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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
$\boldsymbol{g(x)= 3\cdot \mathrm e^{x-2}+1}$
a)
Bestimme die Funktionswerte an den Stellen $x=3$, $x=5$ und $x=-1$.
b)
Beschreibe, wie der Graph der Funktion $g$ aus dem Graphen der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$ hervorgeht.
c)
Bestimme die Ableitung der Funktion $g$ sowie die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x=0$.
2.
Kaninchen
Eine Gruppe Kaninchen besteht aus $12$ Kaninchen. Jedes Jahr verdreifacht sich die Anzahl an Kaninchen.
a)
Bestimme eine Funktion $h$, die die Anzahl der Kaninchen nach $x$ Jahren beschreibt.
b)
Bestimme die Anzahl an Kaninchen nach $5$ Jahren.
c)
Nach wie vielen Jahren steigt die Anzahl an Kaninchen auf über $10.000$?
3.
$\boldsymbol{i(x)}$
a)
Bestimme den Funktionsterm $i(x)$, sodass der Graph der Funktion $i$ der um $3$ Einheiten in positive $y$-Richtung verschobene Graph der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$ ist.
b)
Bestimme die Ableitung der Funktion $i$.
c)
Bestimme das Verhalten des Funktionswerts von $i$ für $x\to \pm \infty$.
4.
Atommüll
Strontium-90 ist ein radioaktives Isotop, das mit einer Halbwertszeit von knapp $30$ Jahren zerfällt. Das bedeutet, dass sich alle $30$ Jahre die Aktivität halbiert.
a)
Die anfängliche Aktivität einer Probe Strontium-90 liegt bei $1.500.000.000\,\text{Bq}$. Wie hoch ist die Aktivität nach $100$ Jahren?
b)
Wann fällt die Aktivität auf unter $1.000.000\,\text{Bq}$ ?
c)
Die Probe gilt als ungefährlich, wenn die Aktivität auf $100\,\text{Bq}$ herabgefallen ist. Wie lange dauert es bis die Probe als ungefährlich gilt?
5.
Bakterien
a)
Eine Bakterienkultur hat einen Anfangsbestand von ca. $12.000$ Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdreifacht sich jeden Tag. Stelle eine Funktion $k$ auf, die die Anzahl an Bakterien nach $x$ Tagen beschreibt.
b)
Wie viele Bakterien gibt es nach $10$ Tagen?
c)
Die Bakterienkultur ist in einer Schale, die Platz für maximal $10.000.000.000$ Bakterien bietet. Nach wie vielen Tagen ist der Platz vollständig ausgenutzt?
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Lösungen
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1.
$\boldsymbol{g(x)= 3\cdot \mathrm e^{x-2}+1}$
a)
Setze die Werte $x=3$, $x=5$ und $x=-1$ in den Funktionsterm ein:
$\begin{array}[t]{lll} g(x)&=& 3 \cdot \mathrm e^{x-2} +1 \\[5pt] g(3)&=& 3 \cdot \mathrm e^{3-2} +1 &\approx 9,2 \\[5pt] g(5)&=& 3 \cdot \mathrm e^{5-2} +1 &\approx 61,3 \\[5pt] g(-1)&=& 3 \cdot \mathrm e^{(-1)-2} +1 &\approx 1,1 \\[5pt] \end{array}$
b)
Der Graph von $g$ ist um $1$ Einheit in Richtung der positiven $y$-Achse verschoben. Zudem ist er um $2$ Einheiten in Richtung der positiven $x$-Achse verschoben. Außerdem ist er um den Faktor $3$ in $y$-Richtung gestreckt.
c)
Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion, indem du die Exponentialfunktion stehen lässt und mit der Ableitung des Exponenten multiplizierst. Die Steigung an der Stelle $x=0$ erhältst du, indem du den $x$-Wert in den Term der Ableitung einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 3 \cdot \mathrm e^{x-2} + 1 \\[5pt] g'(x)&=& 3 \cdot \mathrm e^{x-2} \\[5pt] g'(0)&=& 3 \cdot \mathrm e^{0-2} &\approx 0,4 \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $g$ hat an der Stelle $x=0$ eine Steigung von ungefähr $0,4$.
2.
Kaninchen
Eine Gruppe Kaninchen besteht aus $12$ Kaninchen. Jedes Jahr verdreifacht sich die Anzahl an Kaninchen.
a)
Hier ist der Anfangswert $a=12$ geben. Die Basis ist $3$, da sich die Kaninchen verdreifachen. Die Funktionsgleichung lautet dann:
$h(x)=12\cdot 3^x$
b)
Setze den Wert $x=5$ in die Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 12\cdot 3^x\\[5pt] h(5)&=& 12\cdot 3^5 &= 2.916\\[5pt] \end{array}$
Nach $5$ Jahren gibt es voraussichtlich $2.916$ Kaninchen.
c)
Setze den Funktionsterm mit $10.000$ gleich und verwende die Logarithmusfunktion, um das Problem zu lösen:
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 3^x&=&10.000 &\quad\mid\; \scriptsize :12\\[5pt] 3^x &\approx& 833,33 &\quad\mid\; \scriptsize \log_3 \\[5pt] \log_3\left(3^x\right)&\approx& \log_3(833,33) \\[5pt] x&\approx& 6,1\\[5pt] \end{array}$
Nach ca. $6,1$ Jahren steigt die Anzahl an Kaninchen auf über $10.000$ Exemplare.
3.
$\boldsymbol{i(x)}$
a)
Die Funktion $f$ hat den Funktionsterm $f(x)=\mathrm e^x$. Zum Verschieben des Graphen um $3$ Einheiten in positive $y$-Richtung musst du $3$ zum Funktionsterm addieren:
$i(x)= \mathrm e^x +3$
b)
Bei der Ableitung fallen konstante Terme weg:
$\begin{array}[t]{lll} i(x)&=&\mathrm e^x +3 \\[5pt] i'(x)&=&\mathrm e^x \\[5pt] \end{array}$
c)
Bilde die Grenzwerte:
$\begin{array}[t]{lll} \lim\limits_{x\to\infty}\left(\mathrm e^x +3\right)&=& \infty \\[5pt] \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\mathrm e^x +3\right)&=& 0+3 &=3 \\[5pt] \end{array}$
Für $x\to\infty$ steigt der Funktionswert ebenfalls gegen $\infty$. Für $x\to - \infty$ strebt der Funktionswert gegen $3$.
4.
Atommüll
Strontium-90 ist ein radioaktives Isotop, das mit einer Halbwertszeit von knapp $30$ Jahren zerfällt. Das bedeutet, dass sich alle $30$ Jahre die Aktivität halbiert.
a)
Stelle zunächst einen Funktionsterm auf, der den Sachverhalt beschreibt. Die Basis ist $\frac{1}{2}$, da sich die Aktivität jeweils halbiert. Im Exponenten steht $\frac{x}{30}$, da sich erst alle $30$ Jahre die Aktivität halbiert. Der Anfangswert ist $1.500.000.000$. Der Funktionsterm lautet:
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& 1.500.000.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{x}{30}}\\[5pt] \end{array}$
Setze $x=100$ in den Funktionsterm ein, um die Aktivität nach $100$ Jahren zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A(100)&=&1.500.000.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{100}{30}}\\[5pt] &=&\approx 150.000.000\\[5pt] \end{array}$
Die Aktivität nach $100$ Jahren beträgt noch etwa $150.000.000\,\text{Bq}$.
b)
Setze den Funktionsterm mit $1.000.000$ gleich, um die Lösung berechnen zu können:
$\begin{array}[t]{rll} 1.500.000.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{x}{30}}&=&1.000.000 &\quad\mid\; \scriptsize :1.500.000.000 \\[5pt] \dfrac{1}{2}^{\frac{x}{30}}&=& \dfrac{1}{1.500} &\quad\mid\; \scriptsize \log_{\frac{1}{2}} \\[5pt] \dfrac{x}{30} \cdot \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)&=& \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{1.500}\right)\\[5pt] \dfrac{x}{30} &\approx& 10,55 &\quad\mid\; \scriptsize \cdot 30 \\[5pt] x &\approx& 316,5\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{ll} 1.500.000.000 \cdot \frac{1}{2}^{\frac{x}{30}}\;=\;1.000.000 \\[5pt] x \;\approx\; 316,5\\[5pt] \end{array}$
Nach ca. $316,5$ Jahren ist die Aktivität auf unter $1.000.000\,\text{Bq}$ gefallen.
c)
Gehe gleich wie im Aufgabenteil b) vor:
$\begin{array}[t]{rll} 1.500.000.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{x}{30}}&=& 100 &\quad\mid\; \scriptsize :1.500.000.000 \\[5pt] \dfrac{1}{2}^{\frac{x}{30}}&=& \dfrac{1}{15.000.000} &\quad\mid\; \scriptsize \log_{\frac{1}{2}} \\[5pt] \dfrac{x}{30} \cdot \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)&=& \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{15.000.000}\right)\\[5pt] \dfrac{x}{30} &\approx& 23,84 &\quad\mid\; \cdot \scriptsize 30 \\[5pt] x &\approx& 715,2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} 1.500.000.000 \cdot \dfrac{1}{2}^{\frac{x}{30}}&=& 100 \\[5pt] x \;\approx\; 715,2 \\[5pt] \end{array}$
Nach etwa $715,2$ Jahren ist die Aktivität ungefährlich.
5.
Bakterien
a)
Die Basis der Exponentialfunktion ist $3$, da sich die Anzahl jeweils verdreifacht. Der Exponent ist $x$ in Tagen. Der Anfangswert ist $12.000$. Der Funktionsterm ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} k(x)&=&12.000 \cdot 3^{x}\\[5pt] \end{array}$
b)
Setze $x=10$ in den Funktionsterm ein, um die Anzahl der Bakterien zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} k(10)&=& 12.000 \cdot 3^{10} \\[5pt] &= & 708.588.000\\ \end{array}$
Nach $10$ Tagen sind etwa $708.588.000$ Bakterien in der Probe.
c)
Setze den Funktionsterm mit $10.000.000.000$ gleich, um die Lösung bestimmen zu können:
$\begin{array}[t]{rll} 12.000 \cdot 3^x&=&10.000.000.000 &\quad\mid\; \scriptsize :12.000\\[5pt] 3^x&\approx& 833.333 &\quad\mid\; \scriptsize \log_3 \\[5pt] x\cdot \log_3(3) &\approx& \log_3(833.333) \\[5pt] x &\approx& 12,4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} 12.000 \cdot 3^x&=&10.000.000.000 \\[5pt] x \;\approx\; 12,4 \\[5pt] \end{array}$
Nach $12,4$ Tagen ist der verfügbare Platz beansprucht.
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