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Kathetensatz

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Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Kathetensatz
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Kathetensatz
#hypotenuse#rechtwinkligesdreieck#kathete
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Einführungsaufgabe

Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Kathetensatz
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Kathetensatz

Aufgabe 1

a)
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist $8,5\,\text{cm}$ lang. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte $q=6,3\,\text{cm}$ und $p=2,2\,\text{cm}$.
Berechne die Länge der Katheten $a$ und $b$?

Aufgabe 2

a)
Der Hypotenusenabschnitt ist gegeben mit $p=3,4\;\text{cm}$. Die Hypotenuse ist $8,5\,\text{cm}$ lang. Verwende den Kathetensatz, um die Längen der Katheten $a$ und $b$ zu berechnen.

Aufgabe 3

a)
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Kathetensatz
Abb. 2: Bodensee
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck: Kathetensatz

Aufgaben zum Höhen- und Kathetensatz

Wenn du dich noch nicht mit dem Höhensatz auseinandergesetzt hast, schaue dir zuerst die Aufgaben dazu an.

Aufgabe 4

Berechne die fehlenden Längen des Dreiecks. Verwende dazu den Höhensatz und die Abbildung $1$.
a)
Die Seite $a$ ist $85\;\text{cm}$ lang, die Seite $c$ hat eine Länge von $120\;\text{cm}$. Bestimme mithilfe des Höhensatzes die Werte für $b$, $h$, $p$ und $q$.
b)
Die Seite $b$ ist $50\;\text{mm}$ lang, die Seite $c$ hat eine Länge von $65\;\text{mm}$. Verwende den Höhensatz, um die Werte für $a$, $h$, $p$ und $q$ zu bestimmen.

Aufgabe 5

Vervollständige die Tabelle mit den fehlenden Werten. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck bei $C$.
1)2)3)
a$75\;\text{cm}$$46\;\text{cm}$
b$2,6\;\text{dm}$
c$110\;\text{cm}$$5,8\;\text{dm}$
h
p$22\;\text{cm}$
q

Aufgabe 6

Bestimme den Flächeninhalt folgender rechtwinkliger Dreiecke $ABC$. Deren rechter Winkel liegt bei $C$.
a)
Das Dreieck hat die Seitenlängen $c=10,3\,\text{cm}$ und $b=6\,\text{cm}$.
b)
Das Dreieck hat die Seitenlängen $q=9,3\,\text{cm}$ und $c=2,1\,\text{dm}$.
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen
Du sollst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a=9,5\;\text{cm}$, $b=6\;\text{cm}$ und $c=11,4\;\text{cm}$ zeichnen. Der rechte Winkel soll zwischen $a$ und $b$ liegen. Zeichne also zuerst die Seite $a$ mit angegebener Länge und im rechten Winkel dazu $b$ mit vorgegebener Länge. Du kannst nun die Endpunkte verbinden, um ein Dreieck zu erhalten. Du kannst überprüfen, ob du richtig gezeichnet hast, indem du die Seite $c$ abmisst und sie mit dem vorgegebenen Wert vergleichst.
b)
$\blacktriangleright$ Quadrate ins Dreieck einzeichnen
Die Höhe $h$ kannst du einzeichnen, indem du vom Punkt $C$ das Lot zur Grundseite $c$ fällst. Achte darauf, dass zwischen der Seite $c$ und der Höhe $h$ ein rechter Winkel sein muss.
Um die Quadrate über den Katheten und der Hypotenuse einzuzeichnen, zeichnest du im rechten Winkel zur Kathete oder Hypotenuse eine weitere Seite, die die gleiche Länge hat wie ihre zugehörige Seite. Du erhältst ein Quadtrat über $a$, $b$ und $c$. Verlängere nun die eingezeichnete Höhe $h$ und teile damit das Quadrat bei $c$ in zwei Hälften. Es ergeben sich zwei Rechtecke mit den Seitenlängen $A_1=c\cdot q$ und $A_2=c\cdot p$.
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalte berechnen
Du kannst den Flächeninhalt der Quadrate mit der Formel:
$A=a^2$
berechnen. Setze jeweils die Seitenlänge von $a$ und $b$ ein und du erhältst den Flächeninhalt über $a$ und $b$.
$A_a=(9,5\;\text{cm})^2=90,25\;\text{cm}^2$
$A_b=(6\;\text{cm})^2=36\;\text{cm}^2$
Berechne nun die Rechtecke, die sich durch Teilen des Quadrates ergeben haben.
Die Formel zur Berechnung eines Rechtecks ist:
$A=a\cdot b$
Die Höhe des Rechtecks entspricht der Länge der Hypotenuse, die Teilstrecken $p$ und $q$ kannst du abmessen.
Du sollstest ungefähr die Längen $q=3,15\;\text{cm}$ und $p=7,92\;\text{cm}$ abmessen.
Setze die Werte in die Formel ein und berechne den Flächeninhalt der Rechtecke:
$A_1=11,4\;\text{cm}\cdot 3,15\;\text{cm}=35,9\;\text{cm}^2$ und $A_2=11,4\cdot 7,9\;\text{cm}=90,29\;\text{cm}^2$
Es fällt auf, dass jeweils die Flächeninhalte eines Quadtrats und eines Rechtecks gleich sind. Dies lässt sich mit dem Kathetensatz erklären.
Mit dem Kathetensatz kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge der Katheten, der Hypotenuse oder der Hypotenusenabschnitte berechnen.
Die Höhe $h_c$ teilt die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks in zwei Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$. Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über der Kathete $a^2$ (bzw. $b^2$) ebenso groß ist, wie das Rechteck, dessen Seiten von der Hypotenuse $c$ und dem Hypotenusenabschnitt $p$ (bzw. $q$) gebildet werden.
In Formeln ausgedrückt, heißt das:
$a^2=c\cdot p \quad\quad b^2=c \cdot q$ $a^2=c\cdot p \quad\quad b^2=c \cdot q$
Mit dem Kathetensatz kannst du auch überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Ist der Kathetensatz in einem Dreieck gültig, so ist es rechtwinklig.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Katheten berechnen
Länge der Kathete a berechnen
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] a^2&=&(8,5\,\text{cm})\cdot (2,2\,\text{cm})\\[2pt] a^2&=&18,7\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] a&=&4,32\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $a$ ist $4,32$ cm lang.
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete b berechnen
$\begin{array}{rll} b^2&=&c\cdot q &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] b^2&=&(8,5\,\text{cm})\cdot (6,3\,\text{cm})\\[2pt] b^2&=&53,55\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] b&=&7,3\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $b$ ist $7,3$ cm lang.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Katheten berechnen
Länge der Kathete a berechnen
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] a^2&=&(8,5\,\text{cm})\cdot (3,14\,\text{cm})\\[2pt] a^2&=&26,7\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] a&=&5,2\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $a$ ist $5,2$ cm lang. Du sollst nun $b$ berechnen. Dazu benötigst du die Teilstrecke $q$, die du mit:
$c=p+q$
berechnen kannst. Stelle die Formel nach $q$ um und setze die bekannten Werte ein:
$q=c-p$
$q=8,5-3,4=5,1$
Die Teilstrecke $q$ ist also $5,1\;\text{cm}$ lang. Du kannst im nächsten Schritt den Kathetensatz anwenden, um $b$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete b berechnen
$\begin{array}{rll} b^2&=&c\cdot q &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] b^2&=&(8,5\,\text{cm})\cdot (5,1\,\text{cm})\\[2pt] b^2&=&43,35\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] b&=&6,58\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $b$ ist $6,58$ cm lang.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Entfernungen berechnen
Die Entfernung zwischen Ufer $C$ und $D$ ist nichts anderes als die Länge des Hypotenusenabschnittes $p$. Die Strecke $\overline{CD}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $p$, die Strecke $\overline{CA}$ entspricht der Hypotenuse $c$ und die Strecke $\overline{CB}$ entspricht der Kathete $a$.
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] \overline{CB} ^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{CD}\\[2pt] (5\,\text{km})^2&=&7\,\text{km}\cdot p\\[2pt] 25\,\text{km}^2&=&7\,\text{km}\cdot p &\scriptsize\mid\;:7\,\text{km}\\[2pt] p&=&\frac{25\,\text{km}^2}{7\,\text{km}}\\[2pt] p&\approx&3,57\,\text{km} \end{array}$
Die Ufer $C$ und $D$ sind ca. $3,57$ km voneinander entfernt.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{b,h,p}$ und $\boldsymbol{q}$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $a=85\;\text{cm}$ und die Seite $c=120\;\text{cm}$ lang ist. Gehe um die anderen Größen zu berechnen in folgenden Schritten vor:
  • $p$ berechnen mit dem Kathetensatz
  • $q$ berechnen mit $c=p+q$
  • $h$ berechnen mithilfe des Höhensatzes
  • $b$ berechnen mithilfe des Kathetensatzes
$p$ berechnen
Du kannst $p$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz besagt, dass
$a^2=c\cdot p$
gilt. Stelle diese Gleichung nach $p$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& c \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] p&=&\frac{a^2}{c}&\quad \scriptsize \\[5pt] p&=&\frac{(85\;\text{cm})^2}{120\;\text{cm}}=60,21\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $p$ ists $60,21\;\text{cm}$ lang.
Strecke $q$ berechnen
Du sollst die Länge $q$ berechnen. Die Hypothenuse $c$ setzt sich aus den Teilstrecken $p$ und $q$ zusammen. Deswegen kannst du die Formel
$c=p+q$
nach $q$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen:
$q=c-p$
$q=120\;\text{cm}-60,21\;\text{cm}=59,79\;\text{cm}$
Die Strecke $q$ ist also $59,79\;\text{cm}$ lang.
$h$ berechnen
Du kannst $h$ berechnen, indem du den Höhensatz anwendest. Der Höhensatz beschreibt den Zusammenhang:
$h^2=q\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $h$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& q \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] h&=&\sqrt{p\cdot q}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\sqrt{60,21\;\text{cm} \cdot 59,79\;\text{cm}}=60,0\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 60,0\;\text{cm} $
Die Strecke $h$ ists $60,0\;\text{cm}$ lang.
$b$ berechnen
Du kannst $b$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz beschreibt den Zusammenhang:
$b^2=c\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $b$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c \cdot q&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] b&=&\sqrt{c\cdot q}&\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&\sqrt{120\;\text{cm} \cdot 60,21\;\text{cm}}=84,7\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $h$ ists $84,7\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{a,h,p}$ und $\boldsymbol{q}$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $b=50\;\text{mm}$ und die Seite $c=65\;\text{mm}$ lang ist. Gehe um die anderen Größen zu berechnen in folgenden Schritten vor:
  • $q$ berechnen mit dem Kathetensatz
  • $p$ berechnen mit $c=p+q$
  • $h$ berechnen mithilfe des Höhensatzes
  • $a$ berechnen mithilfe des Kathetensatzes
$q$ berechnen
Du kannst $q$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz besagt, dass
$b^2=c\cdot q$
gilt. Stelle diese Gleichung nach $p$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c \cdot q&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] q&=&\frac{b^2}{c}&\quad \scriptsize \\[5pt] q&=&\frac{(50\;\text{cm})^2}{65\;\text{cm}}=38,46\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $q$ ist $38,46\;\text{cm}$ lang.
Strecke $p$ berechnen
Du sollst die Länge $p$ berechnen. Die Hypothenuse $c$ setzt sich aus den Teilstrecken $p$ und $q$ zusammen. Deswegen kannst du die Formel
$c=p+q$
nach $p$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen:
$p=c-q$
$p=65\;\text{cm}-38,46\;\text{cm}=26,54\;\text{cm}$
Die Strecke $p$ ist also $26,54\;\text{cm}$ lang.
$h$ berechnen
Du kannst $h$ berechnen, indem du den Höhensatz anwendest. Der Höhensatz beschreibt den Zusammenhang:
$h^2=p\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $h$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& q \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] h&=&\sqrt{q\cdot p}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\sqrt{26,54\;\text{cm} \cdot 38,46\;\text{cm}}=31,95\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 31,95\;\text{cm} $
Die Strecke $h$ ists $31,95\;\text{cm}$ lang.
$a$ berechnen
Du kannst $a$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz beschreibt den Zusammenhang:
$a^2=c\cdot q$
Löse diese Gleichung nach $a$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& c \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] a&=&\sqrt{c\cdot p}&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\sqrt{65\;\text{cm} \cdot 26,54\;\text{cm}}=41,53\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 41,53\;\text{cm} $
Die Strecke $a$ ists $41,53\;\text{cm}$ lang.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen
Berechne die fehlenden Werte und trage sie in die Tabelle ein.
1. Werte $\boldsymbol{b,h,p,q}$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $a=75\;\text{cm}$ und die Seite $c=110\;\text{cm}$ lang ist. Gehe um die anderen Größen zu berechnen in folgenden Schritten vor:
  • $p$ berechnen mit dem Kathetensatz
  • $q$ berechnen mit $c=p+q$
  • $h$ berechnen mithilfe des Höhensatzes
  • $b$ berechnen mithilfe des Kathetensatzes
$p$ berechnen
Du kannst $p$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz besagt, dass
$a^2=c\cdot p$
gilt. Stelle diese Gleichung nach $p$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& c \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] p&=&\frac{a^2}{c}&\quad \scriptsize \\[5pt] p&=&\frac({75\;\text{cm}})^2{110\;\text{cm}}=51,14\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 51,14\;\text{cm} $
Die Strecke $p$ ists $51,14\;\text{cm}$ lang.
Strecke $q$ berechnen
Du sollst die Länge $q$ berechnen. Die Hypothenuse $c$ setzt sich aus den Teilstrecken $p$ und $q$ zusammen. Deswegen kannst du die Formel
$c=p+q$
nach $q$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen:
$q=c-p$
$q=110\;\text{cm}-51,12\;\text{cm}=58,88\;\text{cm}$
Die Strecke $q$ ist also $58,88\;\text{cm}$ lang.
$h$ berechnen
Du kannst $h$ berechnen, indem du den Höhensatz anwendest. Der Höhensatz beschreibt den Zusammenhang:
$h^2=q\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $h$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& q \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] h&=&\sqrt{q\cdot p}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\sqrt{51,12\;\text{cm} \cdot 58,88\;\text{cm}}=54,86\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 54,86\;\text{cm} $
Die Strecke $h$ ists $54,86\;\text{cm}$ lang.
$b$ berechnen
Du kannst $b$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz beschreibt den Zusammenhang:
$b^2=c\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $b$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c \cdot q&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] b&=&\sqrt{c\cdot q}&\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&\sqrt{110\;\text{cm} \cdot 58,88\;\text{cm}}=80,48\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 80,48\;\text{cm} $
Die Strecke $h$ ists $80,48\;\text{cm}$ lang.
2. Werte $\boldsymbol{a,h,p,q}$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $b=2,6\;\text{dm}$ und die Seite $c=5,8\;\text{dm}$ lang ist. Gehe um die anderen Größen zu berechnen in folgenden Schritten vor:
  • $q$ berechnen mit dem Kathetensatz
  • $p$ berechnen mit $c=p+q$
  • $h$ berechnen mithilfe des Höhensatzes
  • $a$ berechnen mithilfe des Kathetensatzes
$q$ berechnen
Du kannst $q$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz besagt, dass
$b^2=c\cdot q$
gilt. Stelle diese Gleichung nach $p$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c \cdot q&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] q&=&\frac{b^2}{c}&\quad \scriptsize \\[5pt] q&=&\frac{(2,6\;\text{dm})^2}{5,8\;\text{dm}}=1,17\;\text{dm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 1,17\;\text{dm}$
Die Strecke $q$ ist $1,17\;\text{dm}$ lang.
Strecke $p$ berechnen
Du sollst die Länge $p$ berechnen. Die Hypothenuse $c$ setzt sich aus den Teilstrecken $p$ und $q$ zusammen. Deswegen kannst du die Formel
$c=p+q$
nach $p$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen:
$p=c-q$
$p=5,8\;\text{dm}-1,17\;\text{dm}=4,63\;\text{dm}$
Die Strecke $p$ ist also $4,63\;\text{dm}$ lang.
$h$ berechnen
Du kannst $h$ berechnen, indem du den Höhensatz anwendest. Der Höhensatz beschreibt den Zusammenhang:
$h^2=p\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $h$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& q \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] h&=&\sqrt{q\cdot p}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\sqrt{1,17\;\text{dm} \cdot 4,63\;\text{dm}}=2,33\;\text{dm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}
$ 2,33\;\text{dm} $
$
Die Strecke $h$ ists $2,33\;\text{dm}$ lang.
$a$ berechnen
Du kannst $a$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz beschreibt den Zusammenhang:
$a^2=c\cdot q$
Löse diese Gleichung nach $a$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& c \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] a&=&\sqrt{c\cdot p}&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\sqrt{5,8\;\text{dm} \cdot 4,63\;\text{dm}}=5,18\;\text{dm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 5,18\;\text{dm} $
Die Strecke $a$ ists $5,18\;\text{dm}$ lang.
3. Werte $\boldsymbol{b,h,c,q}$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $a=85\;\text{cm}$ und die Teilstrecke $p=22\;\text{cm}$ lang ist. Gehe um die anderen Größen zu berechnen in folgenden Schritten vor:
  • $c$ berechnen mit dem Kathetensatz
  • $q$ berechnen mit $c=p+q$
  • $b$ berechnen mithilfe des Kathetensatzes
  • $h$ berechnen mithilfe des Höhensatzes
$c$ berechnen
Du kannst $p$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz besagt, dass
$a^2=c\cdot p$
gilt. Stelle diese Gleichung nach $p$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& c \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:p \\[5pt] c&=&\frac{a^2}{p}&\quad \scriptsize \\[5pt] c&=&\frac{(46\;\text{cm})^2}{22\;\text{cm}}=96,18\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $p$ ists $96,18\;\text{cm}$ lang.
Strecke $q$ berechnen
Du sollst die Länge $q$ berechnen. Die Hypothenuse $c$ setzt sich aus den Teilstrecken $p$ und $q$ zusammen. Deswegen kannst du die Formel
$c=p+q$
nach $q$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen:
$q=c-p$
$q=96,18\;\text{cm}-22\;\text{cm}=74,18\;\text{cm}$
Die Strecke $q$ ist also $74,18\;\text{cm}$ lang.
$b$ berechnen
Du kannst $b$ berechnen, indem du den Kathetensatz anwendest. Der Kathetensatz beschreibt den Zusammenhang:
$b^2=c\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $b$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c \cdot q&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] b&=&\sqrt{c\cdot q}&\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&\sqrt{96,18\;\text{cm} \cdot 74,18\;\text{cm}}=84,47\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 84,47\;\text{cm} $
Die Strecke $h$ ists $84,47\;\text{cm}$ lang.
$h$ berechnen
Du kannst $h$ berechnen, indem du den Höhensatz anwendest. Der Höhensatz beschreibt den Zusammenhang:
$h^2=q\cdot p$
Löse diese Gleichung nach $h$ auf, indem du die Wurzel ziehst und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} h^2&=& q \cdot p&\quad \scriptsize \mid\;:c \\[5pt] h&=&\sqrt{p\cdot q}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\sqrt{74,18\;\text{cm} \cdot 22\;\text{cm}}=40,40\;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 40,40\;\text{cm} $
Die Strecke $h$ ists $40,40\;\text{cm}$ lang.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Du weißt, dass die Seite $c=10,3\;\text{cm}$ und die Seite $b=6\;\text{cm}$ lang ist. Um den Flächeninhalt zu berechnen kannst du in folgenden Schritten vorgehen:
  • Wert für $q$ berechnen mit dem Kathetensatz
  • Wert für $p$ berechnen mit $c=q+p$
  • $h$ berechnen mit dem Höhensatz
  • Flächeninhalt bestimmen mit $\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
1. Wert für $q$ berechnen
Du weißt, dass die Seite $b=6\;\text{cm}$ und die Seite $c=10.3\;\text{cm}$ lang ist. Du kannst den Kathetensatz
$b^2=c\cdot q$
anwenden, um $q$ zu bestimmen. Löse dazu nach $q$ auf und setze ein.
$q=\frac{b^2}{c}$
$q=\frac{(6\;\text{cm})^2}{10.3\;\text{cm}}=3,5\;\text{cm}$
2. Wert für $p$ bestimmen
Du weißt, dass sich die Hypotenuse aus den Teilstrecken $p$ und $q$ zusammensetzt. Deswegen gilt:
$c=p+q$
Wenn du nach $p$ auflöst, ergibt sich:
$p=c-q$
$p=10.3\;\text{cm}-3,5\;\text{cm}$
3.Höhe $h$ berechnen
Du kannst die Höhe $h$ mithilfe des Höhensatzes berechnen. Verwende dazu die Formel:
$h^2=p\cdot q$
Daraus ergibt sich für $h$:
$h=\sqrt{p\cdot q}$
$h=\sqrt{10.3\;\text{cm}\cdot 3,5\;\text{cm}}=4,88\;\text{cm}$
4.Flächeninhalt berechnen
Du kannst den Flächeninhalt mit der Formel: $\frac{1}{2} \cdot g\cdot h$
berechnen. Setze die berechneten Werte in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu erhalten. Die Grundseite $g$ entspricht der Hypotenuse $c$
$\frac{1}{2} \cdot 10,3\;\text{cm}\cdot 4,88\;\text{cm}=25,12\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist ca. $25,12\;\text{cm}$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Du weißt, dass die Seite $q=9,3\;\text{cm}$ und die Seite $c=2,1\;\text{dm}=21\;\text{cm}$ lang ist. Um den Flächeninhalt zu erhalten, gehe in folgenden Schritten vor:
  • $p$ berechnen mit $c=p+q$
  • $h$ mit dem Höhenatz berechnen
  • Flächeninhalt berechnen
1.$p$ berechnen
Du kannst den Wert für $p$ berechnen, indem du den Zusammenhang $c=p+q$ verwendendest und nach $p$ umstellst:
$p=c-q$
Setze die angegebenen Werte ein:
$p=21\;\text{cm}-{9,3}=11,7\;\text{cm}$
2. Höhe $h$ berechnen
Du kannst die Höhe $h$ berechnen, indem du den Höhensatz anwendest:
$h^2=p\cdot q$
Löse die Gleichung nach $h$ auf, indem du die Wurzel ziehst.
$h=\sqrt{p\cdot q}$
$h=\sqrt{11,7\;\text{cm}\cdot 9,3\;\text{cm}=10,43}$
3. Flächeninhalt bestimmen
Berechne den flächeninhalt, indem du die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks verwendest und die berechneten Werte einsetzt.
$\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Die Hypotenuse entspricht der Grundseite $g$.
$\frac{1}{2}\cdot 21\;\text{cm}\cdot 10,43\;\text{cm}=109,52\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist ca. $109,52\;\text{cm}^2$ groß.
Bildnachweise [nach oben]
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