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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Schreibe als Potenzgleichung. (Bsp.: $\log_2 8=3 $$\Leftrightarrow$$ 2^3=8$)
b)
$\log_2 128=7$
d)
$\log_7 343=3$
f)
$\log_5 625=4$
2.
Vervollständige die Tabelle:
Potenz- gleichung Wurzel- gleichung Logarithmus- gleichung
$0,5^2$=$0,25$
$\sqrt[4]{2401}$=$7$
$\lg 0,01$=$-2$
$3^4$=$81$
$\sqrt[5]{7776}$=$6$
$0,01^6$=$10^{-12}$
$\log_{16}4096$=$3$
Potenz- gleichung Wurzel- gleichung
$0,5^2$=$0,25$
$\sqrt[4]{2401}$=$7$
$3^4$=$81$
$\sqrt[5]{7776}$=$6$
$0,01^6$=$10^{-12}$
3.
Löse folgende Gleichungen:
b)
$3^{2x}=81\cdot3^{x+1}$
d)
$9^{x+4}=27^{2x-3}$
f)
$2^{6x}=4^{5-x}$
4.
Löse folgende Gleichungen:
b)
$2^x=2\cdot3^x$
d)
$7^{2x+3}=12\cdot3^{x-4}$
f)
$8^{5x-3}=7\cdot3^{x+5}$
5.
Ein Kapital von 1.000 € wird zu 6% fest angelegt.
a)
Nach wie vielen Jahren (auf ganze Jahre gerundet) ist es auf ca. 1.500 € angewachsen?
b)
Welchen Zinssatz bräuchte man, wenn das Kapital schon nach 4 Jahren auf 1.500 € angewachsen sein sollte?
6.
1990 lebten in Indien 917 Millionen Menschen und in China 1.055 Millionen. Während Indien ein Bevölkerungswachstum von 2,5% hatte, betrug es in China nur 1,5%.
a)
Wann leben nach diesen Voraussetzungen in China gleich viele Menschen wie in Indien?
b)
Wie viele Menschen werden dann in China bzw. Indien leben?
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Lösungen
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1.
In Potenzgleichung umformen
b)
$\log_2 128=7 $$\Leftrightarrow$$ 2^7=128$
d)
$\log_7 343=3 $$\Leftrightarrow$$ 7^3=343$
f)
$\log_5 625=4 $$\Leftrightarrow$$ 5^4=625$
2.
Tabelle vervollständigen
Potenzgleichung Wurzelgleichung Logarithmusgleichung
$0,5^2=0,25$ $\sqrt{0,25}=0,5$ $\log_{0,5}0,25=2$
$7^4=2401$ $\sqrt[4]{2401}=7$ $\log_7 2401=4$
$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=0,01$ $\sqrt{0,01}=\frac{1}{10}=0,1$ $\lg 0,01=-2$
$3^4=81$ $\sqrt[4]{81}=3$ $\log_3 81=4$
$6^5=7776$ $\sqrt[5]{7776}=6$ $\log_6 7776=5$
$0,01^6=10^{-12}$ $\sqrt[6]{\frac{1}{10^{12}}}=0,01$ $\log_{0,01}\frac{1}{10^{12}}=6$
$16^3=4096$ $\sqrt[3]{4096}=16$ $\log_{16}4096=3$
3.
Gleichungen lösen
a)
$\begin{array}[t]{rlll} 2^{x+1}=&2^{2x-1}&\mid\, \log_2 \\[5pt] \log_2(2^{x+1})=&\log_2(2^{2x-1})&\mid\, \scriptsize{\text{ Logarithmusgesetze}} \\[5pt] (x+1)\cdot\log_2(2)=&(2x-1)\cdot\log_2(2) \\[5pt] x+1=&2x-1&\mid\, +1 \\[5pt] x+2=& 2x \\[5pt] x+2=& x+x&\mid\, -x \\[5pt] 2=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} 2=& x \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rlll} 3^{2x}=&81\cdot3^{x+1}&\mid\, 81=3^4 \\[5pt] 3^{2x}=&3^4\cdot3^{x+1}&\mid\, x^a\cdot x^b=x^{a+b} \\[5pt] 3^{2x}=&3^{4+(x+1)} &\mid\, \log_3 \\[5pt] \log_3(3^{2x})=&\log_3(3^{4+(x+1)})&\mid\, \scriptsize{\text{ Logarithmusgesetze}} \\[5pt] (2x)\cdot\log_3(3)=&(4+(x+1))\cdot\log_3(3) \\[5pt] 2x=& 4+x+1&\mid\, -x\\[5pt] x=&5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x=&5 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rlll} 2\cdot2^x=&16\cdot2^{x-1} \\[5pt] 2^1\cdot 2^x=&2^4\cdot2^{x-1}&\mid \,x^a\cdot x^b=x^{a+b} \\[5pt] 2^{1+x}=&2^{4+(x-1)}&\mid\, \log_2 \\[5pt] \log_2(2^{1+x})=&\log_2(2^{4+(x-1)})&\mid\, \scriptsize{\text{ Logarithmusgesetze}} \\[5pt] (1+x)\cdot\log_2(2)=&(4+(x-1))\cdot\log_2(2) \\[5pt] 1+x=& 4+x-1&\mid\, -x \\[5pt] 1=&3&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} 1=&3&\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung hat keine Lösung.
d)
$\begin{array}[t]{rlll} 9^{x+4}=&27^{2x-3} \\[5pt] 3^{2^{x+4}}=&3^{3^{2x-3}}&\mid\, x^{a^b}=x^{a\cdot b} \\[5pt] 3^{2\cdot(x+4)}=&3^{3\cdot(2x-3)}&\mid\, \log_3 \\[5pt] \log_3(3^{2\cdot(x+4)})=&\log_3(3^{3\cdot(2x-3)})&\mid\, \scriptsize{\text{ Logarithmusgesetze}} \\[5pt] (2\cdot(x+4))\cdot\log_3(3)=&(3\cdot(2x-3))\cdot\log_3(3) \\[5pt] 2(x+4)=& 3(2x-3)& \\[5pt] 2x+8=&6x-9&\mid\, -8 \\[5pt] 2x=&6x-17&\mid\, -6x \\[5pt] -4x=&-17&\mid\, :(-4) \\[5pt] x=&\frac{17}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x=&\frac{17}{4} \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rlll} 4^{x+2}=&2^{x+1} \\[5pt] 2^{2^{x+2}}=&2^{x+1}&\mid\, x^{a^b}=x^{a\cdot b} \\[5pt] 2^{2(x+2)}=&2^{x+1}&\mid\, \log_2 \\[5pt] \log_2(2^{2(x+2)})=&\log_2(2^{x+1})&\mid\, \scriptsize{\text{ Logarithmusgesetze}} \\[5pt] (2(x+2))\cdot\log_2(2)=&(x+1)\cdot\log_2(2) \\[5pt] 2(x+2)=&x+1& \\[5pt] 2x+4=&x+1&\mid\, -x \\[5pt] x+4=&1&\mid\, -4 \\[5pt] x=&-3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x=&-3 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rlll} 2^{6x}=&4^{5-x} \\[5pt] 2^{6x}=&2^{2^{5-x}}&\mid\, x^{a^b}=x^{a\cdot b} \\[5pt] 2^{6x}=&2^{2(5-x)}&\mid\, \log_2 \\[5pt] \log_2(2^{6x})=&\log_2(2^{2(5-x)})&\mid\, \scriptsize{\text{ Logarithmusgesetze}} \\[5pt] (6x)\cdot\log_2(2)=&(2(5-x))\cdot\log_2(2) \\[5pt] 6x=&2(5-x)& \\[5pt] 6x=&10-2x&\mid\, +2x \\[5pt] 8x=&10&\mid\, :8 \\[5pt] x=&\frac{10}{8}=\frac{5}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x=&\frac{10}{8}=\frac{5}{4} \end{array}$
4.
Gleichungen lösen
a)
$\begin{array}{rlll} 3^{x-2}=&7\cdot 5^{2x} \end{array}$
Logarithmiere auf beiden Seiten:
$\begin{array}{rlll} \lg 3^{x-2}=&\lg \left(7\cdot 5^{2x}\right)& \\[5pt] (x-2)\lg 3=&\lg 7 +\lg\left(5^{2x}\right)& \\[5pt] (x-2)\lg3=& \lg 7 + 2x\cdot \lg5& \\[5pt] x\lg3-2\lg3=& \lg 7 + 2x\cdot \lg5&\mid\, +2\lg3 - 2x\lg5 \\[5pt] x\lg3-2x\lg5=& \lg 7 + 2\lg3&\mid\, \scriptsize{\text{ x ausklammern}} \\[5pt] x(\lg3-2\lg5)=& \lg 7 + 2\lg3&\mid\, :(\lg3-2\lg5) \\[5pt] x=&\dfrac{\lg7+2\lg3}{\lg3-2\lg5} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x=&\dfrac{\lg7+2\lg3}{\lg3-2\lg5} \end{array}$
b)
$\begin{array}{rlll} 2^x=&2\cdot3^x \end{array}$
Logarithmiere auf beiden Seiten:
$\begin{array}{rlll} \lg 2^x=&\lg \left(2\cdot3^x\right)& \\[5pt] x\lg 2=&\lg 2+\lg3^x& \\[5pt] x\lg2=& \lg 2 + x\lg3&\mid\, -x\lg 3 \\[5pt] x\lg2-x\lg3=& \lg 2&\mid\,\scriptsize{\text{ x ausklammern}} \\[5pt] x(\lg2-\lg3)=& \lg 2&\mid\, :(\lg2-\lg3) \\[5pt] x=&\dfrac{\lg2}{\lg2-\lg3} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x=&\dfrac{\lg2}{\lg2-\lg3} \end{array}$
c)
$\begin{array}{rlll} 3^{x+1}=&5^x \end{array}$
Logarithmiere auf beiden Seiten:
$\begin{array}{rlll} \lg 3^{x+1}=&\lg 5^x& \\[5pt] (x+1)\lg 3=&x\lg5& \\[5pt] x\lg3+\lg3=&x\lg5&\mid\, -x\lg5-\lg3 \\[5pt] x\lg3-x\lg5=& -\lg 3&\mid\,\scriptsize{\text{ x ausklammern}} \\[5pt] x(\lg3-\lg5)=& -\lg 3&\mid\, :(\lg3-\lg5) \\[5pt] x=&\dfrac{-\lg3}{\lg3-\lg5} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x=&\dfrac{-\lg3}{\lg3-\lg5} \end{array}$
d)
$\begin{array}{rlll} 7^{2x+3}=&12\cdot3^{x-4} \end{array}$
Logarithmiere auf beiden Seiten:
$\begin{array}{rlll} \lg 7^{2x+3}=&\lg(12\cdot 3^{x-4})& \\[5pt] (2x+3)\lg 7=&\lg12+\lg3^{x-4}& \\[5pt] 2x\lg7+3\lg7=&\lg12+(x-4)\lg3& \\[5pt] 2x\lg7+3\lg7=& \lg12+x\lg3-4\lg3&\mid\, -x\lg3-3\lg7 \\[5pt] 2x\lg7-x\lg3=&\lg12-4\lg3-3\lg7 &\mid\,\scriptsize{\text{ x ausklammern}} \\[5pt] x(2\lg7-\lg3)=&\lg12-4\lg3-3\lg7 &\mid\, :(2\lg7-\lg3) \\[5pt] x=&\dfrac{\lg12-4\lg3-3\lg7}{2\lg7-\lg3} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x=&\dfrac{\lg12-4\lg3-3\lg7}{2\lg7-\lg3} \end{array}$
e)
$\begin{array}{rlll} 5\cdot5^x=&10^{x+1} \end{array}$
Logarithmiere auf beiden Seiten:
$\begin{array}{rlll} \lg(5\cdot5^x)=&\lg10^{x+1}& \\[5pt] \lg5^{x+1}=&(x+1)\lg10& \\[5pt] (x+1)\lg5=&x+1& \\[5pt] x\lg5+\lg5=& x+1&\mid\, -x-\lg5 \\[5pt] x\lg5-x=&1-\lg5 &\mid\,\scriptsize{\text{ x ausklammern}}\\[5pt] x(\lg5-1)=&1-\lg5&\mid\, :(\lg5-1) \\[5pt] x=&\dfrac{1-\lg5}{\lg5-1}\\[5pt] x=&\dfrac{-(\lg5-1)}{\lg5-1}\\[5pt] x=&-1 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x=&-1 \end{array}$
f)
$\begin{array}{rlll} 8^{5x-3}=&7\cdot3^{x+5} \end{array}$
Logarithmiere auf beiden Seiten:
$\begin{array}{rlll} \lg8^{5x-3}=&\lg(7\cdot3^{x+5})& \\[5pt] (5x-3)\lg8=&\lg7+\lg3^{x+5}& \\[5pt] 5x\lg8-3\lg8=&\lg7+(x+5)\lg3& \\[5pt] 5x\lg8-3\lg8=& \lg7+x\lg3+5\lg3&\mid\, -x\lg3+3\lg8 \\[5pt] 5x\lg8-x\lg3=&\lg7+5\lg3+3\lg8&\mid\,\scriptsize{\text{ x ausklammern}}\\[5pt] x(5\lg8-\lg3)=&\lg7+5\lg3+3\lg8&\mid\, :(5\lg8-\lg3) \\[5pt] x=&\dfrac{\lg7+5\lg3+3\lg8}{5\lg8-\lg3} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x=&\dfrac{\lg7+5\lg3+3\lg8}{5\lg8-\lg3} \end{array}$
5.
a)
Wachstum berechnen
Um den Anstieg des Kapitals zu berechnen, benutzt du diese Gleichung:
$\begin{array}{rlll} 1.000\cdot1,06^t=&1.500&\mid\, :1.000 \\[5pt] 1,06^t=&1,5& \\[5pt] \lg1,06^t=&\lg 1,5& \\[5pt] t\cdot\lg 1,06=&\lg 1,5& \\[5pt] t=&\dfrac{\lg1,5}{\lg 1,06}& \\[5pt] t\approx&6,959& \\[5pt] t\approx&7\text{ Jahre}& \end{array}$
$\begin{array}{rlll} t\approx&7\text{ Jahre}& \end{array}$
Man muss ca. 7 Jahre lang sparen um einen Anstieg von 1.000 € auf 1.500 € zu erreichen.
b)
Zinssatz berechnen
Um den Zins zu berechnen, veränderst du die Gleichung von oben wie folgt:
$\begin{array}{rlll} 1.000\cdot p^4=&1.500&\mid\, :1000 \\[5pt] p^4=&1,5& \\[5pt] p=&\sqrt[4]{1,5}& \\[5pt] p\approx&1,107& \end{array}$
Der Prozentsatz muss auf ca. $10,7\%$ erhöht werden.
6.
Funktionsterm verändern
a)
Zeitpunkt berechnen
Um zu berechnen, wann gleich viele Menschen in China und Indien leben, werden die beiden Gleichung gleichgesetzt.
$\begin{array}{rlll} 917\cdot1,025^t=&1.055\cdot1,015^t&\mid\, :917 \\[5pt] 1,025^t=&\frac{1.055}{917}\cdot1,015^t&\mid \scriptsize{\text{ logarithmiere auf beiden Seiten}} \\[5pt] \lg1,025^t=&\lg\left(\frac{1.055}{917}\cdot1,015^t\right)& \\[5pt] t\cdot\lg 1,025=&\lg \frac{1.055}{917}+\lg 1,015^t& \\[5pt] t\cdot\lg 1,025=&\lg\frac{1.055}{917}+t\cdot\lg 1,015&\mid\, -t\lg1,015 \\[5pt] t\cdot\lg1,025-t \cdot\lg1,015=&\lg\frac{1.055}{917}&\mid \scriptsize{\text{ t ausklammern}} \\[5pt] t\cdot(\lg1,025-\lg1,015)=&\lg\frac{1.055}{917} &\mid\, :(\lg1,025-\lg1,015) \\[5pt] t=&\dfrac{\lg\frac{1.055}{917}}{\lg1,025-\lg1,015}& \\[5pt] t\approx&14,299&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rlll} t\approx&14,299&\\[5pt] \end{array}$
Es dauert ca. 14 Jahre und 4 Monate, also bis zum Jahr 2004, bis in beiden Ländern gleich viele Menschen leben.
b)
Bevölkerung berechnen
Um die Größe der Bevölkerung zu berechnen, setzt du $t=14,299$ in die Gleichung von a) ein:
$\begin{array}{rlll} 917\cdot1,025^{14,299}\approx&1.305,3& \end{array}$
Die Bevölkerung wird dann ca. 1.305 Millionen Menschen betragen.
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