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Trapez

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Ein Trapez ist ein Viereck, das mindestens zwei zueinander parallele Seiten hat.

Flächeninhalt

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu bestimmen, benötigst du die Längen der beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ und die Höhe $h$ des Trapezes.
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Für den Flächeninhalt $A$ des Trapezes gilt:
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

Umfang

Beim Umfang benötigst du die Länge aller Seiten. Sind die Seiten $b$ und $d$ gleich lang, so bezeichnet man das Trapez als symmetrisch.
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Für den Umfang $U$ des Trapezes gilt:
$U = a+b+c+d$
#trapez
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Aufgaben
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1. Berechne den Flächeninhalt und Umfang folgender Trapeze.
a) 
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
b) 
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
c)  Die gegenüberliegenden Seiten sind hier parallel.
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
2. Lisa will in eine eigene Wohnung ziehen. Die Wohnfläche soll dabei nicht weniger als $30 \text{m}^2$ betragen. Prüfe, ob der Umriss der unteren Wohnung dieser Forderung genügt. Die Angaben sind dabei in Metern.
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
3. Zeichne zwei symmetrische Trapeze mit den zueinander parallelen Seiten der Länge $3$ und $5$ cm und
a)  der Höhe $2$ cm
und
b)  der Höhe $6$ cm.
Beschreibe wie sich der Flächeninhalt ändert.
4. Die Längen aller Seiten eines Trapezes werden verdoppelt, beschreibe wie sich der Flächeninhalt und der Umfang verändern.
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Lösungen
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1. Flächeninhalt und Umfang.
a)  Setze die entsprechenden Werte in die Formel für den Flächeninhalt und Umfang ein:
$A = \dfrac{(13+7) \cdot 5}{2} = \dfrac{20 \cdot 5}{2} = 50 \text{ LE}^2,$
$U = 13 + 7 + 7 + 6 = 33 \text{ LE.}$
b)  Die Höhe diese Trapezes ist gerade die Seite der Länge $6$, da sich diese Seite zwischen den beiden parallelen Seiten befindet und einen rechten Winkel mit ihnen bildet. Somit gilt: $A = \dfrac{(11+5) \cdot 6}{2} = \dfrac{16 \cdot 6}{2} = 48 \text{ LE}^2,$
$U = 8 + 5 + 6 + 11 = 30 \text{ LE.}$
c)  In diesem Fall musst du zuerst die Höhe berechnen. Wende dabei den Satz des Pythagoras an:
$3^2 + h^2 = 5^2 \Longrightarrow h = \sqrt{25 - 9} = 4.$
Somit ist der Flächeninhalt $A = \dfrac{(6+6) \cdot 4}{2} = 24 \text{ LE}^2.$ Da gegenüberliegende Seiten parallel sind und somit auch gleich, ist der Umfang $U = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 20 \text{ LE.}$
2.Grundriss berechnen.
Berechne die Flächen $A_1$ und $A_3$. Die Fläche $A_2$ bekommst du, indem du von dem Viereck der Länge $(5+2) \cdot 4 = 28$ $A_3$ abziehst.
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
$A_1 = \dfrac{(4+3) \cdot 5}{2} = 17,5 \text{m}^2,$
$A_3 = \dfrac{(1+2) \cdot 3}{2} = 4,5 \text{m}^2,$
$A_2 = 20 - 4,5 = 15,5 \text{m}^2.$
$A_{gesamt}$ ist die Summe von $A_{1}$ und $A_{2}$, also $33 \text{m}^2.$
Die Forderung von Lisa ist also erfüllt.
3. Zeichne und vergleiche zwei Trapeze.
a) 
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
b) 
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Flächeninhalt und Umfang: Trapez
Der Flächeninhalt des zweiten Trapezes ist dreimal so groß wie der des ersten, was mithilfe der Formel für den Flächeninhalt auch überprüft werden kann:
$A_1 = \dfrac{(3+5) \cdot 2}{2} = 8 \text{ LE}^2$ und
$A_2 = \dfrac{(3+5) \cdot 6}{2} = 24 \text{ LE}^2.$
4. Flächeninhalt und Umfang.
Ein Trapez hat die Seitenlängen $a, b, c$ und $d$, wobei $a$ und $c$ parallel sind. Der Flächeninhalt $A$ und der Umfang $U$ sind: $A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$ und $U = a + b + c + d.$
Verdoppelt man nun alle Seitenlängen, so hat das neue Trapez die Seitenlängen $2a, 2b, 2c$ und $2d$. Der Flächeninhalt des neuen Trapezes beträgt also
$\tilde{A} = \dfrac{(2a+2c) \cdot h}{2}= \dfrac{2 \cdot (a+c) \cdot h}{2} = (a+c) \cdot h$
.
$\tilde{A} = (a+c) \cdot h$
Der Flächeninhalt verdoppelt sich also.
Der Umfang des neuen Trapezes ist
$\tilde{U} = 2a + 2b + 2c + 2d = 2 \cdot (a + b + c + d)$
.
$\tilde{U} = 2 \cdot (a + b + c + d)$
Auch der Umfang verdoppelt sich.
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