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Logarithmen mit gleicher Basis können bei Addition zusammengefasst werden:
$\log_a x \color{#db2416}{+} \log_a y = \log_a\left(x\color{#db2416}{\cdot} y\right)$
$\log_a x \color{#db2416}{-} \log_a y = \log_a\color{#db2416}{\dfrac{\color{#5F5F5F}{x}}{\color{#5F5F5F}{y}}}$
$\log_a x \color{#db2416}{+} \log_a y = \log_a\left(x\color{#db2416}{\cdot} y\right)$
$\log_a x \color{#db2416}{-} \log_a y = \log_a\color{#db2416}{\dfrac{\color{#5F5F5F}{x}}{\color{#5F5F5F}{y}}}$
Den Logarithmus von Potenzen kann die Potenz als Faktor ausgeklammert werden:
$\log_a x^{\color{#db2416}{y}} =\color{#db2416}{ y}\cdot\log_ax$
$\log_a x^{\color{#db2416}{y}} = \color{#db2416}{y}\cdot\log_ax$
Oft kannst du in deinem Taschenrechner nur Logarithmen zur Basis $10$ eingeben. Um auch Logarithmen mit anderen Basen berechnen zu können, kannst du einen Basiswechsel durchführen.
$\log_\color{#db2416}{a} \color{#2D6EC8}{c} = \dfrac{\log_b \color{#2D6EC8}{c}}{\log_b \color{#db2416}{a}}$
$\log_\color{#db2416}{a} \color{#2D6EC8}{c} = \dfrac{\log_b \color{#2D6EC8}{c}}{\log_b \color{#db2416}{a}}$
Du kannst mit dieser Formel von jeder Basis $a\in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ auf jede andere Basis $b \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ wechseln. Um Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen zu können, wechsle auf die Basis $b=10$.
$\log_\color{#db2416}{a} \color{#2D6EC8}{c} = \dfrac{\lg \color{#2D6EC8}{c}}{\lg \color{#db2416}{a}}$
$\log_\color{#db2416}{a} \color{#2D6EC8}{c} = \dfrac{\lg \color{#2D6EC8}{c}}{\lg \color{#db2416}{a}}$
#logarithmusgesetze
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Forme um.
(2)
$\lg 5 + \lg 20$
(4)
$\frac{1}{2}\log_264$
b)
Berechne mit dem Taschenrechner.
(2)
$\log_660$

Aufgabe 1

Fasse zusammen und vereinfache so weit wie möglich.
b)
$\log_3\left(2x\right) + \log_3\left(0,5y\right)$
d)
$2\log_4 x + 0,5\log_4y$
f)
$\log_x3 -3\log_xa$
h)
$\log_5 x +1$
j)
$3\log_3x+6\log_3y$
l)
$5\log_28+3\log_2y$

Aufgabe 2

Wende die Logarithmensätze an.
b)
$\log_4\left(\dfrac{16}{x}\right)$
d)
$\log_5\left( \dfrac{a^5}{2} \right)$
f)
$\lg\left(\dfrac{x}{4y}\right)^5$
h)
$\lg \dfrac{\sqrt[5]{y}}{z^2}$
j)
$\lg\left(10x^2\sqrt{16y}\right)$
#logarithmusgesetze

Aufgabe 3

Berechne mit dem Taschenrechner.
b)
$\log_5 10$
d)
$\log_{8}65$
f)
$\log_{23}10.845$
h)
$\log_{9}80$
j)
$\log_63,1225$

Aufgabe 4

Berechne. Verwende den Taschenrechner so selten wie möglich.
b)
$2\log_28 + 3\log_22 $
d)
$2\cdot \left(\log_36 -\log_32 +\frac{1}{2}\log_381\right)$
$2\cdot \left(\log_36 -…\right)$
f)
$\frac{1}{7}\left(3\log_2x -4\log_2y^2 +7\log_2x^2y +3\right)$
$\frac{1}{7}\left(3\log_2x -…\right)$
h)
$\dfrac{\log_810 - \log_880 +3\log_832- 4\log_86 +2}{4}$
$\dfrac{\log_810 - …}{4}$
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
(1)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
Dir sollte auffallen, dass beide Logarithmen dieselbe Basis besitzen. Logarithmen mit gleicher Basis $a$ kannst du mit folgender Regel zusammenfassen:
$\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} $
$\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} $
Wende diese Regel auf die Rechnung an:
$\begin{array}[t]{rll} \log_26 -\log_23 &=&\log_2\frac{6}{3} \\[5pt] &=&\log_22\\[5pt] &=& 1 \end{array}$
(2)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
Auch bei Addition kannst du Logarithmen mit gleicher Basis zusammenfassen:
$\log_a x +\log_a y = \log_a \left( x\cdot y\right)$
$\log_a x +\log_a y = \log_a \left( x\cdot y\right)$
Wende dies auf den gegebenen Term an:
$\begin{array}[t]{rll} \lg 5 + \lg 20&=& \lg \left( 5\cdot 20\right)\\[5pt] &=& \lg 100 \\[5pt] &=& \log_{10} 100 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
(3)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
Der Numerus des Logarithmus ist eine Potenz. Du kannst den Logarithmus daher mit folgender Formel umformen:
$\log_a \left(x^y \right) = y\cdot \log_ax$
$\log_a \left(x^y \right) = y\cdot \log_ax$
Wende dies auf den Term an:
$\begin{array}[t]{rll} \log_327^4&=& 4\cdot\log_327 \\[5pt] &=& 4\cdot 3 \\[5pt] &=& 12 \\[5pt] \end{array}$
(4)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
Hier kannst du die Regel aus dem letzten Aufgabenteil in die andere Richtung anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2} \log_264&=& \log_2 64^{\frac{1}{2}}\\[5pt] &=&\log_2\sqrt{64}\\[5pt] &=&\log_2 8 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
b)
Bei vielen Taschenrechnern kannst du nur den Logarithmus zur Basis $10$ eingeben. Um auch Logarithmen mit anderen Basen berechnen zu können, musst du einen Basiswechsel durchführen. Dazu kannst du folgende Formel nutzen:
$\log_a c = \dfrac{\log_b c}{\log_b a}$
$\log_a c = \dfrac{\log_b c}{\log_b a}$
Du kannst mit dieser Formel von jeder Basis $a\in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ auf jede andere Basis $b \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ wechseln. Um Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen zu können, wechsle auf die Basis $10$.
(1)
$\blacktriangleright$  Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 1.024&=& \dfrac{\lg 1.024}{\lg 4}&\quad \scriptsize \text{Taschenrechner} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 1.024&=& \dfrac{\lg 1.024}{\lg 4} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
(2)
$\blacktriangleright$  Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_6 60&=& \dfrac{\lg 60}{\lg 6}&\quad \scriptsize \text{Taschenrechner} \\[5pt] &\approx& 2,29 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_6 60&=& \dfrac{\lg 60}{\lg 6} \\[5pt] &\approx& 2,29 \end{array}$

Aufgabe 1

Wende die Regeln aus Teil a) der Einführungsaufgabe an.
(a)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \lg x - \lg y&=& \lg\frac{x}{y} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &=&\lg x - \lg y \\[5pt] &=& \lg\frac{x}{y} \\[5pt] \end{array}$
(b)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3\left(2x\right) + \log_3 \left(0,5y\right)&=& \log_3 \left(2x\cdot 0,5y\right) \\[5pt] &=& \log_3 \left(xy\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\log_3\left(2x\right) + \log_3 \left(0,5y\right)\\[5pt] &=& \log_3 \left(2x\cdot 0,5y\right) \\[5pt] &=& \log_3 \left(xy\right) \\[5pt] \end{array}$
(c)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \lg c -\frac{1}{2} \lg z&=& \lg c -\lg z^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \lg c -\lg \sqrt{z}\\[5pt] &=& \lg \frac{c}{\sqrt{z}}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\lg c -\frac{1}{2} \lg z\\[5pt] &=& \lg c -\lg z^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \lg c -\lg \sqrt{z}\\[5pt] &=& \lg \frac{c}{\sqrt{z}}\\[5pt] \end{array}$
(d)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} 2\log_4x + 0,5\log_4y&=&\log_4x^2 +\log_4 y^{0,5} \\[5pt] &=& \log_4x^2 +\log_4 y^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \log_4x^2 +\log_4 \sqrt{y} \\[5pt] &=& \log_4 \left(x^2\cdot\sqrt{y}\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&2\log_4x + 0,5\log_4y\\[5pt] &=&\log_4x^2 +\log_4 y^{0,5} \\[5pt] &=& \log_4x^2 +\log_4 y^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \log_4x^2 +\log_4 \sqrt{y} \\[5pt] &=& \log_4\left(x^2\cdot\sqrt{y}\right) \\[5pt] \end{array}$
(e)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2}\left(\lg 12+\lg 3\right)&=&\frac{1}{2} \lg\left(12\cdot 3\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \lg 36 \\[5pt] &=& \lg 36^{\frac{1}{2} } \\[5pt] &=& \lg \sqrt{36} \\[5pt] &=& \lg 6 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\frac{1}{2}\left(\lg 12+\lg 3\right)\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \lg\left(12\cdot 3\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \lg 36 \\[5pt] &=& \lg 36^{\frac{1}{2} } \\[5pt] &=& \lg \sqrt{36} \\[5pt] &=& \lg 6 \\[5pt] \end{array}$
(f)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \log_x 3−3\log_x a&=&\log_x 3 -\log_xa^3 \\[5pt] &=&\log_x \frac{3}{a^3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\log_x 3−3\log_x a\\[5pt] &=&\log_x 3 -\log_xa^3 \\[5pt] &=&\log_x \frac{3}{a^3} \\[5pt] \end{array}$
(g)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \lg 15−2&=&\lg 15 - 2\cdot 1 \\[5pt] &=& \lg 15 - 2\cdot \lg 10 \\[5pt] &=& \lg 15 - \lg 10^2 \\[5pt] &=& \lg 15 - \lg 100 \\[5pt] &=& \lg \frac{15}{100} \\[5pt] &=& \lg 0,15 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\lg 15−2\\[5pt] &=&\lg 15 - 2\cdot 1 \\[5pt] &=& \lg 15 - 2\cdot \lg 10 \\[5pt] &=& \lg 15 - \lg 10^2 \\[5pt] &=& \lg 15 - \lg 100 \\[5pt] &=& \lg \frac{15}{100} \\[5pt] &=& \lg 0,15 \\[5pt] \end{array}$
(h)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \log_5x+1&=&\log_5x +\log_55 \\[5pt] &=& \log_5\left(x\cdot 5\right) \\[5pt] &=& \log_5\left(5x\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\log_5x+1\\[5pt] &=&\log_5x +\log_55 \\[5pt] &=& \log_5\left(x\cdot 5\right) \\[5pt] &=& \log_5\left(5x\right) \end{array}$
(i)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} \lg a+5\lg 3&=&\lg a +\lg 3^5 \\[5pt] &=& \lg \left(a\cdot 3^5\right) \\[5pt] &=& \lg \left(3^5a\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&\lg a+5\lg 3\\[5pt] &=&\lg a +\lg 3^5 \\[5pt] &=& \lg \left(a\cdot 3^5\right) \\[5pt] &=& \lg \left(3^5a\right) \end{array}$
(j)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} 3\log_3x+6\log_3y&=&\log_3x^3 +\log_3y^6 \\[5pt] &=&\log_3 \left( x^3\cdot y^6\right) \\[5pt] &=& \log_3 \left( x^3y^6\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&3\log_3x+6\log_3y\\[5pt] &=&\log_3x^3 +\log_3y^6 \\[5pt] &=&\log_3 \left( x^3\cdot y^6\right) \\[5pt] &=& \log_3 \left( x^3y^6\right) \end{array}$
(k)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} 3\lg 4−2\lg 40&=&\lg 4^3−\lg 40^2 \\[5pt] &=&\lg \frac{4^3}{40^2}\\[5pt] &=& \lg \frac{4^2\cdot 4}{4^2\cdot 10^2}\\[5pt] &=& \lg \frac{ 4}{10^2}\\[5pt] &=& \lg \frac{4}{100}\\[5pt] &=& \lg 0,04 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&3\lg 4−2\lg 40\\[5pt] &=&\lg 4^3−\lg 40^2 \\[5pt] &=&\lg \frac{4^3}{40^2}\\[5pt] &=& \lg \frac{4^2\cdot 4}{4^2\cdot 10^2}\\[5pt] &=& \lg \frac{ 4}{10^2}\\[5pt] &=& \lg \frac{4}{100}\\[5pt] &=& \lg 0,04 \end{array}$
(l)
$\blacktriangleright$  Logarithmen zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} 5\log_28+3\log_2y&=&\log_28^5+\log_2y^3 \\[5pt] &=&\log_2\left(8^5\cdot y^3\right)\\[5pt] &=& \log_2\left(8^5y^3\right)\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &&5\log_28+3\log_2y\\[5pt] &=&\log_28^5+\log_2y^3 \\[5pt] &=&\log_2\left(8^5\cdot y^3\right)\\[5pt] &=& \log_2\left(8^5y^3\right)\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 2

Verwende die Regeln aus der Einführungsaufgabe.
a)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \lg \left(3xyz\right)&=& \lg \left(3\cdot x\cdot y\cdot z\right)\\[5pt] &=&\lg 3 +\lg x +\lg y +\lg z \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lg \left(3xyz\right)\\[5pt] =& \lg \left(3\cdot x\cdot y\cdot z\right)\\[5pt] =&\lg 3 +\lg x +\lg y +\lg z \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \frac{16}{x}&=& \log_4 16 -\log_4 x\\[5pt] &=& 2 -\log_4x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\log_4 \frac{16}{x}\\[5pt] =& \log_4 16 -\log_4 x\\[5pt] =& 2 -\log_4x \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \lg \left( 3z^2\right)&=&\lg 3 +\lg z^2\\[5pt] &=& \lg 3 +2\lg z \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lg \left( 3z^2\right)\\[5pt] =&\lg 3 +\lg z^2\\[5pt] =& \lg 3 +2\lg z \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \log_5 \left(\frac{a^5}{2}\right)&=&\log_5 a^5 -\log_5 2\\[5pt] &=& 5\log_5a -\log_52 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lg \left( 3z^2\right)\\[5pt] =&\lg 3 +\lg z^2\\[5pt] =& \lg 3 +2\lg z \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \lg\left(xy\right)^2&=&2\lg \left(xy\right)\\[5pt] &=& 2\left(\lg x +\lg y\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lg\left(xy\right)^2\\[5pt] =&2\lg \left(xy\right)\\[5pt] =& 2\left(\lg x +\lg y\right) \\[5pt] \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \lg\left(\frac{x}{4y}\right)^5&=&5\lg \frac{x}{4y}\\[5pt] &=& 5\left(\lg x -\lg \left(4y\right)\right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lg\left(\frac{x}{4y}\right)^5\\[5pt] =&5\lg \frac{x}{4y}\\[5pt] =& 5\left(\lg x -\lg \left(4y\right)\right) \\[5pt] \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)&=&\log_21 -\log_2 \sqrt{x} \\[5pt] &=& 0 -\log_2 x^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\log_2 x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\log_2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\\[5pt] =&\log_21 -\log_2 \sqrt{x} \\[5pt] =& 0 -\log_2 x^{\frac{1}{2}} \\[5pt] =& -\frac{1}{2}\log_2 x \\[5pt] \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \lg\frac{\sqrt[5]{y}}{z^2}&=&\lg \sqrt[5]{y} -\lg z^2 \\[5pt] &=& \lg y^{\frac{1}{5}} -2\lg z \\[5pt] &=& \frac{1}{5}\lg y-2\lg z \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lg\frac{\sqrt[5]{y}}{z^2}\\[5pt] =&\lg \sqrt[5]{y} -\lg z^2 \\[5pt] =& \lg y^{\frac{1}{5}} -2\lg z \\[5pt] =& \frac{1}{5}\lg y-2\lg z \\[5pt] \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{0,5} \dfrac{5\sqrt[6]{y^2}}{4x} &=&\log_{0,5} \left(5\sqrt[6]{y^2} \right) -\log_{0,5} (4x)\\[5pt] &=& \log_{0,5} \left(5y^{\frac{2}{6}}\right) - \log_{0,5} (4x) \\[5pt] &=& \log_{0,5} 5 + \frac{1}{3}\log_{0,5} y - \left(\log_{0,5} 4 + \log_{0,5} x\right)\\[5pt] &=& \log_{0,5} 5 + \frac{1}{3}\log_{0,5} y - \log_{0,5} 4 - \log_{0,5} x\\[5pt] \end{array}$
$ \log_{0,5} \dfrac{5\sqrt[6]{y^2}}{4x} = …$
j)
$\blacktriangleright$  Logarithmus umformen
$\begin{array}[t]{rll} \lg\left(10x^2\sqrt{16y}\right) &=& \lg 10 + \lg x^2 + \lg \sqrt{16y} \\[5pt] &=& 1 +2\lg x + \lg \left(4\cdot y^{\frac{1}{2}}\right) \\[5pt] &=& 1 +2\lg x + \lg 4 +\lg y^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 1 +2\lg x + \lg 4 +\frac{1}{2}\lg y \\[5pt] \end{array}$
$ \lg\left(10x^2\sqrt{16y}\right) = … $

Aufgabe 3

Wenn du in deinem Taschenrechner nur Logarithmen zur Basis $10$ eingeben kannst, musst du zunächst einen Basiswechsel mit der Formel aus Teil b) der Einführungsaufgabe durchführen.
a)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 7&=& \dfrac{\lg7}{\lg 2} \\[5pt] &\approx& 2,81 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_5 10&=& \dfrac{\lg 10}{\lg 5} \\[5pt] &\approx& 1,43 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{1,5} \sqrt{3}&=& \dfrac{\lg \sqrt{3}}{\lg 1,5} \\[5pt] &\approx& 1,35 \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_8 65&=& \dfrac{\lg 65}{\lg 8} \\[5pt] &\approx& 2,01 \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 2.667&=& \dfrac{\lg 2.667}{\lg 4} \\[5pt] &\approx& 5,69 \\[5pt] \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{23} 10.845&=& \dfrac{\lg 10.845}{\lg 23} \\[5pt] &\approx& 2,96 \\[5pt] \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_{30} 1.000&=& \dfrac{\lg 1.000}{\lg 30} \\[5pt] &\approx& 2,03 \\[5pt] \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_9 80&=& \dfrac{\lg 80}{\lg 9} \\[5pt] &\approx& 1,99 \\[5pt] \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 44,35&=& \dfrac{\lg 44,35}{\lg 2} \\[5pt] &\approx& 5,47 \\[5pt] \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Mit dem Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_6 3,1225&=& \dfrac{\lg 3,1225}{\lg 6} \\[5pt] &\approx& 0,64 \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 4

Verwende die Rechenregeln für Logarithmen.
a)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 3 \lg 100 - 4\lg 0,1 &=& 3\cdot \lg 10^2 - 4\cdot \lg \frac{1}{10}\\[5pt] &=& 3\cdot 2\cdot \lg 10 - 4\cdot \left(\lg 1 - \lg 10\right) \\[5pt] &=& 6\cdot 1 - 4\cdot (0-1) \\[5pt] &=& 6+4 \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$ 3 \lg 100 - 4\lg 0,1 = …$
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 2\log_28 + 3\log_22&=& 2\log_2 2^3 + 3\cdot 1 \\[5pt] &=& 2\cdot 3\cdot \log 2 2 + 3\\[5pt] &=& 2\cdot 3\cdot 1 +3 \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &2\log_28 + 3\log_22\\[5pt] =& 2\log_2 2^3 + 3\cdot 1 \\[5pt] =& 2\cdot 3\cdot \log 2 2 + 3\\[5pt] =& 2\cdot 3\cdot 1 +3 \\[5pt] =& 9 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 256 -\log_381 &=& \log_2 2^8 - \log_3 3^4\\[5pt] &=& 8\cdot 1 - 4\cdot 1\\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\log_2 256 -\log_381\\[5pt] =& \log_2 2^8 - \log_3 3^4\\[5pt] =& 8\cdot 1 - 4\cdot 1\\[5pt] =& 4 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \left(\log_36 -\log_32 +\frac{1}{2}\log_381\right)&=& 2\cdot \left(\log_3\frac{6}{2} +\log_3\sqrt{81}\right)\\[5pt] &=& 2\cdot \left( \log_3 3 + \log_3 9\right) \\[5pt] &=& 2\cdot \left( 1+2\right)\\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$ 2\cdot \left(\log_36 -…\right) = … $
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_440 -3\log_43+0,5\log_4680&=& \log_4\left(4\cdot 10\right) -\log_4 3^3 +0,5\log_4 \left(4\cdot 170 \right) \\[5pt] &=& \log_44 +\log_410 -\log_4 3^3 + 0,5\cdot \log_44 + 0,5 \cdot \log_4170\\[5pt] &=& 1 + \log_4 \frac{10}{3^3} + 0,5 \cdot 1 + \log_4 \sqrt{170}\\[5pt] &=& 1,5 + \log_4 \left(\frac{10}{3^3}\cdot \sqrt{170}\right)\\[5pt] &\approx& 2,64 \end{array}$
$\log_440 -… = … $
f)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{7}\left(3\log_2x -4\log_2y^2 +7\log_2x^2y +3\right)&=&\frac{1}{7}\cdot \left(\log_2 x^3 -\log_2 y^8 +\log_2\left(x^{14}y^7\right) +3\right) \\[5pt] &=&\frac{1}{7}\cdot \left( \log_2 \left(\frac{x^3}{y^8}x^14y^7\right) +3\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{7}\cdot \left( \log_2 \left(\frac{x^{17}}{y}\right) +3\right) \end{array}$
$ \frac{1}{7}\left(3\log_2x - …\right) = …$
g)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 3^4\left(3\log_3x-\log_3\frac{x^2}{y} +\log_3\frac{y}{x}\right)&=&3^4 \left(\log_3 x^3 - \log_3 \frac{x^2}{y}+\log_3\frac{y}{x} \right) \\[5pt] &=& 3^4 \log_3 \left( \dfrac{x^3}{ \frac{x^2}{y}}\cdot \dfrac{y}{x} \right) \\[5pt] &=& 3^4 \log_3 \left( x^3\cdot \dfrac{y}{x^2}\cdot \dfrac{y}{x} \right) \\[5pt] &=& 3^4 \log_3 \left( x^3\cdot \dfrac{y^2}{x^3} \right) \\[5pt] &=& 3^4 \log_3 \left( y^2 \right)\\[5pt] &=& 3^4\cdot 2\log _3 y\\[5pt] &=& 162 \cdot \log _3 y \end{array}$
$ 3^4\left(3\log_3x-…\right) = …$
h)
$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\log_810 - \log_880 +3\log_832- 4\log_86 +2}{4}&=&\frac{1}{4} \left(\log_810-\log_880+3\log_832 -4\cdot\log_86\right) +\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \left(\log_810-\log_880+\log_832^3 -\log_86^4\right) + \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \log_8\dfrac{\frac{10}{80}\cdot 32^3}{6^4} + \dfrac{1}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \log_8\left(\dfrac{1}{8}\cdot 32^3\cdot \dfrac{1}{6^4}\right) + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \log_8\dfrac{32^3}{8\cdot 6^4} + \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \log_8\dfrac{32\cdot 32\cdot 32}{8\cdot 6^4} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \log_8\dfrac{8\cdot 4\cdot 32\cdot 32}{8\cdot 6^4} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \log_8\dfrac{4\cdot 32\cdot 32}{6^4} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \log_8\sqrt[4]{\dfrac{4\cdot 32\cdot 32}{6^4}} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \log_8\dfrac{\sqrt[4]{4\cdot 2\cdot 16 \cdot 2\cdot 16}}{6} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \log_8\dfrac{\sqrt[4]{16\cdot 16 \cdot 16}}{6} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \log_8\dfrac{\sqrt[4]{2^4\cdot 2^4 \cdot 2^4}}{6} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \log_8\dfrac{2\cdot 2\cdot 2}{6} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \log_8\dfrac{8}{6} + \frac{1}{2}\\[5pt] &=&1-\log_86 + \frac{1}{2}\\[5pt] &=&1,5-\log_86\\[5pt] &\approx& 0,64 \end{array}$
$ \dfrac{\log_810 - …}{4} $
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