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Verschieben und Spiegeln

Spickzettel
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Die allgemeine Form der Logarithmusfunktion lautet
$f(x)=\pm d\cdot\log_a(x\pm b)\pm c$
$b=$ Verschiebung in $x$-Richtung (für $-b$ nach rechts und für $+b$ nach links)
$c=$ Verschiebung in $y$-Richtung (für $-c$ nach unten und für $+c$ nach oben)
$d=$ Spiegelung einer Funktion an der $x$-Achse (bei Vorzeichenwechsel) bzw. Vervielfachen oder Teilen aller Funktionswerte
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Aufgaben
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1.
Zeichne den Graphen der folgenden Funktion für $0<x<8$. Verschiebe den Graphen der Funktion zeichnerisch um drei Einheiten nach links und um zwei Einheiten nach oben.
$f(x)=\lg(x)$
2.
Zeichne den Graphen folgender Funktion für $0<x<5$. Spiegle den Graphen zeichnerisch an der $x$-Achse.
$f(x)=\lg(3x)+5$
3.
Verändere den Funktionsterm der Funktion $f$ mit $f(x)=-3\cdot\log(2x-2)+4$ so, dass ihr Graph $\dots$
a)
$\dots$ zunächst um zwei Einheiten nach unten verschoben wird,
b)
$\dots$ dann an der $x$-Achse gespiegelt wird,
c)
$\dots$ anschließend um vier Einheiten nach rechts verschoben wird,
d)
$\dots$ doppelt so große Funktionswerte besitzt.
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Lösungen
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1.
Graphen zeichnen und verschieben
$f(x)=\lg(x)$
Lege zunächst eine Wertetabelle an.
$x$ 0,1 0,5 1 2 3 4 6 8
$f(x)$ -1 -0,301 0 0,301 0,477 0,602 0,778 0,903
$x$ 0,1 0,5 1 2
$f(x)$ -1 -0,301 0 0,301
$x$ 3 4 6 8
$f(x)$ 0,477 0,602 0,778 0,903
Zeichne dann den Graphen von $f$. Verschiebe den Graphen anschließend um drei Einheiten nach links und um zwei Einheiten nach oben, sodass du den Graphen von $g$ erhältst.
2.
Graphen zeichnen und spiegeln
$f(x)=\lg(3x)+5$
Lege zunächst eine Wertetabelle an.
$x$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ 1 2 3 4 5
$f(x)$ 5 5,301 5,477 5,778 5,954 6,079 6,176
$x$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ 1
$f(x)$ 5 5,301 5,477
$x$ 2 3 4 5
$f(x)$ 5,778 5,954 6,079 6,176
Zeichne dann den Graphen von $f$. Spiegle den Graphen anschließend an der $x$-Achse, sodass du den Graphen von $g$ erhältst.
3.
Funktionsterm verändern
Term der Ausgangsfunktion: $f(x)=-3\cdot\log(2x-2)+4$
a)
- um zwei Einheiten nach unten verschieben:
$\begin{array}{rll} f(x)=&-3\cdot\log(2x-2)+4-2\\[5pt] =&-3\cdot\log(2x-2)+2 \end{array}$
b)
- an der $x$-Achse spiegeln $(\text{Funktionsterm}\cdot(-1))$
$\begin{array}{rll} f(x)=&-(-3\cdot\log(2x-2)+2)\\[5pt] =&3\cdot\log(2x-2)-2 \end{array}$
c)
- um vier Einheiten nach rechts verschieben (statt „$x$“ immer „$(x-4)$“ einsetzen)
$\begin{array}{rll} f(x)=&3\cdot\log(2(x-4)-2)-2\\[5pt] =&3\cdot\log((2x-8)-2)-2\\[5pt] =&3\cdot\log(2x-10)-2 \end{array}$
d)
- die Beträge aller Funktionswerte verdoppeln ($\text{Funktionsterm}\cdot2)$
$\begin{array}{rll} f(x)=&2\cdot\left(3\cdot\log(2x-10)-2\right)\\[5pt] =&6\cdot\log(2x-10)-4 \end{array}$
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