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Streckung

Spickzettel
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Ist eine Exponentialfunktion in der Form $\boldsymbol{a\cdot \mathrm e^{c\cdot x}}$ gegeben, so kannst du mit den Parametern $a$ und $c$ den Graphen strecken oder stauchen.

Streckung in $\boldsymbol{x}$-Richtung

Willst du den Graphen einer Exponentialfunktion in $x$-Richtung strecken, muss für den Faktor $0\lt c \lt 1$ gelten. Soll der Graph der Funktion in $x$-Richtung gestaucht werden, so muss $c$ echt größer als $1$ sein. Der Streckfaktor ist $\frac{1}{c}$. Der Streckfaktor gibt an, bei dem Wievielfachen $x$-Wert der selbe $y$-Wert erreicht wird.

Beispiel

Der Graph der Funktion $g(x)=\mathrm e^{0,5 \cdot x}$ ist der um den Faktor $\frac{1}{0,5}=2$ in $x$-Richtung gestreckte Graph der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$. Das heißt, dass $f(k)=g(2\cdot k)$.
Der Graph der Funktion $h(x)=\mathrm e^{5\cdot x}$ ist der um den Faktor $\frac{1}{5}=0,2$ in $x$-Richtung gestauchte Graph der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$. Das heißt, dass $f(k)=h\,(\, 0,2\cdot k)$.

Streckung in $\boldsymbol{y}$-Richtung

Soll der Graph einer Exponentialfunktion in $y$-Richtung gestreckt werden, so muss $a$ echt größer $1$ sein. Soll der Graph in $y$-Richtung gestaucht werden, so muss gelten: $0\lt a \lt 1$. Der Streckfaktor ist $a$. Der Streckfaktor gibt an, bei dem Wievielfachen $y$ Wert der selbe $x$ Wert erreicht wird.

Beispiel

Der Graph der Funktion $g_2(x)=2\cdot \mathrm e^x$ ist der um den Faktor $2$ in $y$-Richtung gestreckte Graph der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$. Es gilt, dass $2\cdot f(x)=g_2(x)$.
Der Graph der Funktion $h_2(x)=0,5 \cdot \mathrm e^x$ ist der um den Faktor $0,5$ in $y$-Richtung gestauchte Graph der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$. Es gilt, dass $0,5\cdot f(x)=h_2(x)$.
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Aufgaben
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1.
$\boldsymbol{f(x)= \mathrm e^x}$
a)
Bestimme die Funktionsgleichung für den um den Faktor $2$ in $y$-Richtung gestreckten Graph, der aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgeht.
b)
Ermittle die Funktionsgleichung für den um den Faktor $3$ in $x$-Richtung gestreckten Graph, der aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgeht.
2.
$\boldsymbol{g(x)=\frac{1}{4} \cdot \mathrm e^{2\cdot x}}$
Wie geht der Graph der Funktion $g$ aus dem Graphen der Funktion $f$ hervor?
3.
$\boldsymbol{h(x)}$
Bestimme, wie der Graph der Funktion $h$ aus dem Graphen der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$ hervorgeht.
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Lösungen
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1.
$\boldsymbol{f(x)=\mathrm e^x}$
a)
In $\boldsymbol{y}$-Richtung strecken
Für den Faktor $a$ gilt $a=2$, damit um den Streckfaktor $2$ in $y$-Richtung gestreckt wird:
$f_2(x)=2\cdot \mathrm e^x$.
b)
In $\boldsymbol{x}$-Richtung strecken
Soll der Graph um den Streckfaktor $3$ in $x$-Richtung gestreckt werden, dann muss gelten: $3=\frac{1}{c}$. Das ist dann der Fall, wenn $c=\frac{1}{3}$.
$f_3(x)=\mathrm e^{\frac{1}{3}x}$.
2.
$\boldsymbol{g(x)=\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2x}}$
Der Faktor $a=\frac{1}{4}$ bewirkt eine Stauchung in $y$-Richtung um den Faktor $\frac{1}{4}$. Der Faktor $c=2$ bewirkt eine Stauchung in $x$-Richtung um den Faktor $\frac{1}{2}=0,5$.
3.
$\boldsymbol{h(x)}$
1. Schritt: Bilde Linien parallel zu den Achsen
Zeichne jeweils mindestens $2$ Linien, die parallel zur $x$- und $y$-Achse verlaufen:
2. Schritt: Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von Graphen der Funktionen und der Geraden
Betrachte zunächst die Abstände der Schnittpunkte der Geraden $a$ und $b$: Die Schnittpunkte sind $A_f$, $A_h$, $B_f$ und $B_h$.
$d\left(A_f, A_h \right)\approx 0,7\\[5pt] d\left(B_f , B_h \right) \approx 0,7\\[5pt]$
Die Abstände bleiben gleich. Das heißt, dass es keine Streckung in $x$-Richtung gibt.
Betrachte jetzt die Abstände der Schnittpunkte der Geraden $c$ und $d$ mit den Graphen der Funktion: Die Schnittpunkte sind $C_f$, $C_h$, $D_f$ und $D_h$.
$d\left(C_f, C_h \right) \approx 1,4\\[5pt] d\left(D_f, D_h \right) \approx 3,8\\[5pt]$
Der Abstand ändert sich. Das heißt, dass es eine Streckung oder Stauchung in $y$-Richtung gibt.
3. Schritt: Bestimme den Streckfaktor in $\boldsymbol{y}$-Richtung:
Bilde dazu den Quotienten der Funktionswerte von $f$ und $h$ bei einem Wert $x_0$:
$\dfrac{h(1)}{f(1)}=\dfrac{h(2)}{f(2)}\approx 0,5$
Der Streckfaktor in $y$-Richtung ist $\frac{1}{2}=0,5$.
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