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Dreieck

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Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du dir aus der bekannten Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks herleiten.
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
In ein grünes Dreieck wurde die Höhe $h_c$ eingezeichnet. So entstehen zwei rechtwinklige Teildreiecke. Wenn du diese kleinen Teildreiecke jeweils spiegelst, kannst du das Dreieck zu einem Rechteck ergänzen. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist doppelt so groß wie der des Dreiecks.
Den Flächeninhalt des Rechtecks kennst du bereits: $A_{Rechteck}=c \cdot h_c$. Das Dreieck hat also den Flächeninhalt $\;A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c$.
In der allgemeinen Formel verwendet man oft $g$ für Grundseite und $h$ für die dazugehörige Höhe:
$A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Für den Umfang eines Dreieck addierst du alle Seitenlängen:
$U=a+b+c$

Beispiel

Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck

Berechne den Flächeninhalt und Umfang des Dreiecks.
$A=\frac{1}{2}\cdot 8,8 \cdot 5,7 \;\text{cm}^2= 25,08 \;\text{cm}^2$
$U=8,8\;\text{cm} +7,8\;\text{cm} + 6,7\;\text{cm} =23,3 \;\text{cm}$
$U=23,3 \;\text{cm}$
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Aufgaben
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1. Flächeninhalt und Umfang
Bestimme den Flächeninhalt und Umfang der Dreiecke.
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
2. Dreiecke im Koordinatensystem
Zeichne das Dreieck $ABC$ in ein Koordinatensystem (eine Längeneinheit = $1 \;\text{cm}$). Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang.
a)  $A\left( -3\mid2\right)$; $\; B\left( 2\mid0\right)$; $\, C\left( -2\mid4\right)$
b)  $A\left( -0,5\mid1\right)$; $\; B\left( 2,8\mid-1,5\right)$; $\, C\left( 4,5\mid5\right)$
c)  $A\left( 0,8\mid3,5\right)$; $\; B\left( 8\mid0,3\right)$; $\, C\left( 5\mid4\right)$
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Lösungen
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1. Flächeninhalt und Umfang
Zur Berechnung benötigst du die Formeln $A= \frac{1}{2} \cdot g\cdot h$ und $U=a+b+c$.
a)
$A=\frac{1}{2}\cdot 11,3 \cdot 7,2 \;\text{cm}^2= 40,7 \;\text{cm}^2$
$U=8,1\;\text{cm} +11,3\;\text{cm} + 10,6\;\text{cm} =30,0 \;\text{cm}$
$U=30,0 \;\text{cm}$
b)
$A=\frac{1}{2}\cdot 10,9 \cdot 3,7 \;\text{cm}^2= 20,17 \;\text{cm}^2$
$U=4,6\;\text{cm} +10,9\;\text{cm} + 14,1\;\text{cm} =29,6 \;\text{cm}$
$U=29,6 \;\text{cm}$
c)
$A=\frac{1}{2}\cdot 8,0 \cdot 4,7 \;\text{cm}^2= 18,8 \;\text{cm}^2$
$U=5,5\;\text{cm} +6,9\;\text{cm} + 8,0\;\text{cm} =20,4 \;\text{cm}$
$U=20,4 \;\text{cm}$
2. Dreiecke im Koordinatensystem
Zeichne eine Höhe des Dreiecks ein (du kannst hier frei wählen). Dann bestimme alle Seitenlängen durch Abmessen und berechne den Flächeninhalt $\left( A= \frac{1}{2} \cdot g\cdot h \right) $ und den Umfang $ \left( U=a+b+c \right)$ des Dreiecks.
a)
Hier wurde die Höhe $h_c$ eingezeichnet. Du kannst aber auch $h_a$ oder $h_b$ einzeichnen.
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
$A=\frac{1}{2}\cdot 5,4 \cdot 5,2 \;\text{cm}^2= 14,0 \;\text{cm}^2$
$U=5,4\;\text{cm} +5,7\;\text{cm} + 6,1\;\text{cm} =17,2\;\text{cm}$
$U=17,2\;\text{cm}$
b)
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
$A=\frac{1}{2}\cdot 4,1 \cdot 6,2 \;\text{cm}^2= 12,7 \;\text{cm}^2$
$U=6,4\;\text{cm} +6,7\;\text{cm} + 4,1\;\text{cm} =17,1\;\text{cm}$
$U=17,1\;\text{cm}$
c)
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
Flächeninhalt und Umfang: Dreieck
$A=\frac{1}{2}\cdot 7,9 \cdot 2,2 \;\text{cm}^2= 8,7 \;\text{cm}^2$
$U=4,2\;\text{cm} +7,9\;\text{cm} + 4,8\;\text{cm} =16,9\;\text{cm}$
$U=16,9\;\text{cm}$
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