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Drachenviereck

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Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 1: Drachenviereck
Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 1: Drachenviereck
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#drachenviereck#flächeninhalt
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Einführungsaufgabe

Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 1: Drachenviereck
Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 1: Drachenviereck

Aufgabe 1

Berechne die fehlenden Größen des Drachenvierecks.
b)
$A = 7,3 \text{ dm}^2 \text{; } f = 9 \text{ cm} $
d)
$e=12 \text{ cm} = f$
f)
$A = 35 \text{ m}^2 \text{; } f = 5a \text{ m}$

Aufgabe 2

Gegeben sei das Dreieck $A(5 \mid 1)$, $B(3 \mid 3)$ und $C(1 \mid 1)$.
a)
Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem ein und ergänze das Dreieck durch einen Punkt $D$ zu einem Viereck so, dass eine Raute entsteht. Begründe dabei, warum die Koordinaten von $D$ eindeutig festgelegt sind und berechne den Flächeninhalt der Raute.
b)
Sei nun $D'$ durch die Koordinaten $(3 \mid -2)$ gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks $ABCD'.$

Aufgabe 3

Entscheide, ob folgende Figuren Drachenvierecke sind. Berechne den Flächeninhalt der Figur, falls es sich um ein Drachenviereck handelt.

Aufgabe 4

Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 6: Ein Deltasegler wird von einem Trike geschleppt
Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 6: Ein Deltasegler wird von einem Trike geschleppt
a)
b)
Wie groß ist der Flächeninhalt, wenn $h$ doppelt so lang ist wie $g$ und die Summe von $g$ und $h$ $3 \text{ m}$ beträgt? Die Spannweite bleibt dabei gleich.
c)
Berechne, wie viel € sich Timo beiseitelegen muss, wenn ein Quadratmeter des Tuchs $96,74$ € kostet.

Aufgabe 5

Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 8: Vier US-amerikanische Diamonds
Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 8: Vier US-amerikanische Diamonds
a)
b)
Nun kommen zwischen dem ersten Düsenjet und der zweiten Reihe und dem letzten Düsenjet und der vorletzten Reihe jeweils zwei Flugzeuge dazu. Zeichne die sich ergebene Formation maßstabsgetreu wobei die Abstände genauso so groß wie in a) sind. Gebe die Größe der Formation in $\text{m}^2$ an.
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Einführungsaufgabe

a)
Ein Drachenviereck ist ein ebenes Viereck, das mindestens an einer Diagonale achsensymmetrisch ist. Den Flächeninhalt $A$ eines Drachenvierecks berechnest du mit folgender Formel:
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
Die Längen der beiden Diagonalen sind dabei $e$ und $f$.
b)
Die Diagonale $e$ ist nun $40 \text{ cm}$ und $f$ ist $63 \text{ cm}$ lang. Setze diese Werte in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bekommen.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{40 \cdot 63}{2} \\[5pt] &=& 1.260 \text{ cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks ist $0,126 \text{ m}^2$ groß.
c)
Eine Raute ist ein ebenes Viereck bei dem beide Diagonalen Symmetrieachsen sind. Demzufolge ist eine Raute auch gleichzeitig ein Parallelogramm, aber ein Parallelogramm ist nicht zwingend eine Raute.

Aufgabe 1

In dieser Aufgabe verwendest du die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks:
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
Löse dabei gegenfalls nach der gesuchten Seit $e$ oder $f$ auf und setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
b)
Schreibe $9 \text{ cm}$ in $0,9 \text{ dm}$ um und setze sie in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} e &=& \dfrac{2 \cdot A}{f} \\[5pt] &=& \dfrac{14,6}{0,9} \\[5pt] &\approx& 16,22 \text{ dm} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{12 \cdot 12 }{2} \\[5pt] &=& 72 \text{ cm}^2 \end{array}$
f)
Hier taucht ein Parameter $a$ auf. Behandle ihn als gewöhnliche Zahl und löse die Gleichung nach $e$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} e &=& \dfrac{2 \cdot 35}{5a} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 5 \cdot 7}{5a} \\[5pt] &=& \dfrac{14}{a} \text{ m} \end{array}$

Aufgabe 2

a)
Eine Raute ist ein Drachenviereck deren Seiten alle gleich lang sind, d.h. die Seite $\overline{AD}$ muss genauso lang sein wie die Seite $\overline{AB}$ und $\overline{BD}.$ Auf diese Eigenschaft musst du bei der Wahl von $D$ achten. Du stellst fest, dass nur der Punkt $(1 \mid -1)$ das gewünschte Kriterium erfüllt:
b)
Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ist gerade das Produkt der beiden Diagonalen. Berechne also im ersten Schritt die Längen der beiden Diagonalen und bilde anschließend deren Produkt.
$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{BD'} \mid &=& \left| \pmatrix{3 \\ -2} - \pmatrix{3 \\ 3} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0 \\ -5} \right| \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
Die beiden Diagonalen sind $4 \text{ cm}$ und $5 \text{ cm}$ lang. Die Hälfte des Produkts und somit der gesuchte Flächeninhalt ist also $\dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10 \text{ cm}^2.$

Aufgabe 3

Beachte bei dieser Aufgabe die Eigenschaften von Drachenvierecken und kontrolliere, ob die gegebenen Figuren diese erfüllen.
a)
Das Viereck ist zu einer Diagonalen achsensymmetrisch, demnach handelt es sich um ein Drachenviereck. Die Längen der beiden Diagonalen sind gegeben. Setze die Werte in die Formel ein, um den Flächeninhalt $A$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{4 \cdot 2}{2}\\[5pt] &=& 4 \text{ cm}^2 \end{array}$
b)
Keiner der beiden Diagonalen ist eine Symmetrieachse, somit handelt es sich nicht um ein Drachenviereck.
c)
Bei dieser Form handelt es sich um ein konkaves Drachenviereck. Denn die beiden Diagonalen sind beide Symmetrieachsen. Lasse dich in diesem Fall von der zusätzlichen Angabe von $2 \text{ cm}$ nicht irretieren.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{12 \cdot 7}{2} \\[5pt] &=& 42 \text{ cm}^2 \end{array}$
d)
Eine Diagonale ist unabhängig vom Wert von $a$ eine Symmetrieachse des Vierecks. Also handelt es sich um ein Drachenvierecks. Setze die gegebenen Werte in die Formel ein. Behandle dabei $a$ als gewöhnliche Zahl.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{\dfrac{1}{a} \cdot 2a}{2} \\[5pt] &=& 1 \text{ m}^2 \end{array}$
Unabhängig von $a$ ist der Flächeninhalt des Drachenvierecks $1 \text{ m}^2.$

Aufgabe 4

a)
Um den Flächeninhalt des Tuchs vom Drachen zu berechnen, verwendest du die dir bekannte Formel:
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
Da du aber den Flächeninhalt des Drachenvierecks und eine Diagonale gegeben hast, musst du die Formel noch $f$ auflösen, bevor du die entsprechenden Werte einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2} &\quad \scriptsize \mid\ :e; ~\cdot 2 \\[5pt] f &=& \dfrac{2 \cdot A}{e} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 5,55}{6} \\[5pt] &=& 1,85 \text{ m} \end{array}$
Die Länge von $h$ entspricht demnach $1,85 \text{ m}.$
b)
Um den neuen Flächeninhalt zu bestimmen, musst du zuerst die Länge von $h$ berechnen. Du weißt, dass $g$ doppelt so lang ist wie $h$, d.h. $g = \dfrac{1}{2} \cdot h.$ Weiterhin gilt für die Summe $g + h =3.$ Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& g + h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot h + h \\[5pt] 3 &=& \dfrac{3}{2} \cdot h &\quad \scriptsize \mid\ :3; ~\cdot 2 \\[5pt] h &=& 2 \text{ m} \end{array}$
Da dir die Länge der anderen Diagonale bekannt ist, musst du nur noch die Werte in die Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{e \cdot f}{2} &\quad \scriptsize \mid\ :e; ~\cdot 2 \\[5pt]] &=& {6 \cdot 2}{2} \\[5pt] &=& 6 \text{ m}^2 \end{array}$
Unter den geforderten Bedingungen ist das Tuch des Drachens $6 \text{ m}^2$ groß.
c)
Der Flächeninhalt des Drachens beträgt insgesamt $5,55 \text{ m}^2.$ Pro Quadratmeter muss Timo $96,74$ € zahlen. Bilde das Produkt der beiden Angaben, um die Gesamtkosten $K$ des Drachens zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} K &=& 5,55 \cdot 96,72 \\[5pt] &=& 536,91 \text{ €} \end{array}$
Somit muss Timo für den Drachen insgesamt $536,91$ € bezahlen.

Aufgabe 5

a)
Zwischen dem Düsenjet $a$ und $b$ befindet sich drei Reihen aus Flugzeugen. Der Abstand zwischen zwei Reihen beträgt $20 \text{ m}$. Somit gilt für den Abstand $d_{a,b}$:
$\begin{array}[t]{rll} d_{a,b} &=& 4 \cdot 20 \\[5pt] &=& 80 \text{ m} \end{array}$
Der Abstand zwischen zwei Flugzeugen in einer Reihe ist wiederum $25 \text{ m}$ und zwischen $c$ und $d$ befinden sich zwei Düsenjets. Somit gilt für den Abstand $d_{c,d}:$
$\begin{array}[t]{rll} d_{c,d} &=& 3 \cdot 25 \\[5pt] &=& 75 \text{ m} \end{array}$
Willst du nun die Fläche $A$ berechnen, die von der Drachenformation eingenommen wird, so multiplizierst du die beiden Diagonalen des Drachenvierecks miteinander, was gerade die beiden Abstände $d_{a,b}$ und $d_{c,d}$ sind:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{d_{a,b} \cdot d_{c,d}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{80 \cdot 75}{2} \\[5pt] &=& 3.000 \text{ m}^2 \end{array}$
Die Düsenjets nehmen am Himmel also eine Fläche von $3.000 \text{ m}^2$ ein.
b)
Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 2: Neue Formation mit vier zusätzlichen Jets
Flächeninhalte: Drachenviereck
Abb. 2: Neue Formation mit vier zusätzlichen Jets
Die Länge der Diagonale $d_{c,d}$ ändert sich dadurch nicht. Durch die zwei zusätzlichen Reihen von Düsenjets verlängert sich $d_{a,b}$ um $40 \text{ m}$. Somit gilt für die Fläche $A_{\text{neu}}$, die von der neuen Formation eingenommen wird:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{neu}} &=& \dfrac{d′_{a,b} \cdot d_{c,d}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{120 \cdot 75}{2} \\[5pt] &=& 4.500 \text{ m}^2 \end{array}$
Die neue Formation ist also $4.500 \text{ m}^2$ groß.
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