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Verschiebung in y-Richtung

Spickzettel
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Quadratische Funktionen haben die Form $y=ax^2+bx+c$. Der Summand $+c$ gibt den $y$-Achsenabschnitt an, dh. die Parabel zu $y = ax^2+bx+c$ ist die um $c$ Einheiten nach oben verschobene Parabel $y = ax^2+bx$.
Die quadratischen Funktionen der Form $y=x^2+c$ sind also Normalparabeln, die um $c$ Einheiten nach „oben“ verschoben werden.
Sollst du den Graphen einer quadratischen Funktion um $d$ Einheiten entlang der $y$-Achse verschieben, so musst du zum Funktionsterm den Summanden $+d$ für eine Verschiebung nach oben bzw. $-d$ für eine Verschiebung nach unten hinzufügen.

Beispiel

$\begin{array}{lllllllllllllll} y=x^2+c\\ y=x^2&:c=0 \;\text{(Normalparabel)}\\ y=x^2+2&:c=2\; \text{(um 2 nach oben verschoben)}\\ y=x^2-1&:c=-1\; \text{(um 1 nach unten verschoben)} \end{array}$
$\begin{array}{lllllllllllllll} y=x^2+c\\ y=x^2&:c=0 \\ y=x^2+2&:c=2 \\ y=x^2-1&:c=-1 \end{array}$
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
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Aufgaben
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1.
Erstelle jeweils für die Funktion eine Wertetabelle und zeichne den zugehörigen Graphen.
b)
$y=x^2+2$
d)
$y=x^2-4$
f)
$y=x^2-5$
2.
Ordne den Graphen $f_1$ bis $f_5$ die passende Funktionsgleichung (Buchstaben) zu.
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
3.
Die Bilder zeigen jeweils den Graphen einer Funktion der Form $y=x^2+c$.
Gib jeweils die Funktionsgleichung an.
b)
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
4.
Eine in $y$-Richtung verschobene Normalparabel verläuft durch den Punkt P($-3\mid1$).
Bestimme die Funktionsgleichung.
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion $y=x^2+1$ eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-5 \leq x \leq 5$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
     $y$ 26 17 10 5 2 1 2 5 10 17 25
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0
     $y$ 26 17 10 5 2 1
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
b)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion $y=x^2+2$ eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-5 \leq x \leq 5$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
     $y$ 27 18 11 6 3 2 3 6 11 18 27
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0
     $y$ 27 18 11 6 3 2
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
c)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion $y=x^2-3$ eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-5 \leq x \leq 5$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
     $y$ 22 13 6 1 -2 -3 -2 1 6 13 22
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0
     $y$ 22 13 6 1 -2 -3
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
d)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion $y=x^2-4$ eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-5 \leq x \leq 5$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
     $y$ 21 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 21
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0
     $y$ 21 12 5 0 -3 -4
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
e)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion $y=x^2+3$ eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-5 \leq x \leq 5$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
     $y$ 28 19 12 7 4 3 4 7 12 19 28
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0
     $y$ 28 19 12 7 4 3
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
f)
$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen
Du sollst für die Funktion $y=x^2-5$ eine Wertetabelle aufstellen. Wähle dazu den Bereich $-5 \leq x \leq 5$ und setze die ganzen Zahlen dieses Bereichs in die Funktionsgleichung ein.
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
     $y$ 20 11 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 11 20
     $x$ -5 -4 -3 -2 -1 0
     $y$ 20 11 4 -1 -4 -5
$\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
Quadratische Funktionen: Verschiebung in y-Richtung
2.
Du sollst den Graphen $f_1$ bis $f_5$ die passende Funktionsgleichung zuordnen.
Der Graph von $f_1$ ist eine um eine Einheit nach unten verschobene Normalparabel. Der Graph von $f_1$ ist somit $C$.
Der Graph von $f_2$ ist eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel. Der Graph von $f_2$ ist somit $B$.
Der Graph von $f_3$ ist eine um vier Einheiten nach oben verschobene Normalparabel. Der Graph von $f_3$ ist somit $A$.
Der Graph von $f_4$ ist eine um zwei Einheiten nach unten verschobene Normalparabel. Der Graph von $f_4$ ist somit $D$.
Der Graph von $f_5$ ist eine um drei Einheiten nach unten verschobene Normalparabel. Der Graph von $f_5$ ist somit $E$.
$f_1:\;\; y=x^2-1$ C
$f_2:\;\; y=x^2+1$ B
$f_3:\;\; y=x^2+4$ A
$f_4:\;\; y=x^2-2$ D
$f_5:\;\; y=x^2-3$ E
3.
a)
Das Bild zeigt den Graphen einer Funktion der Form $y=x^2+c$. Der Parameter $c$ gibt die Verschiebung des Graphen in $y$-Richtung an.
Der abgebildete Graph ist um drei Einheiten nach unten verschoben. Für den gesuchten Parameter gilt also:
$c=-3$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet
$y=x^2-3$
b)
Das Bild zeigt den Graphen einer Funktion der Form $y=x^2+c$. Der Parameter $c$ gibt die Verschiebung des Graphen in $y$-Richtung an.
Der abgebildete Graph ist um zwei Einheiten nach oben verschoben. Für den gesuchten Parameter gilt also:
$c=2$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet
$y=x^2+2$
4.
Eine in $y$-Richtung verschobene Normalparabel hat folgende Form
$y=x^2+c$
$y=x^2+c$
Der Graph der gesuchten Funktion soll durch den Punkt $P$ verlaufen. Setze also den Punkt $P$ in die oben angegebene Gleichung ein und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllllll} y&=&x^2 + c& \\ 1&=&(-3)^2 + c& \\ 1&=&9 + c& \mid\; -9\\ -8 &=& c \end{array}$
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also
$y=x^2-8$
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