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Aufgaben
Lösungen PLUS
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1.
$\boldsymbol{g(x)= 3\cdot \mathrm e^{x-2}+1}$
a)
Bestimme die Funktionswerte an den Stellen $x=3$, $x=5$ und $x=-1$.
b)
Beschreibe, wie der Graph der Funktion $g$ aus dem Graphen der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$ hervorgeht.
c)
Bestimme die Ableitung der Funktion $g$ sowie die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x=0$.
2.
Kaninchen
Eine Gruppe Kaninchen besteht aus $12$ Kaninchen. Jedes Jahr verdreifacht sich die Anzahl an Kaninchen.
a)
Bestimme eine Funktion $h$, die die Anzahl der Kaninchen nach $x$ Jahren beschreibt.
b)
Bestimme die Anzahl an Kaninchen nach $5$ Jahren.
c)
Nach wie vielen Jahren steigt die Anzahl an Kaninchen auf über $10.000$?
3.
$\boldsymbol{i(x)}$
a)
Bestimme den Funktionsterm $i(x)$, sodass der Graph der Funktion $i$ der um $3$ Einheiten in positive $y$-Richtung verschobene Graph der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$ ist.
b)
Bestimme die Ableitung der Funktion $i$.
c)
Bestimme das Verhalten des Funktionswerts von $i$ für $x\to \pm \infty$.
4.
Atommüll
Strontium-90 ist ein radioaktives Isotop, das mit einer Halbwertszeit von knapp $30$ Jahren zerfällt. Das bedeutet, dass sich alle $30$ Jahre die Aktivität halbiert.
a)
Die anfängliche Aktivität einer Probe Strontium-90 liegt bei $1.500.000.000\,\text{Bq}$. Wie hoch ist die Aktivität nach $100$ Jahren?
b)
Wann fällt die Aktivität auf unter $1.000.000\,\text{Bq}$ ?
c)
Die Probe gilt als ungefährlich, wenn die Aktivität auf $100\,\text{Bq}$ herabgefallen ist. Wie lange dauert es bis die Probe als ungefährlich gilt?
5.
Bakterien
a)
Eine Bakterienkultur hat einen Anfangsbestand von ca. $12.000$ Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdreifacht sich jeden Tag. Stelle eine Funktion $k$ auf, die die Anzahl an Bakterien nach $x$ Tagen beschreibt.
b)
Wie viele Bakterien gibt es nach $10$ Tagen?
c)
Die Bakterienkultur ist in einer Schale, die Platz für maximal $10.000.000.000$ Bakterien bietet. Nach wie vielen Tagen ist der Platz vollständig ausgenutzt?
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