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Scheitelform und allgemeine Form

Spickzettel
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Erklärung

Um die allgemeine Form in die Scheitelform umzuwandeln, benötigst du die Technik der quadratischen Ergänzung.
$\begin{array}{llllllll} \text{Allgemein}: & y=ax^2+bx+c & x_{\text{Scheitel}}=-\dfrac{b}{2a} & y_{\text{Scheitel}}=c-\dfrac{b^2}{4a} \\ \text{Beispiel}: & y=1x^2-4x+1 & x_{\text{Scheitel}}=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=2 & y_{\text{Scheitel}}=1-\dfrac{(-4)^2}{4\cdot1}=-3 \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} \text{Allgemein}: y_{\text{Scheitel}}=c-\dfrac{b^2}{4a} \\ \text{Beispiel}: \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Bringe die Funktionsgleichung in die allgemeine Form.
b)
$y=4(x+2)^2-5$
d)
$y=-2(x+4)^2-5$
2.
Bestimme mit Hilfe des Graphen die Funktionsgleichung (allgemeine Form) der angegeben Parabeln $A$, $B$, $C$ und $D$.
3.
Bringe die Funktionsgleichung auf die Scheitelform.
Wie geht die zugehörige Parabel aus der Normalparabel $y=x^2$ hervor?
Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes?
b)
$y=-x^2-2x-2$
d)
$y=-3x^2+15x-2$
4.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.
b)
$y=x^2-2x+1$
d)
$y=x^2-5x+c;A(1\mid 0)$
f)
$y=-x^2+cx;A(1\mid 1)$
h)
$y=-x^2+2x-16$
5.
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel in der allgemeinen Form und Scheitelpunktform. Als $S$ bezeichnen wir den Scheitelpunkt der Parabel. Alle anderen Punkte liegen auf der Parabel.
b)
$S(-1\mid -2);$ Normalparabel
d)
$S(-2\mid 0);$ Normalparabel
f)
$y=ax^2-1;C(2\mid 0)$
h)
$y=\dfrac{1}{2}x^2+c+1;\;A(2\mid 6)$
j)
$y=2(x+c)^2+\dfrac{1}{2};\;A(1\mid 1)$
l)
$y=c(x+1)(x-2);\;A(1\mid 1)$
6.
Die gegebenen Punkte liegen auf dem Graphen einer verschobenen Normalparabel der Form $y=x^2+px+q$. Bestimme jeweils die Funktionsgleichung sowie den Scheitelpunkt der Parabel.
b)
$A(1\mid 0)$; $B(-2\mid 9)$
d)
$A(-3\mid -14)$; $B(2\mid 21)$
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Lösungen
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1.
Bringe die Funktionsgleichung in die allgemeine Form.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&4(x+2)^2-5\\ =&4(x^2+4x+4)-5 \\ =&4x^2+16x+16-5 \\ y=&4x^2+16x+11 \\ \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} y=&-2(x+4)^2-5\\ =&-2(x^2+8x+16)-5 \\ =&-2x^2-16x-32-5 \\ y=&-2x^2-16x-37 \\ \end{array}$
2.
Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel $A$
Da diese Parabel durch den Ursprung geht und nicht nach rechts oder links verschoben ist, macht man hier den Ansatz $y=ax^2$.
Aus dem Graphen liest man ab, dass der Punkt $(1\mid 1)$ auf der Parabel $A$ liegt.
$(1\mid 1)$ eingesetzt in $y=ax^2$ liefert das
$\begin{array}[t]{rll} y=&ax^2&\quad(1\mid 1)\;\text{eingesetzt}\\ 1=&a\cdot1^2&\quad \Longrightarrow a=1\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \Longrightarrow a=1\\ \end{array}$
Bei der Parabel $A$ handelt es sich damit um die Normalparabel $y=x^2$. (Scheitelform und allgemeine Form)
Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel $B$
Ansatz: $y=a\cdot(x-m)^2+n$ und $S(m\mid n)$
Aus dem Scheitelpunkt $S(3\mid -2)$ folgt $y=a\cdot(x-3)^2-2$.
Aus dem Graphen liest man ab, dass der Punkt $(5\mid 2)$ auf der Parabel $B$ liegt.
$(5\mid 2)$ eingesetzt in $y=a\cdot(x-3)^2-2$ liefert
$\begin{array}[t]{rll} 2=&a\cdot(5-3)^2-2&\quad(5\mid 2)\; \text{eingesetzt}\\ 2=&a\cdot4-2&\quad \mid+2:4\\ a=&1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a=&1 \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=(x-3)^2-2$ für die Parabel B.
Durch ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Funktionsgleichung
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x-3)^2-2\\ y=&(x^2-6x+9)-2 \\ y=&x^2-6x+7 \\ \end{array}$
Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel $C$
Ansatz: $y=a\cdot(x-m)^2+n$ und $S(m\mid n)$
Aus dem Scheitelpunkt $S(-2\mid 3)$ folgt $y=a\cdot(x+2)^2+3$.
Aus dem Graphen liest man ab, dass der Punkt $(0\mid 5)$ auf der Parabel $C$ liegt.
$(0\mid 5)$ eingesetzt in $y=a\cdot(x+2)^2+3$ liefert
$\begin{array}[t]{rll} 5=&a\cdot(0+2)^2+3&\quad(0\mid 5)\; \text{eingesetzt}\\ 5=&4a+3&\quad \mid-3:4 \\ a=&\frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a=&\frac{1}{2} \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2+3$ für die Parabel C.
Durch ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Funktionsgleichung
$\begin{array}[t]{rll} y=&\dfrac{1}{2}(x+2)^2+3\\ y=&\dfrac{1}{2}(x^2+4x+4)+3 \\ y=&\dfrac{1}{2}x^2+2x+5 \\ \end{array}$
Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel $D$
Ansatz: $y=a\cdot(x-m)^2+n$ und $S(m\mid n)$
Aus dem Scheitelpunkt $S(-4\mid 3)$ folgt $y=a\cdot(x+4)^2+3$.
Aus dem Graphen liest man ab, dass der Punkt $(-5\mid 1)$ auf der Parabel $D$ liegt.
$(-5\mid 1)$ eingesetzt in $y=a\cdot(x+4)^2+3$ liefert
$\begin{array}[t]{rll} 1=&a\cdot(-5+4)^2+3&\quad(-5\mid 1)\; \text{eingesetzt}\\ 1=&a+3&\quad \mid-3 \\ a=&-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1=&a\cdot(-5+4)^2+3 \\ 1=&a+3\\ a=&-2 \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=-2(x+4)^2+3$ für die Parabel D.
Durch ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Funktionsgleichung
$\begin{array}[t]{rll} y=&-2(x+4)^2+3\\ y=&-2(x^2+8x+16)+3 \\ y=&-2x^2-16x-29\\ \end{array}$
3.
Um aus der allgemeinen Formel in die Scheitelform zu kommen, benötigt man die quadratische Ergänzung. Für die quadratische Ergänzung ist es besonders wichtig die 1. und 2. binomischen Formeln gut zu können: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ und $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
a)
Allgemeine Formel
$\begin{array}[t]{rll} y=&3x^2-12x+9&\quad\mid\; 3\; \text{ausklammern}\\ y=&3(x^2-4x+3)\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&3x^2-12x+9\\ y=&3(x^2-4x+3)\\ \end{array}$
Schaut man sich den Ausdruck $(\underbrace{x^2}_{a^2}-\underbrace{4x}_{2ab}+3)$ an, so fällt auf, dass dieser der 2.binomischen Formel ähnelt.
Quadratische Ergänzung durchführen
$\begin{array}[t]{rll} y=&3(x^2-4x+3)\\ y=&3(\underbrace{x^2-4x+2^2}_{(x-2)^2}-2^2+3)\\ y=&3\left((x-2)^2-4+3\right)\\ y=&3\left((x-2)^2-1\right)\\ y=&3(x-2)^2-3\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&3(x^2-4x+3)\\ y=&3(x-2)^2-3\\ \end{array}$
Wie geht die Parabel $y=3(x-2)^2-3$ aus der Normalparabel $y=x^2$ hervor?
  1. Streckung um den Faktor $3$
  2. Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
  3. Verschiebung um 3 Einheit nach unten
Der Scheitelpunkt liegt daher bei $S(2\mid -3)$.
b)
Allgemeine Formel
$\begin{array}[t]{rll} y=&-x^2-2x-2&\quad\mid\; -1 \;\text{ausklammern}\\ y=&-(x^2+2x+2)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-x^2-2x-2\\ y=&-(x^2+2x+2)\\ \end{array}$
Schaut man sich den Ausdruck $(\underbrace{x^2}_{a^2}+\underbrace{2x}_{2ab}+1)$ an, so fällt auf, dass dieser der 1.binomischen Formel ähnelt.
Quadratische Ergänzung durchführen
$\begin{array}[t]{rll} y=&-(x^2+2x+2)&\\ y=&-(\underbrace{x^2+2x+1^2}_{(x+1)^2}-1^2+2)&\\ y=&-1\left((x+1)^2-1+2\right)&\\ y=&-\left((x+1)^2+1\right)&\\ y=&-(x+1)^2-1&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-(x^2+2x+2)\\ y=&-(x+1)^2-1\\ \end{array}$
Wie geht die Parabel $y=-(x+1)^2-1$ aus der Normalparabel $y=x^2$ hervor?
  1. Streckung um den Faktor $-1$ (Parabel ist nach unten geöffnet)
  2. Verschiebung um 1 Einheiten nach links
  3. Verschiebung um 1 Einheit nach unten
Der Scheitelpunkt liegt daher bei $S(-1\mid -1)$.
c)
Allgemeine Formel
$\begin{array}[t]{rll} y=&-\dfrac{1}{2}x^2+2x-1&\quad\mid-1 \;\text{ausklammern} \\ y=&-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+2\right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-\dfrac{1}{2}x^2+2x-1\\ y=&-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+2\right)\\ \end{array}$
Schaut man sich den Ausdruck $(\underbrace{x^2}_{a^2}-\underbrace{4x}_{2ab}+2)$ an, so fällt auf, dass dieser
der 2.binomischen Formel ähnelt.
Quadratische Ergänzung durchführen
$\begin{array}[t]{rll} y=&-\frac{1}{2}(x^2-4x+2)& \\ y=&-\frac{1}{2}(\underbrace{x^2-4x+2^2}_{(x-2)^2}-2^2+2)& \\ y=&-\frac{1}{2}\left((x-2)^2-4+2\right)& \\ y=&-\frac{1}{2}\left((x-2)^2-2\right)& \\ y=&-\frac{1}{2}(x-2)^2+1&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-\frac{1}{2}(x^2-4x+2)\\ y=&-\frac{1}{2}(x-2)^2+1\\ \end{array}$
Wie geht die Parabel $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+1$ aus der Normalparabel $y=x^2$ hervor?
  1. Stauchung um den Faktor $-\frac{1}{2}$ (Parabel ist nach unten geöffnet)
  2. Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
  3. Verschiebung um 1 Einheit nach oben
Der Scheitelpunkt liegt daher bei $S(2\mid 1)$.
d)
Allgemeine Formel
$\begin{array}[t]{rll} y=&-3x^2+15x-2&\quad-3\;\text{ausklammern}\\ y=&-3\cdot\left(x^2-5x+\dfrac{2}{3}\right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-3x^2+15x-2\\ y=&-3\cdot\left(x^2-5x+\dfrac{2}{3}\right)\\ \end{array}$
Schaut man sich den Ausdruck $\left(\underbrace{x^2}_{a^2}-\underbrace{5x}_{2ab}+\frac{2}{3}\right)$ an, so fällt auf, dass dieser
der 2.binomischen Formel ähnelt.
Quadratische Ergänzung durchführen
$\begin{array}[t]{rll} y=&-3\left(x^2-5x+\dfrac{2}{3}\right)& \\ y=&-3\left(\underbrace{x^2-5x+2,5^2}_{(x-2,5)^2}-2,5^2+\frac{2}{3}\right)& \\ y=&-3\left((x-2,5)^2-6,25+\frac{2}{3}\right)& \\ y=&-3\left((x-2,5)^2-\frac{25}{4}+\frac{2}{3}\right)& \\ y=&-3\left((x-2,5)^2-\frac{75}{12}+\frac{8}{12}\right)&\\ y=&-3\left((x-2,5)^2-\frac{67}{12}\right)&\\ y=&-3(x-2,5)^2+\frac{201}{12}&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-3\left(x^2-5x+\dfrac{2}{3}\right) \\ y=&-3(x-2,5)^2+\frac{201}{12}\\ \end{array}$
Wie geht die Parabel $y=-3(x-2,5)^2+\frac{201}{12}$ aus der Normalparabel $y=x^2$ hervor?
  1. Streckung um den Faktor $-3$ (Parabel ist nach unten geöffnet)
  2. Verschiebung um 2,5 Einheiten nach rechts
  3. Verschiebung um $\frac{201}{12}$ Einheit nach oben
Der Scheitelpunkt liegt daher bei $S\left(2,5\mid \frac{201}{12}\right)$
4.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2-2x+1\\ y=&(x-1)^2\\ &S(1\mid 0) \end{array}$
d)
$y=x^2-5x+c;\;A(1\mid 0)$
$\begin{array}[t]{rll} 0=&1-5+c\\ c=&4 \end{array}$
$c$ wird in die Parabelgleichung eingesetzt.
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2-5x+4\\ y=&\underbrace{x^2-5x+2,5^2}_{(x-2,5)^2}-2,5^2+4\\ y=&(x-2,5)^2-2,25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x-2,5)^2-2,25 \end{array}$
$S(2,5\mid -2,25)$
f)
$y=-x^2+cx;\;A(1\mid 1)$
$\begin{array}[t]{rll} 1=&-1+c&{+1}\\ 2=&c \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-x^2+2x\\ =&-(x^2-2x)\\ =&-(\underbrace{x^2-2x+1^2}_{(x-1)^2}-1^2)\\ =&-((x-1)^2-1)\\ y=&-(x-1)^2+1 \end{array}$
$S(1\mid 1)$
h)
$y=-x^2+2x-16$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-(x^2-2x+16)\\ y=&-(\underbrace{x^2-2x+1^2}_{(x-1)^2}-1^2+16)\\ y=&-((x-1)^2+15)=-(x-1)^2-15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-(x-1)^2-15 \end{array}$
$S(1\mid -15)$
5.
Die Scheitelpunktform einer Normalparabel ist $y=(x-m)^2+n$. In diese kann der Scheitelpunkt eingesetzt werden. Die allgemeine Form einer Parabel ist $y=ax^2+bx+c$.
a)
$S(1\mid 1);$ Normalparabel
$\Longrightarrow$ $y=(x-1)^2+1$
Durch Ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Parabel
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x-1)^2+1 \\ y=&x^2-2x+1^2+1 \\ y=&x^2-2x+2 \\ \end{array}$
b)
$S(-1\mid -2);$ Normalparabel
$\Longrightarrow$ $y=(x+1)^2-2$
Durch Ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Parabel
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x+1)^2-2 \\ y=&x^2+2x+1^2-2 \\ y=&x^2+2x-1 \\ \end{array}$
c)
$S(0\mid 2);$ Normalparabel
$\Longrightarrow$ $y=x^2+2$ (Scheitelpunktform und allgemeine Form)
d)
$S(-2\mid 0)$ Normalparabel
$\Longrightarrow$ $y=(x+2)^2$
Durch Ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Parabel
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x+2)^2 \\ y=&x^2+4x+2^2 \\ y=&x^2+4x+4 \\ \end{array}$
e)
$y=x^2-c;\;A(2\mid 2)$
$\begin{array}[t]{rll} 2=&4-c&{\mid-4}\\ -2=&-c&{\mid\cdot (-1)}\\ c=&2\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=x^2+2$ (Scheitelpunktform und allgemeine Form)
f)
$y=ax^2-1;\;C(2\mid 0)$
$\begin{array}[t]{rll} 0=&a\cdot2^2-2&{\mid\; +2}\\ 1=&a\cdot 4&{\mid\; :4}\\ \dfrac{1}{4}=&a\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=\dfrac{1}{4}a^2-1$ (Scheitelpunktform und allgemeine Form)
g)
$y=ax^2-2x+1;\;B(1\mid 1)$
$\begin{array}[t]{rll} 1=&a\cdot1-2+1&{\mid\; +1}\\ 2=&a\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=2x^2-2x+1$
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelpunktform
$\begin{array}[t]{rll} y=&2x^2-2x+1&\\ y=&2(x^2-x+0,5)&\\ y=&2(\underbrace{x^2-x+0,5^2}_{(x-0,5)^2}-0,5^2+0,5)&\\ y=&2((x-0,5)^2+0,25)&\\ y=&2(x-0,5)^2+0,5&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&2(x-0,5)^2+0,5\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=2(x-0,5)^2+0,5$
h)
$y=\dfrac{1}{2}x^2+c+1;\;A(2\mid 6)$
$\begin{array}[t]{rll} 6=&\dfrac{1}{2}\cdot2^2+c+1\\ 6=&3+c&{\mid -3}\\ 3=&c\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=\dfrac{1}{2}x^2+4$ (Scheitelpunktform und allgemeine Form)
i)
$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2+c;\;B\left(4\mid \dfrac{7}{2}\right)$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{2}=&\dfrac{1}{2}(4-1)^2+c\\ \dfrac{7}{2}=&\dfrac{1}{2}\cdot 9+c&{\mid -\dfrac{9}{2}}\\ -1=&c\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2-1$
Durch Ausmultiplizieren erhält man die allgemeine Form der Parabel
$\begin{array}[t]{rll} y=&\dfrac{1}{2}(x-1)^2-1 \\ y=&\dfrac{1}{2}(x^2-2x+1)-1 \\ y=&\dfrac{1}{2}x^2-x-\dfrac{1}{2} \\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=\dfrac{1}{2}x^2-x-\dfrac{1}{2}$
j)
$y=2(x+c)^2+\dfrac{1}{2};A(1\mid 1)$
$\begin{array}[t]{rlll} 1=&2(1+c)^2+\dfrac{1}{2}\\ 1=&2(1+2x+x^2)+\dfrac{1}{2}\\ 1=&2+4c+2c^2+\dfrac{1}{2}&{\mid\; -1}\\ 0=&2c^2+4c+\dfrac{3}{2}\\ c_{1/2}=&\dfrac{-4\pm\sqrt{16-12}}{4}=\dfrac{-4\pm2}{4}\\ c_1=&-\dfrac{1}{2};\;\;c_2=-\dfrac{3}{2}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} c_1=&-\dfrac{1}{2};\;\;c_2=-\dfrac{3}{2}\\ \end{array}$
Scheitelpunktform der Parabel
$y_1=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}$
$y_2=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}$
Allgemeine Form der Parabel
$\begin{array}[t]{rlll} y_1=&2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\\ y_1=&2\left(x^2-x+\dfrac{1}{2}^2\right)+\dfrac{1}{2}\\ y_1=&2x^2-2x+1&{\mid -1}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} y_2=&2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\\ y_2=&2\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\\ y_2=&2x^2-6x+10&{\mid\; -1}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} y_1=&2x^2-2x+1\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} y_2=&2x^2-6x+10\\ \end{array}$
k)
$y=(x-c)(x+2);\;A(2\mid 8)$
$\begin{array}[t]{rll} 8=&(2-c)(2+2)\\ 8=&4+4-2c-2c\\ 8=&8-4c&{\mid\; -8}\\ 0=&-4c&{\mid\; :(-4)}\\ 0=&c\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0=&c\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=x(x+2)=x^2+2x$ (allgemeine Form)
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelpunktform
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2+2x&\\ y=&\left(\underbrace{x^2+2x+1}_{(x+2)^2}\right)-1&\\ y=&(x+2)^2-1&\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=(x+2)^2-1$
l)
$y=c(x+1)(x-2);\;A(1\mid 1)$
$\begin{array}[t]{rll} 1=&c\cdot(1+1)(1-2)\\ 1=&c\cdot -2&{\mid\; :-2}\\ -\dfrac{1}{2}=&c\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{1}{2}=&c\\ \end{array}$
$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)(x-2)$$=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+1$
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelpunktform
$\begin{array}[t]{rll} y=&-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1&\\ y=&-\frac{1}{2}\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right)&\\ y=& \frac{1}{2}\left(\underbrace{x^2+x+\frac{1}{2}^2}_{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}\right)&\\ y=&-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=-\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{8}$
6.
Um die Funktionsgleichung in der Form $y=x^2+px+q$ zu bestimmen, setzt man zunächst die Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und löst dann das Lineare Gleichungssystem. Mithilfe der Quadratischen Ergänzung kann man dann die allgemeine Form in die Scheitelform umwandeln.
a)
Einsetzen von $A(0\mid 5)$ und $B(-3\mid 2)$ in $y=x^2+px+q$
$\begin{array}[t]{rll} 5=&0^2+p\cdot0+q\\ 2=&(-3)^2+p\cdot(-3)+q& \quad\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5=&q \\ 2=&9-3p+q \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5=&q \\ 2=&9-3p+q \\ \end{array}$
$q=5$ eingesetzt in die untere Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} 2=&9-3p+5&\quad\mid\;-9-5\\ -12=&-3p& \quad\mid\;: (-3)\\ p=&4\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2=&9-3p+5\\ -12=&-3p\\ p=&4\\ \end{array}$
Aus $p=4$ und $q=5$ ergibt sich die gesuchte Funktionsgleichung
$y=x^2+4x+5$
Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelform
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2+4x+5&\\ y=&\left(\underbrace{x^2+4x+2^2}_{(x+2)^2}\right)-2^2+5&\\ y=&(x+2)^2+1&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x+2)^2+1\\ \end{array}$
Aus $y=(x+2)^2+1$ folgt $S(-2\mid 1)$.
b)
Einsetzen von $A(1\mid 0)$ und $B(-2\mid 9)$ in $y=x^2+px+q$
$\begin{array}[t]{rll} 0=&1^2+p\cdot1+q\\ 9=&(-2)^2+p\cdot(-2)+q& \quad\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0=&1+p+q &\quad\mid-1\\ 9=&4-2p+q&\quad\mid-4\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -1=&p+q &\quad\\ 5=&-2p+q&\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -1=&p+q \\ 5=&-2p+q \\ \end{array}$
Dieses Lineare Gleichungssystem kann man mit dem Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren lösen. Welches Verfahren du benutzt, bleibt dir überlassen. Im Folgenden werden wir das Einsetzungsverfahren benutzen.
Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Variable
$\begin{array}[t]{rll} -1-p=&q \\ 5=&-2p+q \\ \end{array}$
Einsetzen der oberen Gleichung ($q=-1-p$) in die untere Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} 5=&-2p+(-1-p)&\quad\mid\; +1\\ 6=&-3p& \quad\mid\;:-3\\ p=&-2\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5=&-2p+(-1-p) \\ 6=&-3p \\ p=&-2\\ \end{array}$
Einsetzen von $p=-2$ in eine der beiden Gleichungen
$p=-2$ eingesetzt in $5=-2p+q$ liefert
$\begin{array}[t]{rll} 5=&-2\cdot(-2)+q\\ 1=&q\\ \end{array}$
Aus $p=-2$ und $q=1$ ergibt sich die gesuchte Funktionsgleichung
$y=x^2-2x+1$
Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelform
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2-2x+1&\\ y=&\left(\underbrace{x^2-2x+1^2}_{(x+4)^2}\right)&\\ y=&(x-2)^2&\\ \end{array}$
Aus $y=(x-2)^2$ folgt $S(2\mid 0)$.
c)
Einsetzen von $A(-2\mid 13)$ und $B(1\mid -8)$ in $y=x^2+px+q$
$\begin{array}[t]{rll} 13=&(-2)^2+p\cdot(-2)+q\\ -8=&1^2+p\cdot1+q& \quad\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 13=&4-2p+q &\quad\mid\;-4\\ -8=&1+p+q&\quad\mid\;-1\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 9=&-2p+q &\quad\\ -9=&p+q&\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 9=&-2p+q \\ -9=&p+q \\ \end{array}$
Dieses Lineare Gleichungssystem kann man mit dem Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren lösen. Welches Verfahren du benutzt, bleibt dir überlassen. Im Folgenden werden wir das Einsetzungsverfahren benutzen.
Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Variable
$\begin{array}[t]{rll} 9+2p=&q \\ -9=&p+q \\ \end{array}$
Einsetzen der oberen Gleichung ($q=9+2p$) in die untere Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} -9=&p+(9+2p)&\quad\mid\; -9\\ -18=&3p& \quad\mid\;:3\\ p=&-6\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p=&-6\\ \end{array}$
Einsetzen von $p=-6$ in eine der beiden Gleichungen
$p=-6$ eingesetzt in $9=-2p+q$ liefert $\begin{array}[t]{rll} 9=&-2\cdot(-6)+q\quad\mid\;-12\\ -3=&q\\ \end{array}$
Aus $p=-6$ und $q=-3$ ergibt sich die gesuchte Funktionsgleichung
$y=x^2-6x-3$
Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelform
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2-6x+3&\\ y=&\left(\underbrace{x^2-6x+3^2}_{(x-3)^2}\right)-3^2-3&\\ y=&(x-3)^2-12&\\ \end{array}$
Aus $y=(x-3)^2-12$ folgt $S(3\mid -12)$.
d)
Einsetzen von $A(-3\mid -14)$ und $B(2\mid 21)$ in $y=x^2+px+q$
$\begin{array}[t]{rll} -14=&(-3)^2+p\cdot(-3)+q\\ 21=&2^2+p\cdot2+q& \quad\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -14=&9-3p+q &\quad\mid-9\\ 21=&4+2p+q&\quad\mid-4\\\hline \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -23=&-3p+q &\quad\\ 17=&2p+q&\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -23=&-3p+q \\ 17=&2p+q \\ \end{array}$
Dieses Lineare Gleichungssystem kann man mit dem Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren lösen. Welches Verfahren du benutzt, bleibt dir überlassen. Im Folgenden werden wir das Einsetzungsverfahren benutzen.
Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Variable
$\begin{array}[t]{rll} -23+3p=&q \\ 17=&2p+q \\ \end{array}$
Einsetzen der oberen Gleichung ($q=-23+3p$) in die untere Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} 17=&2p+(-23+3p)&\quad\mid +23\\ 40=&5p& \quad\mid:5\\ p=&8\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p=&8\\ \end{array}$
Einsetzen von $p=8$ in eine der beiden Gleichungen
$p=8$ eingesetzt in $17=2p+q$ liefert
$\begin{array}[t]{rll} 17=&2\cdot8+q\quad\mid\;-16\\ 1=&q\\ \end{array}$
Aus $p=8$ und $q=1$ ergibt sich die gesuchte Funktionsgleichung
$y=x^2+8x+1$
Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel
Mithilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelform
$\begin{array}[t]{rll} y=&x^2+8x+1&\\ y=&\left(\underbrace{x^2+8x+4^2}_{(x+4)^2}\right)-4^2+1&\\ y=&(x+4)^2-15&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&(x+4)^2-15 \\ \end{array}$
Aus $y=(x+4)^2-15$ folgt $S(-4\mid -15)$.
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