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Einführung

Spickzettel
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Logarithmusfunktionen Einführung

Erklärung

$ \quad y = a^x \quad $
$ \quad y = a^x \quad $
Wenn wir Gleichungen mit dieser Form nach $x$ auflösen wollen, brauchen wir hierfür die sogenannte Logarithmusfunktion. Durch die Logarithmusfunktion $\log$ können wir die Gleichung nach $x$ auflösen:
$x = \log_a y $
$x = \log_a y $
Man spricht es Logarithmus von $y$ zur Basis $a$. Mithilfe dieser Funktion kann man nun für jeden $y$-Wert einen zugehörigen $x$-Wert berechnen. Dies gilt aber nur, falls die Basis $a > 0$ ist. Für eine Basis $a \leq 0$ gibt die Logarhithmusfunktion keinen Wert aus. Die Logarithmusfunktion wird auch als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion bezeichnet. Oft kürzt man den Logarithmus zur Basis $10$ mit $\mathrm{lg}$ ab.
Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Rechengesetze:
  • $ \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) $
  • $ \log_a (b) - \log_a (c) = \log_a \left(\dfrac {b}{c}\right)$
  • $ \log_a \left(b^c\right) = c \cdot \log_a (b)$
  • $ \log_a (b) = \dfrac{\log_c (b)}{\log_c (a)}$
$\quad \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) $
$\quad \log_a (b) - \log_a (c) = \log_a \left(\dfrac {b}{c}\right)$
$\quad \log_a \left(b^c\right) = c \cdot \log_a (b)$
$\quad \log_a (b) = \dfrac{\log_c (b)}{\log_c (a)}$

Beispiele

$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \left(64^3\right)&=&3 \cdot \log_4 (64) \\[5pt] &=& 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \quad & & \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 (4) + \log_2 (2)&=&\log_2 (4 \cdot 2) \\[5pt] &=&\log_2 (4 \cdot 2) \\[5pt] &=&\log_2 (8) \\[5pt] &=& 3 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \left(64^3\right)&=&3 \cdot \log_4 (64) \\[5pt] &=& 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \quad & & \\ \end{array}$
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Aufgaben

1.
Löse nach $\boldsymbol{x}$ auf und berechne das Ergebnis
a)
$1.000 = 10^x $
b)
$64 = 4^x $
c)
$27 = 3^x $
2.
Löse nach $\boldsymbol{x}$ auf und berechne das Ergebnis
a)
$ \log_a (4) + \log_a (8) + \log_a \left(\frac{1}{8}\right)$
b)
$ \log_a (100) - \log_a (5) - \log_a (2)$
c)
$ \log_a \left(4^2\right) - \log_a (4)$
d)
$ \dfrac{\log_a (10)}{\log_a (b)}+ \log_b (8)$
3.
Löse nach $\boldsymbol{x}$ auf und berechne das Ergebnis
a)
$ \log_2 (4) + \log_2 (4) - \log_2 (8) $
b)
$ \log_8 \left(64^3\right) - \log_8 (64) $
c)
$ \log_{10} \left(10^3\right) - \log_2 (16) $ $+ \log_9 \left(81^2\right) $
d)
$ \dfrac{\log_a (8)}{\log_a (2)} + \log_2 (16) - \log_2 (8) $
e)
$ \log_8 \left(16\right) - \log_8 (64) $ $+ \dfrac{\log_{50} (27)}{\log_{50} (3)} $
f)
$ \log_{10} \left(10^6\right) - \dfrac{\log_{99} (64)}{\log_{99} (4)} $ $+ \log_7 \left(49^2\right) $
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Lösungen

1.
Löse nach $x$ auf und berechne das Ergebnis
a)
$\begin{array}[t]{rlll} 1.000 &=& 10^x \\ x&=& \log_{10} 1.000 \\ x&=& 3 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rlll} 64 &=& 4^x \\ x&=& \log_{4} 64\\ x&=& 3 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rlll} 27 &=& 3^x \\ x &=& \log_{3} 27\\ x&=& 3 \end{array}$
2.
Vereinfache folgende Terme
a)
$\begin{array}[t]{llll} \log_a (4) + \log_a (8) + \log_a \left(\dfrac{1}{8}\right)&=\log_a (4 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{8}) \\ &=\log_a (4) \end{array}$
$ \log_a (4) $
b)
$\begin{array}[t]{llll} \log_a (100) - \log_a (5) - \log_a (2)&=\log_a \left(\dfrac{100}{5}\right) - \log_a (2) \\ &=\log_a \left(\dfrac{20}{2}\right)\\ &=\log_a (10) \end{array}$
$ \log_a (10) $
c)
$\begin{array}[t]{llll} \log_a \left(4^2\right) - \log_a (4)&=\log_a \left(\dfrac{16}{4}\right)\\ &=\log_a (4) \end{array}$
$ \log_a (4) $
d)
$\begin{array}[t]{llll} \dfrac{\log_a (10)}{\log_a (b)}+ \log_b (8)&=\log_b (10) + \log_b (8)\\ &=\log_b (80) \end{array}$
$ \log_b (80) $
3.
Berechne folgende Terme
a)
$\begin{array}[t]{llll} \log_2 (4) + \log_2 (4) - \log_2 (8)&=\log_2 (4 \cdot 4) - \log_2 (8) \\ &=\log_2 \left(\dfrac{16}{8}\right)\\ &=\log_2 (2)\\ &=1 \end{array}$
$ 1 $
b)
$\begin{array}[t]{llll} \log_8 \left(64^3\right) - \log_8 \left(64^2\right)&=\log_8 \left(\dfrac{64^3}{64^2}\right) \\ &=\log_8 (64)\\ &=2\\ \end{array}$
$ 2 $
c)
$\begin{array}[t]{llll} \log_{10} \left(10^3\right) - \log_2 (16) + \log_9 \left(81^2\right)&= 3 \cdot \log_{10} (10) - \log_2 (16) + 2 \cdot \log_9 (81) \\ &=3 - 4 + 2 \cdot 2\\ &=3 \end{array}$
$ 3 $
d)
$\begin{array}[t]{llll} \dfrac{\log_a (8)}{\log_a (2)} + \log_2 (16) - \log_2 (8)&= \log_2 (8) + \log_2 (16) - \log_2 (8) \\ &=\log_2 (16)\\ &=4 \end{array}$
$ 4 $
e)
$\begin{array}[t]{llll} \log_8 \left(16\right) - \log_8 (64) + \dfrac{\log_{50} (27)}{\log_{50} (3)}&= \dfrac{\log_2 (16)}{\log_2 (8)} - \log_8 (64) + \log_3 (27) \\ &=\frac{4}{3} - 2 + 3 \\ &=\frac{7}{3} \end{array}$
$\frac{7}{3}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \log_{10} \left(10^6\right) - \dfrac{\log_{99} (64)}{\log_{99} (4)} + \log_7 \left(49^2\right)&= 6 \cdot \log_{10} (10) - \log_4 (64) + 2 \cdot \log_7 (49) \\ &= 6 - 3 + 2 \cdot 2 \\ &=7 \end{array}$
$ 7 $
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