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Parallelogramm

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Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm


Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind. Gegenüberliegende Winkel sind ebenfalls gleich groß. Addiert man zwei nebeneinander liegende Winkel, so ist das Ergebnis 180°.
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm

Flächeninhalt

Den Flächeninhalt $A$ eines Parallelogrammes berechnest du, indem du eine Seitenlänge mit der zugehörigen Höhe multiplizierst:
$A = a\cdot h_a$

Umfang

Den Umfang $U$ berechnest du mit folgender Formel:
$U=2\cdot a+2 \cdot b$
Tipp: Ein Spezialfall des Parallelogramms ist die Raute. Eine Raute hat vier gleich lange Seiten, die gegenüberliegenden Seiten verlaufen parallel. Den Umfang einer Raute kannst du also wie folgt berechnen: $U=4a$

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Parallelogramms mit den Seitenlängen $a=8\,\text{cm}$, $b=5\,\text{cm}$ und der Höhe $h_a=4\,\text{cm}$.
$ \begin{array}{ccl} A&=&a\cdot h_a\\[5pt] A&=& 8\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}\\[5pt] A&=& 32\,\text{cm}^2 \end{array} $
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2\cdot a+2\cdot b \\[5pt] U&=& 2\cdot 8\,\text{cm}+2\cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] U&=& 16\,\text{cm}+10\,\text{cm} \\[5pt] U&=& 26\,\text{cm} \end{array}$
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Aufgaben
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1.  Parallelogramm zeichnen
Zeichne ein Parallelogramm mit der Seitenlänge $a=4\,\text{cm}$ und $b=3\,\text{cm}$. Der Winkel $\alpha$ beträgt $45^{\circ}$.
2.  Größen berechnen
Du hast ein Parallelogramm mit den Seitenlängen $a$ und $b$, der Höhe $h_a$, dem Flächeninhalt $A$ und dem Umfang $U$ gegeben. Berechne jeweils die nicht angegebenen Größen.
a)  $a=7\;\text{cm}$, $b=5\;\text{cm}$, $h_a=3\;\text{cm}$
b)  $a=4,5\;\text{cm}$, $b=3,2\;\text{cm}$, $h_a=2,7\;\text{cm}$
c)  $a=6\;\text{cm}$, $U=18\;\text{cm}$, $h_a=3\;\text{cm}$
d)  $a=4\;\text{cm}$, $U=20\;\text{cm}$, $h_a=5\;\text{cm}$
e)  $a=6\;\text{cm}$, $A=18\;\text{cm}^2$, $b=5,5\;\text{cm}$
f)  $a=4\;\text{cm}$, $A=20\;\text{cm}^2$, $U=26\;\text{cm}$
3.  Raute
Du hast eine Raute mit der Seitenlängen $a$, der Höhe $h_a$, dem Flächeninhalt $A$ und dem Umfang $U$ gegeben. Berechne jeweils die nicht angegebenen Größen.
a)  $a=7\;\text{cm}$, $h_a=3\;\text{cm}$
b)  $a=2\;\text{cm}$, $A=6\;\text{cm}^2$
c)  $a=4,8\;\text{cm}$, $h_a=3,5\;\text{cm}$
4.  Zimmer
Tina möchte auf eine Wand in ihrem Zimmer ein Zickzack-Muster streichen. Jeder Zacken soll $20\,\text{cm}$ breit und $2\,\text{m}$ lang sein.
a)  Wie groß ist die Fläche, die das Muster einnimmt?
b)  Die Farbe kostet $10\,€$ pro $\text{m}^2$. Wie viel muss Tina für die Farbe ausgeben?
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
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1.  Parallelogramm zeichnen
Hier hilft dir eine Skizze:
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
Um ein Parallelogramm mit den geforderten Maßen zeichnen zu können, kannst du so vorgehen:
  1. Zeichne die Strecke $a$
  2. Zeichne den Winkel $\alpha$ ein
  3. Messe mit dem Zirkel die Länge der Strecke $b$ ab
  4. Berechne den Winkel $\beta$ und zeichne diesen in Punkt $B$ ein.
  5. Messe erneut mit dem Zirkel die Länge der Strecke $b$ ab
  6. Verbinde die zwei abgemessenen Punkte $C$ und $D$ zu einem Parallelogramm
Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ergeben zusammen $180^{\circ}$. Für den Winkel $\beta$ gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-\alpha \\[5pt] \beta&=& 180^{\circ}-45^{\circ} \\[5pt] \beta&=& 135^{\circ} \end{array}$
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
2.  Größen berechnen
Zur Erinnerung:
$A = a\cdot h_a$
$U=2\cdot a+2 \cdot b$
a)  Hier sollst du den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a \\[5pt] &=& 7\;\text{cm}\cdot3\;\text{cm}\\[5pt] &=& 21\;\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+2b \\[5pt] &=& 2\cdot7\;\text{cm}+2\cdot5\;\text{cm}\\[5pt] &=& 14\;\text{cm}+10\;\text{cm}\\[5pt] &=& 24\;\text{cm} \end{array}$
b)  Hier sollst du den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a \\[5pt] &=& 4,5\;\text{cm}\cdot2,7\;\text{cm}\\[5pt] &=& 12,15\;\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+2b \\[5pt] &=& 2\cdot4,5\;\text{cm}+2\cdot3,2\;\text{cm}\\[5pt] &=& 9\;\text{cm}+6,4\;\text{cm}\\[5pt] &=& 15,4\;\text{cm} \end{array}$
c)  Hier sollst du den Flächeninhalt $A$ und die Seitenlänge $b$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a \\[5pt] &=& 6\;\text{cm}\cdot3\;\text{cm}\\[5pt] &=& 18\;\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+2b &\quad \scriptsize \mid\; -2a\\[5pt] U-2a&=& 2b&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] b&=& \dfrac{U-2a}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{18\;\text{cm}-2\cdot6\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{18\;\text{cm}-12\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{6\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& 3\;\text{cm} \end{array}$
$ b = 3\;\text{cm} $
d)  Hier sollst du den Flächeninhalt $A$ und die Seitenlänge $b$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a \\[5pt] &=& 4\;\text{cm}\cdot5\;\text{cm}\\[5pt] &=& 20\;\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+2b &\quad \scriptsize \mid\; -2a\\[5pt] U-2a&=& 2b&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] b&=& \dfrac{U-2a}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{20\;\text{cm}-2\cdot4\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{20\;\text{cm}-8\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{12\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& 6\;\text{cm} \end{array}$
$ b = 6\;\text{cm} $
e)  Hier sollst du die Höhe $h_a$ und den Umfang $U$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] h_a&=& \dfrac{A}{a}\\[5pt] h_a&=& \dfrac{18\;\text{cm}^2}{6\;\text{cm}}\\[5pt] h_a&=& 3\;\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+2b \\[5pt] &=& 2\cdot6\;\text{cm}+2\cdot5,5\;\text{cm}\\[5pt] &=& 12\;\text{cm}+11\;\text{cm}\\[5pt] &=& 23\;\text{cm} \end{array}$
f)  Hier sollst du die Höhe $h_a$ und die Seitenlänge $b$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] h_a&=& \dfrac{A}{a}\\[5pt] h_a&=& \dfrac{20\;\text{cm}^2}{4\;\text{cm}}\\[5pt] h_a&=& 5\;\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+2b &\quad \scriptsize \mid\; -2a\\[5pt] U-2a&=& 2b&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] b&=& \dfrac{U-2a}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{26\;\text{cm}-2\cdot4\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{26\;\text{cm}-8\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& \dfrac{18\;\text{cm}}{2}\\[5pt] b&=& 9\;\text{cm} \end{array}$
$ b = 9\;\text{cm} $
3.  Raute
Zur Erinnerung:
$A = a\cdot h_a$
$U=4\cdot a$
a)  Hier sollst du den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a \\[5pt] &=& 7\;\text{cm}\cdot3\;\text{cm}\\[5pt] &=& 21\;\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 4\cdot a \\[5pt] &=& 4\cdot7\;\text{cm}\\[5pt] &=& 28\;\text{cm} \end{array}$
b)  Hier sollst du die Höhe $h_a$ und den Umfang $U$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] h_a&=& \dfrac{A}{a}\\[5pt] h_a&=& \dfrac{6\;\text{cm}^2}{2\;\text{cm}}\\[5pt] h_a&=& 3\;\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 4\cdot a \\[5pt] &=& 4\cdot2\;\text{cm}\\[5pt] &=& 8\;\text{cm} \end{array}$
c)  Hier sollst du den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a\cdot h_a \\[5pt] &=& 4,8\;\text{cm}\cdot3,5\;\text{cm}\\[5pt] &=& 16,8\;\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 4\cdot a \\[5pt] &=& 4\cdot4,8\;\text{cm}\\[5pt] &=& 19,2\;\text{cm} \end{array}$
4.  Zimmer
a)  Das Muster lässt sich in $5$ gleich große Parallelogramme unterteilen. Jedes Parallelogramm hat die Höhe $h_a=20\,\text{cm}=0,2\,\text{m}$ und die Seitenlänge $a=2\,\text{m}$.
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
Flächeninhalt und Umfang: Parallelogramm
Um die Fläche des Musters zu berechnen, berechnest du demnach den Flächeninhalt eines Parallelogrammes und multplizierst mit $5$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 5\cdot a\cdot h_a \\[5pt] &=& 5\cdot 2\;\text{m}\cdot0,2\;\text{m}\\[5pt] &=& 2\;\text{m}^2 \end{array}$
b)  Die Farbe kostet $10\,€$ pro $\text{m}^2$. Die Fläche ist $2\;\text{m}^2$ groß. Demnach muss Tina für die Farbe $20\,€$ ausgeben.
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