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Vermischte Aufgaben

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Erklärung

Ausgehend von der Normalparabel $y=x^2$ sind die quadratischen Funktionen der Form $y=a(x-m)^2+c$ nach links oder rechts und nach oben oder unten verschoben.
(Normalparabel: $a=1$)

Beispiel

Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
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1.
Gib die Verschiebung der Normalparabel an. Erstelle daraufhin jeweils für die Funktion eine Wertetabelle und zeichne den zugehörigen Graphen ein.
b)
$y=(x-1)^2-2$
d)
$y=(x-2)^2+1$
f)
$y=(x+5)^2+2$
2.
Bestimme die Funktionsgleichungen der Normalparabeln in der Form $y=(x-m)^2+c$.
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
3.
Die Normalparabel $y=x^2$ wurde um vier Einheiten nach rechts und um zwei Einheiten nach oben verschoben. Wie lautet die Funktionsgleichung der neuen Parabel?
Gib sie in der Form $y=x²+bx+c$ an.
4.
Gib die Verschiebung der Normalparabel an. Erstelle daraufhin jeweils für die Funktion eine Wertetabelle und zeichne den zugehörigen Graphen ein.
b)
$y=2(x+1)^2-2$
d)
$y=-2(x+3)^2+1$
f)
$y=-0,5(x+4)^2+3$
5.
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabeln in der Form $y=a(x-m)^2+c$.
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
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1.
In dieser Aufgabe sollst du die Verschiebung der Normalparabel angeben und anschließend eine Wertetabelle anlegen und den zugehörigen Graphen zeichnen. Um die Verschiebung der Parabel zu bestimmen ist es am einfachsten, wenn du die Formel $y=(x-m)^2+c$ zur Hilfe nimmst. $m$ gibt dabei die Verschiebung in $x$-Richtung an und $c$ gibt die Verschiebung auf der $y$-Achse an. Wenn du die Verschiebung bestimmt hast, kannst du anschließend die Wertetabelle berechnen und mit dieser Wertetabelle kannst du dan den Graphen zeichnen.
a)
1. Schritt: Verschiebung auf der $x$-Achse
$y=(x+1)^2+1 \longrightarrow m=-1$
Die Parabel ist um eine Einheit nach links verschoben.
2. Schritt: Verschiebung auf der $y$-Achse
$y=(x+1)^2+1 \longrightarrow c=+1$
Die Parabel ist um eine Einheit nach oben verschoben.
3. Schritt: Wertetabelle erstellen
$x$ -3 -2 -1 0 1
$y$ 5 2 1 2 5
4. Schritt: Graphen zeichnen
Mit Hilfe der Wertetabelle können wir jetzt den zugehörigen Graphen zeichnen.
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
b)
1. Schritt: Verschiebung auf der $x$-Achse
$y=(x-1)^2-2 \longrightarrow m=1$
Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben.
2. Schritt: Verschiebung auf der $y$-Achse
$y=(x-1)^2-2 \longrightarrow c=-2$
Die Parabel ist um zwei Einheit nach unten verschoben.
3. Schritt: Wertetabelle erstellen
$x$ -2 -1 0 1 2 3
$y$ 7 2 -1 -2 -1 2
4. Schritt: Graphen zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
c)
1. Schritt: Verschiebung auf der $x$-Achse
$y=(x+2)^2+3 \longrightarrow m=-2$
Die Parabel ist um zwei Einheit nach links verschoben.
2. Schritt: Verschiebung auf der $y$-Achse
$y=(x+2)^2+3 \longrightarrow c=3$
Die Parabel ist um drei Einheit nach oben verschoben.
3. Schritt: Wertetabelle erstellen
$x$ -4 -3 -2 -1 0
$y$ 7 4 3 4 7
4. Schritt: Graphen zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
d)
1. Schritt: Verschiebung auf der $x$-Achse
$y=(x-2)^2+1 \longrightarrow m=2$
Die Parabel ist um zwei Einheit nach rechts verschoben.
2. Schritt: Verschiebung auf der $y$-Achse
$y=(x-2)^2+1 \longrightarrow c=+1$
Die Parabel ist um eine Einheit nach oben verschoben.
3. Schritt: Wertetabelle erstellen
$x$ 0 1 2 3 4
$y$ 5 2 1 2 5
4. Schritt: Graphen zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
e)
1. Schritt: Verschiebung auf der $x$-Achse
$y=(x-4)^2-3 \longrightarrow m=4$
Die Parabel ist um vier Einheit nach rechts verschoben.
2. Schritt: Verschiebung auf der $y$-Achse
$y=(x-4)^2-3 \longrightarrow c=-3$
Die Parabel ist um drei Einheit nach unten verschoben.
3. Schritt: Wertetabelle erstellen
$x$ 1 2 3 4 5 6 7
$y$ 6 1 -2 -3 -2 1 6
4. Schritt: Graphen zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
f)
1. Schritt: Verschiebung auf der $x$-Achse
$y=(x+5)^2+2 \longrightarrow m=-5$
Die Parabel ist um fünf Einheit nach links verschoben.
2. Schritt: Verschiebung auf der $y$-Achse
$y=(x+5)^2+2 \longrightarrow c=2$
Die Parabel ist um zwei Einheit nach oben verschoben.
3. Schritt: Wertetabelle erstellen
$x$ -7 -6 -5 -4 -3
$y$ 6 3 2 3 6
4. Schritt: Graphen zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
2.
Bei dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgleichungen mit Hilfe des Graphen bestimmen. Dazu kannst du zuerst den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen. Diesen Punkt kannst du aus dem Schaubild ablesen. Mit Hilfe des Scheitelpunktes kannst du dann $m$ und $c$ bestimmen. $m$ ist dabei die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts und $c$ ist die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts. Beide Werte kannst du dann in die Formel $y=(x-m)^2+c$ einsetzen.
a)
Den Scheitelpunkt können wir aus dem Schaubild ablesen: $S_1(-2 \mid -1)$
$m=-2$ und $c=-1$.
$m$ und $c$ können wir jetzt in unsere Formel einsetzen und erhalten die Funktionsgleichung:
$y_1=(x+2)^2-1$
b)
Den Scheitelpunkt können wir aus dem Schaubild ablesen: $S_2(1 \mid 2)$
$m=1$ und $c=2$.
$m$ und $c$ können wir jetzt in unsere Formel einsetzen und erhalten die Funktionsgleichung:
$y_1=(x-1)^2+2$
c)
Den Scheitelpunkt können wir aus dem Schaubild ablesen: $S_3(3 \mid 1)$
$m=3$ und $c=1$.
$m$ und $c$ können wir jetzt in unsere Formel einsetzen und erhalten die Funktionsgleichung:
$y_1=(x-3)^2+1$
3.
In dieser Aufgabe sollen wir die gesuchte Normalparabel bestimmen und in der Form $y=x^2+bx+c$ angeben.
Die Normalparabel wurde um vier Längeneinheiten nach oben verschoben. Das bedeutet, dass wir für $m=4$ erhalten.
Gleichzeitig wurde die Normalparabel um zwei Längeneinheiten nach oben verschoben. Wir erhalten für $c$ also 2.
$m$ und $c$ können wir nun in die Formel $y=(m-x)^2+c$ einsetzten:
$y_1=(x-4)^2+2$.
Da in der Aufgabe aber nach der Gleichung in der Form $y=x^2+bx+c$ gefragt ist, müssen wir die Gleichung $y_1$ noch ausmultiplizieren und zusammen fassen.
$y_1=x^2+2(-4)x+(-4)^2+2$
$y_1=x^2-8x+18$
4.
Bei dieser Aufgabe sollst du Verschiebung der Nomalparabel angeben. Dabei kannst du die Formel $y=a(x-m)+c$ verwenden.
$a$ gibt dabei an, ob die Parabel gestaucht oder gestreckt wurde.
Liegt $a$ zwischen $0$ und $1$, dann ist die Parabel gestaucht.
Ist $a$ größer als 1, dann wird die Parabel gestreckt.
Ist $a$ negativ, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
a)
Verschiebung
Funktion: $y=-1(x-1)^2-1$
$m=1 \rightarrow$ die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben.
$c=-1 \rightarrow$ die Parabel ist um eine Einheit nach unten verschoben.
$a=-1 \rightarrow$ die Parabel ist nicht gestaucht oder gestreckt, aber durch das negative Vorzeichen ist sie nach unten geöffnet.
Wertetabelle
$x$ -1 0 1 2 3
$y$ -5 -2 -1 -2 -5
Graph zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
b)
Verschiebung
Funktion: $y=2(x+1)^2-2$
$m=-1 \rightarrow$ die Parabel ist um eine Einheit nach links verschoben.
$c=-2 \rightarrow$ die Parabel ist um zwei Einheit nach unten verschoben.
$a=2 \rightarrow$ die Parabel wird um den Faktor $2$ gestreckt.
Wertetabelle
$x$ -3 -2 -1 0 1
$y$ 6 0 -2 0 6
Graph zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
c)
Verschiebung
Funktion: $y=3(x-2)^2-3$
$m=2 \rightarrow$ die Parabel ist um zwei Einheit nach rechts verschoben.
$c=-3 \rightarrow$ die Parabel ist um drei Einheit nach unten verschoben.
$a=3 \rightarrow$ die Parabel wird um den Faktor $3$ gestreckt.
Wertetabelle
$x$ 0 1 2 3 4
$y$ 9 0 -3 0 9
Graph zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
d)
Verschiebung
Funktion: $y=-2(x+3)^2+1$
$m=-3 \rightarrow$ die Parabel ist um drei Einheit nach links verschoben.
$c=1 \rightarrow$ die Parabel ist um eine Einheit nach oben verschoben.
$a=-2 \rightarrow$ die Parabel wird um den Faktor $2$ gestreckt und ist durch das negative Vorzeichen nach unten geöffnet.
Wertetabelle
$x$ -5 -4 -3 -2 -1
$y$ -7 -1 1 -1 -7
Graph zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
e)
Verschiebung
Funktion: $y=0,5(x-5)^2+2$
$m=5 \rightarrow$ die Parabel ist um fünf Einheit nach rechts verschoben.
$c=2 \rightarrow$ die Parabel ist um zwei Einheit nach oben verschoben.
$a=0,5 \rightarrow$ die Parabel wird um den Faktor $0,5$ gestaucht.
Wertetabelle
$x$ 3 4 5 6 7
$y$ 4 2,5 2 2,5 4
Graph zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
f)
Verschiebung
Funktion: $y=-0,5(x+4)^2+3$
$m=-4 \rightarrow$ die Parabel ist um vier Einheit nach links verschoben.
$c=3 \rightarrow$ die Parabel ist um drei Einheit nach oben verschoben.
$a=-0,5 \rightarrow$ die Parabel wird um den Faktor $0,5$ gestaucht und ist durch das negative Vorzeichen nach unten geöffnet.
Wertetabelle
$x$ -6 -5 -4 -3 -2
$y$ 1 2,5 3 2,5 1
Graph zeichnen
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
5.
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgleichung der Parabeln in der Form $y=a(x-m)^2+c$ angeben. $m$ und $c$ kannst du wieder mit Hilfe des Scheitelpunktes bestimmen Beide Werte kannst du dann in die Formel einsetzen. Um $a$ zu berechnen, kannst du eine beliebigen Punkt des Graphen in die Gleichung einsetzen und anschließend die Gleichung nach a auflösen.
a)
1. Schritt: $m$ und $c$ bestimmen
Als erstes kannst du den Scheitelpunkt der Parabel aus dem Schaubild ablesen:
$S(-2 \mid -1) \rightarrow m=-2$ und $c=-1$
$m$ und $c$ kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und erhälst:
$y_1=a(x+2)^2-1$
2. Schritt: $a$ berechnen
Beliebiger Punkt des Graphen: $P_1(0 \mid 1)$
Punkt in die Gleichung einsetzen:
$1=a(0+2)^2-1$
Gleichung nach a auflösen
$\begin{array}[t]{rll} 2^2a-1&=&1 \quad \scriptsize \mid +1\; \\[5pt] 4a&=&2 \quad \scriptsize \mid :4\;\\[5pt] a&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
$y_1=\dfrac{1}{2}(x+2)^2-1$
b)
1. Schritt: $m$ und $c$ bestimmen
Als erstes kannst du den Scheitelpunkt der Parabel aus dem Schaubild ablesen:
$S(1 \mid 2) \rightarrow m=1$ und $c=2$
$m$ und $c$ kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und erhälst:
$y_2=a(x-1)^2+2$
2. Schritt: $a$ berechnen
Beliebiger Punkt des Graphen: $P_2(0.5 \mid 3)$
Punkt in die Gleichung einsetzen:
$3=a(0.5-1)^2+2$
Gleichung nach a auflösen
$\begin{array}[t]{rll} (-0,5)^2a+2&=&3 \quad \scriptsize \mid -2\; \\[5pt] 0,25a&=&1 \quad \scriptsize \mid :0,25\;\\[5pt] a&=&4 \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
$y_2=4(x-1)^2+2$
c)
1. Schritt: $m$ und $c$ bestimmen
Als erstes kannst du den Scheitelpunkt der Parabel aus dem Schaubild ablesen:
$S(3 \mid 3) \rightarrow m=3$ und $c=3$
$m$ und $c$ kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und erhälst:
$y_3=a(x-3)^2+3$
2. Schritt: $a$ berechnen
Beliebiger Punkt des Graphen: $P_3(2 \mid 1)$
Punkt in die Gleichung einsetzen:
$1=a(2-3)^2+3$
Gleichung nach a auflösen
$\begin{array}[t]{rll} (-1)^2a+3&=&1 \quad \scriptsize \mid -3\; \\[5pt] a&=&-2 \quad \scriptsize \mid :0,25\; \end{array}$
3. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
$y_3=-2(x-3)^2+3$
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