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Einführung

Spickzettel
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Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung. Sie beschreibt also das Verhältnis zwischen zwei Größen, die meistens mit $x$ und $y$ bezeichnet werden. Sie ordnet jedem $\color{#87c800}{x}$-Wert genau einen $\color{#87c800}{y}$-Wert zu.

Beispiel

Die Zahl $x$ könnte zum Beispiel die Anzahl von Äpfeln beschreiben, die du kaufen möchtest. Den Preis, den du zahlen musst kannst du dann mit $y$ bezeichnen. Wenn jeder Apfel $0,50$ € kostet, kannst du den Preis von $x$-Äpfeln in € wie folgt darstellen:
$y = 0,5\cdot x$
Setzt du nun für $x$ die Anzahl der Äpfel ein, die du kaufen möchtest, kannst du so $y$ ausrechnen und weißt dadurch, wie viel du bezahlen musst. Möchtest du also $3$ Äpfel kaufen, dann setzt du in die obige Gleichung $x=3$ ein:
$y = 0,5 \cdot 3 = 1,5 $
Für $3$ Äpfel musst du dann also $1,50\,$€ zahlen.

Schreibweise

Funktionen können auf verschiedene Weisen aufgeschrieben werden:
  • Zuordnungsvorschrift: $\,f: x \mapsto 0,5x$
  • Funktionsgleichung: $\,f: y = 0,5x \quad$ oder $\quad f(x) = 0,5x$
Der Teil rechts vom Gleichheitszeichen, in dem Fall also $0,5x$, wird auch Funktionsterm genannt.

Graphische Darstellung

Eine Funktion kann man mit Hilfe eines Funktionsgraphen bildlich darstellen. Dazu benötigt man ein Koordinatensystem. Meistens werden auf der horizontalen Achse die $x$-Werte und auf der vertikalen Achse die $y$-Werte abgetragen. Der Graph von $f$ ist dann die Menge aller möglichen Punkte $(x\mid y)$, bei denen $f$ dem $x$-Wert den $y$-Wert zuordnet.
Hier kannst du zum Beispiel den Graphen der Funktion $y=2x+1$ sehen, in dem ein paar Beispielpunkte eingezeichnet sind:
Funktionen: Einführung
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Aufgaben
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1. Graph einer Funktion
Bestimme die Koordinaten der Punkte aus dem Koordinatensystem. Zeichne die Punkte $P_1(2 \mid 3)$, $P_2(-4 \mid 0)$, $P_3(-0,5 \mid 1,5)$ und $P_4(-3 \mid -2)$ in das Koordinatensystem unten ein.
Funktionen: Einführung
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2.  Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ liegen.
a)  $P(2 \mid ?)$
b)  $Q(-1 \mid ?)$
c)  $T(? \mid 4)$
d)  $A(? \mid -6)$
3.  Überprüfe, ob der angegebene Punkt auf dem Graphen der Funktion $y=-3x+1$ liegt.
a)  $A(0 \mid 0)$
b)  $B(-1 \mid 4)$
c)  $C(3 \mid -8)$
d)  $D(10 \mid -30)$
4.  Gegeben ist die Funktion $y=-x+1$. Bestimme zwei beliebige Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen. Bestimme einen weiteren Punkt, der den $y$-Wert $5$ besitzt.
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Lösungen
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1. Graph einer Funktion
  $\blacktriangleright$ Die x-Werte und dann die y-Werte ablesen
$A\,(2 \mid 2)$; $B\,(-1 \mid 1,5)$; $C\,(0 \mid -1)$; $D\,(-3 \mid 2)$ und $E\,(1 \mid 0,5)$
  $\blacktriangleright$ Punkte ins Koordinatensystem einzeichnen
Wenn du Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, musst du auch hier immer in $x$-Richtung und danach in $y$-Richtung bewegen.
Funktionen: Einführung
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2.  Fehlende Koordinaten bestimmen
Rechne mit der Geradengleichung $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ die fehlenden Koordinaten aus.
a)  $P\,(2 \mid ?)$ - Einsetzen von $x=2$ in die Geradengleichung liefert:
$y=-\dfrac{1}{2}\cdot2+2=-1+2=1$.
Damit liegt der Punkt $P\,(2 \mid 1)$ auf der Geraden.
b)  $Q\,(-1 \mid ?)$ - Einsetzen von $x=-1$ in die Geradengleichung liefert:
$y=-\dfrac{1}{2}\cdot(-1)+2=\dfrac{1}{2}+2=2,5$
Damit liegt der Punkt $Q\,(-1 \mid 2,5)$ auf der Geraden.
c)  $T\,(? \mid 4)$ - Einsetzen von $y=4$ in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}{rll} 4=&-\dfrac{1}{2}x +2&\quad\mid\; -2 \\[5pt] 2=&-\dfrac{1}{2} x&\quad\mid\; :\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] x=&-4 \end{array}$
Damit liegt der Punkt $T\,(-4 \mid 4)$ auf der Geraden.
d)  $A\,(? \mid -6)$ - Einsetzen von $y=-6$ in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}{rll} -6=&-\dfrac{1}{2}x +2&\quad\mid\; -2 \\[5pt] -8=&-\dfrac{1}{2} x&\quad\mid\; :\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] x=&16 \end{array}$
Damit liegt der Punkt $A\,(16 \mid -6)$ auf der Geraden.
3.  Überprüfen, ob der Punkt auf dem Graphen liegt
Um zu überprüfen, ob die Punkte auf der Geraden $ y=-3 x+1$ liegen, setze die Koordinaten der Punkte in die Geradengleichung ein und überprüfe das Ergebnis.
a)   $A\,( 0 \mid 0)$
$\begin{array}{rll} 0 =&-3\cdot 0+1&\quad\\[5pt] 0=&1&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
b)   $B\,(-1 \mid 4)$
$\begin{array}{rll} 4=&-3\cdot(-1)+1&\quad\\[5pt] 4=&4&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden
c)   $C\,( 3 \mid -8)$
$\begin{array}{rll} -8=&-3\cdot3+1&\quad\\[5pt] -8=&-8&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
d)   $D\,( 10 \mid -30)$
$\begin{array}{rll} -30=&-3\cdot10+1&\quad\\[5pt] -30=&-29&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
a)   $A\,( 0 \mid 0)$
$\begin{array}{rll} 0 =&-3\cdot 0+1&\quad\\[5pt] 0=&1&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
b)   $B\,(-1 \mid 4)$
$\begin{array}{rll} 4=&-3\cdot(-1)+1&\quad\\[5pt] 4=&4&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden
c)   $C\,( 3 \mid -8)$
$\begin{array}{rll} -8=&-3\cdot3+1&\quad\\[5pt] -8=&-8&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
d)   $D\,( 10 \mid -30)$
$\begin{array}{rll} -30=&-3\cdot10+1&\quad\\[5pt] -30=&-29&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
4.   Punkte bestimmen
Setze zwei verschiedene $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein.
Zum Beispiel $x=2$ eingesetzt in $y=-x+1$ liefert $y=-2+1=-1$ $\Longrightarrow\;P\,(2 \mid -1)$.
$x=-3$ eingesetzt in $y=-x+1$ liefert $y=-(-3)+1=4$ $\Longrightarrow\;Q\,(-3 \mid 4)$
Damit hast du die Koordinaten zweier Punkte \(P\,(2 \mid -1)\) und \(Q\,(-3 \mid 4)\) bestimmt, die auf dem Schaubild der gegebenen Funktion liegen. Du hättest hier natürlich auch andere \(x\)-Werte wählen können.
Bestimmung des Punktes mit $\boldsymbol{y=5}$
$y=5$ eingesetzt in $y=-x+1$ liefert:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 5=&-x+1&& \mid\; -1\\[5pt] 4=&-x&& \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] x=&-4&& \\[5pt] \end{array}$
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