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Volumen und Oberfläche eines Quaders

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Abb. 1: Quader
Abb. 1: Quader
#volumen#quader
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Abb. 1: Luftposterfolie
Abb. 1: Luftposterfolie

Aufgabe 1

Um $4.000 \text{ cm}^3$ Sand auf den Lkw zu laden, benötigen beide zusammen $1\text{ Minute}$.
Wie viele Minuten benötigen Emma und Isabel, um den ganzen Sandkasten zu leeren?

Aufgabe 2

a)
Berechne die Oberfläche und das Volumen der unten gezeigten Verpackungen.
Stelle deine Ergebnisse in Tabellenform dar.
b)
Vergleiche dein berechnetes Volumen mit den Angaben auf den Verpackungen.
Könnten die Unternehmen an der Verpackung sparen?

Aufgabe 3

Abb. 5: Yengo-Stein
Abb. 5: Yengo-Stein
a)
Wie viele Etagen hat der Turm zu Beginn des Spiels?
Flos Hund hat leider die Verpackung komplett zerrissen.
Marco schlägt vor, eine neue Schachtel aus Karton zu basteln, sodass der Turm in der Startaufstellung direkt hineinpasst.
b)
Welche Maße muss die neue Verpackung haben? Berechne auch die Oberfläche und das Volumen.
c)
Male das passende Netz des Quaders.

Aufgabe 4

Berechne die Oberfläche sowie das Volumen der folgenden Würfel mit der Kantenlänge
b)
$ \text{ a}= 5\text{ cm}$
d)
$ \text{ a}= 7\text{ cm}$

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Vervollständige die untenstehende Tabelle.
a$ 300\text{ dm} $$ 3\text { km} $$ 13\text{ mm} $$ 13\text{ cm} $
b$ 5\text{ cm} $$ 20\text{ m} $$ 50 \text{ m} $$ $$ 2\text{ cm} $
c$ 40 \text{ mm} $$ $$ 8 \text{ m} $$ 0,2\text{ cm} $$ 0,9\text{ m} $
V$ 140\text{ cm}^3 $$ 2.400 \text{ m}^3 $ $ 1.066 \text{ mm}^3 $$ $

Aufgabe 7

Wie schwer ist der Inhalt einer Transportkiste?

Aufgabe 8

Damit die Kaninchen nicht abhauen können, muss der Zaun eine Höhe von $80\text{ cm}$ haben.
Berechne das Volumen des Geheges.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Um zu berechnen, wie viel $\text{ cm}^2$ Luftpolsterfolie Max benötigt, musst du die gesamte Oberfläche der Computerspielhülle berechnen.
Dafür benötigst du folgende Formel:
$\text{ O}= 2 \cdot \text{a}\cdot \text{b} + 2 \cdot \text{a}\cdot \text{c} + 2 \cdot \text{b}\cdot \text{c}$
Hier setzt du nun die in der Aufgbe gegebenen Werte ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=& 2 \cdot 12\text{ cm}\cdot 2\text{ cm} + 2 \cdot 12\text{ cm}\cdot 17\text{ cm} + 2 \cdot 2\text{ cm}\cdot 17\text{ cm} \\[5pt] \text{ O}&=&2 \cdot 24\text{ cm}^2 + 2 \cdot 204\text{ cm}^2 + 2 \cdot 34 \text{ cm}^2 \\[5pt] \text{ O}&=&48 \text{ cm}^2 + 408 \text{ cm}^2 + 68 \text{ cm}^2 \\[5pt] \text{O}&=& 524\text{ cm}^2 \end{array}$
Um das Computerspiel sicher einpacken zu können, benötigt Max mindestens $524\text{ cm}^2$ Luftpolsterfolie.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Da die Angabe, wie viel Sand Emma und Isabel in einer Minute in den Lkw schaufeln können in $\text{ cm}^3$ angegeben ist macht es hier Sinn, auch die Maßangaben des Sandkastens in $\text{ cm}^3$ umzurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 1\text{ m}&=&100\text{ cm} \\[5pt] 1,7\text{ m}&=&170\text{ cm}\\[5pt] 1,8\text{ m}&=&180\text{ cm} \end{array}$
Nun kannst du das Volumen des Sandkastens mit folgender Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&\text{ a} \cdot \text{ b} \cdot \text{ c} \\[5pt] \text{ V}&=&170\text{ cm} \cdot 20\text{ cm} \cdot 180\text{ cm} \\[5pt] \text{ V}&=&3.400\text{ cm}^2 \cdot 180\text{cm} \\[5pt] \text{ V}&=&612.000\text{ cm}^3 \end{array}$
Der Sandkasten hat somit ein Volumen von $612.000\text{ cm}^3$
Um nun noch herauszufinden, wie lange die beiden brauchen werden, berechnest du zuerst wie lange sie für $1.000\text{ cm} ^3$ brauchen, um es anschließend mit $612$ zu multiplizieren.
$:4$
$\begin{array}{rrcll} &4.000\text{ cm} ^3 &\mathrel{\widehat{=}}&1 \text { Minute} \\[5pt] &1.000\text{ cm} ^3 &\mathrel{\widehat{=}}&0,25 \text { Minute} \\[5pt] &612.000\text{ cm} ^3 &\mathrel{\widehat{=}}&153 \text { Minute} & \end{array}$
$:4$
$\cdot 612$
$\cdot 612$
$ 153 \text{ Minuten} $
Emma und Isabel benötigen, um den ganzen Sand vom Sandkasten in den Lkw zu laden, $153\text{ Minuten}$.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Volumen und Oberfläche berechnen
Um das Volumen und die Oberfläche der Verpackungen zu berechnen, benötigst du folgende Formeln:
$\text{ O}= 2 \cdot \text{a}\cdot \text{b} + 2 \cdot \text{a}\cdot \text{c} + 2 \cdot \text{b}\cdot \text{c}$
$\text{ V}= \text{a}\cdot \text{b}\cdot \text{c}$
$\text{ a} $$ \text{ b} $$\text{ c} $$ \text{ Oberfläche O} $$ \text{ Volumen V} $
$\text{ Mundspülung}$$15 \text{ cm} $$ 5\text{ cm} $$5\text{ cm} $$350\text{ cm}^2 $$ 375\text{ cm}^3$
$\text{ Eau de Parfum}$$10\text{ cm} $$5\text{ cm} $$15\text{ cm} $$ 550\text{ cm}^2$$750\text{ cm}^3 $
$\text{ Nasenspray}$$5\text{ cm} $$2\text{ cm} $$10\text{ cm} $$160\text{ cm}^2 $$100\text{ cm}^3 $
$$\text{ Mundspülung}$$\text{ Eau de Parfum}$$\text{Nasenspray}$
$\text{ a} $$15\text{ cm} $$10\text{ cm} $$5\text{ cm} $
$ \text{ b}$$5\text{ cm} $$5\text{ cm} $$ 2\text{ cm}$
$ \text{ c}$$5\text{ cm} $$15\text{ cm} $$10\text{ cm} $
$ \text{ Oberfläche O}$$ 30\text{ cm}^2 $$ 550 \text{ cm}^2$$160\text{ cm}^2 $
$ \text{ Volumen V}$$ 375\text{ cm}^3 $$ 750 \text{ cm}^3$$ 100\text{ cm}^3 $
b)
$\blacktriangleright$  Berechnetes Volumen und Angabe auf der Verpackung vergleichen
1. Schritt: Mundspülung vergleichen
Das berechnete Volumen beträgt $375\text{ cm}^3$, angegeben sind $300\text{ ml}$.
$1\text{ cm}^3\mathrel{\widehat{=}}1\text{ ml}$
$1\text{ cm}^3\mathrel{\widehat{=}}1\text{ ml}$
Das bedeutet:
$375\text{ cm}^3 = 375\text {ml}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Mögliche Ersparnis}&=&\text {berechnetes Volumen } - \text{ angegebenes Volumen} \\[5pt] &=&375 \text{ cm}^3 - 300 \text{ ml} \\[5pt] &=&375 \text{ ml} - 300 \text{ ml} \\[5pt] &=& 75 \text{ ml} \end{array}$
Das Unternehmen könnte $ 75\text{ cm}^3 (=75\text{ ml})$ weniger Verpackung werwenden.
2. Schritt: Eau de Parfum vergleichen
Das berechnete Volumen beträgt $750\text{ cm}^3$, angegeben sind $500\text{ ml}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Mögliche Ersparnis}&=&750 \text{ ml} - 500 \text{ ml} \\[5pt] &=& 250 \text{ ml} \end{array}$
Das Unternehmen könnte $ 250\text{ cm}^3 (=250\text{ ml})$ weniger Verpackung werwenden.
3. Schritt: Nasenspray vergleichen
Das berechnete Volumen beträgt $100\text{ cm}^3$, angegeben sind $75\text{ ml}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Mögliche Ersparnis}&=&100 \text{ ml} - 75 \text{ ml} \\[5pt] &=& 25 \text{ ml} \end{array}$
Das Unternehmen könnte $ 25\text{ cm}^3 (=25\text{ ml})$ weniger Verpackung werwenden.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Etagen
Pro Etage besteht der Turm aus $3$ Spielsteinen.
Also musst du die Gesamtanzahl der Spielsteine durch $3$ dividieren und bekommst so die Anzahl der Etagen.
$60 : 3 = 20$
Der Turm besteht aus $20$ Etagen.
b)
$\blacktriangleright$  Berechnen der Maße
Um eine neue Verpackung basteln zu können, benötigt Marco die Angaben der Länge, der Höhe und der breite des Startturmes.
Da die Spielsteine gegengleich aufeinander gestapelt werden, entspricht sowohl die Länge als auch die Breite der Verpackung der Länge eines Spielsteines bzw. $3$ mal der Breite eines Spielsteines.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Länge}&=& 75\text{ mm} \\[5pt] \text{ Breite}&=&75\text{ mm} \end{array}$
Die Höhe berechnest du, indem du die Höhe eines Spielsteines mit der Anzahl der Etagen multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Höhe}&=& 20 \cdot 15\text{ mm} \\[5pt] &=&300\text{ mm} \end{array}$
Die neue Verpackung hat somit die Maße $75\text{ mm} \cdot 75\text{ mm} \cdot 300\text{ mm}$.
$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Die Oberfläche berechnest du über folgende Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=& 2\cdot \text{ a}\cdot \text{ b} +2\cdot \text{ a}\cdot \text{ c} + 2\cdot \text{ b}\cdot \text{ c} \\[5pt] &=& 2\cdot 75\text{ mm}\cdot 75\text{ mm} +2\cdot 75\text{ mm}\cdot 300\text{ mm} + 2\cdot 75\text{ mm}\cdot 300\text{ mm} \\[5pt] &=&101.250\text{ mm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche beträgt $101.250\text{ mm}^2$.
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Das Volumen berechnest du über folgende Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=& \text{ a} \cdot \text{ b}\cdot \text{ c} \\[5pt] &=& 75\text{ mm} \cdot 75\text{ mm}\cdot 300\text{ mm} \\[5pt] &=&1.687.500\text{ mm}^3 \end{array}$
Das Volumen beträgt $1.687.500\text{ mm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$  Netz zeichnen
Abb. 1: Netz der Verpackung
Abb.1: Netz der Verpackung

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Oberfläche und Volumen berechnen
Um die Oberfläche und das Volumen eines Würfels zu berechnen benötigst du folgende Formeln:
$\text{ O}= 6 \cdot \text{ a}^2$
$\text{ V}= \text{ a}^3$
Jetzt musst du die Kantenlänge in die oberen Formeln einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (3\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 9\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&54\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(3\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&27\text{ cm}^3 \end{array}$
Der Würfel hat eine Oberfläche von $54\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $27\text{ cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$  Oberfläche und Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (5\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 25\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&150\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(5\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&125\text{ cm}^3 \end{array}$
Der Würfel hat eine Oberfläche von $150\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $125\text{ cm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$  Oberfläche und Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (11\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 121\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&726\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(11\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&1.331\text{ cm}^3 \end{array}$
Der Würfel hat eine Oberfläche von $726\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $1.331\text{ cm}^3$.
d)
$\blacktriangleright$  Oberfläche und Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&6 \cdot (7\text{ cm})^2 \\[5pt] &=&6 \cdot 49\text{ cm}^2 \\[5pt] &=&294\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}&=&(7\text{ cm})^3 \\[5pt] &=&343\text{ cm}^3 \end{array}$
Der Würfel hat eine Oberfläche von $294\text{ cm}^2$ und ein Volumen von $343\text{ cm}^3$.

Aufgabe 5

Um die Breite des Pools berechnen zu können, musst du zuerst alle Angaben in eine Einheit bringen.
Hier bietet sich die Einheit $\text{ dm}$ an, da es die Einheit in der Mitte ist.
$\begin{array}[t]{rll} 6.000.000 \text{ cm}^3&=&6.000 \text{ dm}^3 \\[5pt] 1,2 \text{ m}&=&12 \text{ dm} \\[5pt] 4 \text{ m}&=& 40\text{ dm} \end{array}$
Um die fehlende Breite des Pools zu berechnen, musst du das Volumen durch beide schon vorhandenen Angaben teilen:
c = V : (a $\cdot$ b)
Die Länge a ist dir gegeben mit $40\text{ dm}$ und die Höhe des Wasserstandes b mit $6\text{ dm}$.
Nun musst du die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 6.000\text{ dm}^3 : ( 40\text{ dm}\cdot 6\text{ dm} ) \\[5pt] c&=& 6.000\text{ dm}^3 : 240\text{ dm}^2 \\[5pt] c&=& 25 \text{ dm} \end{array}$
Die $25\text{ dm}$ musst du noch in Meter umrechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 25\text{ dm}&=&2,5\text{ m} \\[5pt] \end{array}$
Der Pool hat eine Breite von $2,5\text{ m}$.

Aufgabe 6

Um die Tabelle zu vervollständigen musst du die Werte jeweils in eine gemeinsame Einheit umrechnen.
Für die Berechnung der fehlenden Werte helfen die folgende Formeln:
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V} &=& \text{ a} \cdot \text{ b}\cdot \text{ c} \\[5pt] \text{ c}&=& \text{ V} : (\text{ a} \cdot \text{ b}) \end{array}$
a$7\text{ cm} $$ 300\text{ dm} = 30\text{ m} $$ 3\text{ km} = 3.000\text { m} $$ 13\text{ mm} $$ 13\text{ cm} $
b$ 5\text{ cm} $$ 20\text{ m} $$ 50 \text{ m} $$ 41\text{ mm} $$ 2\text{ cm} $
c$ 40 \text{ mm} = 4\text{ cm}$$ 4\text { m} $$ 8 \text{ m} $$ 0,2\text{ cm} = 2\text{ mm} $$ 0,9\text{ m} = 90\text{ cm} $
V$ 140\text{ cm}^3 $$ 2.400 \text{ m}^3 $$ 1.200.000\text{ m}^3 $$ 1.066 \text{ mm}^3 $$ 2.340\text{ cm}^3 $

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Gewicht der Kiste berechnen
Das Gewicht einer Transportkiste berechnest du über die Anzahl der Verkaufskartons pro Kiste und deren Gewicht, welches du über die Anzahl der Würfelzucker pro Karton berechnen kannst.
1. Schritt: Gewicht eines Verkaufkartons berechnen
Um zu berechnen, wie viele Würfelzucker in einen Verkaufskarton passen, musst du berechnen, wie viele jeweils in die Länge, Breite und Höhe des Kartons passen und die Ergebnisse miteinander multiplizieren.
1.1. Schritt: Würfelzucker für die Länge berechnen
Zuerst müssen beide Angaben in die selbe Einheit umgerechnet werden.
Hier bieten sich $\text{ mm}$ an, da du so mit ganzen Zahlen rechnen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} 16\text{ cm}&=& 160\text{ mm} \\[5pt] \end{array}$
Die Länge eines Würfelzuckers entspricht $16\text{ mm}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Würfelzucker}&=&160\text{ mm} : 16\text{ mm} \\[5pt] &=&10 \end{array}$
In der Länge eines Verkaufskartons passen $10$ Würfelzucker nebeneinander.
1.2. Schritt: Würfelzucker für die Breite berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 8\text{ cm}&=& 80\text{ mm} \\[5pt] \end{array}$
Die Breite eines Würfelzuckers entspricht $16\text{ mm}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Würfelzucker}&=&80\text{ mm} : 16\text{ mm} \\[5pt] &=&5 \end{array}$
In der Breite eines Verkaufskartons passen $5$ Würfelzucker nebeneinander.
1.3. Schritt: Würfelzucker für die Höhe berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 5,5\text{ cm}&=& 55\text{ mm} \\[5pt] \end{array}$
Die Höhe eines Würfelzuckers entspricht $11\text{ mm}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Würfelzucker}&=&55\text{ mm} : 11\text{ mm} \\[5pt] &=&5 \end{array}$
In der Höhe eines Verkaufskartons passen $5$ Würfelzucker nebeneinander.
1.4. Schritt: Gewicht eines Kartons berechnen
Um den gesamten Inhalt eines Verkaufskartons, das Volumen, zu berechnen,
multiplizierst du nun alle Werte miteinander (a $\cdot$ b $\cdot$ c).
$V_\text{Karton}= 10 \cdot 5\cdot 5 = 250$
In einen Karton passen somit $250$ Würfelzucker. Jeder Würfelzucker wiegt $3\text{ g}$.
$\text{Gewicht}_\text{Karton}= 250 \cdot 3\text{ g} = 750\text{ g}$
Ein Verkaufskarton wiegt $750\text{ g}$.
2. Schritt: Gewicht einer Transportkiste berechnen
2.1. Schritt: Kartons für die Länge berechnen
Die Länge eines Kartons entspricht $16\text{ cm}$, die einer Kiste $32\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Kartons}&=&32\text{ cm} : 16\text{ cm} \\[5pt] &=&2 \end{array}$
In der Länge einer Transportkiste passen $2$ Verkaufskartons nebeneinander.
2.2. Schritt: Kartons für die Breite berechnen
Die Breite eines Kartons entspricht $8\text{ cm}$, die einer Kiste $32\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Kartons}&=&32\text{ cm} : 8\text{ cm} \\[5pt] &=&4 \end{array}$
In der Breite einer Transportkiste passen $4$ Verkaufskartons nebeneinander.
2.3. Schritt: Kartons für die Höhe berechnen
Die Höhe eines Kartons entspricht $5,5\text{ cm}$, die einer Kiste $44\text{ cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Kartons}&=&44\text{ cm} : 5,5\text{ cm} \\[5pt] &=&8 \end{array}$
In der Höhe einer Transportkiste passen $8$ Verkaufskartons nebeneinander.
2.4. Schritt: Gewicht einer Transportkiste berechnen
Um den gesamten Inhalt einer Transportkiste, das Volumen, zu berechnen,
multiplizierst du nun alle Werte miteinander (a $\cdot$ b $\cdot$ c).
$V_\text{Kiste}= 2 \cdot 4\cdot 8 = 64$
In eine Kiste passen $64$ Verkaufskartons. Jeder Karton wiegt $750\text{ g}$.
$\text{Gewicht}_\text{Kiste}= 64 \cdot 750\text{ g} = 48.000\text{ g} = 48\text{ kg}$
Eine Transportkiste wiegt $48\text{ kg}$.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$  maximale Größe des Häuschens berechnen
1. Schritt: Berechnung der Gesamtfläche
Der Flächeninhalt der eingezäunten Rasenfläche kann hier als Oberfläche eines Quaders gesehen werden.
$\begin{array}[t]{rll} O_\text{Rasenfläche}&=& 2\text{ m} \cdot 2\text{ m} \\[5pt] &=&4\text{ m}^2 \end{array}$
Die zur Verfügung stehende Fläche beträgt $4\text{ m}^2$.
2. Schritt: zur Verfügung stehende Rasenfläche für die Kaninchen berechnen
Jedem Kaninchen stehen $1.100\text{ cm}^2$ Freiraum zur Verfügung. Insgesamt sind es $3$ Kaninchen.
$ 3 \cdot 1.100\text{ cm}^2 = 3.300\text{ m}^2$.
Den Kaninchen steht insgesamt $3.300\text{ cm}^2$ Freiraum zur Verfügung.
3. Schritt: maximale Größe des Häuschens
Die Gesamtfläche muss noch in Quadratzentimeter umgerechnet werden:
$4\text{ m}^2=4.000\text{ cm}^2$
Nun musst du den zur Verfügung stehenden Freiraum abziehen:
$ 4.000\text{ cm}^2 - 3.300\text{ cm}^2 = 700\text{ cm}^2$
Das Häuschen darf höchstens eine Fläche von $700\text{ cm}^2$ bedecken.
$\blacktriangleright$  Volumen des Geheges berechnen
Zuerst musst du die Angaben noch in die selbe Einheit umrechnen.
$2\text{ m} = 200\text { cm}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{V}_\text{Gehege}&=&200\text{ cm} \cdot 200\text{ cm} \cdot 80\text{ cm} \\[5pt] &=&3.200.000\text{ cm}^3 = 3.200\text{ dm}^3 = 3,2\text{ m}^3 \end{array}$
Das Volumen des Geheges beträgt $3,2\text{ m}^3$.
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