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Parallelogramm

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Flächeninhalte: Parallelogramm


Alternativ kannst du das Parallelogramm in bekannte Formen, zum Beispiel zwei Dreiecke und ein Rechteck zerlegen. Diese Flächeninhalte kannst du einzeln berechnen und dann addieren:
$A_{Parallelogramm}=A_{Rechteck}+2\cdot A_{Dreieck}$
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© 2017 – SchulLV.
#flächeninhalt#parallelogramm
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Gebe die Definition eines Parallelogramms an.
b)
Entscheide, ob folgende Formen Parallelogramme sind und schreibe dazu ein kurze Begründung.
(ii)
(iv)

Aufgabe 1

a)
b)
c)
Vervollständige folgende Tabelle. Runde dabei auf die dritte Nachkommastelle.
a)b)c)d)
a$2 \text{ m}$$94 \text{ cm}$$4,3 \text{ dm}$$98 \text{ mm}$
b$3,2 \text{ m}$$0,86 \text{ m}$$44 \text{ cm}$
h$_{\text{a}}$$0,7 \text{ m}$$2,3 \text{ dm}$
h$_{\text{b}}$$36 \text{ cm}$
A$5 \text{ m}^2$$2,7 \text{ m}^2$

Aufgabe 2

Gegeben seien die Punkte $A(1 \mid 2)$, $B(2 \mid 1)$ und $C(3 \mid 1).$

Aufgabe 3

Max bekommt eine Aufgabe gestellt. Er soll ein Parallelogramm kostruieren, dessen Flächeninhalt $18 \text{ cm}^2$ ist, die Grundseite doppelt so lang ist wie die Höhe und dessen Umfang $20 \text{ cm}$ ist.

Aufgabe 4

a)
Karo und Christian wissen, dass sie insgesamt $16,52 \text{ cm}^2$ Papier verbraucht haben. Finde die unbekannte Höhe $h$ heraus.
Sei nun $h = 2,2 \text{ cm}$.
b)
Wie große ist der Flächeninhalt des Spielwürfels?
c)
Caro glaubt, dass der Spielwürfel zu klein ist. Sie verlängert die grün gekennzeichnete Seite um $0,7 \text{ cm}$. Um viel $\text{cm}^2$ vergrößert sich der Flächeninhalt im Vergleich zu b)?
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Einführungsaufgabe

a)
Ein Parallelogramm ist ein ebenes Viereck dessen gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.
b)
Bei dieser Aufgabe musst du prüfen, ob die gegebenen Formen die Eigenschaften aus der Definition eines Parallelogramms erfüllen.
(i)
Die gegenüberliegenden Seiten sind bei diesem Viereck parallel, also handelt es sich um ein Parallelogramm.
(ii)
In diesem Fall handelt es sich um ein Trapez, aber nicht um ein Parallelogramm, denn zwei gegenüberliegende Seiten sind nicht parallel zueinander.
(iii))
Du hast hier ein Rechteck gegeben. Ein Rechteck ist nach Definition auch ein Parallelogramm, denn alle gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.
(iv))
Bei dieser Form sind zwar alle gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander, da es sich aber nicht um ein Viereck handelt, handelt es sich auch nicht um ein Parallelogramm.

Aufgabe 1

a)
Berechne den Flächeninhalt des großen Rechtecks, welches sich aus dem Parallelogramm und den gestrichelt umrandeten Flächen zusammensetzt. Ziehe anschließend die Flächen ab, die nicht zum Parallelogramm dazugehören.
Die Länge der Grundseite des Rechtecks ist $g+a$. Somit folgt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}} &=& (g+a) \cdot h \\[5pt] &=& gh + ah \end{array}$
Nimmst du ein gestricheltes Dreieck und fügst es an das andere, so entsteht ein Rechteck mit der Grundseite $a$ und der Höhe $h$, d.h. der Flächeninhalt $\overline{A}$ der Flächen, die nicht zum Parallelogramm gehören, ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A} &=& ah \end{array}$
Somit folgt für den Flächeninhalt des Parallelogramms:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Parallelogramm}} &=& A_{\text{Rechteck}} - \overline{A} \\[5pt] &=& gh + ah - ah \\[5pt] &=& gh \end{array}$
Das ist gerade dir die bekannte Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms.
b)
c)
Benutze die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Parellelogramms um die Tabelle zu vervollständigen:
$A = g \cdot h$
$A = g \cdot h$
a)b)c)d)
a$2 \text{ m}$$94 \text{ cm}$$4,3 \text{ dm}$$98 \text{ mm}$
b$3,2 \text{ m}$$\color{#87c800}{1,828 \text{ m}}$$0,86 \text{ m}$$44 \text{ cm}$
h$_{\text{a}}$$\color{#87c800}{2,5 \text{ m}}$$0,7 \text{ m}$$\color{#87c800}{6,279 \text{ m}}$$2,3 \text{ dm}$
h$_{\text{b}}$$\color{#87c800}{1,563 \text{ m}}$$36 \text{ cm}$$\color{#87c800}{3,140 \text{ m}}$$\color{#87c800}{5,123 \text{ cm}}$
A$5 \text{ m}^2$$\color{#87c800}{0,658 \text{ m}^2}$$2,7 \text{ m}^2$$\color{#87c800}{225,4 \text{ cm}^2}$

Aufgabe 2

a)
b)
Du sollst nun den Flächeninhalt des gezeichneten Parallelogramms bestimmen. Die Höhe $h$ hast du schon gegeben. Bestimme also die Länge der Grundseite zu dieser Höhe was gerade die Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist. Den Abstand $d$ zweier Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ bestimmst du mit folgender Formel:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Somit gilt für die Länge der Strecke $\overline{AB}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2} \end{array}$
Demzufolge gilt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \sqrt{2} \cdot 2,12 \\[5pt] &\approx& 3 \text{ cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also $3 \text{ cm}^2.$

Aufgabe 3

Max soll ein Parallelogramm mit bestimmten Eigenschaften konstuieren. Um herauszufinden, wie lang die Seiten und die Höhe des Parallelogramms sind, gehst du Schritt für Schritt vor.
1. Finde ein Parallelogramm dessen Flächeninhalt $18 \text{ cm}$ ist und dessen Grundseite doppelt so lang ist wie die Höhe.
2. Bestimme die fehlende Seite mithilfe der Angabe des Umfangs.
Die Höhe $h$ ist halb so lang wie die Grundseite, d.h. $g = 2h.$ Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& g \cdot h \\[5pt] &=& 2h \cdot h \\[5pt] &=& 2h^2 \\[5pt] 18 &=& 2h^2 &\quad \scriptsize \mid\ :2 \\[5pt] 9 &=& h^2 \\[5pt] h &=& 3 \text{ cm} \end{array}$
Das Parallelogramm ist also $3 \text{ cm}$ hoch. Da die Grundseite doppelt so lang ist wie die Höhe ist $g = 6 \text{ cm}.$
Gesucht ist nun die fehlende Seite $b$. Der Umfang eines Parallelogramms setzt sich aus der Summe der beiden Seiten zusammen multipliziert mit $2$, d.h. da der Umfang des Parallelogramms $20 \text{ cm}$ sein muss, gilt:

Aufgabe 4

a)
Der vorliegende Spielwürfel setzt sich aus $6$ Parallelogrammen zusammen. Dabei sind immer die gegenüberliegenden Parallelogramme gleich. Du weißt, dass Karo und Chrisitian für den Spielwürfel $16,52 \text{ cm}^2$ Papier verbraucht haben. Gehe nun in folgenden Schritten vor:
1. Stelle eine Formel für den Flächeninhalt des Spielwürfel in Abhänngkeit von $h$ auf.
2. Löse nach $h$ auf und setze für den Flächeninhalt $A$ den Papierverbrauch ein.
1. Stelle eine Formel für den Flächeninhalt des Spielwürfel in Abhänngkeit von $\boldsymbol{h}$ auf.
Multipliziere die Grundseite mit der Höhe eines jeden Parallelogramms. Da es immer zwei gleiche Parallelogramme gibt, genügt es den Flächeninhalt der $3$ unterschiedlichen Parallelogramme zu bestimmen, um anschließen mit $2$ zu multiplizieren:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 2 \cdot (2,3 \cdot 1,4 + 2,3 \cdot 1,2 + 1,7 \cdot h) \\[5pt] &=& 11,96 + 2,4 h \end{array}$
$A = 11,96 + 2,4 h$
2. Löse nach $\boldsymbol{h}$ auf und setze für den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ den Papierverbrauch ein.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 11,96 + 2,4 h &\quad \scriptsize \mid\ -11,96; :2,4 \\[5pt] h &=& \dfrac{A - 11,96}{2,4} \\[5pt] &=& \dfrac{16,52 - 11,96}{2,4} \\[5pt] &=& 1,9 \text{ cm} \end{array}$
$h = 1,9 \text{ cm}$
b)
Nun ist $h = 2,2 \text{ cm}.$ Setze diesen Wert in die von dir aufgestellte Formel für den Flächeninhalt $A$ des Spielwürfels in Aufgabenteil a) ein:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 2 \cdot (2,3 \cdot 1,4 + 2,3 \cdot 1,2 + 1,7 \cdot 2,2) \\[5pt] &=& 2 \cdot 9,72 \\[5pt] &=& 19,44 \text{ cm}^2 \end{array}$
$A = 19,44 \text{ cm}^2$
Der Flächeninhalt des Spielwürfels ist $19,44 \text{ cm}^2$.
c)
Die Grundseite zweier Parallelogramme verlängert sich nun um $0,7 \text{ cm}$. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 2 \cdot ((2,3 \color{#87c800}{+ 0,7}) \cdot 1,4 + (2,3\color{#87c800}{+0,7}) \cdot 1,2 + 1,7 \cdot 2,2) \\[5pt] &=& 2 \cdot (3 \cdot 1,4 + 3 \cdot 1,2 + 1,7 \cdot 2,2) \\[5pt] &=& 23,08 \text{ cm}^2 \end{array}$
$A = 23,08 \text{ cm}^2 $
Die Differenz $\Delta$ zum Flächeninhalt in Aufgabenteil b) beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} \Delta &=& 23,08 - 19,44 \\[5pt] &=& 3,64 \text{ cm}^2 \end{array}$
Verlängert man die grün gezennzeichnete Seite um $0,7 \text{ cm}$, so nimmt der Flächeninhalt um $3,64 \text{ cm}^2$ zu.
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