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Allgemeine Vielecke

Spickzettel
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Um den Flächeninhalt und den Umfang eines allgemeinen Vieleckes zu berechnen, unterteilst du dieses zum Beispiel in Rechtecke, Dreiecke, Parallelogramme und Trapeze.
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke

Flächeninhalt

Den Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks berechnest du, indem du den Flächeninhalt der unterteilten Flächen addierst.
$A = A_1+A_2+A_3+…+A_n$

Umfang

Den Umfang $U$ berechnest du mit folgender Formel:
$U=a_1+a_2+a_3+…+a_n$

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Vielecks.
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt:
$ \begin{array}{ccl} A_1&=& \frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}\\[5pt] A_1&=& 5\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}{ccl} A_2&=& \frac{1}{2}\cdot2\,\text{cm}\cdot(2\,\text{cm}+1\,\text{cm})\\[5pt] A_2&=& 3\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}{ccl} A_3&=& \frac{1}{2}\cdot2\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm}\\[5pt] A_3&=& 1\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}{ccl} A_4&=& 6\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm}\\[5pt] A_4&=& 6\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}{ccl} A&=& A_1+A_2+A_3+A_4\\[5pt] A&=& 5\,\text{cm}^2+3\,\text{cm}^2+1\,\text{cm}^2+6\,\text{cm}^2\\[5pt] A&=& 15\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}{ccl} A&=& 15\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array} $
Umfang:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \\[5pt] U&=& 3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+2\,\text{cm}+6\,\text{cm}+1\,\text{cm} \\[5pt] U&=& 16\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}U&=& 16\,\text{cm} \end{array}$
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Aufgaben
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1.  Berechne den Flächeninhalt.
a) 
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
b) 
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
2.  Berechne den Umfang.
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
3.  Bauplatz
Familie Maier möchte einen Bauplatz kaufen.
Der Preis pro Quadratmeter beträgt $50$ €.
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
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Was kostet der Bauplatz?
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Lösungen
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1.  Berechne den Flächeninhalt.
a)  Das Vieleck lässt sich in drei rechtwinklige Dreiecke und ein Rechteck unterteilen. Die zwei kleinen Dreiecke, die an der kurzen Seite des Rechtecks anliegen sind gleich groß.
Berechne nun zunächst den Flächeninhalt der Teilflächen und addiere diese, um den Flächeninhalt des Vielecks zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck, klein}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 0,5\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 0,25\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck, groß}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 5\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Rechteck}&=& 8\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 8\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=& 2\cdot A_{Dreieck, klein}+A_{Dreieck, groß}+A_{Rechteck}\\[5pt] &=& 2\cdot 0,25\,\text{cm}^2+5\,\text{cm}^2+8\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 13,5\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}A_{ges}&=& 13,5\,\text{cm}^2\end{array}$
b)  Das Vieleck ist in zwei Dreiecke und ein Trapez unterteilt. Berechne nun zunächst den Flächeninhalt der Teilflächen und addiere diese, um den Flächeninhalt des Vielecks zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck, groß}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 4\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck, klein}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Trapez}&=& \dfrac{2\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{6\,\text{cm}}{2}\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 18\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=& A_{Dreieck, klein}+A_{Dreieck, groß}+A_{Rechteck}\\[5pt] &=& 1\,\text{cm}^2+4\,\text{cm}^2+18\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 23\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}A_{ges}&=& 23\,\text{cm}^2\end{array}$
2.  Berechne den Umfang.
Addiere die Seitenlängen des Vielecks, um den Umfang zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 10\,\text{cm}+5\,\text{cm}+7\,\text{cm}+6\,\text{cm}+5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 33\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}U&=& 33\,\text{cm}\end{array}$
3.  Bauplatz
Um die Kosten für den Bauplatz berechnen zu können, musst du zuerst die Fläche des Bauplatzes berechnen.
Zuerst berechnest du die Fläche des Rechtecks und ziehst von dieser Fläche die Flächen $A_1$, $A_2$, $A_3$ und $A_4$ ab. So erhältst du den Flächeninhalt des Bauplatzes.
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Flächeninhalt und Umfang: Allgemeine Vielecke
Die Flächen $A_1$, $A_2$ und $A_4$ kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
Die Rechtecksfläche und die Fläche $A_3$ kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen.
$\boldsymbol{A_{Rechteck}}$
$ \begin{array}{rll} A_{Rechteck}=&a\cdot b \\[5pt] A_{Rechteck}=&(8,5\,\text{m}+6\,\text{m})\cdot10,5\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_{Rechteck}=&152,25\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
$\boldsymbol{A_1}$
$ \begin{array}{rll} A_1=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot c \\[5pt] A_1=&\frac{1}{2}\cdot 10,5\,\text{m}\cdot 8,5\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_1\approx&44,63\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
$\boldsymbol{A_2}$
$ \begin{array}{rll} A_2=&\frac{1}{2}\cdot f\cdot d \\[5pt] A_2=&\frac{1}{2}\cdot ((8,5\,\text{m}+6\,\text{m})-11,5\,\text{m})\cdot 8,5\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_2=&12,75\,\text{m}^2& \end{array} $
$ \begin{array}{rll}A_2=&12,75\,\text{m}^2&\end{array} $
$\boldsymbol{A_3}$
$ \begin{array}{rll} A_3=&e\cdot f \\[5pt] A_3=&(10,5\,\text{m}-8,5\,\text{m})\cdot ((8,5\,\text{m}+6\,\text{m})-11,5\,\text{m})&\scriptsize \\[5pt] A_3=&6\,\text{m}^2& \end{array} $
$ \begin{array}{rll}A_3=&6\,\text{m}^2& \end{array} $
$\boldsymbol{A_4}$
$ \begin{array}{rll} A_4=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot e \\[5pt] A_4=&\frac{1}{2}\cdot 11,5\,\text{m}\cdot (10,5\,\text{m}-8,5\,\text{m})&\scriptsize \\[5pt] A_4=&11,5\,\text{m}^2& \end{array} $
$\boldsymbol{A_{Bauplatz}}$
$ \begin{array}{rll} A_{Bauplatz}=&A_{Rechteck}-A_1-A_2-A_3-A_4 \\[5pt] A_{Bauplatz}=&152,25\,\text{m}^2-44,63\,\text{m}^2-12,75\,\text{m}^2- 6\,\text{m}^2-11,5\,\text{m}^2&\scriptsize \\[5pt] A_{Bauplatz}=&77,37\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
$ \begin{array}{rll}A_{Bauplatz}=&77,37\,\text{m}^2&\scriptsize\end{array} $
Da Familie Maier pro Quadratmeter 50 € zahlen muss, kostet der Bauplatz
$50\text{€}\cdot77,37=3.868,5€$.
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