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Du hast die natürliche Exponentialfunktionen allgemein in dieser Form gegeben:
$f(x)=a\cdot \mathrm e^{\;c \cdot x}+d$
$f(x)=a\cdot \mathrm e^{\;c\cdot x}+d$
Der Graph der Funktion sieht so aus:
Exponentialfunktion: Eigenschaften
Exponentialfunktion: Eigenschaften
Hier sind $a=1$, $c=1$ und $d=0$.

Definitions- und Wertebereich

Eine Exponentialfunktion ist auf gesamt $\mathbb R$ definiert. Der Definitionsraum ist somit $\mathbb D = \{\mathbb R\}$.
Ist $a$ positiv, so ist der Wertebreich durch alle positiven Zahlen gegeben $\mathbb W =\mathbb R^+$. Ist $a$ negativ, so ist der Wertebereich $\mathbb W =\mathbb R^-$. Das gilt nur solange $d=0$ ist. Ändert sich $d$, verändert sich auch der Wertebereich.

Verhalten für $\boldsymbol{x\to\pm\infty}$

Sind $a$ und $c$ positiv, sowie $d=0$, so gilt:
Geht $x$ gegen $\infty$, so konvergiert auch der Funktionswert $f(x)$ gegen $\infty$.
$\lim\limits_{x\to\infty} a\cdot \mathrm e^{c\cdot x}=\infty$
Geht $x$ gegen $-\infty$, so strebt der Funktionswert $f(x)$ gegen $0$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} a\cdot \mathrm e^{c\cdot x}=0$.
Ist $a$ negativ, so ist der Graph an der $x$-Achse gespiegelt, dementsprechend ändert sich das Vorzeichen des Grenzwertes.
Ist $c$ negativ, so ist der Graph an der $y$-Achse gespiegelt, die Grenzwerte sind dadurch vertauscht.

Schnittstellen mit den Achsen

Ist der Graph der Exponentialfunktion nicht verschoben, so schneidet er die $x$-Achse nicht. Die Gleichung $\mathrm e^x=0$ hat somit keine Lösung.
Die Schnittstelle des Graphen mit der $y$-Achse ist an der Stelle $x=0$. Der Funktionswert ist $\mathrm a\cdot e^0+d=a+d$. Der Punkt $S\,(\, 0 \, | \, a +d\, )$ ist der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
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Aufgaben
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1.
$\boldsymbol{f(x)=2\cdot \mathrm e^x}$
a)
Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.
b)
Ermittle die Steigung des Graphen an der Stelle $x=4$.
2.
$\boldsymbol{g(x)=-\mathrm e^{2x}}$
a)
Gib den Wertebereich der Funktion an.
b)
Bestimme das Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x\to \pm \infty}$.
3.
$\boldsymbol{h(x)=-3 \cdot \mathrm e^{0,5\cdot x}}$
a)
Ermittle die Steigung des Graphen an der Stelle $x=1$.
b)
Bestimme alle Extremstellen des Graphen der Funktion.
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Lösungen
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1.
$\boldsymbol{f(x)=2\cdot \mathrm e^x}$
a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte bestimmen
Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \mathrm e^x = 0\\[5pt] \end{array}$
Hat keine Lösung. Daher gibt es keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x=0$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot \mathrm e^x \\[5pt] f(x)&=& 2 \cdot \mathrm e^0 &= 2 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $S\,(\, 0 \, | \, 2 \,)$ ist der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse.
b)
$\blacktriangleright$ Steigung ermitteln
1. Schritt: Bilde die Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2 \cdot \mathrm e^x \\[5pt] f'(x) &=& 2\cdot \mathrm e^x\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Setze $x=4$ in den Term der Ableitung ein.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \mathrm e^4 \approx 109,2\\[5pt] \end{array}$
Die Steigung an der Stelle $x=4$ beträgt etwa $109,2$.
2.
$\boldsymbol{g(x)=-\mathrm e^{2x}}$
a)
$\blacktriangleright$ Wertebereich angeben
Hier ist $a=-1$ und somit negativ. Der Wertebereich ist deshalb $\mathbb W=\mathbb R^-$.
b)
$\blacktriangleright$ Verhalten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x \to \infty}-\mathrm e^{2x} &=& -\infty\\[5pt] \lim\limits_{x \to -\infty} - \mathrm e^{2x} &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
3.
$\boldsymbol{h(x)=-3\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x}}$
a)
$\blacktriangleright$ Steigung ermitteln
1. Schritt: Ableitung bilden:
$\begin{array} h(x)&=& -3 \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot x}\\[5pt] h'(x) &=& 0,5 \cdot (-3) \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot x} \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot x}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Setze $x=1$ in den Term der Ableitung ein.
$\begin{array}[t]{rll} 1,5 \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot 1}&\approx& -2,47\\[5pt] \end{array}$
Die Steigung an der Stelle $x=1$ beträgt circa $-2,47$.
b)
$\blacktriangleright$ Bestimme Extremstellen
Du hast bereits die Ableitung gebildet. Die notwendige Bedingung für Extremstellen ist $h'(x)=0$. Löse diese Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) &=& -1,5 \cdot \mathrm e^{0,5\cdot x}\\[5pt] h'(x) &=& 0 \\[5pt] -1,5 \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot x}&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle, somit gibt es keine Extremstellen.
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