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Anwendung im Raum

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Grundlagen der Raumgeometrie: Anwendung im Raum
Abb. 1: Rechtwinkliges Dreieck im Raum
Grundlagen der Raumgeometrie: Anwendung im Raum
Abb. 1: Rechtwinkliges Dreieck im Raum
#satzdespythagoras#rechtwinkligesdreieck
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=12\;\text{cm}$ und $b=5\;\text{cm}$.
b)
Zeichne eine Diagonale in das Rechteck ein und berechne die Länge der Diagonalen.
c)
Ergänze das Rechteck zu einem Quader mit der Höhe $c=3\;\text{cm}$.
d)
Zeichne eine Raumdiagonale in den Körper ein und berechne die Länge der Diagonalen.
#diagonale

Augabe 1

a)
Zeichne einen Quader mit den Seiten $a=10\;\text{cm}$ und $b=6\;\text{cm}$. Die Höhe des Quaders beträgt $c=4\;\text{cm}$.
b)
Zeichne die Diagonale der Grundseite ein und berechne die Länge der Diagonalen.
c)
Zeichne die Diagonale des Quaders ein und berechne die Länge der Diagonale des Quaders.
#diagonale#quader

Aufgabe 2

$\;$
Zeichne eine quadratische Pyramide mit der Grundseite $ABCD$ mit einer Höhe von $h=6\;\text{cm}$. Die Grundseite hat einen Flächeninhalt von $a=25\;\text{cm}^2$.
Zeichne den Mittelpunkt $M$, den Spitzenpunkt $S$ und die Höhe $h$ ein. Markiere außerdem alle rechten Winkel.
Berechne die Kantenlänge $\overline{CS}$ der Pyramide.
#pyramide

Aufgabe 3

a)
Berechne die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der Seitenlänge $a=5\;\text{cm}$.
b)
Berechne die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der Seitenlänge $b=12\;\text{cm}$.
#diagonale

Aufgabe 4

#diagonale

Aufgabe 5

$\;$
Grundlagen der Raumgeometrie: Anwendung im Raum
Abb. 2: Pinakothek
Grundlagen der Raumgeometrie: Anwendung im Raum
Abb. 2: Pinakothek
#diagonale
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goo.gl/P11q8e – Pinakothek der Modernen, B. Erdödy, CC BY-SA.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Rechteck zeichnen
Du sollst ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=12\;\text{cm}$ und $b=5\;\text{cm}$ zeichnen. Achte darauf, dass die Seiten im rechten Winkel zueinander liegen und die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Du erhältst folgende Abbidlung:
b)
$\blacktriangleright$ Diagonale einzeichnen
Zeichne eine Diagonale in das Rechteck ein, indem du die zwei Punkte mit dem größten Abstand verbindest. Du teilst das Rechteck somit in zwei Dreiecke. Die Diagonale des Rechtecks entspricht der Hypotenuse eines der Dreiecke.
Die Seiten $a$ und $b$ entsprechen den Katheten. Du kannst deswegen den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge der Diagonale zu berechnen.
$a^2+b^2=c^2$
Löse nach $c$ auf und setze die Werte für $a$ und $b$ ein.
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
$c=\sqrt{(12\;\text{cm})^2+(5\;\text{cm})^2}=13\;\text{cm}$
Die Diagonale ist also $13\;\text{cm}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$ Rechteck zum Quader ergänzen
Das Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ entspricht der Grundseite des Quaders. Du kannst nun von jedem Eckpunkt, im rechten Winkel zur Grundseite, eine $3\;\text{cm}$ lange Gerade zeichnen. Wenn du die Endpunkte der Geraden verbindest, erhältst du einen Quader.
d)
$\blacktriangleright$ Raumdiagonale einzeichnen
Du sollst nun die Raumdiagonale einzeichnen. Verbinde dazu die beiden am weitesten entfernt liegenden Punkte.
Du kannst bei genauem betrachten erkennen, dass die Raumdiagonale mit der Höhe des Quaders und der Flächendiagonale der Grundseite ein Dreieck bildet. Das Dreieck hat einen rechten Winkel, deswegen kannst du zur Berechnúng der Raumdiagonalen den Satz des Pythagoras verwenden. Die Raumdiagonale entspricht in diesem Fall der Hypotenusen.
Die Länge der einen Kathete entspricht der Länge der Flächendiagonale der Grundseite. In Aufgabenteil $c$ hast du die Länge $d=13\;\text{cm}$ bereits berechnet. Die Länge der anderen Kathete entspricht der Höhe des Quaders, also $h=3\;\text{cm}$.
Verwende den Satz des Pythagoras zur Berechnung:
$a^2+b^2=c^2$
Löse nach $c$ auf und setze die bekannten Werte ein.
$c=\sqrt{d^2+h^2}$
$c=\sqrt{(13\;\text{cm})^2+(3\;\text{cm}=^2}=13,34\;\text{cm}$
Die Raumdiagonale ist ca. $13,3\;\text{cm}$ lang.
#diagonale#satzdespythagoras

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Quader zeichnen
Du sollst einen Quader zeichnen. Zeichne zuerst ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=10\;\text{cm}$ und $b=6\;\text{cm}$ und ergänze nun die Höhe $h=4\;\text{cm}$. Achte darauf, dass zwischen allen Seiten rechte Winkel liegen. Zeichne anschließend die Flächen- und Raumdiagonale ein. Du erhältst folgende Abbildung:
b)
$\blacktriangleright$ Flächendiagonale einzeichnen und Länge berechnen
Berechne die Flächendiagonale des Quaders, indem du den Satz des Pythagoras verwendest. Die Diagonale teilt die Grundseite des Quaders in zwei Dreiecke. Die Seiten $a$ und $b$ entsprechen den Katheten des Dreiecks, die Diagonale entspricht der Hypotenuse.
Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach $c$ um:
$a^2+b^2=c^2$
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze nun die gegebenen Werte ein und du erhältst die Länge der Diagonale.
$c=\sqrt{(10\;\text{cm})^2+(6\;\text{cm})^2}=11,66\;\text{cm}$
Die Länge der Strecke $c$ beträgt ca. $11,66\;\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$ Raumdiagonale einzeichnen und Länge berechnen
Wenn du die Raumdiagonale in den Quader einzeichnest, kannst du erkennen, dass sich ein Dreieck aus Raum- Flächendiagonalen und Höhe des Quaders ergibt. Das Dreieck hat einen rechten Winkel, deswegen kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Die Raumdiagonale entspricht dabei der Hypotenuse $c$. Die Höhe $h$ des Quaders, sowie die Flächendiagonale $d$ entsprechen den Katheten.
Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach $c$ um.
$h^2+d^2=c^2$
$c=\sqrt{h^2+d^2}$
Setze die Werte für $h$ und $d$ ein:
$c=\sqrt{(4\;\text{cm})^2+(11,66\;\text{cm})^2}=12,33\;\text{cm}$
Die Raumdiagonale ist ca. $12,33\;\text{cm}$ lang.
#diagonale#satzdespythagoras

Aufgabe 2

$\;$
$\blacktriangleright$ Kantenlänge $\overline{CS}$ berechnen
Zeichne nun eine quadratische Grundfläche mit den Seitenlängen $a=5\;\text{cm}$. Zeichne die beiden Diagonalen der Grundfläche ein. Der Schnittpunkt der beiden Geraden entspricht dem Mittelpunkt $M$. Zeichne nun vom Mittelpunkt aus, senkrecht zur Grundfläche, die Höhe $h$ ein. Der höchste Punkt entspricht der Spitze der Pyramide und wird mit $S$ gekennzeichnet. Verbinde die Punkte $A-D$ mit dem Punkt $S$.
Du sollst nun die Kantenlänge $\overline{CS}$ berechnen. Du kannst in der Zeichnung sehen, dass die Strecke $\overline{MC}$ und die Höhe $h$ den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechen. Die gesuchte Strecke $\overline{CS}$ entspricht der Hypotenusen.
Berechne also:
  • Die Länge der Strecke $\overline{MC}$
  • Die Länge der Strecke $\overline{CS}$
Länge der Strecke $\overline{MC}$ berechnen
Du kannst die Länge der Strecke $\overline{MC}$ bestimmen, indem zu zunächst die Flächendiagonale $\overline{AC}$ berechnest und durch zwei teilst. Die Diagonale $\overline{AC}$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen, denn die Seiten der Grundfläche sind bekannt und entsprechen den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf.
$a^2+b^2=c^2$
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2a^2}$
Setze nun die bekannten Werte ein.
$c=\sqrt{2(5\;\text{cm})^2}=7,1\;\text{cm}$
Die Flächendiagonale hat eine Länge von $7,1\;\text{cm}$. Die Strecke $\overline{MC}$ entspricht genau der Hälfte, also $3,53\;\text{cm}$.
Länge der Strecke $\overline{CS}$ bestimmen
Du hast bereits die Länge der Strecke $\overline{MC}$ berechnet. Diese Strecke und die höhe $h$ können als Katheten eines rechtwinkigen Dreiecks betrachtet werden. Die Hypotenuse entspricht der Strecke $\overline{CS}$. Stelle also erneut den Satz des Pythagoras auf und löse nach $\overline{CS}$ auf.
$\overline{MC}^2+h^2=c^2$
$c=\sqrt{\overline{MC}^2+h^2}$
Setze nun die bekannten Werte ein.
$c=\sqrt{(3,53\;\text{cm})^2+(6\;\text{cm})^2}=6,96\;\text{cm}$
Die Strecke $\overline{CS}$ ist also ca. $6,96\;\text{cm}$ lang.
#satzdespythagoras

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Raumdiagonale berechnen
Du sollst die Raumdiagonale eines Würfels berechnen, der eine Seitenlänge von $a=5\;\text{cm}$ hat.
Berechne dazu:
  • die Flächendiagonale mithilfe des Satz des Pythagoras
  • die Raumdiagonale mithilfe des Satz des Pythagoras
Flächendiagonale berechnen
Berechne zunächst die Flächendiagonale der Grundseite des Würfels. Du weißt, dass ein Würfel überall die gleiche Seitenlänge hat, somit gilt $a=b$. Die Flächendiagonale teilt das Quadrat in zwei gleich große Dreiecke. Die Flächendiagonale entspricht jeweils der Hypotenuse eines Dreiecks. Die Seiten $a$ und $b$ entsprechen den Katheten. Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach $c$ um.
$a^2+b^2=c^2$
$c=\sqrt{a^2+b^2}$=$\sqrt{2a^2}$
Setze nun die Werte für $a$ ein:
$c=\sqrt{2\cdot(5\;\text{cm})^2}=7,07\;\text{cm}$
Die Diagonale ist also ca. $7,1\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Raumdiagonale berechnen
Du sollst die Raumdiagonale eines Würfels berechnen, der eine Seitenlänge von $a=12\;\text{cm}$ hat.
Berechne dazu:
  • die Flächendiagonale mithilfe des Satz des Pythagoras
  • die Raumdiagonale mithilfe des Satz des Pythagoras
Flächendiagonale berechnen
Berechne zunächst die Flächendiagonale der Grundseite des Würfels. Du weißt, dass ein Würfel überall die gleiche Seitenlänge hat, somit gilt $a=b$. Die Flächendiagonale teilt das Quadrat in zwei gleich große Dreiecke. Die Flächendiagonale entspricht jeweils der Hypotenuse eines Dreiecks. Die Seiten $a$ und $b$ entsprechen den Katheten. Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach $c$ um.
$a^2+b^2=c^2$
$c=\sqrt{a^2+b^2}$=$\sqrt{2a^2}$
Setze nun die Werte für $a$ ein:
$c=\sqrt{2\cdot(12\;\text{cm})^2}=16,97\;\text{cm}$
Die Diagonale ist also ca. $17,0\;\text{cm}$ lang.
#satzdespythagoras#diagonale

Aufgabe 4

$\;$
$\blacktriangleright$ Diagonale von Handy, Tablet, Laptop und Bildschirm berechnen
Du sollst berechne wie viel Zoll Handy, Laptop, Tablet und der Bildschirm haben. Dazu hast du jeweils die Länge und die Breite der Geräte angegeben. Die Angabe in Zoll bezieht sich jeweils auf die Länge der Diagonale. Die Flächendiagonale teilt ein Rechteck in zwei Dreiecke. Die Dreiecke die bei der Teilung der angegebenen Geräte entstehen haben alle einen rechten Winkel. Somit kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Die Diagonale entspricht der Hypotenuse des Dreiecks.
Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf.
$a^2+b^2=c^2$
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Zollmaß des Handybildschirms berechnen
Das Handy hat eine Breite von $b=6\;\text{cm}$ und eine Länge von $a=13\;\text{cm}$. Setze diese Werte in die Formel ein:
$c=\sqrt{(13\;\text{cm})^2+(6\;\text{cm})^2}=14,32\;\text{cm}$
Um die Angabe in Zoll umzurechnen, musst du wissen, dass gilt: $1$ Zoll $\mathrel{\widehat{=}}2,54\;\text{cm}$.
$c=\frac{14,32}{2,54}=5,64\; \text{Zoll}$
Der Handybildschirm hat eine Diagonale von $5,64$ Zoll.
Zollmaß des Laptops berechnen
Der Laptopbildschirm hat eine Breite von $b=21\;\text{cm}$ und eine Länge von $a=32\;\text{cm}$. Setze diese Werte in die Formel ein:
$c=\sqrt{(32\;\text{cm})^2+(21\;\text{cm})^2}=38,28\;\text{cm}$
Um die Angabe in Zoll umzurechnen, musst du wissen, dass gilt: $1$ Zoll $\mathrel{\widehat{=}}2,54\;\text{cm}$.
$c=\frac{38,28}{2,54}=15,1\; \text{Zoll}$
Der Laptopbildschirm hat eine Diagonale von $15,1$ Zoll.
Zollmaß des Tablet berechnen
Das Tablet hat eine Breite von $b=15\;\text{cm}$ und eine Länge von $a=25\;\text{cm}$. Setze diese Werte in die Formel ein:
$c=\sqrt{(25\;\text{cm})^2+(15\;\text{cm})^2}=29,15\;\text{cm}$
Um die Angabe in Zoll umzurechnen, musst du wissen, dass gilt: $1$ Zoll $\mathrel{\widehat{=}}2,54\;\text{cm}$.
$c=\frac{29,15}{2,54}=11,48\; \text{Zoll}$
Das Tablet hat eine Diagonale von $11,48$ Zoll.
Zollmaß des Bildschirms berechnen
Der Bildschirm hat eine Breite von $b=32\;\text{cm}$ und eine Länge von $a=52\;\text{cm}$. Setze diese Werte in die Formel ein:
$c=\sqrt{(52\;\text{cm})^2+(32\;\text{cm})^2}=61,1\;\text{cm}$
Um die Angabe in Zoll umzurechnen, musst du wissen, dass gilt: $1$ Zoll $\mathrel{\widehat{=}}2,54\;\text{cm}$.
$c=\frac{61,1}{2,54}=24,03\; \text{Zoll}$
Der Bildschirm hat eine Diagonale von $24,03$ Zoll.
#diagonale#satzdespythagoras

Aufgabe 5

$\;$
$\blacktriangleright$ Länge des Seils berechnen
ein Raum hat eine Länge von $l=12\;\text{m}$ und eine Breite von $b=8\;\text{m}$. Außerdem weißt du, dass der Raum $3\;\text{m}$ hoch ist. Du sollst nun berechnen wie lange ein Seil sein muss, das quer durch einen Raum gespannt ist.
Das gespannte Seil entspricht der Raumdiagonalen. Um die Länge der Strecke zu bestimmen, kannst du nach folgenden Schritten vorgehen:
  • Länge der Diagonale des Bodens bestimmen
  • Länge der Raumdiagonale bestimmen
Länge der Länge der Flächendiagonale bestimmen
Du kannst die Flächendiagonale bestimmen, indem du den Satz des Pythagoras aufstellst. Die Länge $l$ und die Breite $b$ entsprechen dabei denn Katheten. Die Diagonale entspricht der Hypotenuse.
Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach $c$ um.
$l^2+b^2=c^2$
$c=\sqrt{l^2+b^2}$
Setze nun die gegebenen Werte ein:
$c=\sqrt{(12\;\text{m}^2)+(8\;\text{m})^2}=14,42\;\text{m}$
Die Flächendiagonale ist ca. $c=14,42\;\text{m}$ lang.
Länge der Raumdiagonale bestimmen
Du kannst, um die Länge der Raumdiagonalen zu bestimmen, wieder den Satz des Pythagoras anwenden. Dabei stehen die Höhe $h=3\;\text{m}$ und die Flächendiagonale $d=14,42\;\text{m}$ für die Katheten. Die Raumdiagonalen entspricht der Hypotenuse.
Stelle den Satz des Pythagoras auf und forme nach $c$ um.
$h^2+d^2=c^2$
$c=\sqrt{h^2+d^2}$
Setze nun die gegebenen Werte ein:
$c=\sqrt{(3\;\text{m})^2+(14,42\;\text{m})^2}=14,73\;\text{m}$
Die Raumdiagonale hat eine Länge von ca. $14,73\;\text{m}$. Somit muss das Seil mindestens so lange sein.
#diagonale#satzdespythagoras
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