287882}{\lg 10} = 1$
Beim zweiten Term handelt es sich um einen Logarithmus zur Basis $3$. Schätze diesen also mit Hilfe der nächst höheren und nächst kleineren Potenz von $3$ ab:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{9}_{3^{2}} &< & 10 &<& \underbrace{27}_{3^3} \\[5pt] 2 &< & \color{#fa7d19}{\log_3 10} &<& 3 \\[5pt] \end{array}$
Den dritten Term kannst du auf die gleiche Weise schätzen:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{32}_{2^{5}} &< & 50 &<& \underbrace{64}_{2^6} \\[5pt] 5 &< & \color{#87c800}{\log_250} &<& 6 \\[5pt] \end{array}$
Den vierten Term kannst du genau berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#a0321e}{5^{-2}}&=&\frac{1}{5^2} \\[5pt] &=&\frac{1}{25} \\[5pt] &=& 0,04\\[5pt] \end{array}$
Gehe beim fünften Term genauso vor:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{10^{-1}}_{0,1} &< & 10^{-0,4} &<& \underbrace{10^0}_{1} \\[5pt] 0,1 &< & \color{#DB2416}{10^{-0,4}} &<& 1 \\[5pt] \end{array}$
$\underbrace{10^{-1}}_{0,1} < 10^{-0,4} < \underbrace{10^0}_{1} $
Also gilt:
$0,1 < \color{#DB2416}{10^{-0,4}} < 1$
Berechne den sechsten Term wie in Teil a) der Einführungsaufgabe:
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_{0,5}8 \\[5pt] 0,5^x&=& 8 \\[5pt] 0,5^x&=& \dfrac{4}{0,5} \\[5pt] 0,5^x&=& \dfrac{2}{0,5\dot 0,5}\\[5pt] 0,5^x&=& \dfrac{1}{0,5\cdot 0,5\cdot 0,5} \\[5pt] 0,5^x&=& \dfrac{1}{0,5^3} \\[5pt] 0,5^x&=& 0,5^{-3}\\[5pt] x&=& {-3}\\[5pt] \color{#967117}{\log_{0,5}8}&=& -3\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\log_{0,5}8 \\[5pt] 0,5^x&=& 8 \\[5pt] 0,5^x&=& \dfrac{1}{0,5^3} \\[5pt] 0,5^x&=& 0,5^{-3}\\[5pt] x&=& {-3}\\[5pt] -3&=& \color{#967117}{\log_{0,5}8}\\[5pt] \end{array}$
Insgesamt ergibt sich also folgende Ordnung:
$\color{#967117}{\log_{0,5}8} < \color{#a0321e}{5^{-2}} < \color{#DB2416}{10^{-0,4}} < \color{#287882}{\lg 10} < \color{#fa7d19}{\log_3 10} < \color{#87c800}{\log_250}$
$\begin{array}[t]{rll} && \color{#967117}{\log_{0,5}8}\\[5pt] &<& \color{#a0321e}{5^{-2}}\\[5pt] &<& \color{#DB2416}{10^{-0,4}}\\[5pt] &<& \color{#287882}{\lg 10}\\[5pt] &<& \color{#fa7d19}{\log_3 10}\\[5pt] &<&\color{#87c800}{\log_250}\\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Terme ordnen
Den ersten Term kannst du genau berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#fa7d19}{4^{-0,5}}&=& \dfrac{1}{4^{0,5}}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4^{\frac{1}{2}}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\sqrt{4}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
Den zweiten Term kannst du wie in Teil b) der Einführungsaufgabe eingrenzen:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{100}_{10^2} &< & 140 &<& \underbrace{1.000}_{10^3} \\[5pt] 2 &< & \color{#87c800}{\lg 140} &<& 3 \\[5pt] \end{array}$
$\underbrace{100}_{10^2} < 140 < \underbrace{1.000}_{10^3}$
Und damit:
$2 < \color{#87c800}{\lg 140} < 3$
Den dritten Term kannst du ebenso abschätzen:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{125}_{5^3} &< & 175 &<& \underbrace{625}_{5^4} \\[5pt] 3 &< & \color{#db2416}{\log_5175} &<& 4 \\[5pt] \end{array}$
$\underbrace{125}_{5^3} < 175 < \underbrace{625}_{5^4}$
$3 < \color{#db2416}{\log_5175} < 4$
Für den vierten Term erhältst du analog:
$\begin{array}[t]{rml} \underbrace{7}_{7^1} &< & 35 &<& \underbrace{49}_{7^2} \\[5pt] 1 &< & \color{#2D6EC8}{\log_735} &<& 2 \\[5pt] \end{array}$
Den letzten Term kannst du genau berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#967117}{6^4}&=& 36\cdot 36 \\[5pt] &=& 1.296\\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du die Terme ordnen:
$\color{#fa7d19}{4^{-0,5}} < \color{#2D6EC8}{\log_735} < \color{#87c800}{\lg 140} < \color{#db2416}{\log_5175} < \color{#967117}{6^4} $
$\begin{array}[t]{rll} && \color{#fa7d19}{4^{-0,5}}\\[5pt] &<&\color{#2D6EC8}{\log_735}\\[5pt] &<& \color{#87c800}{\lg 140} \\[5pt] &<& \color{#db2416}{\log_5175}\\[5pt] &<& \color{#967117}{6^4}\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 5

Gehe vor wie in Teil a) der Einführungsaufgabe.
a)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
Gegeben sind hier die Basis und der Exponent. Du kannst also den Numerus berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& a^n \\[5pt] &=&4^3 \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Exponent berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=& c \\[5pt] 3^n&=& 27\\[5pt] 3^n&=& 3\cdot 9 \\[5pt] 3^n&=& 3\cdot 3\cdot 3 \\[5pt] 3^n&=&3^3 \\[5pt] n&=& 3 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Basis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=&c \\[5pt] a^4&=& 625 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\, }\\[5pt] a^2&=& 25&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\, } \\[5pt] a&=& 5 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Exponent berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=& c\\[5pt] 27^n&=& 3& \\[5pt] \sqrt[3]{27}&=& 3\\[5pt] 27^{\frac{1}{3}}&=&3 \\[5pt] n&=& \frac{1}{3} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Basis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=&c \\[5pt] a^{-4}&=& 16 \\[5pt] \dfrac{1}{a^4}&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a^4, :16 \\[5pt] \dfrac{1}{16}&=& a^4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\, } \\[5pt] \dfrac{1}{4}&=& a^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\, } \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& a \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=&c\\[5pt] 10^{-3}&=& c \\[5pt] 0,001&=& c \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Exponent berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=&c \\[5pt] 3^n&=& 243 \\[5pt] 3^n&=& 3\cdot 81\\[5pt] 3^n&=&3\cdot 3\cdot 27 \\[5pt] 3^n&=&3\cdot 3\cdot 3\cdot 9\\[5pt] 3^n&=&3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \\[5pt] 3^n&=&3^5 \\[5pt] n&=& 5 \\[5pt] \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Basis berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a^n&=& c \\[5pt] a^{-3}&=& 125\\[5pt] \dfrac{1}{a^3}&=& 125 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^3; :125\\[5pt] \dfrac{1}{125}&=& a^3 \\[5pt] \dfrac{1}{5^3}&=& \dfrac{1}{125} \\[5pt] \left(\dfrac{1}{5}\right)^3&=& \dfrac{1}{125} \\[5pt] a&=& \dfrac{1}{5} \end{array}$

Aufgabe 6

Bei den gesuchten Werten handelt es sich um Funktionswerte der Exponentialfunktion $f: \, y = 10^x$ bzw. der Logarithmusfunktion $f^{-1}:\, y= \lg x$. Du kannst die Näherungswerte daher wie in Teil c) der Einführungsaufgabe aus den zugehörigen Funktionsgraphen ablesen.
Falls vorhanden, kannst du deine Skizze aus der Einführungsaufgabe verwenden.
a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10^{0,5}&=& f(0,5)\\[5pt] &\approx& 3,2 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-0,5}&=& f(-0,5)\\[5pt] &\approx& 0,3 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10^{0,7}&=& f(0,7)\\[5pt] &\approx& 5,1 \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-0,3}&=& f(-0,3)\\[5pt] &\approx& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \lg 0,1&=& f^{-1}(0,1)\\[5pt] &\approx& -1 \\[5pt] \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \lg 0,3&=& f^{-1}(0,3)\\[5pt] &\approx& -0,5\\[5pt] \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \lg 2,6&=& f^{-1}(2,6)\\[5pt] &\approx& 0,4 \\[5pt] \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Näherungswert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \lg 1,4&=& f^{-1}(1,4)\\[5pt] &\approx& 0,2 \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 7

Wie die Taste für den Logarithmus aussieht, ist davon abhängig, welchen Taschenrechner du verwendest. Meistens ist es eine der folgenden:
lg log
a)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 50 \approx 1,69897 $
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 15 \approx 1,17609 $
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 1.048.576 \approx 6,02060 $
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 0,04 \approx -1,39794 $
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 26,8 \approx 1,42813 $
f)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 244,2 \approx 2,38775 $
g)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 3.800 \approx 3,57978 $
h)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\lg 13,574 \approx 1,13271 $
Bildnachweise [nach oben]
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