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Dreiecke

Spickzettel
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Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du dir aus der bekannten Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks herleiten.
Den Flächeninhalt des Rechtecks kennst du bereits: $A_{Rechteck}=c \cdot h_c$. Das Dreieck besitzt genau die Hälfte des Flächeninhalts $\;A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c$.
In der allgemeinen Formel verwendet man oft $g$ für Grundseite und $h$ für die dazugehörige Höhe:
$A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
$A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Bildnachweise [nach oben]
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#dreieck#flächeninhalt
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten $A(2 \mid 1)$, $B(5 \mid 1)$ und $C(3 \mid 5)$.
a)
Zeichne das Dreieck in ein Koordinantensystem ein.
b)
Gebe eine mögliche Grundseite und die dazugehörige Höhe des Dreiecks an.
c)
Berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 1

Konstruiere…
a)
…ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt von $10 \text{ cm}^2$.
b)
…ein Dreieck mit der Höhe von $4 \text{ cm}$ und dem Flächeninhalt von $12 \text{ cm}^2$.
c)
…ein Dreieck, welches nicht rechtwinklig ist und einem Flächeninhalt von $2ab \text{ cm}^2$.

Aufgabe 2

Gegeben sei ein Dreieck dessen Höhe $6 \text{ cm}$ und die Länge der Grundseite $5,5 \text{ cm}$ beträgt. Wie verändert sich der Flächeninhalt des Dreiecks, wenn …
a)
…die Höhe verdoppelt wird?
b)
…die Höhe halbiert und die Grundseite um $2 \text{ cm}$ verlängert wird?
c)
… die Höhe um $a \text{ cm}$ vermindert und die Grundseite mit dem Faktor $b$ multipliziert wird?

Aufgabe 3

Flächeninhalte: Dreiecke
Abb. 1: Eingang des Businesshotels
Flächeninhalte: Dreiecke
Abb. 1: Eingang des Businesshotels
a)
Berechne wie viel Quadratmeter Glas und Massivholz für den Eingang benötigt werden.
b)
Berechne wie viel der Eingang kosten wird, wenn eine Verarbeitungs- und Servicegebühr von $342,63$€ zu den anfallenden Kosten dazukommt.

Aufgabe 4

Flächeninhalte: Dreiecke
Abb. 2: Segelkatamaran
Flächeninhalte: Dreiecke
Abb. 2: Segelkatamaran
a)
Wie viel $\text{m}^2$ Material wird Arno benötigen, um alle Segel anzufertigen?
b)
Wie viel € wird Arno Gewinn machen, wenn er ein $\text{m}^2$ Material für $53,98$ € ankauft und die kleinen Segel für $512$ € und die großen für $1207$€ verkauft?
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© 2016 – SchulLV.
[2]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein verbinde sie zu einem Dreieck.
a)
Flächeninhalte: Dreiecke
Abb. 1: Dreieck im Koordinatensystem
Flächeninhalte: Dreiecke
Abb. 1: Dreieck im Koordinatensystem
b)
Da es sich in diesem Fall weder um ein gleichschenkliges noch um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist die Grundseite nicht eindeutig festgelegt. Am einfachsten ist es die Seite $\overline{AB}$ als Grundseite zu wählen. Die entsprechende Höhe zeichnest du als Strecke vom Punkt $C$ bis zur Seite $\overline{AB}$ ein, wobei sie auf die Seite $\overline{AB}$ im rechten Winkel auftrifft (siehe die rot gekennzeichneten Seiten in Teilaufgabe a)).
c)
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit folgender Formel:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Dabei wird die Länge der Grundseite als $g$ und die Höhe des Dreiecks als $h$ bezeichnet. Berechne also die Längen von $g$ und $h$ und setze die Werte in die Formel ein.
Die Länge der Grundseite ist gerade die positive Differenz der $y$-Werte zwischen den Punkten $A$ und $B$.
$g = 5 - 2 = 3.$
Die Höhe $h$ ist der Abstand des Punkts $C$ zur Strecke $\overline{AB}$.
$h = 5 - 1 = 4.$
Für den Flächeninhalt gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreicks entspricht demnach $6 \text{ cm}^2.$

Aufgabe 1

Bei dieser Aufgabe benötigst du erneut die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$
a)
b)
Die Höhe des gesuchten Dreiecks beträgt also $6 \text{ cm}.$
c)

Aufgabe 2

Der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks beträgt $16,5 \text{ cm}^2.$
a)
Die Höhe des Dreiecks wird nun verdoppelt, d.h. der Flächeninhalt $\overline{A}$ des abgeänderten Dreiecks beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 5,5 \cdot 2 \cdot 6 \\[5pt] &=& 33 \end{array}$
Der Flächeninhalt $\overline{A}$ ist $33 \text{ cm}^2.$ Der Flächeninhalt hat sich also verdoppelt.
b)
Die Höhe des Dreiecks wird halbiert, sie beträgt also nur noch $3 \text{ cm}$. Die Grundseite wird um $2 \text{ cm}$ verlängert: $\overline{g} = 5,5 + 2 = 7,5.$
Setze die neuen Werte in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{h} \cdot \overline{g} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7,5\\[5pt] &=& 11,25 \end{array}$
Das abgeänderte Dreieck ist $11,25 \text{ cm}^2$ groß und somit $4,75 \text{ cm}^2$ kleiner als das ursprüngliche.
c)
Die ursprüngliche Höhe des Dreiecks wird um $a \text{ cm}$ vermindert, d.h. die abgeänderte Höhe des Dreiecks ist jetzt nun $\overline{h} = 6 - a.$ Die Grundseite wird mit dem Faktor $b$ multipliziert. Somit ist die abgeänderte Grundseite $\overline{g} = 5,5 \cdot b$ lang. Setze die neuen Werte in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A} &=& \dfrac{1}{2} \cdot (6-a) \cdot (5,5 \cdot b)\\[5pt] &=& 16,5 \cdot b - 2,75 \cdot a \cdot b \end{array}$
Der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks wird um den Faktor $b$ gestreckt und anschließend $2,75 \cdot a \cdot b$ abgezogen.

Aufgabe 3

a)
Um herauszubekommen wie viel $\text{m}^2$ Glas und Holz gebraucht werden, gehst du wie folgt vor:
1. Berechne den Flächeninhalt der Glastür.
2. Berechne den Flächeninhalt des gesamten Dreiecks.
3. Ziehe den Flächeninhalt der Glastür vom gesamten Dreieck ab, um die Größe des Flächeninhalts zu erhalten, die mit Massivholz bedeckt werden soll.
1. Berechne den Flächeninhalt der Glastür
Bei der Glastür handelt es sich um ein Rechteck, sodass der Flächeninhalt der Glastür $2 \cdot 1,75 = 3,5 \text{ m}^2$ beträgt.
2. Berechne die Fläche des gesamten Dreiecks
Die Höhe des gesamten Dreiecks ist durch $4 \text{ m}$ gegeben. Die Grundseite ist durch $1 + 1,75 + 1 = 3,75$m gegeben. Setze diese Werte in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ein:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot 3,75 \cdot 4 \\[5pt] &=& 7,5 \end{array}$
Das gesamte Dreieck ist $7,5 \text{ m}^2$ groß.
3. Ziehe den Flächeninhalt der Glastür vom gesamten Dreieck ab, um die Größe des Flächeninhalts zu erhalten, die mit Massivholz bedeckt werden soll.
Die Fläche, die mit Massivholz bedeckt werden soll, beträgt
$7,5 - 3,5 = 4 \text{ m}^2.$
b)
Ein Quadratmeter Glas kostet $86$€, d.h. für die Glastür fallen Materialkosten in Höhe von $3,5 \cdot 86 = 301$€ an.
Für die $4 \text{ m}^2$ muss $4 \cdot 128 = 512$€ gezahlt werden.
Zusätzlich muss eine Service- und Verarbeitungsgebühr gezahlt werden, sodass insgesamt Kosten in Höhe von $301 + 512 + 342,63 = 1.155,63$€ anfallen.

Aufgabe 4

a)
Berechne den Flächeninhalt des kleinen und großen Segels, indem du die entsprechenden Werte für die Höhe und Grundseite in die Formel zu Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks einsetzt.
Für den Flächeninhalt $A_{\text{klein}}$ des kleinen Segels gilt:
$A_{\text{klein}} = \dfrac{1}{2} \cdot 1,3 \cdot 5,2 = 3,38 \text{ m}^2$
Für den Flächeninhalt $A_{\text{groß}}$ des großen Segels gilt:
$A_{\text{groß}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2,4 \cdot 8,4 = 10,08 \text{ m}^2$
Der Flächeninhalt der beiden Segel beträgt zusammen also:
$A = 10,08 + 3,38 = 13,46 \text{ m}^2$
Arno soll insgesamt jeweils $16$ kleine und große Segel anfertigen, d.h. der Materialverbrauch liegt bei mindestens:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{gesamt}} &=& 16 \cdot A \\[5pt] &=& 16 \cdot 13,46 \text{ m}^2 \\[5pt] &=& 215,36 \text{ m}^2 \end{array}$
Arno benötigt also mindestens $215,36 \text{ m}^2$ Material.
b)
Arno zahlt pro $\text{m}^2$ $53,98$€, d.h. für $215,36 \text{ m}^2$ zahlt er $215,36 \cdot 53,98 \approx 11. 625,13$ €.
Verkauft er $16$ kleine Segel für $512$€ und $16$ große Segel für $1207$€, so hat er einen Umsatz von $16 \cdot (512 + 1207) = 27.504$€ gemacht.
Den Gewinn $\boldsymbol{\color{#87c800}{G}}$ berechnest du, indem du die Materialkosten vom Umsatz abziehst:
$G = 27.504 - 11.625,13 = 15.878,87$€.
Folglich hat Arno $15.878,87$€ Gewinn gemacht.
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