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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.  Der Graf der Funktion $f$ mit $y=2\cdot(x-2)^{-3}+4$ wird durch den Vektor $\overrightarrow{v}=\left( \begin{array}{l} 2,7\\-3\end{array} \right)$ auf den Grafen der Funktion $f_1$ verschoben.
a)  Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f$ an.
b)  Gib die Gleichung von $f_1$.
c)  Zeichne die Grafen zu $f$ und $f_1$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
2.  Die Funktion $f$ mit $y=0,5\cdot(x-2)^4-1$ wird an der $y$-Achse gespiegelt.
a)  Berechne die Gleichung der gespiegelten Funktion $f_1$.
b)  Zeichne den Graphen zu $f_1$ in geeignetes Koordinatensystem ein.
3.  Stelle eine Gleichung für folgende Aussagen auf und löse sie.
a)  Das Dreifache der 4. Potenz einer Zahl ist 48.
b)  Die Wurzel aus der 4. Potenz einer Zahl ist 81.
c)  Halbiert man die 3. Potenz einer Zahl, so erhält man 32.
d)  Die 4. Wurzel einer Zahl ergibt die 2. Potenz der Zahl 2.
4.  In einer Stadt nahe Stuttgart gibt es eine parabelförmige Unterführung. Die Unterführung ist zweispurig, hat eine Höhe von 5 Meter und ist 10 Meter breit.
(Die Unterführung wird durch die Gleichung $f$ einer Parabel zweiten Grades beschrieben).
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
     Ein Lastwagen mit einer rechteckigen Querschnittsfläche (gemeint ist die Fläche des Aufliegers) möchte durch die Unterführung fahren. Die Ladefläche des Lastwagens befindet sich 0,5 Meter über dem Boden.
(Du kannst davon ausgehen, dass der Lastwagen seine Fahrspur bis zur Mitte voll ausnutzt.)
a)  Berechne die Gleichung $f$ der Unterführung.
b)  Berechne die Breite des Lastwagens, wenn er eine Querschnittsfläche von 7,4 Quadratmeter hat und eine Höhe von 4,2 Meter.
Passt dieser Lastwagen durch die Unterführung?
c)  Passt ein Lastwagen mit einer Breite von 2,5 Meter und einer Querschnittsfläche von 7,5 Quadratmeter durch die Unterführung?
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Lösungen
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1. 
a)  Definitions- und Wertemenge
In diesem Fall handelt es sich um eine Potenzfunktion mit einem ungeraden und negativen Exponenten.
Da die Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wurde, darfst du für $x$ jeden Wert außer 2 einsetzen.
Es ergibt sich also folgende Difinitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
Da die Funktion um 4 Längeneinheiten nach oben verschoben wurde, weißt du, dass der Funktionswert nie den Wert 4 annimmt.
Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{D}\backslash\{4\}$
b)  Gleichung von $f_1$ berechnen
Der Vektor $\overrightarrow{v}$ besagt lediglich, dass die Funktion um 2,7 Längeneinheiten nach rechts und um 3 Längeneinheiten nach unten verschoben werden soll.
Du erhältst also folgende Funktionsgleichung:
$f_1:y=2\cdot((x-2,7)-2)^{-3}+4-3$
$f_1:y=2\cdot(x-4,7)^{-3}+1$
c)  Graphen zu $f$ und $f_1$ berechnen
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
2. 
a)  Gleichung der Funktion $f_1$ berechnen
Um die Gleichung der Funktion $f_1$ berechnen zu können, musst du die Formel zur Spiegelung einer Funktion an der $y$-Achse kennen.
Die Formel lautet: $f_1(x)=f(-x)$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} f_1(x)=&f(-x)&\scriptsize \text{einsetzen}\\ f_1(x)=&0,5\cdot((-x)-2)^4-1&\scriptsize\\ f_1(x)=&0,5\cdot(-x-2)^4-1&\scriptsize \text{Binomische Formel}\\ f_1(x)=&0,5\cdot(x^4+(-x)^3\cdot(-2)+x^2\cdot(-2)^2+(-x)\cdot(-2)^3+(-2)^4)-1&\scriptsize\\ f_1(x)=&0,5\cdot(x^4+2\cdot x^3+4\cdot x^2+8\cdot x\cdot+16)-1&\scriptsize \text{Binomische Formel}\\ f_1(x)=&0,5\cdot(x+2)^4-1&\scriptsize \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $f_1$ lautet $y=0,5\cdot(x+2)^4-1$.
b)  Graphen zu $f_1$ zeichnen
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
3. 
a)  Gleichung aufstellen
$3\cdot x^4=48$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 3\cdot x^4=&48&\scriptsize \mid\;:3\\ x^4=&16&\scriptsize \mid\;\sqrt[4]{\;}\\ \sqrt[4]{x^4}=&\sqrt[4]{16}&\scriptsize\\ x=&\pm2&\scriptsize\\ x_1=&2&\scriptsize\\ x_2=&-2&\scriptsize \end{array}$
b)  Gleichung aufstellen
$\sqrt{x^4}=81$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sqrt{x^4}=&81&\scriptsize \mid\;(…)^2\\ (\sqrt{x^4})^2=&81^2&\scriptsize\\ x^4=&6561&\scriptsize \mid\;\sqrt[4]{\;}\\ \sqrt[4]{x^4}=&\sqrt[4]{6561}&\scriptsize\\ x=&\pm9&\scriptsize\\ x_1=&9&\scriptsize\\ x_2=&-9&\scriptsize \end{array}$
c)  Gleichung aufstellen
$\frac{x^3}{2}=32$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \frac{x^3}{2}=&32&\scriptsize \mid\;\cdot 2\\ x^3=&64&\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;}\\ \sqrt[3]{x^3}=&\sqrt[3]{64}&\scriptsize\\ x=&4&\scriptsize \end{array}$
d)  Gleichung aufstellen
$\sqrt[4]{x}=2^2$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sqrt[4]{x}=&2^2&\scriptsize\\ \sqrt[4]{x}=&4&\scriptsize \mid\;(…)^4\\ (\sqrt[4]{x})^4=&4^4&\scriptsize\\ x=&256&\scriptsize \end{array}$
4.  
a)  Gleichung $f$ der Unterführung berechnen
Dem Text kannst du entnehmen, dass die Unterführung parabelförmig ist. Aus diesem Grund wird die Gleichung durch die Funktion $f$ mit $y=k\cdot(x-c)^2+d$ ausgedrückt.
Um die Aufgabe schneller lösen zu können, ist es sinvoll die Parabel wie in der Abbildung vorgegeben in ein Koordinatensystem hineinzulegen.
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
     Dies hat zur Folge, dass die Parabel weder nach rechts noch nach links verschoben ist. Der Parameter $c$ ist also gleich Null. Die Gleichung wird also durch die Funktion $f$ mit $y=k\cdot x^2+d$ ausgedrückt.
Um nun die Gleichung $f$ berechnen zu können, benötigst du die Koordinaten von 2 Punkten.
Da die Parabel 5 Meter Hoch sein soll kennst du die Koordinaten des Punktes $P_1(0\mid5)$.
Ein weiterer Punkt lautet $P_2(5\mid0)$, da die Unterführung 10 Meter breit sein soll.
Jetzt kannst du mithilfe von Punktproben die Parameter $k$ und $d$ berechnen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&k\cdot x^2+d&\scriptsize \text{Punktprobe mit} \;P_1(0\mid5)\\ 5=&k\cdot 0^2+d&\scriptsize\\ d=&5&\scriptsize \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&k\cdot x^2+5&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;P_1(5\mid0)\\ 0=&k\cdot 5^2+5&\scriptsize\\ 0=&k\cdot25+5&\scriptsize \mid\;-5\\ -5=&k\cdot25&\scriptsize \mid\;:25\\ k=&-0,2&\scriptsize \end{array}$
Die Gleichung $f$ der Unterführung lautet $y=-0,2\cdot x^2+5$.
b)  Breite des Lastwagens berechnen
Der Auflieger selbst hat nur eine Höhe von $4,2-0,5=3,7$ Meter, da sich die Ladefläche des Lastwagens 0,5 Meter über dem Boden befindet.
Mithilfe der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks, kannst du nun die Breite des Lastwagens bestimmen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A=&h\cdot b&\scriptsize\\ 7,4\;\text{m}^2=&3,7\;\text{m}\cdot b&\scriptsize :3,7\;\text{m}\\ b=&\frac{7,4\;\text{m}^2}{3,7\;\text{m}}&\scriptsize\\ b=&2\;\text{m}&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen hat eine Breite von 2 Meter.
Passt der Lastwagen durch die Unterführung
Um zu überprüfen, ob der Lastwagen durch die Unterführung passt, musst du für $x$ den Wert 2 einsetzen, da der Lastwagen eine Breite von 2 Meter hat. Das Ergebnis verrät dir dann, wie Hoch der Lastwagen maximal sein darf.
Sollte das Ergebnis also kleiner als 4,2 sein, so passt der Lastwagen nicht durch die Unterführung. Sollte das Ergebniss allerdings genau 4,2 oder größer sein, so passt der Lastwagen durch die Unterführung.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-0,2\cdot x^2+5&\scriptsize x=2 \\ y=&-0,2\cdot 2^2+5&\scriptsize y=&4,2&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen darf also eine Höhe von maximal 4,2 Meter haben und passt somit genau durch die Unterführung.
c)  Passt der Lastwagen durch die Unterführung?
Zuerst musst du mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks die Höhe des Auflieges berechnen. Anschließend musst du zu dieser Höhe 0,5 Meter addieren, um die gesamt Höhe des Lastwagens zu kennen.
Nachdem du die Höhe des Lastwagens kennst, kannst du wie in Teilaufgabe b) erklärt berechnen, wie hoch der Lastwagen bei einer Breite von 2,5 Meter maximal sein darf, um durch die Unterführung zu passen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A=&h\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen}\\ 7,5\;\text{m}^2=&h\cdot 2,5\;\text{m}&\scriptsize \mid\;:2,5\;\text{m}\\ h=&3\;\text{m}&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen hat eine Höhe von $3+0,5=3,5$ Meter.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-0,2\cdot x^2+5&\scriptsize x=2,5\\ y=&-0,2\cdot 2,5^2+5&\scriptsize\\ y=&3,75&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen darf eine maximale Höhe von 3,75 Meter haben. Da der Lastwagen nur eine Höhe von 3,5 Meter hat, passt er durch die Unterführung
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