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Höhensatz

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Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 1: Höhensatz
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 1: Höhensatz
#hypotenuse#rechtwinkligesdreieck
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Einführungsaufgabe

Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 1: Höhensatz
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 1: Höhensatz

Aufgabe 1

a)
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine $7,5\,\text{cm}$ lange Hypotenuse. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte $q=4,8\,\text{cm}$ und $p=2,7\,\text{cm}$.
Wie groß ist die Höhe $h$?
b)
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine $10,3\,\text{dm}$ lange Hypotenuse. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte $q=6,7\,\text{dm}$ und $p=3,6\,\text{dm}$.
Berechne die Höhe $h$.

Aufgabe 2

a)
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine Höhe von $5,5\,\text{cm}$. Außerdem ist $q=2,3\,\text{cm}$ bekannt. Berechne die Länge der Hypotenuse
b)
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine $16,2\,\text{dm}$ lange Hypotenuse. Außerdem weißt du, dass $q=8,4\,\text{dm}$ lang ist. Berechne die Höhe des Dreiecks.

Aufgabe 3

$\;$
Wandle ein Rechteck mit den Seitenlängen $8,5\,\text{cm}$ und $4,2\,\text{cm}$ in ein flächengleiches Quadrat um. Löse die Aufgabe zeichnerisch.

Aufgabe 4

$\;$
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 2: Boot im Rhein
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 2: Boot im Rhein

Aufgabe 5

$\;$
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 3: Ackerfläche
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 3: Ackerfläche
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ rechtwinkliges Dreieck zeichnen
Du sollst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a=7\;\text{cm}$, $b=5\;\text{cm}$ und $c=8,6\;\text{cm}$ zeichnen. Der rechte Winkel soll zwischen $a$ und $b$ liegen. Zeichne also zuerst die Seite $a$ mit angegebener Länge und im rechten Winkel dazu $b$ mit vorgegebener Länge. Du kannst nun die Endpunkte verbinden, um ein Dreieck zu erhalten. Du kannst überprüfen, ob du richtig gezeichnet hast, indem du die Seite $c$ abmisst und sie mit dem vorgegebenen Wert vergleichst.
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 1: rechtwinkliges Dreieck
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 1: rechtwinkliges Dreieck
b)
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ einzeichnen und Seiten zum Quadrat ergänzen
Die Höhe $h$ kannst du einzeichnen, indem du vom Punkt $C$ das Lot zur Grundseite $c$ fällst. Achte darauf, dass zwischen der Seite $c$ und der Höhe $h$ ein rechter Winkel sein muss.
Die Hypotenuse wird von der Höhe $h$ in zwei Abschnitte $q$ und $p$ geteilt. Messe zunächst die beiden Abschnitte sowie die Länge der Höhe $h$ ab. Die kürzere Strecke ist $q= 3\;\text{cm}$ lang, die längere Strecke ist $p= 5,6\;\text{cm}$ lang. Im nächsten Schritt sollst du die Seite $h$ zu einem Quadrat und die Seite $q$ zu einem Rechteck mit den Seiten $q$ und $p$ ergänzen. Orientiere dich dazu an der Abbildung $1$ und verwende die abgemessenen Werte.
Du erhältst folgendes Dreieck:
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 2: Höhensatz
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 2: Höhensatz
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalte berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Quadrats, dessen Seitenlänge der Länge der Höhe $h$ entspricht. Das Dreieck hat eine Höhe von ca.$4,1\;\text{cm}$ Den Flächeninhalt eines Quadrats kannst du mit der Formel:
$A=a^2$
$A=a^2$
berechnen. Setze $h=4,1\;\text{cm}$ in die Formel ein.
$A=(4,1\;\text{cm})^2\approx16,8\;\text{cm}^2 $
Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von ca. $16,8\;\text{cm}^2 $.
Im nächsten Schritt kannst du den Flächenihalt des Rechtecks mit den Seitenlängen $q$ und $p$ berechnen. Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich mit der Formel
$A=a\cdot b$
$A=a\cdot b$
berechnen. Du hast diese Seitenlängen mit $q=3\;\text{cm}$ und $p=5,6\;\text{cm}$ oben bereits bestimmt. Setze diese Werte in die Formel ein.
$A=3\;\text{cm}\cdot 5,6\;\text{cm}=16,8\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt ca.$16,8\;\text{cm}^2$.
Es fällt auf, dass die beiden Flächeninhalte identisch sind. Dies entspricht der Aussage des Höhensatzes:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates über der Höhe gleichgroß wie die Fläche des Rechtecks aus den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$.
Es gilt also:
$\begin{array}{rll} h^2=p\cdot q\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} h^2=p\cdot q\\[5pt] \end{array}$
Umgekehrt: Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist es rechtwinklig.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Die Hypotenuse hat eine Länge von $c=7,5\;\text{cm}$. Die Seite $q$ ist $4,8\;\text{cm}$ und die Seite $p$ ist $2,7\;\text{cm}$ lang. Du sollst nun die Länge von $h$ mithilfe des Höhensatzes berechnen.
$\begin{array}{rll} h^2=&p\cdot q &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] h^2=&(2,7\,\text{cm})\cdot (4,8\,\text{cm})\\[2pt] h^2=&12,96\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] h=&3,6\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe $h$ hat also eine Länge von $3,6$ cm.
b)
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Die Hypotenuse hat eine Länge von $c=10,3\;\text{cm}$. Die Seite $q$ ist $6,7\;\text{cm}$ und die Seite $p$ ist $3,6\;\text{cm}$ lang. Du sollst nun die Länge von $h$ mithilfe des Höhensatzes berechnen.
$\begin{array}{rll} h^2=&p\cdot q &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] h^2=&(6,7\,\text{cm})\cdot (3,6\,\text{cm})\\[2pt] h^2=&24,12\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] h=&4,91\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe $h$ hat also eine Länge von $4,91$ cm.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Hypotenuse berechnen
Die Höhe des Dreiecks und die Teilstrecke $q$ ist dir gegeben mit $h=5,5\;\text{cm}$ und $q=2,3\;\text{cm}$. Berechne die Hypotenuse, indem du nach folgenden Schritte vorgehst:
  • Höhensatz aufstellen und nach $p$ umstellen
  • $c$ berechnen
Der Höhensatz lautet:
$h^2=p\cdot q$
$h^2=p\cdot q$
Löse im nächsten Schritt nach $p$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=&p\cdot q &\quad \scriptsize \mid\; :q\\[5pt] \frac{h^2}{q}&=&p \end{array}$
Du kannst nun die Werte für $h$ und $q$ einsetze, um $p$ zu erhalten:
$\frac{h^2}{q}=p$
$\frac{5,5^2}{2,3}=13,15$
Die Teilstrecke $p$ ist also $13,15\;\text{cm}$ lang. Du erhältst $c$, indem du $p$ und $q$ addierst:
$c=q+p$
$c=13,15\;\text{cm}$+$2,3\;\text{cm}$$=15,45\;\text{cm}$
Die Hypotenuse ist also $15,45\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Die Hypotenuse ist $16\;\text{cm}$ lang, die Teilstrecke $q$ ist $8,4\;\text{cm}$ lang. Bestimme die Höhe $h$, indem du in folgenden Schritten vorgehst:
  • $p$ bestimmen
  • Höhensatz aufstellen und nach $h$ auflösen
Du weißt, dass $c=q+p$ gilt. Deswegen kannst du $p$ bestimmen, indem du $q$ von $c$ abziehst:
$p=c-q$
$p=16,2\;\text{cm}-8,4\;\text{cm}=7,8\;\text{cm}$
Die Teilstrecke $p$ ist $7,8\;\text{cm}$ lang. Stelle nun den Höhensatz auf, löse nach $h$ auf und setze die bekannten Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& p\cdot q&\quad \scriptsize \mid\sqrt\; \\[5pt] h&=&\sqrt{p\cdot q}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\sqrt{7,8\cdot 8,4}=8,1 \end{array}$
Die Höhe des Dreiecks beträgt also $8,1\;\text{cm}$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Rechteck in ein Quadrat umwandeln
Du hast ein Rechteck mit den Seitenlängen $8,5\;\text{cm}$ und $4,2\;\text{cm}$ gegeben. Verwandle dieses Rechteck nun in ein flächengleiches Dreieck. Du kansnt dazu in folgenden Schritten vorgehen:
  • Zeichne das Rechteck mit den entsprechenden Seitenlängen
  • Verlängere die eine Seite des Rechtecks um die Länge der anderen Seite. Dies ergibt die Hypotenuse
  • Zeichne den Thaleskreis um die Gesamtstrecke.
  • Zeichne an der Stelle an denen die Teilstrecken aufeinander Treffen die Höhe ein. Sie geht bis zum Schnittpunkt mit dem Thaleskreis. Die Höhe des Quadrates entspricht der gesuchten Seite des Quadrates.
  • Du erhältst folgendes Quadrat:
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 3: Konstruktion
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Höhensatz
Abb. 3: Konstruktion
Die Höhe $h$ kannst du nun abmessen. Du solltest einen Wert von ca. $5,97\;\text{cm}$ erhalten.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Entfernung vom Beobachter $\boldsymbol{B}$ zum Boot
Die Entfernung zwischen dem Boot und dem Betrachter $B$ ist nichts anderes als die Länge der Höhe $h$. Die Strecke $\overline{AB}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $q$, die Strecke $\overline{BC}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $p$ und die Strecke $\overline{BBoot}$ entspricht der Höhe $h$.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{p}$ berechnen
   (Die Länge der Strecke $q$ kannst du der Aufgabe entnehmen ($35,35$ m). Die Länge der Strecke $p$ berechnest du wie folgt.)
$\begin{array}{rll} p=&c-q\\[2pt] (\overline{BC}=&\overline{AC}-\overline{AB})\\[2pt] p=&(70,7\,\text{m})-(35,35\,\text{m})\\[2pt] p=&35,35\,\text{m} \end{array}$
Die Länge der Strecke $p$ beträgt 35,35 m.
2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ mit dem Höhensatz berechnen
$\begin{array}{rll} h^2=&p\cdot q &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] (\overline{BBoot}^2=&\overline{AB}\cdot \overline{BC})\\[2pt] h^2=&(35,35\,\text{m})\cdot (35,35\,\text{m})\\[2pt] h^2=&1249,6225\,\text{m}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] h=&35,35\,\text{m} \end{array}$
$ h^2=p\cdot q $
Der Betrachter $B$ ist $35,35$ m von dem Boot entfernt.

Aufgabe 5

$\,$
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Bei dieser Skizze entspricht die Strecke $\overline{BA}$ dem Hypotenusenabschnitt $p$, die Strecke $\overline{BC}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $q$ und die Strecke $\overline{BD}$ entspricht der Höhe $h$.
Um nun die Breite des Feldes berechnen zu können, musst du zuerst mit dem Höhensatz die Länge des Hypotenusenabschnittes $q$ berechnen und anschließend die Längen der Seiten $p$ und $q$ addieren.
1. Schritt: Länge des Hypotenusenabschnittes $\boldsymbol{q}$ bestimmen
$\begin{array}{rll} h^2=&p\cdot q &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] (\overline{BD}^2=&\overline{AB} \cdot \overline{BC})\\[2pt] (110\,\text{m}^2=&(136\,\text{m})\cdot q\\[2pt] 12100\,\text{m}^2=&(136\,\text{m})\cdot q &\scriptsize\mid\; :136\,\text{m}\\[2pt] \dfrac{12100\,\text{m}^2}{136\,\text{m}}=&q\\[2pt] q≈& 88,97 \,\text{m} \end{array}$
Der Hypotenusenabschnitt $q$ hat eine Länge von ca. $88,97$ m.
2. Schritt: Längen der Seiten $\boldsymbol{q}$ und $\boldsymbol{p}$ addieren
$\begin{array}{rll} c=&q+p\\[2pt] c=&88,97\,\text{m}+136\,\text{m}\\[2pt] c=&224,97\,\text{m} \end{array}$
Das Feld ist $224,97$ m breit.
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