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Verschiebung in x-Richtung

Spickzettel
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Quadratische Funktionen haben die Form $y=ax^2+bx+c$
Ausgehend von der Normalparabel $y=x^2$ sind die quadratischen Funktionen der Form $y=(x-m)^2$ um $m$ Einheiten nach rechts verschoben. Genauso ist auch die Parabel zu $y = a(x-m)^2+b(x-m)+c$ die um $m$ Einheiten nach rechts verschobene Parabel zu $y = ax^2+bx+c$. Steht in der Klammer ein $+$, dann wird nach links verschoben.
Sollst du also den Graphen einer quadratischen Funktion um $m$ Einheiten nach rechts verschieben, dann setzt du in den Funktionsterm statt $x$ $(x-m)$ ein. Soll nach links verschoben werden, dann (x+m).

Beispiel

$y=(x-m)^2$
$y_1=(x-0)^2$$m=0$ (Normalparabel)
$y_2=(x-2)^2$$m=2$ (um 2 nach rechts verschoben)
$y_3=(x+1)^2$$m=-1$ (um 1 nach links verschoben)
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
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Aufgaben
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1.
Gib den Scheitelpunkt an. Erstelle daraufhin jeweils für die Funktion eine Wertetabelle und zeichne den zugehörigen Graphen ein.
b)
$y=(x-1)^2$
d)
$y=(x+1)^2$
f)
$y=(x+4)^2$
2.
Bestimme die Funktionsgleichungen der Normalparabeln in der Form $y=(x-m)^2$.
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
3.
Die Normalparabel $y=x^2$ wurde um vier Einheiten nach rechts verschoben. Stelle die Funktionsgleichung der neuen Parabel in der Form $y=x^2+bx+c$ auf.
4.
Gib den Scheitelpunkt an. Erstelle daraufhin jeweils für die Funktion eine Wertetabelle und zeichne den zugehörigen Graphen ein.
b)
$y=2(x+1)^2$
d)
$y=-2(x+3)^2$
f)
$y=-0,5(x+4)^2$
5.
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabeln in der Form $y=a(x-m)^2$.
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
6.
Eine nach unten geöffnete Parabel der Form $y=-2x^2$ wurde um fünf Einheiten nach links verschoben und verläuft nun durch den Punkt P($-4|-2$). Stelle die Funktionsgleichung der neuen Parabel in der Form $y=ax^2+bx+c$ auf.
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Lösungen
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1.
Die Funktionen dieser Aufgabe sind alle von der Form $\boldsymbol{y=(x-m)^2}$. Der Parameter $m$ gibt dabei die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts an. Das entspricht auch der Verschiebung der Normalparabel in $x$-Richtung.
a)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=(x-3)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=3$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(3\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-3 \leq x \leq 7$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
$y$ 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16
$x$ -3 -2 -1 0 1 2
$y$ 36 25 16 9 4 1
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
b)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=(x-1)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=1$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(1\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-4 \leq x \leq 6$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
$y$ 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
$x$ -4 -3 -2 -1 0 1
$y$ 25 16 9 4 1 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
c)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=(x+2)^2 = \left(x-(-2)\right)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=-2$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(-2\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-6 \leq x \leq 4$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
$y$ 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36
$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1
$y$ 16 9 4 1 0 1
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
d)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=(x+1)^2=\left(x-(-1)\right)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=-1$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(-1\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-6 \leq x \leq 4$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
$y$ 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1
$y$ 25 16 9 4 1 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
e)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=(x-5)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=5$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(5\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $0 \leq x \leq 10$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$y$ 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
$x$ 0 1 2 3 4 5
$y$ 25 16 9 4 1 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
f)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=(x+4)^2=(x-(-4))^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=-4$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(-4\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-9 \leq x \leq 1$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
$y$ 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
$x$ -9 -8 -7 -6 -5 -4
$y$ 25 16 9 4 1 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
2.
Du sollst in dieser Aufgabe die Funktionsgleichungen der verschobenen Normalparabeln bestimmen. Lies dafür zunächst $m$, die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts, ab und setze diesen Wert dann in die Funktionsgleichung ein.
Für $y_1$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gegebe durch $m_1 = -2$. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann
$y_1$$: y=\left(x-(-2)\right)^2 $$= (x+2)^2$
Für $y_2$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gegeben durch $m_2 = 1$. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann
$y_2$$: y=\left(x-1\right)^2$
Für $y_3$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gegeben durch $m_3 = 3$. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann
$y_1$$: y=\left(x-3\right)^2$
3.
Du sollst die Normalparabel um vier Einheiten nach rechts verschieben, das bedeutet, dass der Scheitelpunkt die $x$-Koordinate $m=4$ hat. Du erhältst die Gleichung der Parabel in Scheitelform, indem du $m$ in die Scheitelform $y=(x-m)^2$ einsetzt.
$y=(x-4)^2$
Die gesuchte Form erhältst du durch ausmultiplizieren.
$y=(x-4)^2 $$= x^2-8x+16$
4.
Die Funktionen dieser Aufgabe sind alle von der Form $\boldsymbol{y=a(x-m)^2}$. Der Parameter $m$ gibt dabei die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts an. Das entspricht auch der Verschiebung der Normalparabel in $x$-Richtung. Der Parameter $a$ ist die Stauchung/Streckung der Parabel, er hat jedoch keinen Einfluss auf die Koordinaten des Scheitelpunkts.
a)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=-(x-1)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=1$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(1\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-3 \leq x \leq 7$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
$y$ -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 -25 -36
$x$ -3 -2 -1 0 1 2
$y$ -16 -9 -4 -1 0 -1
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
b)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=2(x+1)^2 = 2\left(x-(-1)\right)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=-1$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(-1\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-6 \leq x \leq 4$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
$y$ 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50
$x$ -6 -5 -4 -3 -2 -1
$y$ 50 32 18 8 2 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
c)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=3(x-2)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=2$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(2\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-3 \leq x \leq 7$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
$y$ 75 48 27 12 3 0 3 12 27 48 75
$x$ -3 -2 -1 0 1 2
$y$ 75 48 27 12 3 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
d)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=-2(x+3)^2=-2\left(x-(-3)\right)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=-3$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(-3\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-8 \leq x \leq 2$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
$y$ -50 -32 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 -32 -50
$x$ -8 -7 -6 -5 -4 -3
$y$ -50 -32 -18 -8 -2 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
e)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=0,5(x-5)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=5$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(5\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $0 \leq x \leq 10$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$y$ 12,5 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5
$x$ 0 1 2 3 4 5
$y$ 12,5 8 4,5 2 0,5 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
f)
$\blacktriangleright$ Scheitelpunkt angeben
Du sollst den Scheitelpunkt der Funktion $y=-0,5(x+4)^2 $$= -0,5\left(x-(-4)\right)^2$ angeben.
Die $x$-Koordinate ist gegeben durch $m=-4$, die zugehörige $y$-Koordinate ist $y=0$.
Der Scheitelpunkt lautet somit
$S(-4\mid 0)$
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-9 \leq x \leq 1$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
$x$ -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
$y$ -12,5 -8 -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 -8 -12,5
$x$ -9 -8 -7 -6 -5 -4
$y$ -12,5 -8 -4,5 -2 -0,5 0
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in x-Richtung
5.
Du sollst in dieser Aufgabe die Funktionsgleichungen der Parabeln bestimmen. Lies dafür zunächst $m$, die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts, ab und setze diesen Wert dann in die Funktionsgleichung ein.
Danach musst du den Streckfaktor $a$ bestimmen, welcher dir angibt, wie stark die Parabel gestaucht oder gestreckt wurde. Diesen erhälst du, indem du die Koordinaten eines Punktes der Parabel in die Gleichung einsetzt und nach $a$ auflöst.
Für $y_1$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gegeben durch $m_1 = -2$.
Um $a$ zu bestimmen kannst du zum Beispiel den Punkt P$(0\mid2)$ einsetzen.
$2 =a\cdot\left(0-\left(-2\right)\right)^2 $$ =a\cdot(2)^2=4a$
$\Rightarrow a= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann
$y_1$$: y=\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)^2$
Für $y_2$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gegeben durch $m_2 = 1$. Um $a$ zu bestimmen kannst du zum Beispiel den Punkt P$(1\mid3)$ einsetzen.
$3 =a\cdot\left(1-2\right)^2$$=a\cdot(-1)^2=a$
$\Rightarrow$$ a=3$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann
$y_2$$: y=3\left(x-1\right)^2$
Für $y_3$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes gegeben durch $m_3 = 3$. Um $a$ zu bestimmen kannst du zum Beispiel den Punkt P$(4\mid-2)$ einsetzen.
$(-2) =a\cdot\left(4-3\right)^2$$=a\cdot(1)^2=a$
$\Rightarrow$$ a=-2$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann
$y_1$$: y=-2\left(x-3\right)^2$
6.
Du sollst die Parabel um fünf Einheiten nach links verschieben, das bedeutet, dass der Scheitelpunkt die $x$-Koordinate $m=-5$ hat. Du erhältst die Gleichung der Parabel in Scheitelform, indem du $m$ in die Scheitelform $y=a(x-m)^2$ einsetzt.
$y=-2(x-(-5))^2$$=-2(x+5)^2$
Die gesuchte Form erhältst du durch ausmultiplizieren.
$y=-2(x+5)^2 $$= -2x^2-20x-50$
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