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Flächenberechnung im Koordinatensystem

Spickzettel
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Zur Flächenberechnung von Figuren im Koordinatensystem benötigst du die allgemeine Formel für den Flächeninhalt der jeweiligen Figur. Die Seitenlängen musst du allerdings zuerst berechnen, indem du die Eckpunkte der Figuren als Ortsvektoren ausdrückst. Der Betrag des Verbindungsvektor zweier Ortsvektoren gibt dann die Strecke zwischen den beiden Punkten an. Gehe also in folgenden Schritten vor:
  • Formel für Flächeninhalt aufstellen
  • Eckpunkte als Ortsvektoren ausdrücken
  • Verbindungsvektor aufstellen, der der für die Formel benötigten Strecke entspricht
  • Betrag bilden und Ergebnis in Formel einsetzen
#verbindungsvektor#koordinaten#vektoren#vektorbetrag
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Berechne den Flächeninhalt folgender Figuren.
b)
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 2: Dreieck
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 2: Dreieck
d)
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 4: Drachenviereck
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 4: Drachenviereck

Aufgabe 1

a)
b)
Stelle die Formel für ein Parallelogramm $ABCD$ auf, indem du das Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke aufteilst und genauso vorgehst wie in der ersten Teilaufgabe. Fertige dazu eine passende Skizze an.

Aufgabe 2

Der Flächeninhalt $A_t$ des Dreiecks $ABC$ soll $12 \text{ cm}^2$ sein. Bestimme jeweils das $t$.
b)
$A(7 \mid 5)$, $B(4 \mid 9)$ und $C(5 \mid t)$.

Aufgabe 3

Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 6: Bienenwabe
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 6: Bienenwabe
a)
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 7: Bienenwabe im Koordinatensystem
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 7: Bienenwabe im Koordinatensystem
b)
Eine Bienenwabe ist $1 \text{ cm}$ tief. Berechne wie viele Bienenwaben notwendig sind, um ein Liter Honig zu bekommen. Du kannst davon ausgehen, dass das komplette Volumen der Bienenwabe mit Honig gefüllt ist.

Aufgabe 4

Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 8: Flugzeugträger USS Harry S. Truman
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 8: Flugzeugträger USS Harry S. Truman
a)
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 9: Approximation des Flugzeugträgers
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 9: Approximation des Flugzeugträgers
b)
Bestimme den Flächeninhalt der einzelnen Figuren und berechne anschließend den Flächeninhalt der gesamten Tragfläche.
Bildnachweise [nach oben]
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[2]
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[3]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A$ eines Parallelogramms ist dir bekannt:
$A = h \cdot g$
$A = h \cdot g$
Dabei kannst du als Grundseite $g$ entweder die Seite $\overline{AB}$ oder die Seite $\overline{CD}$ nehmen. Die Länge von $g$ ist gerade:
$\begin{array}[t]{rll} g &=& \left| \overrightarrow{AB} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{3 \\ 1 } - \pmatrix{1 \\ 1} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{2 \\ 0 } \right| \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
Die Höhe $h$ ist gerade der Abstand zwischen $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$. Diesen kannst du ohne Rechnung anhand der Abbildung ablesen: $h = 3.$ Somit gilt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& g \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 3 \\[5pt] &=& 6 \text{ cm}^2 \end{array}$
b)
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck. Zur Berechnung des Flächeninhalts bildest du das Produkt der beiden Katheten $g$ und $h$ und multiplizierst es anschließend mit dem Faktor $\frac{1}{2}:$
$\begin{array}[t]{rll} g &=& \left| \overrightarrow{AB} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{1 \\ 1 } - \pmatrix{0 \\ 1} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{1 \\ 0 } \right| \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h &=& \left| \overrightarrow{AC} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0 \\ 4 } - \pmatrix{0 \\ 1} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0 \\ 3 } \right| \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \text{ cm}^2 \end{array}$
c)
Du hast in diesem Fall ein Trapez gegeben. Den Flächeninhalt berechnest du mit folgender Formel:
$A = h \cdot \left( \dfrac{a+c}{2} \right)$
$A = h \cdot \left( \dfrac{a+c}{2} \right)$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der beiden parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \left| \overrightarrow{AD} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{3 \\ 2 } - \pmatrix{1 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{2 \\ 0 } \right| \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c &=& \left| \overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{5 \\ -2 } - \pmatrix{1 \\ -2} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{4 \\ 0 } \right| \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Die Höhe $h$ ist in diesem Fall die Strecke $\overline{AB}$, weil sie auf die beiden Seite $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ im rechten Winkel auftritt, d.h. es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} h &=& \left| \overrightarrow{AB} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{1 \\ -2 } - \pmatrix{1 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0 \\ -4 } \right| \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Somit gilt für den Flächeninhalt $A$:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& h \cdot \left( \dfrac{a+c}{2} \right) \\[5pt] &=& 4 \cdot \left( \dfrac{2+4}{2} \right) \\[5pt] &=& 4 \cdot 3 \\[5pt] &=& 12 \text{ cm}^2 \end{array}$
d)
Für den Flächeninhalt $A$ eines Drachenvierecks gilt:
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
$e$ und $f$ sind hier die beiden Diagonalen des Drachenvierecks. Berechne die beiden Längen und setze sie in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} e &=& \left| \overrightarrow{AC} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{5 \\ 1 } - \pmatrix{1 \\ 1} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{4 \\ 0 } \right| \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f &=& \left| \overrightarrow{BD} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{3 \\ 2 } - \pmatrix{3 \\ -1} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0 \\ 3 } \right| \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Für den Flächeninhalt $A$ gilt demnach:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{3 \cdot 4}{2} \\[5pt] &=& 6 \text{ cm}^2 \end{array}$

Aufgabe 1

a)
Du willst eine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ aufstellen. Dafür berechnest du zuerst die Flächeninhalte des grünen, roten und blauen Dreiecks. Dabei kannst du dir zunutze machen, dass alle drei Dreiecke rechtwinklig sind, d.h. wählst du als Grundseite die Kathete des Dreiecks, so entspricht die Höhe des Dreiecks gerade der Länge der anderen Kathete. Demnach gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{blau}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot a_x \cdot a_y \\[5pt] A_{\text{grün}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot b_x \cdot b_y \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{rot}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a_x - b_x) \cdot (b_y - a_y) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot(a_x b_y - a_x a_y - b_x b_y + b_x a_y) \end{array}$
$A_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} \cdot (a_x - b_x) \cdot (b_y - a_y) $
Für den Flächeninhalt des großen Rechtecks gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}} &=& a_x \cdot b_y \end{array}$
Ziehe nun die Flächeninhalte der Dreiecke vom Rechteck ab, um den Flächeninhalt $A_{\text{Dreieck}}$ des Dreiecks $ABC$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}} &=& a_x \cdot b_y - \dfrac{1}{2} \cdot a_x \cdot a_y - \dfrac{1}{2} \cdot b_x \cdot b_y - \dfrac{1}{2} \cdot(a_x b_y - a_x a_y - b_x b_y + b_x a_y) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot a_x \cdot b_y - \dfrac{1}{2} \cdot b_x \cdot a_y \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \end{array}$
$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
Du kannst also im Koordinatensystem den Flächeninhalt eines Dreiecks mithilfe einer Determinante darstellen.
b)
Du kannst ein Parellelogramm $ABCD$ in zwei kongruente Dreiecke $ABC$ und $ACD$ aufteilen und deren Flächeninhalte mithilfe von Teilaufgabe a) bestimmen. Da sie kongruent sind, genügt es den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen, um anschließend den Flächeninhalt mal zwei zu nehmen, um den Flächeninhalt des Parallelogramms zu ermitteln.
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 1: Zerlegung des Parallelogramms in zwei Dreiecke
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 1: Zerlegung des Parallelogramms in zwei Dreiecke
Der Flächeninhalt $A_{\text{ABC}}$ des Dreiecks $ABC$ ist nach Teilaufgabe a) gerade:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ABC}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \end{array}$
Dabei ist $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y }$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y }$.
Dabei ist $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y }$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y }$.
Da die Dreiecke $ABC$ und $ACD$ kongruent sind, ist auch deren Flächeninhalt gleich, d.h. $A_{\text{ABC}} = A_{\text{ACD}}.$ Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Parallelogramm}} &=& A_{\text{ABC}} + A_{\text{ACD}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} + \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \end{array}$
$A_{\text{Parallelogramm}} = \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} $

Aufgabe 2

a)
In Aufgabe 1 hast du dir die Formel zur Berechnung eines Dreiecks $ABC$ hergeleitet. Für den Flächeninhalt $A_t$ gilt somit:
$A_t = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
$A_t = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y }$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y }$ und setze sie in die Formel für $A_t$ ein.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{6-2 \\ 3-1 } = \pmatrix{4 \\ 2} $
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{t-2 \\ 4-1 } = \pmatrix{t-2 \\ 3}$
$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{t-2 \\ 3} $
Für den Flächeninhalt $A_t$ gilt demnach:
$\begin{array}[t]{rll} A_{t} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & t-2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (4 \cdot 3 - (t-2) \cdot 2) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (12 - 2t + 4) \\[5pt] &=& 8 - t \end{array}$
Der Flächeninhalt $A_t$ des Dreiecks $ABC$ soll laut Aufgabenstellung $12 \text{ cm}^2$. Setze $A_t$ somit gleich $12$:
$\begin{array}[t]{rll} 12 &=& A_{t} \\[5pt] 12 &=& 8 -t\\[5pt] t &=& -4 \end{array}$
Das Dreieck $ABC$ ist also genau dann $12 \text{ cm}^2$ groß, wenn $C$ die Koordinaten $(-4 \mid 4 )$ hat.
b)
Das Vorgehen bei dieser Aufgabe ist analog zur Teilaufgabe a).
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y }$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y }$ und setze sie in die Formel für $A_t$ ein.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{4-7 \\ 9-5 } = \pmatrix{-3 \\ 4} $
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{5-7 \\ t-5 } = \pmatrix{-2 \\ t-5}$
$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{-2 \\ t-5} $
Für den Flächeninhalt $A_t$ gilt demnach:
$\begin{array}[t]{rll} A_{t} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & t-5 \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot ((-3) \cdot (t-5) - (-2) \cdot 4) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (23 - 3t) \\[5pt] &=& 11,5 - \dfrac{3}{2} \cdot t \end{array}$
Der Flächeninhalt $A_t$ des Dreiecks $ABC$ soll laut Aufgabenstellung $12 \text{ cm}^2$. Setze $A_t$ somit gleich $12$:
$\begin{array}[t]{rll} 12 &=& A_{t} \\[5pt] 12 &=& 11,5 - \dfrac{3}{2} \cdot t \\[5pt] \dfrac{1}{2} &=& -\dfrac{3}{2} \cdot t \\[5pt] t &=& -\dfrac{1}{3} \end{array}$
Das Dreieck $ABC$ ist also genau dann $12 \text{ cm}^2$ groß, wenn $C$ die Koordinaten $(5 \mid -\dfrac{1}{3})$ hat.

Aufgabe 3

a)
Um den Flächeninhalt einer Bienenwabe zu bestimmen, kannst du die Bienenwabe in zwei kongruente Trapeze $ABCF$ und $CDEF$ aufteilen und den Flächeninhalt eines der Trapeze bestimmen. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A_{\text{Trapez}}$ eines Trapezes ist dabei:
$A_{\text{Trapez}} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h$
$A_{\text{Trapez}} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der beiden parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.
Für das Trapez $ABCF$ gilt:
$a = \left| \overrightarrow{AB} \right| = \left| \pmatrix{3,5 - 1 \\ 1 - 1} \right| = 2,5$
$c = \left| \overrightarrow{CF} \right| = \left| \pmatrix{0 - 4,5 \\ 3 - 3} \right| = 4,5 $
$h = \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{AE} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{1 - 1 \\ 5 - 1} \right| = 2 $
Setze nun die berechneten Werten in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}} &=& \dfrac{a+c}{2} \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{2,5+4,5}{2} \cdot 2 \\[5pt] &=& 3,5 \cdot 2 \\[5pt] &=& 7 \end{array}$
Da das Trapez $CDEF$ kongruent zum Trapez $ABCF$ ist, gilt für den Flächeninhalt $A_{\text{Honigwabe}}$:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Honigwabe}} &=& A_{ABCF} + A_{CDEF} \\[5pt] &=& A_{ABCF} + A_{ABCF} \\[5pt] &=& 2 \cdot 7 \\[5pt] &=& 14 \end{array}$
Die Bienenwabe ist also $14 \text{ mm}^2$ groß.
b)
Nun sollst du bestimmen wie viel Bienenwaben notwendig sind, um ein Liter Honig zu bekommen. Berechne dafür zuerst das Fassungsvermögen einer Bienenwabe. Den Flächeninhalt hast du schon in Teilaufgabe a) bestimmt. Die Fläche von $14 \text{ mm}^2$ entspricht dabei $0,14 \text{ cm}^2$. Das Fassungsvermögen $V$ einer Honigwabe entspricht somit:
$V = 1 \cdot 0,14 = 0,14 \text{ cm}^3$
Also passen in einer Bienenwabe $0,14 \text{ ml} = 0,00014 \text{ l}$ Honig rein. Um die Anzahl $N$ der Bienenwaben zu bestimmen, die für ein Liter notwendig sind, teilst du $1 \text{ l}$ durch $0,00014 \text{ l}$:
$N = \dfrac{1}{0,00014} \approx 7.143$
Aarons Vater bekommt demnach von $7.143$ Bienenwaben $1 \text{ l}$ Honig.

Aufgabe 4

a)
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 2: Zerlegung der Fläche in mehrere Teilflächen
Flächeninhalt ebener Vielecke: Flächenberechnung im Koordinatensystem
Abb. 2: Zerlegung der Fläche in mehrere Teilflächen
b)
Um den Flächeninhalt der einzelnen Flächen zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten. Du setzt die entsprechenden Werte in die Formeln für die Rechtecke $A_1$ und $A_3$ und die Trapeze $A_2$ und $A_4$ ein. Alternativ gehst du wie folgt vor:
Ein Kästchen ist $25 \text{ m}$ lang und $25 \text{ m}$ hoch. Der Flächeninhalt eines Kästchens entspricht somit $625 \text{ m}^2.$ Zähle nun die Kästchen bei den einzelnen Flächen ab:
Die Fläche $A_1$ hat $3$ Kästchen. Es folgt für den Flächeninhalt:
$A_1 = 3 \cdot 625 = 1.875 \text{ m}^2$
Die Fläche $A_2$ ist trapezförmig, wobei zwei Seiten zwei Kästchen genau in der Mitte teilen, d.h.
$A_2 = 625 + \dfrac{1}{2} \cdot 625 + \dfrac{1}{2} \cdot 625 = 1.250 \text{ m}^2$
$A_2 = 1.250 \text{ m}^2 $
Die Fläche $A_3$ ist ein $3 x 7$ Kästchen großes Rechteck. Demnach gilt:
$A_3 = 3 \cdot 7 \cdot 625 = 13.125 \text{ m}^2$
Ein Teil der Fläche $A_4$ ist offensichtlich $4$ Kästchen groß. Der restliche Teil hat die Form eines Dreiecks. Die Grundseite entspricht dabei der Länge eines Kästchens und die Höhe der Länge von zwei. Der Flächeninhalt des Dreiecks entspricht folglich einem Kästchen.
$A_4 = 4 \cdot 625 + (\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2) \cdot 625) = 3.125 \text{ m}^2$
$A_4 = 3.125 \text{ m}^2$
Für die gesamte Tragfläche $A_{\text{gesamt}}$ des Flugzeugträgers gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{gesamt}} &=& A_{1} + A_{2} + A_3 + A_4 \\[5pt] &=& 1.875 + 1.250 + 13.125 + 3.125 \\[5pt] &=& 19.375 \text{ m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A_{\text{gesamt}} = 19.375 \text{ m}^2 $
Der Flächeninhalt des Flugzeugträgers beträgt also ungefähr $19.375 \text{ m}^2.$
Bildnachweise [nach oben]
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