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Volumen

Spickzettel
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Das Volumen V beschreibt den räumlichen Inhalt eines Körpers.
Volumen = Länge $\cdot$ Höhe $\cdot$ Breite.
Körper, die man in dieselben Teilkörper zerlegen kann, haben dasselbe Volumen.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 1: Körper mit demselben Volumen
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 1: Körper mit demselben Volumen

Volumeneinheiten am Beispiel eines Würfels

$\text{Kantenlänge}$$1\text{ mm} $$1\text{ cm} $$1\text{ dm} $$1\text{ m} $
$\text{Volumen}$$1\text{ mm}^3 $$1\text{ cm}^3 \text{ } [1 \text{ ml}] $$1\text{ dm} ^3 \text{ } [1 \text{ l}]$$1\text{ m} ^3$
$\text{Name}$$ \text{Kubikmillimeter} $$ \text{ Kubikzentimeter}$$\text{ Kubikdezimeter} $$\text{Kubikmeter} $
$\text{Kantenlänge}$$\text{Volumen}$$\text{Namen}$
$ 1\text{ mm}$$ 1\text{ cm}^3$$ \text{Kubikmilimeter}$
$ 1\text{ cm}$$ 1\text{ cm}^3 [1 \text{ml}]$$\text{Kubikcentimeter} $
$ 1\text{ dm}$$1\text{ cm}^3 $$ \text{Kubikdezimeter}$
$ 1\text{ m}$$ 1\text{ cm}^3$$\text{Kubikmeter} $
$ $

Volumeneinheiten umrechnen

Volumen vergleichen

Die Volumina von Gefäßen lassen sich durch Umfüllen vergleichen.
Die Volumina von Festkörpern lassen sich durch ihre Wasserverdrängung vergleichen.
Das Volumen eines Festkörpers entspricht, legt man ihn in ein Gefäß mit Wasser, der verdrängten Wassermenge.
Legt man zwei Festkörper nun in zwei gleichgroße, mit gleich viel Wasser befüllte, Gefäße, so hat derjenige Festkörper das größere Volumen, bei dessen Gefäß der Wasserspiegel am Ende höher ist.
#volumen
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Betrachte die folgenden Körper genau. Besitzen sie das selbe Volumen?
Begründe.
b)
Wichtig: $1$ diagonales Kästchen nach hinten entspricht $2$ Kästchen in die Breite.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 2: Körperpaar 2
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 2: Körperpaar 2

Aufgabe 1

Ein Logistikunternehmen hat den Auftrag $142$ Kisten von München nach Köln zu transportieren.
In einen Lkw passen nebeneinander $3$ Kisten , $2$ übereinander und $5$ hintereinander.
Wie viele Lkws benötigt das Trasnportunternehmen mindestens.

Aufgabe 2

Hannah zieht um und muss ihre Bücher in einem Umzugskarton verstauen.
Sie weiß, dass jeweils $3$ Bücher hinereinander und $6$ Bücher nebeneinander in den Umzugskarton passen.
Das ganze kann sie $3$ Bücher hoch stapeln.
Wie groß ist das Volumen der Kiste in Büchern?

Aufgabe 3

Gib das Volumen der folgenden Körper an.
Gehe davon aus, dass die Seitenlänge eines Kästchens $1 \text{ cm}$ entspricht.
b)
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 5: Körper 2
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 5: Körper 2

Aufgabe 4

Betrachte den folgenden Körper. Jeder Würfel hat die Kantenlänge $1\text{ cm}$.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 7: Würfelbauwerk
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 7: Würfelbauwerk
a)
Bestimme das Volumen des Körpers.
b)
Wie viele weitere Würfel sind nötig, um den Körper zum kleinstmöglichen Quader zu ergänzen? Bestimme sein Volumen.

Aufgabe 5

Gib folgende Angaben in die in Klammern angegebene Einheit an.
b)
$25 \text{ m}^3$ [$\text{ dm}^3$]
$400 \text{ cm}^3$ [$\text{ dm}^3$]
d)
$1.111 \text{ mm}^3$ [$\text{ cm}^3$]
$456 \text{ m}^3$ [$\text{ dm}^3$]

Aufgabe 6

Gib folgende Angaben in der in Klammern angegebenen Einheit an.
b)
$0,2\text{ m}^3 [\text{l}]$
$4.500\text{ mm}^3 [\text{ml}]$
$3,55\text{ dm}^3 [\text{ml}]$

Aufgabe 7

Folgende Volumenangaben wurden gerundet.
Gib jeweils den größten und kleinsten Wert an, der möglich gewesen wäre.
Gerundet auf Einer mit einer Nachkommastelle.
b)
$77\text{ cm}^3$
$844\text{ m}^3$
Gerundet auf Zehner ohne Nachkommastelle.
d)
$270 \text{ dm}^3$
$90 \text{ cm}^3$
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Körper vergleichen
Die beiden Körper haben genau die gleiche Breite, somit kannst du sie gut vergleichen.
Teilt man den $ \text{Körper } 1$ in der Mitte, so hat er genau die selbe Höhe wie $\text{Körper } 2$.
Setzt man nun dieses Teil rechts neben $ \text{Körper } 1$, so ergibt es $\text{Körper } 2$.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 1: Körperpaar 1
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 1: Körperpaar 1
Die beiden Körper bestehen also aus den selben Teilkörpern und haben somit auch das selbe Volumen.
b)
$\blacktriangleright$  Körper vergleichen
Die beiden Körper vergleichst du am besten, indem du das Volumen berechnest.
$\text{Körper } 1$ hat somit das Volumen : $3\cdot 4\cdot 6=72 \text{ [Kästchen}$$^3$$\text{]}$
$\text{Körper } 2$ ist ein halber Quader und hat das Volumen : $0,5 \cdot 10\cdot 4\cdot 2=40 \text{ [Kästchen}$$^3$$\text{]}$
Die beiden Körper haben nicht das selbe Volumen.
c)
$\blacktriangleright$  Körper vergleichen
Die beiden Körper haben genau die gleiche Breite, somit kannst du sie gut vergleichen.
$\text{Körper } 1$ kann in $3$ Teilkörper unterteilt werden.
Schneidet man das $2.$ Dreieck ab und fügt es umgekehrt links an, so lässt sich $\text{Körper } 1$ zu einem Quader ergänzen mit der Länge $4$ Kästchen und der Höhe $3$ Kästchen.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 2: Körperpaar 2
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 2: Körperpaar 2
$\text{Körper } 2$ ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ Kästchen und hat somit dieselbe Länge und Breite wie der neu zusammengesetzte $\text{Körper } 1$, jedoch nicht die selbe Höhe.
Die beiden Körper haben nicht das selbe Volumen.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Benötigte Lkws berechnen
1. Schritt: Volumen eines Lkws berechnen
Insgesamt müssen $142 \text{ Kisten}$ transportiert werden.
Das Volumen eines Lkws beträgt $3 \cdot 2\cdot 5= 30 \text { [Kisten]}$.
1. Schritt: Benötigte Lkws berechnen
Mit Hilfe einer Tabelle kannst du nun herausfinden, wie viele Lkws mindestens benötigt werden.
Anzahl LkwsAnzahl Kisten
$1$$30 < 142$
$2$$60 < 142$
$3$$90 < 142$
$4$$120 < 142$
$5$$150 > 142$
Mit Hilfe der Tabelle siehst du, dass das Unternehmen mindestens $5$ Lkws einsetzen muss, um alle Kisten transportieren zu können.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Volumen des Umzugskartons berechnen
Um das Volumen der Umzugskiste zu berechnen, verwendest du die Formel $\text{ Länge } \cdot \text{ Höhe }\cdot \text{ Breite}$.
$V_{Umzugskiste}= 3\cdot3\cdot6=54 \text{ [Bücher]}$
$ 54 \text{ [Bücher]} $
Die Umzugskiste hat ein Volumen von $54$ Büchern.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Volumen Körper $1$ berechnen
a)
$\blacktriangleright$  Volumen des $1.$ Körpers berechnen
Den Körper kannst du in zwei Teilkörper zerlegen, damit es zwei Quader ergibt und somit die Rechnung vereinfacht .
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 3: Körper 1
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 3: Körper 1
$V_{\text{kleiner Quader}} = 1\text{ cm}\cdot 1\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2\text{ cm}^3$
$V_{\text{großer Quader}} = 4\text{ cm}\cdot 3\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 24\text{ cm}^3$
$V_{\text{gesamt}} = 2\text{ cm}^3 + 24\text{ cm}^3 = 26\text{ cm}^3$
$ $
Der Körper hat eine Volumen von $26\text{ cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen des $2.$ Körpers berechnen
Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, ergänzt du ihn erst mit Hilfe eines Dreiecks zu einem Quader und ziehst anschließend das ergänzte Stück wieder ab.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 4: Körper 2
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 4: Körper 2
$V_{\text{Quader}} = 7\text{ cm}\cdot 4\text{ cm} \cdot 4\text{ cm}= 112\text{ cm}^3$
Das ergänzte Stück ist ein halbierter Quader:
$V_{\text{ergänztes Dreieck}} = 0,5 \cdot 2 \text{ cm}\cdot 2\text{ cm} \cdot 4\text{ cm}= 8\text{ cm}^3$
$V_{\text{gesamt}} = 112\text{ cm}^3 - 8\text{ cm}^3= 104\text{ cm}^3$
$ $
Der Körper hat ein Volumen von $104\text{ cm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$  Volumen des $3.$ Körpers berechnen
Auch dieser Körper kann in zwei Teilkörper geteilt werden, damit ein Quader und ein halbierter Quader entstehen.
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 5: Körper 3
Flächen- und Rauminhalte: Volumen
Abb. 5: Körper 3
$V_{\text{Quader}} = 2 \text{ cm}\cdot 6\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 24\text{ cm}^3$
$V_{\text{halber Quader}} = 0,5 \cdot 2 \text{ cm}\cdot 3\text{ cm} \cdot 3\text{ cm}= 9\text{ cm}^3$
$V_{\text{gesamt}} = 24 \text{ cm}^3 + 9\text{ cm}^3 = 33\text{ cm}^3$
$ $
Der Körper hat ein Volumen von $33\text{ cm}^3$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Volumen des Würfelbauwerks berechnen
Das abgebildete Würfelbauwerk besteht aus $9$ Würfeln.
Jeder Würfel hat das Volumen $1\text{ cm}^3$, da die Kantenlänge $1\text{ cm}$ entspricht ($1\text{ cm}\cdot 1\text{ cm}\cdot 1\text{ cm}$).
Somit hat das gesamte Würfelbauwerk ein Volumen von $9 \text{ cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$  Kleinsten möglichen Quader berechnen
Das Würfelbauwerk ist an der höchsten Stelle $3$ Würfel hoch.
Somit wird der kleinste Quader auch $3$ Würfel hoch.
Die benötigte Länge entspricht $4$ Würfeln.
Die Breite muss mindestens $4$ Würfeln entsprechen.
Die Gesamtzahl wird wie folgt berechnet:
Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe $= 4\cdot4\cdot3=48$
Der ergänzte Quader besteht somit aus $48$ Würfeln.
Da $9$ Würfel schon vorhanden sind, müssen diese von der Gesamtzahl abgezogen werden.
$48-9=39\text{ [Würfel]}$
Um das Würfelbauwerk zum kleinst möglichen Quader zu ergänzen, werden noch $39$ weitere Würfel benötigt.
Der Quader hat am Ende ein Volumen von $48\text{ cm}^3$, da er aus $48$ Würfeln besteht.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Volumen umrechnen
$1 \text{ dm}^3 = 1.000\text{ cm}^3 $
$7 \text{ dm}^3 = 7.000\text{ cm}^3 $
$22 \text{ dm}^3 = 22.000\text{ cm}^3 $
b)
$\blacktriangleright$  Volumen umrechnen
$1 \text{ m}^3 = 1.000\text{ dm}^3 $
$25 \text{ m}^3 = 25.000\text{ dm}^3 $
$1 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ dm}^3 $
$100 \text{ cm}^3 = 0,1 \text{ dm}^3 $
$400 \text{ cm}^3 = 0,4\text{ dm}^3 $
c)
$\blacktriangleright$  Volumen umrechnen
$1.000 \text{ mm}^3 = 1 \text{ cm}^3 $
$5.000 \text{ mm}^3 = 5 \text{ cm}^3 $
$1 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ dm}^3 $
$10 \text{ cm}^3 = 0,01 \text{ dm}^3 $
$33 \text{ cm}^3 = 0,033 \text{ dm}^3 $
d)
$\blacktriangleright$  Volumen umrechnen
$1.000 \text{ mm}^3 = 1 \text{ cm}^3 $
$1.111 \text{ mm}^3 = 1,111 \text{ cm}^3 $
$1 \text{ m}^3 = 1.000 \text{ dm}^3 $
$456 \text{ m}^3 = 456.000 \text{ dm}^3 $

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Volumen umrechnen
$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$25\text{ cm}^3 = 25\text{ ml}$
$1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}$
$62\text{ dm}^3 = 62\text{ l}$
$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$4\text{ cm}^3 = 4\text{ ml}$
b)
$\blacktriangleright$  Volumen umrechnen
$0,1\text{ m}^3 = 100\text{ dm}^3$
$0,2\text{ m}^3 = 200\text{ dm}^3$
$0,1\text{ m}^3 = 100\text{ dm}^3$
$200\text{ dm}^3 = 200\text{ l}$
$1.000\text{ mm}^3 = 1\text{ cm}^3$
$4.500\text{ m}^3 = 4,5\text{ cm}^3$
$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$4,5\text{ cm}^3 = 4,5\text{ ml}$
$1\text{ dm}^3 = 1.000 \text{ cm}^3$
$3,55\text{ dm}^3 = 3.550\text{ cm}^3$
$1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$
$3.550\text{ cm}^3 = 3.550\text{ ml}$

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  kleinst- und größtmögliches Volumen angeben
$80,4\text{ ml}$
$79,5\text{ ml}$
$5,4\text{ l}$
$4,5\text{ l}$
b)
$\blacktriangleright$  kleinst- und größtmögliches Volumen angeben
$77,4\text{ cm}^3$
$76,5\text{ cm}^3$
$844,4\text{ m}^3$
$843,5\text{ m}^3$
c)
$\blacktriangleright$  kleinst- und größtmögliches Volumen angeben
$154\text{ ml}$
$145\text{ ml}$
$34\text{ l}$
$25\text{ l}$
d)
$\blacktriangleright$  kleinst- und größtmögliches Volumen angeben
$274\text{ dm}^3$
$265\text{ dm}^3$
$94\text{ cm}^3$
$85\text{ cm}^3$
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