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Darstellen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 1: Redbull Air Race
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 1: Redbull Air Race
#kartesischeskoordinatensystem
a)
Lies ab, auf welcher Höhe sich die Redbull Air Race befindet, wenn sie $2 \, \text{km}$ ($4 \, \text{km}$, $7 \, \text{km}$) in die horizontale Richtung zurückgelegt hat.
b)
Lies ab, wie weit die Redbull Air Race in die horizontale Richtung geflogen ist, wenn sie $6.000 \, \text{m}$ ($7.000 \, \text{m}$, $1.500 \, \text{m}$) hoch ist.
c)
Was für eine Funktion bildet der Graph ab? Wie kannst du den Graphen definieren?

Aufgabe 1

Um deine Großeltern zu besuchen, die $200 \, \text{km}$ weit weg leben, braucht deine Familie mit dem Auto $2$ Stunden.
a)
Stelle das in der Aufgabenstellung Gesagte in einem Koordinatensystem dar.
#kartesischeskoordinatensystem
b)
Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit seid ihr im Auto unterwegs? Lies die Durchschnittsgeschwindigkeit in $\dfrac{km}{h}$ im Koordinatensystem ab.
c)
Erstelle eine Wertetabelle, die dir die zurückgelegte Strecke nach $10$ Minuten, nach $35$ Minuten, nach $50$ Minuten, nach $1$ Stunde $30$ Minuten und nach $1$ Stunde $50$ Minuten angibt.
#tabelle

Aufgabe 2

Endlich konntest du deine Eltern dazu überreden, dass sie sich einen Swimmingpool im Garten anschaffen. Jetzt interessierst du dich natürlich rund um das Thema Pool und möchtest wissen, wie lange es eigentlich dauert, euren Pool mit Wasser zu befüllen. Dein Vater erklärt dir, dass es $10$ Stunden dauert, bis $120.000$ Liter im Pool sind.
a)
Zeichne den gleichmäßigen Zulauf des Wassers ins Schwimmbecken in einem Koordinatensystem dar.
#kartesischeskoordinatensystem
b)
Vervollständige die Wertetabelle, indem du die Werte deinem Graph im Koordinatensystem entnimmst, den du in Teilaufgabe $a)$ gezeichnet hast.
Zeit in Stunden$2$$5$
Füllmenge in Litern$30.000$$85.000$$110.000$
Zeit in Stunden$2$$5$
Füllmenge in Litern$30.000$$85.000$
#tabelle

Aufgabe 3

Stelle die Werte in einem Koordinatensystem dar. Wähle einen geeigneten Maßstab aus, sodass sich alle hier gegebenen Werte gut ablesen lassen.
Anzahl SixpacksGewicht in kg
$10$$90$
$3$$27$
$4$$36$
$13$$117$
$5$$45$
#kartesischeskoordinatensystem#tabelle
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/NsFjv2 – Extra_300S_-_Peter_Besenyei.jpg, Marek Slusarczyk, CC BY 2.5.
[2]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Werte am Koordinatensystem ablesen
Wenn du an der Abbildung ablesen willst, auf welcher Höhe sich die Redbull Air Race befindet, wenn sie eine bestimmte Kilometerzahl in die horizontale Richtung zurückgelegt hat, musst du an der $x-$Achse so weit gehen, bis du auf der gewünschten zurückgelegten Strecke in horizontaler Richtung bist. Willst du also ablesen, auf welcher Höhe sich der Flieger befindet, wenn er $2 \, \text{km}$ in die horizontale Richtung zurückgelegt hat, gehst du an der $x-$Achse auf $2 \, \text{km}$ und schaust, an welchem Wert sich der Graph der Funktion auf der $y-$Achse befindet.
Wenn die Redbull Air Race $2 \, \text{km}$ zurückgelegt hat, dann befindet sie sich auf einer Höhe von $2.000 \, \text{m}$.
Wenn die Redbull Air Race $4 \, \text{km}$ zurückgelegt hat, dann befindet sie sich auf einer Höhe von $4.000 \, \text{m}$.
Wenn die Redbull Air Race $7 \, \text{km}$ zurückgelegt hat, dann befindet sie sich auf einer Höhe von $7.000 \, \text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Werte am Koordinatensystem ablesen
Wenn du an der Abbildung ablesen willst, wie weit die Redbull Air Race in die horizontale Richtung geflogen ist, wenn sie eine bestimmte Anzahl an Höhenmetern zurückgelegt hat, musst du an der $y-$Achse so weit gehen, bis du auf der gewünschten Anzahl an Höhenmetern bist. Willst du also ablesen, wie weit der Flieger in die horizontale Richtung geflogen ist, wenn er auf $6.000$ Höhenmetern ist, gehst du an der $y-$Achse auf $6.000 \, \text{m}$ und schaust, an welchem Wert sich der Graph der Funktion auf der $y-$Achse befindet.
Wenn sich die Redbull Air Race auf einer Höhe von $6.000$ Metern befindet, dann hat sie $6 \, \text{km}$ in die horizontale Richtung zurückgelegt.
Wenn sich die Redbull Air Race auf einer Höhe von $7.000$ Metern befindet, dann hat sie $7 \, \text{km}$ in die horizontale Richtung zurückgelegt.
Wenn sich die Redbull Air Race auf einer Höhe von $1.500$ Metern befindet, dann hat sie $1,5 \, \text{km}$ in die horizontale Richtung zurückgelegt.
c)
$\blacktriangleright$  Graphen definieren
Der Graph, an dem du die verschiedenen Wertepaare abgelesen hast, bildet eine proportionale Funktion ab. Das siehst du daran, dass er eine Halbgerade darstellt und außerdem im Ursprung, dem Punkt mit den Koordinaten $(0 \mid 0)$, beginnt.
Wenn du eine proportionale Funkion im Koordinatensystem zeichnen willst, brauchst du deshalb neben dem Ursprung nur ein weiteres Wertepaar. Zum Zeichnen ziehst du mit deinem Lineal eine Halbgerade, die im Ursprung beginnt und durch den Punkt, den das andere Wertepaar angibt, geht.
#proportional#graph

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Autofahrt in Koordinatensystem einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das, was in der Aufgabenstellung gesagt wurde, in einem Koordinatensystem darstellen. Das heißt du sollst einzeichnen, wie lange deine Familie im Auto für eine bestimmte Strecke braucht. Aus dem Aufgabenteil $c)$ der Einführungsaufgabe weißt du, dass es zum Zeichnen einer proportionalen Funktion im Koordinatensystem reicht, wenn du den Ursprung und dazu nur ein Wertepaar gegeben hast.
Das Wertepaar hast du in der Aufgabenstellung gegeben, denn du weißt, dass ihr für $200 \, \text{km}$ $2$ Stunden braucht. Rechne dir die Angabe am Besten in Minuten um, da es dir so leichter fällt, die Achse, auf der du die Zeit einzeichnest, zu beschriften. Da eine Stunde $60$ Minuten hast, haben $2$ Stunden $120$ Minuten. Die Zeitangabe kommt im Koordinatensystem auf die $x-$Achse.
Die Kilometerangeben brauchst du nicht umrechnen. Du trägst sie auf der $y-$ Achse ein.
Jetzt musst du dir noch überlegen, in welchem Abstand du die Werte im Koordinatensystem einträgst. Denn jedem Kästchen den Wert $1$ zuzuweisen macht nicht viel Sinn. Am besten trägst du die Minuten jeweils in Zehnerabständen und die Kilometerangaben in Zwanzigerabständen ein. So wird das Koordinatensystem übersichtlich und du findest die Werte, die du brauchst, schnell.
Du hast also den Ursprung bei $(0 \mid 0)$ gegeben und einen Punkt, der bei $(120 \mid 200)$ liegt. Zeichne nun eine Halbgerade vom Ursprung aus durch diesen Punkt und du hast die Aufgabe gelöst.
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 1: Koordinatensystem Autofahrt
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 1: Koordinatensystem Autofahrt
b)
$\blacktriangleright$  Durchschnittsgeschwindigkeit ablesen
Überlege dir zum Lösen dieser Aufgabe zuerst, wie man Durchschnittsgeschwindigkeiten angibt.
Durchschnittsgeschwindigkeiten gibt man entweder in $\dfrac{m}{s}$ oder in $\dfrac{km}{h}$ an. Da es hier um die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos geht, gibst du diese in $\dfrac{km}{h}$ an.
Schaue dazu auf der $x-$Achse, die dir die Zeit angibt, an welchem Punkt $1$ Stunde verstrichen ist. Bedenke, dass du die Angaben in Minuten umgerechnet hast, du musst also den Wert $60$ Minuten suchen. Lese nun am Graphen ab, bei welchem $y-$Wert er sich beim $x-$Wert $60$ Minuten befindet.
Nach $60$ Minuten habt ihr mit dem Auto eine Strecke von $100 \, \text{km}$ zurückgelegt. Folglich beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der ihr im Auto unterwegs seid, $100 \, \dfrac{km}{h}$.
c)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du eine Wertetabelle erstellen, in der du die zurückgelegte Strecke in $ \, \text{km}$ zu bestimmten Zeiten angeben sollst. Rechne dir die angegebenen Zeiten, die in Stunden angegeben sind, erst einmal in Minuten um, dann fällt dir das Ablesen leichter.
Wie du Werte an einem Koordinatensystem ablesen kannst, weißt du bereits aus den anderen Aufgaben. Falls du dir nicht mehr sicher bist, schaue dir noch einmal die Einführungsaufgabe an und mache dir klar, wie du dort vorgegangen bist.
Es ist nicht schlimm, wenn deine Werte minimal von den hier angegebenen Werten abweichen - aus dem Koordinatensystem kannst du nicht alle Werte ganz genau ablesen, manchmal musst du etwas abschätzen und gerade bei Werten wie $83 \, \text{km}$ ist es nicht schlimm, wenn du stattdessen $82$ oder $84$ aufgeschrieben hast. Versuche aber trotzdem, die Werte so genau wie möglich abzulesen.
Zeit in Minuten$10$$35$$50$$90$$110$
Strecke in $\, \text {km}$$17$$60$$83$$150$$183$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Wasserzulauf Swimmingpool in Koordinatensystem einzeichnen
Von deinem Vater weißt du, dass sich nach $10$ Stunden $120.000$ Liter Wasser im Pool befinden. Das heißt du hast wieder ein Wertepaar gegeben, das dir damit den einzigen Punkt angibt, den du abgesehen vom Ursprung brauchst. Überlege dir vor dem Zeichnen wieder, in welchem Abstand du die Werte im Koordinatensystem einträgst. Trage die Zeit im Einerabstand ein und die Füllmenge in Litern in Zehntausenderabständen. So wird das Koordinatensystem übersichtlich und du findest alle Werte, die du brauchst, schnell.
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 2: Koordinatensystem Swimmingpool
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 2: Koordinatensystem Swimmingpool
b)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Du sollst die angegebene Wertetabelle vervollständigen. Lies dazu, wie du es bereits aus den vorangegangenen Aufgaben kennst, die Werte aus dem Koordinatensystem ab.
Es ist wie in der vorherigen Aufgabe nicht so schlimm, wenn du ein paar minimal abweichende Werte hast, als die hier in der Tabelle. Denn manche Werte kannst du nicht ganz genau aus der Abbildung ablesen. Versuche aber trotzdem, so genau wie möglich zu arbeiten.
Zeit in Stunden$2$$2,5$$5$$7,1$$9,2$
Füllmenge in Litern$25.000$$30.000$$60.000$$85.000$$110.000$
Zeit in Stunden$2$$2,5$$5$
Füllmenge in Litern$25.000$$30.000$$60.000$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Werte in Koordinatensystem darstellen
Deine Aufgabe ist es, die Werte aus der Wertetabelle so in einem Koordinatensystem darzustellen, dass sie gut ablesbar sind.
Da du auch krumme Werte bei der Anzahl hast (wie $3$ oder $13$) ist es nicht so sinnvoll, hier mit Zweierabständen zu arbeiten. Und da bei der Anzahl der größte Wert sowieso nur $13$ ist, kannst du sie in Einerabständen einzeichnen. Zeichne die Anzahl auf der $y-$Achse ein.
Das Gewicht gibst du am besten in Neunerabständen an. Da ein Sixpack - wie du dir selbst ausrechnen kannst - $9 \, \text {kg}$ wiegt, kannst du so am Besten ablesen, wie viel die verschieden vielen Sixpacks wiegen.
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 3: Koordinatensystem Gewicht Sixpacks
Proportionale Funktionen: Darstellen
Abb. 3: Koordinatensystem Gewicht Sixpacks
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
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