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Funktionale Abhängigkeit

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Einführungsaufgabe

Gegeben seien die Punkte $A(-1 \mid 2)$ und $B(3 \mid -1).$
a)
Die $x$-Koordinate von $C_x (x \mid 4)$ hängt vom Wert von $x$ ab. Zeichne die Dreiecke $ABC_x$ in ein Schaubild in verschiedenen Farben ein für $x \in \{0, ~ 2, ~4 \}.$
b)
Nun hat $C'$ die Koordinaten $(3 \mid y)$. Bestimme einen passenden Wert für $y$, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC'$ $6 \text{ cm}^2$ beträgt.
c)
Nun ist $C''(x \mid 2)$. Bestimme ein passendes $x$, sodass das Dreieck $ABC''$ einen Umfang von $18 \text{ cm}$ hat.

Aufgabe 1

Die Punkt $A(1 \mid 4)$, $B(1 \mid 2)$ und $C(6 \mid 0)$ seien fest.
a)
Nun ist die Gerade $g:$ $y = -\dfrac{1}{3}x + 4$ gegeben.
b)
Zeichne $g$ in das Koordinatensystem ein.
c)
Bestimme die Koordinaten vom Punkt $D(x \mid g(x))$, sodass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

Aufgabe 2

Gegeben seien die Punkte $A(2 \mid 1)$, $B(3 \mid 1)$ und $C(3 \mid 2)$ und die Gerade $g:$ $y = -x +4.$ Der Punkt $D$ liegt dabei auf der Geraden $g$, sodas ein Drachenviereck entsteht. $d$ ist dabei der Abstand zwischen $B$ und $D$.
a)
Zeichne das Drachenviereck $ABCD$ für $d_1 = \sqrt{2}$, $d_2 = \dfrac{7 \cdot \sqrt{2}}{4}$ und $d_3 = 3 \cdot \sqrt{4}$ in ein Koordinatensystem ein.
b)
Berechne den Flächeninhalt vom Drachenviereck in Abhängigkeit von $x$.

Aufgabe 3

Die Punkte $A(1 \mid 3)$ und $B(4 \mid 1)$ und die Gerade $g$ mit der Geradengleichung $y=-\dfrac{1}{3}x + 6$ sind gegeben. Der Punkt $C_x$ liegt dabei auf der Geraden $g.$
a)
Zeichne die Gerade und die Punkte $A$ und $B$ in ein Koordinatensystem ein.
b)
Gebe den Flächeninhalt vom Dreieck $ABC_x$ in Abhängigkeit von $C_x$ an.
c)
Bestimme alle Dreiecke $ABC_x$ deren Flächeninhalte größer gleich als $4 \text{ cm}^2$ und kleiner gleich $5 \text{ cm}^2$ sind.

Aufgabe 4

Flächeninhalt ebener Vielecke: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 2: Teil des Umrisses des Geheges
Flächeninhalt ebener Vielecke: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 2: Teil des Umrisses des Geheges
a)
Übertrage das Trapez in ein Koordinatensystem, wobei $A$ die Koordinaten $(1 \mid 1)$ haben soll.
b)
Bestimme die Koordinaten von $D$, sodass das Gehege die passende Größe hat.
c)
Samuels kleine Schwester wünscht sich zu ihrem Geburtstag zwei eigene Kaninchen. Um kein neues Gehege bauen zu müssen, will Samuel das bestehende Gehege vergrößern. Das neue Gehege ist nun $12,3 \text{ m}$ groß und ist ein Fünfeck $ABCD'D$ mit dem Punkt $D'(0,6 \mid y).$ Bestimme die $y$-Koordinate von $D'.$

Aufgabe 5

Flächeninhalt ebener Vielecke: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 3: Marcus Thames für die Detroit Tigers
Flächeninhalt ebener Vielecke: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 3: Marcus Thames für die Detroit Tigers
a)
Übertrage den Sachverhalt in ein passendes Koordinatensystem.
b)
Das Spielfeld soll die Form eines Drachenvierecks haben. Bestimme den Flächeninhalt des Spielfelds in Abhängigkeit vom vierten Punkt $D(0 \mid y).$
c)
Herr Krause weiß, dass das Spielfeld ca. $ 729 \text{ m}^2$ groß sein soll. Gebe die $y$-Koordinate von $D$ an.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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Public Domain.
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Einfürungsaufgabe

a)
b)
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks $ABC'$ gilt:
$A_{ABC'} = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
$A_{ABC'} = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix}$
Dabei ist $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y }$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y }$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{3-(-1) \\ -1 - 2 } = \pmatrix{4 \\ -3} $
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4 \\ -3} $
$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{3-(-1) \\ y-2 } = \pmatrix{4 \\ y-2}$
$\overrightarrow{AC'} = \pmatrix{4 \\ y-2} $
Für den Flächeninhalt $A_{ABC'}$ gilt demnach:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC'} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & y-2 \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (4 \cdot (y-2) - (-3) \cdot 4) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (4y - 8 + 12) \\[5pt] &=& 2y + 2 \end{array}$
Der Flächeninhalt $A_{ABC'}$ des Dreiecks $ABC'$ soll laut Aufgabenstellung $6 \text{ cm}^2$. Setze $A_{ABC}$ somit gleich $6$:
$\begin{array}[t]{rll} 6 &=& A_{ABC'} \\[5pt] 6 &=& 2y + 2 \\[5pt] y &=& 2 \end{array}$
Das Dreieck $ABC$ ist also genau dann $6 \text{ cm}^2$ groß, wenn $C'$ die Koordinaten $(3 \mid 2 )$ hat.
c)
Du gehst in dieser Aufgabe in analoger Form vor wie in Teilaufgabe b). Es gilt:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{3-(-1) \\ -1 - 2 } = \pmatrix{4 \\ -3} $
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4 \\ -3}$
$\overrightarrow{AC''} = \overrightarrow{OC''} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{x-(-1) \\ 2-2 } = \pmatrix{x+1 \\ 0}$
$\overrightarrow{AC''} = \pmatrix{x+1 \\ 0}$
$\overrightarrow{BC''} = \overrightarrow{OC''} - \overrightarrow{OB} = \pmatrix{x-3 \\ 2-(-1) } = \pmatrix{x-3 \\ 3}$
$\overrightarrow{BC''} = \pmatrix{x-3 \\ 3}$
Für den Umfang $U$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} U &=& \left| \overrightarrow{AB} \right| + \left| \overrightarrow{AC''} \right| + \left| \overrightarrow{BC''} \right| \\[5pt] 18 &=& 5 + x+1 + \sqrt{(x-3)^2 + 3^2} \\[5pt] \end{array}$
Durch Ausprobieren kommst du auf das Ergebnis $x=7.$ Somit hat das Dreieck $ABC''$ genau einen Flächeninhalt von $18 \text{ cm}^2$, wenn $C''$ die Koordinaten $(7 \mid 2)$ hat.

Aufgabe 1

a)
b)
c)
Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel. Gehst du entlang der Geraden $g$, so stellst du fest, dass diese Eigenschaft nur im Punkt $D_3(5 \mid 2)$ erfüllt wird.

Aufgabe 2

a)
b)
Der Flächeninhalt $A_x$ eines Drachenvierecks ist:
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
$A = \dfrac{e \cdot f}{2}$
wobei in diesem Fall
$e = \left| \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{2}$
und
$f = \left| \overrightarrow{BD} \right| = \left| \pmatrix{x -3 \\ (x + 4) - 1} \right| = \sqrt{(x -3)^2 + (x+3)^2} = \sqrt{2x^2 + 18}$
$f = \sqrt{2x^2 + 18}$
Demnach gilt für den Flächeninhalt $A_x$ des Drachenvierecks:
$A_x = \dfrac{e \cdot f}{2} = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2x^2 + 18}}{2} = \dfrac{\sqrt{2x^2 + 18}}{\sqrt{2}}$
$A_x = \dfrac{\sqrt{2x^2 + 18}}{\sqrt{2}}$

Aufgabe 3

a)
b)
Sei $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{a_x \\ a_y }$ und $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{b_x \\ b_y }$, dann gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & x-1 \\ -2 & -\dfrac{1}{3} \cdot x + 3 \end{vmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (3 \cdot (-\dfrac{1}{3}+3) - (-2) \cdot (x-1)) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (-x + 9 + 2x - 2) \\[5pt] &=& \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2} x \end{array}$
$A_{ABC} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2} x $
Der Flächeninhalt $A_{ABC}$ ist also $\dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2} x$.
c)
Für den Flächeninhalt muss gelten $4 \text{ cm}^2 \leq A_{ABC} \leq 5 \text{ cm}^2 $. Das ist genau dann der Fall, wenn $1 \leq x \leq 3$, denn $\dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot 1 = 4$ und $\dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot 3 = 5.$

Aufgabe 4

a)
Siehe Teilaufgabe b).
b)
c)
Das Gehege wird um das Dreieck $CD'D$ erweitert. Das ursprüngliche Gehege war $9,6 \text{ m}^2$ groß, das neue soll $12,2 \text{ m}^2$ groß sein. Die Differenz zwischen alt und neu und demnach auch die Größe des Dreiecks $CD'D$ ist $2,6 \text{ m}^2$. Bestimme also ein $D'$, das diese Eigenschaft erfüllt:
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
$A = g \cdot h$
$A = g \cdot h$
wobei $g$ die Grundseite in diesem Fall die Länge von $\overrightarrow{CD}$ durch $2,6 \text{ m}$ gegeben ist. Der Flächeninhalt soll $2,6 \text{ m}^2$ sein und somit ist $h = 1$. Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten $D'(0,6 \mid 6).$

Aufgabe 5

a)
b)
Du sollst nun den Flächeninhalt des Spielfelds bestimmen. Berechne zuerst die Koordinaten vom Punkt $A$ und $C$.
Die $x-$ und $y-$ Koordinate ist von $C$ sind gleich, denn du gehst vom Ursprung $27 \text{ m}$ im $45$°-Winkel nach links. Für die gesuchte $x$-Koordinate gilt:
$x = y = \dfrac{27}{\sqrt{2}} \approx 19,1 $
Somit hat $C$ die Koordinaten $(19,1 \mid 19,1)$ und da $C$ an der $y$-Achse gespiegelt $A$ ergibt, hat $A$ die Koordinaten $(-19,1 \mid 19,1).$
Für die Diagonale $e$ gilt also $e = 2 \cdot 19,1 = 38,2$ und $f = y$.
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt demnach $A = \dfrac{e \cdot f}{2} = 19,1 \cdot y$
c)
Das Spielfeld ist $A = 729 \text{ m}^2$ groß und somit ist $y = 38,17$, denn $A=729 = 19,1 \cdot 38,2 = 19,1 \cdot f.$
Bildnachweise [nach oben]
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