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Logarithmusfunktionen Einführung

Erklärung

$ \quad y = a^x \quad $
$ \quad y = a^x \quad $
Wenn wir Gleichungen mit dieser Form nach $x$ auflösen wollen, brauchen wir hierfür die sogenannte Logarithmusfunktion. Durch die Logarithmusfunktion $\log$ können wir die Gleichung nach $x$ auflösen:
$x = \log_a y $
$x = \log_a y $
Man spricht es Logarithmus von $y$ zur Basis $a$. Mithilfe dieser Funktion kann man nun für jeden $y$-Wert einen zugehörigen $x$-Wert berechnen. Dies gilt aber nur, falls die Basis $a > 0$ ist. Für eine Basis $a \leq 0$ gibt die Logarhithmusfunktion keinen Wert aus. Die Logarithmusfunktion wird auch als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion bezeichnet. Oft kürzt man den Logarithmus zur Basis $10$ mit $\mathrm{lg}$ ab.
Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Rechengesetze:
  • $ \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) $
  • $ \log_a (b) - \log_a (c) = \log_a \left(\dfrac {b}{c}\right)$
  • $ \log_a \left(b^c\right) = c \cdot \log_a (b)$
  • $ \log_a (b) = \dfrac{\log_c (b)}{\log_c (a)}$
$\quad \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) $
$\quad \log_a (b) - \log_a (c) = \log_a \left(\dfrac {b}{c}\right)$
$\quad \log_a \left(b^c\right) = c \cdot \log_a (b)$
$\quad \log_a (b) = \dfrac{\log_c (b)}{\log_c (a)}$

Beispiele

$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \left(64^3\right)&=&3 \cdot \log_4 (64) \\[5pt] &=& 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \quad & & \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 (4) + \log_2 (2)&=&\log_2 (4 \cdot 2) \\[5pt] &=&\log_2 (4 \cdot 2) \\[5pt] &=&\log_2 (8) \\[5pt] &=& 3 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \left(64^3\right)&=&3 \cdot \log_4 (64) \\[5pt] &=& 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \quad & & \\ \end{array}$
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