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Funktionsgleichungen aufstellen

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Abb. 1: Lineare Funktion
Abb. 1: Lineare Funktion
Bildnachweise [nach oben]
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1.
Stelle die Funktionsgleichung der einzelnen Geraden auf.
Abb. 1: Verschiedene Geraden
Abb. 1: Verschiedene Geraden
2.
Gegeben ist die Funktionsgleichung $y=mx$. Bestimme die Steigung $m$ so, dass der Punkt auf der Geraden liegt.
b)
$B(3\mid -0,75)$
3.
Bestimme die Geradengleichung
b)
$m=-1$; $P(-2\mid 4)$
d)
$b=-1$; $P(3\mid -4)$
4.
Abb. 2: Blue Fire Megacoaster
Abb. 2: Blue Fire Megacoaster
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
[2]
https://de.wikipedia.org/wiki/Blue_Fire_Megacoaster#/media/File:BlueFire_launch.jpg – Versgui CC BY-SA.
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1.
Geradengleichung bestimmen
Beim Aufstellen einer Funktionsgleichung muss zuerst auf den $y$-Achsenabschnitt geachtet werden. Denn von diesem ausgehend kann die Steigung ermittelt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist $y=mx+b$.
Abb. 1: Funktionsgraph 1
Abb. 1: Funktionsgraph 1
Abb. 2: Funktionsgraph 2
Abb. 2: Funktionsgraph 2
Abb. 3: Funktionsgraph 3
Abb. 3: Funktionsgraph 3
Abb. 4: Funktionsgraph 4
Abb. 4: Funktionsgraph 4
2.
Geradengleichung bestimmen
a)
Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss die Funktionsgleichung $y=m x$ erfüllt sein.
Einsetzen von $A(2\mid4)$ in $y=mx$
$P$ eingesetzt in $y=2x+b$
$\begin{array}{rll} 4&=&m\cdot2&\quad\mid\; :2\\[5pt] 2&=&m\\[5pt] \end{array}$
Damit ist die gesuchte Gerade $y=2x$.
b)
Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss die Funktionsgleichung $y=m x$ erfüllt sein.
Einsetzen von $B(3\mid-0,75 )$ in $y=mx}$
$P$ eingesetzt in $y=2x+b$
$\begin{array}{rll} -0,75&=&m\cdot3&\quad\mid\; :3 \\[5pt] -\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}&=&m \\[5pt] -\dfrac{3}{12}=-\dfrac{1}{4}&=&m\\[5pt] \end{array}$
Damit ist die gesuchte Gerade $y=-\dfrac{1}{4}x$.
3.
Geradengleichung bestimmen
Eine allgemeine Geradengleichung lautet $y=mx+b$. Mithilfe von $m$ und einem Punkt kann man nun die Geradengleichung aufstellen.
a)
$m=2$; $P(1\mid3)$
$y=2x+b$
$P$ eingesetzt in $y=2x+b$:
$\begin{array}{rll} 3&=&2\cdot1+b&\quad\mid-2\\[5pt] 1&=&b \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=2x+1$.
b)
$m=-1$; $P(-2\mid 4)$
$y=-x+b$
$P$ eingesetzt in $y=-x+b$:
$\begin{array}{rll} 4&=&-(-2)+b&\quad\mid-2\\[5pt] 2&=&b\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=-x+2$.
c)
$b=2$; $P(1\mid 5)$
$y=mx+2$
$P$ eingesetzt in $y=mx+2$:
$\begin{array}{rll} 5&=&m\cdot1+2&\quad\mid\;-2\\[5pt] m&=&3\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=3x+2$.
d)
$b=-1$; $P(3\mid-4)$
$y=mx-1$
$P$ eingesetzt in $y=mx-1$:
$\begin{array}{rll} -4&=&m\cdot3-1&\quad\mid\;+1\\[5pt] -3&=&3m&\quad \mid\;:3 \\[5pt] m&=&-1 \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=-x-1$.
4.
Blue Fire Megacoaster
Die Gerade verläuft durch den Ursprung $P1(0\mid0)$, deshalb beträgt der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Außerdem verläuft die Gerade durch den Punkt $P2(2,5\mid28)$. Für die Gerade ergibt sich somit folgendes Schaubild.
Abb. 5: Geschwindigkeit der Blue Fire
Abb. 5: Geschwindigkeit der Blue Fire
Nun kannst du die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen. Somit gilt für $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Setzt du nun für $\Delta x$ und für $\Delta y$ die entsprechenden Werte ein, erhalten wir für die Steigung $m$.
$\begin{array}{rll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\[5pt] m&=& \dfrac{28 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{2,5 \text{s}} \\[5pt] m&=&11,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung für die Geschwindigkeit in den ersten $2,5$ Sekunden lautet somit $y = 11,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot x$.
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