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Funktionsgleichungen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Tipp
Lineare Funktionen haben Funktionsgleichungen der Form $y=m \cdot x + t$. Der Graph der Funktion schneidet den Ursprung nicht.
Tipp
Lineare Funktionen haben Funktionsgleichungen der Form $y=m \cdot x + t$. Der Graph der Funktion schneidet den Ursprung nicht.
Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Wasserkosten
Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Wasserkosten
#linearefunktion

Aufgabe 1

In einer anderen Gemeinde liegen die Kosten pro Kubikmeter Wasser bei $0,50\,\text{€}$. Die Grundkosten liegen bei $3,00\,\text{€}$.
a)
Erstelle eine Wertetabelle, nutze die Tabelle aus der Einführungsaufgabe als Vorlage.
b)
Zeichne zwei Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichne einen für die Verbrauchskosten und einen für die Gesamtkosten.
c)
Gib für beide Graphen aus Teil b) die Funktionsgleichungen an.
#linearefunktion#graph

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Werte mit der Funktionsgleichung.
b)
$y=\frac{1}{2}x+1$
$x$$0$$1$$5$
$y$$3$$9$
#linearefunktion

Aufgabe 3

Stelle die Funktionsgleichungen auf und bestimme die fehlenden Werte. Bestimme dazu zuerst den Parameter $t$ und dann die Proportionalitätskonstante $m$.
a)
Zeit in $\text{min}$$0$$5$$10$$20$$100$
Kosten in $\text{€}$$5$$15$
b)
Strecke in $\text{km}$$0$$10$$50$
Kilometergebühr in $\text{€}$$0$$5$
Gesamtkosten in $\text{€}$$10$$15$$50$
#proportional

Aufgabe 4

a)
Lege eine Wertetabelle mit den $x$-Werten: $0, 1, 2, …, 8$ für die Funktion $y=-\frac{1}{2}x+8$ an.
b)
Zeichne den Graphen der Funktion $y=-\frac{1}{2}x+8$.
#graph
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Der Graph B beginnt schneidet den Ursprung des Koordinatensystems und steigt linear an. Bei einem Verbrauch von $0$ Litern Wasser fallen somit kosten von $0$ Euro an. Er zeigt die Verbrauchskosten.
Der Graph A schneidet die $y$-Achse bei $y=2$ und steigt linear an. Bei einem Verbrauch von Null Litern Wasser fallen bereits Kosten in Höhe von $2\,\text{€}$ an. Bei Graph A wurde der Grundbetrag also schon vor dem ersten Kubikmeter Wasser berechnet. Damit zeigt Graph A die Gesamtkosten.
b)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Wasserverbrauch in $\text{m}^3$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$
Verbrauchskosten in $\text{€}$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$
Gesamtkosten in $\text{€}$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$$11$$12$
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
(1)
$y=3x+2$
Der Graph der Funktion (1) hat die Steigung $3$. Beide Graphen im Diagramm haben jedoch die Steigung $1$.
(2)
$y=x+3$
Der Graph der Funktion (2) schneidet die $y$-Achse bei $y=3$. Weder Graph A noch Graph B schneiden jedoch den Punkt $(0 \mid 3)$.
(3)
$y=x+2$
Der Graph der Funktion (3) hat die Steigung $1$. Wenn du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt, so erhältst du $y=2$:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x+2 & \\[5pt] y&=& 0+2 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
Der Graph schneidet die $y$-Achse somit bei $y=2$. Hier handelt es sich um Graph A.
(4)
$y=1x$
Der Graph der Funktion (4) hat die Steigung $1$. Wenn du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt, so erhältst du $y=0$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 1\cdot x & \\[5pt] y&=& 1\cdot 0 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
Der Graph schneidet die $y$-Achse also im Ursprung. Der Graph zu Funktion (4) ist B.
d)
$\blacktriangleright$  Kosten bestimmen
Um die Gesamtkosten bei einem Verbrauch von $15\,\text{m}^3$ zu bestimmen, setzt du $x=15$ in die Funktionsgleichung von Graph A ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x+2& \\[5pt] y&=& 15+2& \\[5pt] y&=& 17& \\[5pt] \end{array}$
Die Gesamtkosten bei einem Verbrauch von $15\,\text{m}^3$ liegen bei $17\,€$.
#funktionswert#funktionsgleichung#graph

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
Wasserverbrauch in $\text{m}^3$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$
Verbrauchskosten in $\text{€}$$0$$0,5$$1$$1,5$$2$$2,5$$3$$3,5$$4$$4,5$$5$
Gesamtkosten in $\text{€}$$3$$3,5$$4$$4,5$$5$$5,5$$6$$6,5$$7$$7,5$$8$
b)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Um die beiden Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem zu zeichnen, wählst du als erstes ein geeignetes Koordinatensystem aus. Dazu liest du den Wertebereich von $x$ und $y$ aus der Wertetabelle ab. Der Wertebereich der $x$-Achse liegt dabei zwischen $x=0$ und $x=10$. Der Wertebereich der $y$-Achse liegt zwischen $y=0$ und $y=8$. Im nächsten Schritt zeichnest du die Wertepaare aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest sie durch eine Gerade.
Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Graph der Wasserkosten
Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 1: Graph der Wasserkosten
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen aufstellen
Der Graph B verläuft durch den Ursprung. Es handelt sich also um eine proportionale Funktion. Die Proportionalitätskonstante von Graph B (Steigung) bestimmst du mithilfe eines Steigungsdreiecks.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\frac{y}{x} & \\[5pt] m&=&\frac{1}{2} & \\[5pt] m&=& 0,5 & \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung für den Graphen B lautet: $y=0,5x$.
Der Graph der Funktion A entsteht durch parallelverschiebung entlang der $y$-Achse aus dem Graphen der Funktion B. Anhand des Achsenabschnitts erkennst du das die Verschiebung von $B$ um $3\,\text{LE}$ den Graphen $A$ ergibt.
Die Funktionsgleichung für den Graphen A lautet: $y=0,5x+3$.
#funktionsgleichung

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{y}$-Werte berechnen
Um die $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=2x+4$ zu berechnen setzt du den $x$-Wert in die Gleichung ein und bestimmst $y$.
$x$$0$$1$$2$$5$$9$
$y$$4$$6$$8$$14$$22$
b)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$-Werte berechnen
Um die $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=\frac{1}{2}x+1$ zu bestimmen gehst du wie in Aufgabenteil a) vor. Um die $x$-Werte zu bestimmen, musst du die Funktion nach $x$ umstellen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{1}{2}x+1 & \\[5pt] y-1&=&\frac{1}{2}x& \\[5pt] 2 \cdot (y-1)&=& x & \\[5pt] x&=& 2\cdot (y-1) & \\[5pt] x&=& 2y-2 & \\[5pt] \end{array}$
$x$$0$$1$$\,4\,$$5$$16$
$y$$1$$1,5$$3$$3,5$$9$
#funktionswert

Aufgabe 3

Stelle die Funktionsgleichungen auf und bestimme die fehlenden Werte. Bestimme dazu zuerst den Parameter $t$ und dann die Proportionalitätskonstante $m$.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Den Wert von $t$ kannst du in der ersten Spalte ablesen. Bei $0$ Minuten fallen bereits Kosten in Höhe von $5\;\text{€}$ an. Es gilt also: $t=5$
Für die ersten $5$ Minuten fallen zusätzliche Kosten in Höhe von $10\,\text{€}$ an ($15\,\text{€}-5\,\text{€}$ Festkosten). Jetzt kannst du die Proportionalitätskonstante $m$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{10\,\text{€}}{5\,\text{min}}&\ \\[5pt] m&=& 2 &\ \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet somit: $y=2x+5$
Durch einsetzen der Anzahl der verstrichenen Minuten $x$ kannst du jetzt die Kosten bestimmen.
$\blacktriangleright$  Werte bestimmen
Für $x=10\,\text{min}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+5 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 10 +5 & \\[5pt] y&=& 25 & \\[5pt] \end{array}$
Für $x=20\,\text{min}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+5 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 20 +5 & \\[5pt] y&=& 45 & \\[5pt] \end{array}$
Für $x=100\,\text{min}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+5 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 100 +5 & \\[5pt] y&=& 205 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Tabelle ausfüllen
Zeit in $\text{min}$$0$$5$$10$$20$$100$
Kosten in $\text{€}$$5$$15$$25$$45$$205$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Um die Funktionsgleichung aufzustellen, musst du die Werte für $m$ und $t$ bestimmen.
Den Wert von $t$ kannst du in der ersten Spalte der Tabelle ablesen. Bei $0$ $\text{km}$ fallen bereits Kosten in Höhe von $10\;\text{€}$ an.Es gilt also: $t=10$.
Für die Fahrt von $10$ $\text{km}$ fallen zusätzliche Kosten in Höhe von $5\,\text{€}$ an. Jetzt kannst du die Proportionalitätskonstante $m$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{5}{10}&\ \\[5pt] m&=& 0,5 &\ \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Kilometergebühren lautet somit: $y_k=0,5x$
Die Funktionsgleichung der Gesamtkosten lautet somit: $y_g=0,5x+10$
Durch Einsetzen der Anzahl der gefahrenen Kilometer $x$ kannst du jetzt die Kosten bestimmen.
Wenn du die Kilometergebühren $y_k$ gegeben hast und die Länge der zurückgelegten Strecke $x$ bestimmen willst, so musst du die Gleichung umstellen.
$\begin{array}[t]{rll} y_k&=& 0,5x & \\[5pt] 2y_k&=& x & \\[5pt] x&=& 2y_k & \\[5pt] \end{array}$
Die Gesamtkosten $y_g$ setzen sich aus den Kilometerkosten $y_k$ und der Grundgebühr zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} y_g&=& y_k + 10 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Werte bestimmen
Berechne die Kilometergebühren und die Gesamtkosten bei $50$ gefahrenen Kilometern, indem du für $x=50$ den Funktionswert $y$ berechnest.
Kilometergebühren:
$\begin{array}[t]{rll} y_k&=& 0,5 x & \\[5pt] y_k&=& 0,5 \cdot 50 & \\[5pt] y_k&=& 25 & \\[5pt] \end{array}$
Gesamtkosten
$\begin{array}[t]{rll} y_g&=& 0,5 x +10& \\[5pt] y_g&=& 0,5 \cdot 50 +10& \\[5pt] y_g&=& 35 & \\[5pt] \end{array}$
Berechne die Länge der zurückgelegten Strecke $x$ und die Kilometergebühr $y_k$ bei Gesamtkosten $y_g$ von $50$ Euro.
Zuerst berechnest du die Kilometergrbühren aus den Gesamtkosten.
$\begin{array}[t]{rll} y_k&=& y_g -10 & \\[5pt] y_k&=& 50 -10 & \\[5pt] y_k&=& 40 & \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannnst du die Anzahl der gefahrenen Kilometer bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 2y_k & \\[5pt] x&=& 2\cdot 40 & \\[5pt] x&=& 80 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Tabelle ausfüllen
Strecke in $\text{km}$$0$$10$$50$$80$
Kilometergebühr in $\text{€}$$0$$5$$25$$40$
Gesamtkosten in $\text{€}$$10$$15$$35$$50$
#funktionsgleichung#funktionswert

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
Setze die $x$-Werte in die Gleichung ein, um die $y$-Werte zu bestimmen.
$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
$y$$8$$7,5$$7$$6,5$$6$$5,5$$5$$4,5$$4$
b)
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Um den Graph der Funktion zu zeichnen, zeichnest du zwei Wertepaare aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und legst eine Gerade durch diese zwei Punkte.
Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 2: Graph der Funktion
Funktionen: Funktionsgleichungen
Abb. 2: Graph der Funktion
#graph
Bildnachweise [nach oben]
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