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Achsenschnittpunkte

Spickzettel
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Erklärung

Um Schnittpunkte eines Graphen einer Funktion mit dem Koordinatensystem zu berechnen, musst du  $\boldsymbol{x}$  bzw.  $\boldsymbol{y}$  gleich 0 setzen.
  • Schnittpunkt mit der $x$-Achse berechnen:  $y=0$
  • Schnittpunkt mit der $y$-Achse berechnen:  $x=0$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse haben die Form $(0\mid y)$, die Schnittpunkte mit der $y$-Achse haben die Form $(x\mid0)$.
Quadratische Funktionen haben im Koordinatensystem die Form einer Parabel. Mit der  $\boldsymbol{x}$-Achse hat der Graph dieser Funktion entweder zwei, einen oder keinen Schnittpunkt.
Mit der  $\boldsymbol{y}$-Achse hat der Graph einer quadratischen Funktion immer genau einen Schnittpunkt.
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse berechnest du über die pq-Formel.

Beispiele

Zwei Schnittpunkte mit $x$-Achse

$\begin{array}{rl} y&=-(x-1)^2+4\\[5pt] y&=-x^2+2x+3\\[5pt] 0&=-x^2+2x+3 \quad \scriptsize{\mid\;\cdot(-1)}\\[5pt] 0&=x^2-2x-3 \\[5pt] x_{1,2}&= -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - (-3)} \\[5pt] x_{1,2} &= 1 \pm \sqrt {4} \\[5pt] x_1&=1-\sqrt{4}=-1; \\ x_2&=1+\sqrt{4}=3 \end{array}$
$\begin{array}{rl} x_{1,2} &= 1 \pm \sqrt {4} \\[5pt] x_1&=1-\sqrt{4}=-1; \\ x_2&=1+\sqrt{4}=3 \end{array}$

Ein Schnittpunkt mit $x$-Achse

$\begin{array}{rl} y&=(x+1)^2\\[5pt] y&=x^2+2x+1 \\[5pt] 0&=x^2+2x+1 \\[5pt] x_{1,2} &= -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2 - 1} \\[5pt] x_{1,2} &= -1 \pm \sqrt {0} \\[5pt] x&=-1 \end{array}$

Kein Schnittpunkt mit $x$-Achse

$\begin{array}{rl} y&=x^2+2\\[5pt] 0&=x^2+2 \\[5pt] x_{1,2} &= -\dfrac{0}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{0}{2}} \right)^2 - 2} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \sqrt {-2} \\[5pt] \end{array}$
negative Zahl unter Wurzel $\Longrightarrow$ die Gleichung hat keine Lösung
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Aufgaben
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1.
Skizziere die Parabel in ein Koordinatensystem und bestimme ihre Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
b)
$y=x^2-1$
d)
$\dfrac{x}{6}=9$
2.
Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln mit der $x$-Achse.
a)
$p:$ $y=x^2-2x-8$
b)
$p:$ $y=4x^2-16x-84$
c)
$p:$ $y=\dfrac{1}{2}x^2-3x-3,5$
d)
$p:$ $y=-x^2+6x-9$
e)
$p:$ $y=\dfrac{1}{2}x^2+9x-9,5$
f)
$p:$ $y=3x^2+6x+9$
3.
Berechne die Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen.
a)
$y=x^2+4x+4$
b)
$y=x^2+8x-9$
c)
$y=2x^2+10x-12$
d)
$y=x^2+2,5x-1,5$
4.
Die Parabel $y=-\dfrac{1}{10}x(x-7)$ beschreibt näherungsweise einen Speerwurf.
a)
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem mit $0\leq x\leq8$ ein. ($x$ und $y$ in 10m)
b)
Welche Höhe hat der Speer nach 30 Metern? Nach wie vielen Metern fliegt er nur noch 5 Meter über dem Boden?
c)
Was berechnet man mithilfe der Quadratischen Gleichung $-\dfrac{1}{10}x^2(x-7)=0$ in diesem Zusammenhang?
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Lösungen
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1.
a)
Skizze  $y=-x^2+4$
Schnittpunkte mit der $x$-Achse bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&-x^2+4&\scriptsize{\mid\;-4}\\[5pt] -4=&-x^2&\scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] x^2=&4&\scriptsize{ \mid\; \sqrt{\;\;}}\\[5pt] x_{1,2}=&\pm2 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(2\mid0\right)$ und $N_2\left(-2\mid0\right)$.
b)
Skizze  $y=x^2-1$
Schnittpunkte mit der $x$-Achse bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&x^2-1&\scriptsize \mid\;+1\\[5pt] 1=&x^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\;\;}\\[5pt] x_{1,2}=&\pm1&\scriptsize\\ \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(1\mid0\right)$ und $N_2\left(-1\mid0\right)$.
c)
Skizze  $y=-(x+1)^2+9$
Schnittpunkte mit der $x$-Achse bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&-(x+1)^2+9&\scriptsize \\[5pt] 0=&-(x^2+2x+1)+9&\scriptsize \\[5pt] 0=&-x^2-2x+8&\scriptsize \mid\;:(-1)\\[5pt] 0=&x^2+2x-8&\scriptsize \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&x^2+2x-8\\ \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(2\mid0\right)$ und $N_2\left(-4\mid0\right)$.
d)
Skizze  $y=\frac{1}{2}(x-1)^2-4$
Schnittpunkte mit der $x$-Achse bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&\frac{1}{2}(x-1)^2-4&\scriptsize \\[5pt] 0=&\frac{1}{2}(x^2-2x+1)-4&\scriptsize \\[5pt] 0=&\frac{1}{2}x^2-x-3,5&\scriptsize\mid\cdot2 \\[5pt] 0=&x^2-2x-7\\\\ x_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} \\[5pt] x_{1,2} =&-\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 - (-7)} \\[5pt] x_{1,2} =&1\pm \sqrt {8} \\[5pt] x_{1}=&1+\sqrt {8}\approx3,83 \\[5pt] x_{2}=&1-\sqrt{8}\approx-1,83 \end{array}$
$\begin{array}{rll} x_{1}=&1+\sqrt {8}\approx3,83 \\[5pt] x_{2}=&1-\sqrt{8}\approx-1,83 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(3,83\mid0\right)$ und $N_2\left(-1,83\mid0\right)$.
2.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2-2x-8\\[5pt] 0=&x^2-2x-8\\\\ x_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - (-8)} \\[5pt] x_{1,2} =& 1 \pm \sqrt {\left( 1^2 \right) - (-8)} \\[5pt] x_{1,2} =& 1 \pm \sqrt {9} \\[5pt] x_{1} =& 1 +3=4\\[5pt] x_{2} =&1-3=-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1} =& 4\\[5pt] x_{2} =& -2 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(4\mid0\right)$ und $N_2\left(-2\mid0\right)$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&4x^2-16x-84 \\[5pt] 0=&4x^2-16x-84&\scriptsize{\mid\;:4} \\[5pt] 0=&x^2-4x-21\\\\ x_{1,2} =& -\dfrac{-4}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-4}{2}} \right)^2 - (-21)} \\[5pt] x_{1,2} =& 2 \pm \sqrt {\left( 2^2 - (-21)\right)} \\[5pt] x_{1,2} =& 2 \pm \sqrt {25} \\[5pt] x_{1} =& 2 +5=7\\[5pt] x_{2} =&2-5=-3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1} =& 7\\[5pt] x_{2} =&-3 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(7\mid0\right)$ und $N_2\left(-3\mid0\right)$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y=&\dfrac{1}{2}x^2-3x-3,5\\[5pt] 0=&\dfrac{1}{2}x^2-3x-3,5&\scriptsize{\mid\;\cdot2} \\[5pt] 0=&x^2-6x-7\\\\ x_{1,2} =& -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-6}{2}} \right)^2 - (-7)} \\[5pt] x_{1,2} =& 3 \pm \sqrt {\left( 3^2 - (-7)\right)} \\[5pt] x_{1,2} =& 3 \pm \sqrt {16} \\[5pt] x_{1} =& 3 +4=7 \\[5pt] x_{2}=& 3-4=-1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1} =& 7 \\[5pt] x_{2}=& -1 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(7\mid0\right)$ und $N_2\left(-1\mid0\right)$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y=&-x^2+6x-9\\[5pt] 0=&-x^2+6x-9&\scriptsize{\mid\;\cdot(-1)} \\[5pt] 0=&x^2-6x+9 \\\\ x_{1,2} =& -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - 9}\\[5pt] x_{1,2} =& 3 \pm \sqrt {\left( (-3)^2 - 9\right)}\\[5pt] x_{1,2} =& 3 \pm \sqrt {0}\\[5pt] x_{1} =& 3 +0=3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} =& 3 \pm \sqrt {0}\\[5pt] x_{1} =& 3 \end{array}$
Der einzige Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist $N\left(3\mid0\right)$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y=&\dfrac{1}{2}x^2+9x-9,5\\[5pt] 0=&\dfrac{1}{2}x^2+9x-9,5\\[5pt] 0=&\dfrac{1}{2}(x^2+18x-19)&\scriptsize{ \mid\;\cdot2}\\ 0=&x^2+18x-19\\\\ x_{1,2} =& -\dfrac{18}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{18}{2}} \right)^2 - (-19)}\\[5pt] x_{1,2} =& -9 \pm \sqrt {100} \\[5pt] x_{1,2} =& -9 \pm 10 \\[5pt] x_{1} =& -9 + 10=1 \\[5pt] x_{2} =& -9 - 10=-19 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1} =& 1 \\[5pt] x_{2} =& -19 \end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse sind $N_1\left(1\mid0\right)$ und $N_2\left(-19\mid0\right)$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} y=&3x^2+6x+9\\[5pt] 0=&3x^2+6x+9&\scriptsize{ \mid\;:3 }\\[5pt] 0=&x^2+3x+3&\scriptsize \\\\ x_{1,2} =& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2 - 2} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt {\dfrac{9}{4} - 3} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt {- \dfrac{3}{4}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} =& -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt {- \dfrac{3}{4}} \end{array}$
Die Gleichung hat keine Lösung, da man von einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen kann. Damit hat die Parabel keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
3.
Die Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen berechnen
a)
$y=x^2+4x+4$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt(e) mit $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} 0=x^2+4x+4\\[5pt] x_{1/2}=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4}\\[5pt] x_{1/2}=&-2\pm\sqrt{0}\\[5pt] x=&-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x=&-2 \end{array}$
$N\left(-2\mid0\right)$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit $y$-Achse $(x=0)$:
$\begin{array}[t]{rll} y=&0+0+4\\[5pt] y=&=4&S_y\left(0\mid4\right) \end{array}$
b)
$y=x^2+8x-9$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt(e) mit $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} 0=x^2+8x-9\\[5pt] x_{1/2}=&-\dfrac{8}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)-(-9)}\\[5pt] x_{1/2}=&-4\pm\sqrt{25}\\[5pt] x_1=&-4-5=-9\\[5pt] x_2=&-4+5=1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1=& -9\\[5pt] x_2=& 1 \end{array}$
$N_1\left(-9\mid0\right);N_2\left(1\mid0\right)$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit $y$-Achse $(x=0)$:
$\begin{array}[t]{rll} y=&0+0-9\\[5pt] y=&-9&S_y\left(0\mid-9\right) \end{array}$
c)
$y=2x^2+10x-12$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt(e) mit $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} 0=&2x^2+10x-12&\quad\scriptsize{\mid\;:2}\\[5pt] 0=&x^2+5x-6\\[5pt] x_{1/2}=&-\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-(-6)}\\[5pt] x_{1/2}=&-2,5\pm\sqrt{12,25}\\[5pt] x_1=&-2,5-3,5=-6\\[5pt] x_2=&-2,5+3,5=1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1=& -6\\[5pt] x_2=& 1 \end{array}$
$N_1\left(1\mid0\right);\;N_2\left(-6\mid0\right)$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit $y$-Achse $(x=0)$:
$\begin{array}[t]{rll} y=&0+0-12\\ y=&-12&S_y\left(0\mid-12\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&0+0-12\\ \end{array}$
d)
$y=x^2+2,5x-1,5$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt(e) mit $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} 0=&x^2+2,5x-1,5\\[5pt] x_{1/2}=&-\dfrac{2,5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{2,5}{2}^2-(-1,5)}\\[5pt] x_{1/2}=&-1,25\pm1,75\\[5pt] x_1=&-1,25-1,75=-3\\[5pt] x_2=&-1,25+1,75=0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1=& -3\\[5pt] x_2=& 0,5 \end{array}$
$N_1\left(-3\mid0\right);\;N_2\left(0,5\mid0\right)$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit $y$-Achse $(x=0)$:
$\begin{array}[t]{rll} y=&0+0-1,5\\[5pt] y=&-1,5&S_y\left(0\mid-1,5\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&0+0-1,5 \end{array}$
4.
a)
$y=-\dfrac{1}{10}x(x-7)$
Wertetabelle $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$y$ $0$ $0,6$ $1$ $1,2$ $1,2$ $1$ $0,6$
Wertetabelle $x$ $0$ $1$ $2$
$y$ $0$ $0,6$ $1$
Graph der Funktion $y=-\dfrac{1}{10}x(x-7)$
Quadratische Funktionen: Achsenschnittpunkte
Quadratische Funktionen: Achsenschnittpunkte
b)
$\blacktriangleright$  Höhe des Speers nach 30m
Aus dem Grafen liest du für $x=3$ ungefähr $y=1,3$ (13m) ab. Rechnerisch überprüfst du dies durch Einsetzen von $x=3$ in die Funktionsgleichung.
$\begin{array}{rl} y=&-\dfrac{1}{10}\cdot3\cdot(3-7) \\[5pt] y=&-\dfrac{3}{10}\cdot(-4)=\dfrac{12}{10}=1,2 \end{array}$
Nach 30m ist demnach der Speer auf der Höhe von 12m.
$\blacktriangleright$  Weite des Speers in einer Höhe von 5m
Aus dem Grafen liest du, dass es für $y=0,5$ (5m Höhe) zwei $x$-Werte gibt. Nämlich $x\approx0,8$ (8m) und $x\approx6,2$ (62m). Rechnerisch überprüfst du dies durch Einsetzen von $y=0,5$ in die Funktionsgleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5=&-\dfrac{1}{10}x(x-7)\\[5pt] 0,5=&-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{7}{10}x&\scriptsize{\mid \;-0,5}\\[5pt] 0=&-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{7}{10}x&\scriptsize{\mid \;\cdot(-10)}\\[5pt] 0=&x^2-7x+5\\\\ x_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} \\[5pt] x_{1,2} =& -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-7}{2}} \right)^2 - 5}\\[5pt] x_{1,2} =& 3,5 \pm \sqrt {7,25}\\[5pt] x_{1}=&3,5-\sqrt {7,25}\approx0,81\\[5pt] x_{1}=&3,5+\sqrt {7,25}\approx6,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1}& \approx0,81\\[5pt] x_{1}& \approx6,2 \end{array}$
Damit ist der Speer nach einer Weite von $8,1$m ($x=0,81$) und $62$m ($x=6,2$) auf der Höhe von $5$m ($y=0,5$).
c)
Interpretation der Gleichung $-\dfrac{1}{10}x^2(x-7)=0$
Die $x$-Werte geben die Weite des Speers an. Die $y$-Werte geben die Höhe des Speers an. In diesem Fall ist $y=0$. Demnach wird gefragt, nach welcher Weite $x$ der Speer wieder auf dem Boden ($y=0$) ist. Dies ist einmal zu Beginn des Wurfes, also bei $x=0$, und bei der Wurfweite $x=7$ (70m) der Fall.
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