Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 8
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
VERA 8
VERA 8
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Schnittpunkt Gerade - Parabel

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Erklärung

Im Schnittpunkt haben die Parabel und die Gerade die gleichen $x$- und $y$-Werte.
Diese kannst du durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme berechnen

Beispiel

Parabel: $y=x^2-2x+2$ und Gerade: $y=2x+14$
$\blacktriangleright$ 1. Funktionsterme gleichsetzen und auf Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{0.8cm}}l} x^2-2x+2=&2x+14& \mid -2x-14\\ x^2-4x-12=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{0.8cm}}l} x^2-2x+2=&2x+14 \\ x^2-4x-12=&0 \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Quadr. Gleichung mit p-q-Formel lösen.
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{.2cm}}ll} x_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}\\ x_{1,2} =& - \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-4}{2}} \right)^2 +12}\\ x_{1,2} =& 2 \pm \sqrt {2^2 +12}\\ x_{1} =& 2 +4=6&x_{2} =& 2 -4=-2\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{.2cm}}ll} x_{1} =& 2 +4=6 & …\\ \end{array}$
$x$ einsetzen in $y=2x+14$
$\begin{array}{rl} x_1 \Longrightarrow &y_1=2\cdot6+14=26 \\ \Longrightarrow&\;S_1(6\mid 26)\\ x_2 \Longrightarrow& y_2=2\cdot (-2)+14=10\\ \Longrightarrow&\;S_2(-2\mid 10) \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Geraden $y=2x$ mit der Parabel $y=x^2$.
2.
Bestimme rechnerisch die Schnittpunkt der Geraden $y=-3x+10$
mit der Parabel $y=(x-3)^2+1$
3.
Berechne die Schnittpunkt der Parabeln $p_1$: $y=-(x+3)^2+3$ und $p_2$: $y=x^2+6x+10$.
Zeichne $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem ein.
4.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
b)
$p_1$: $y=(x-1)(x+1);$
$p_2$: $y=2x^2+2x$
d)
$p_1$: $y=-(x-5)^2+10;$
$p_2$: $y=(x-2)^2+1$
5.
Bestimme die Schnittpunkte bzw. Berührpunkte der beiden Parabeln. Zeichne diese in ein Koordinatensystem ein und überprüfe dein Ergebnis.
b)
$p_1$: $y=(x-1)(x+1)$
$p_2$: $y=2x^2+2x$
6.
Die Geschwindigkeit zweier Fahrzeuge kann näherungsweise innerhalb der ersten 13 Sekunden durch die Funktion $y=5x$ (Fahrzeug 1) und $y=\frac{1}{2}x^2$ (Fahrzeug 2) dargestellt werden. Die Zeit $x$ wird in Sekunden und der zurückgelegte Weg $y$ in Meter angegeben.
a)
Veranschauliche die Situation in einem Koordinatensystem.
b)
Welche Strecke hat Fahrzeug 1 bzw. Fahrzeug 2 nach 5 Sekunden zurückgelegt?
c)
Zu welchem Zeitpunkt wird Fahrzeug 1 überholt? Nach wie vielen Metern ist dies?
d)
Begründe warum die Funktion $y=\frac{1}{2}x^2$ für große $x$ ungeeignet ist den zurückgelegten Weg von Fahrzeug 2 in Abhängigkeit der Zeit zu beschreiben.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=2x}$ und $\boldsymbol{y=x^2}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 2x=&x^2& \mid -x^2\\ -x^2+2x=&0&\\ -x(x-2)=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 2x=&x^2 \\ -x^2+2x=&0 \\ -x(x-2)=&0 \\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $-x=0$ Oder $(x-2)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=2$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=2x$ liefert $y=2\cdot0=0$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid0)$
Einsetzen von $x_2=2$ in $y=2x$ liefert $y=2\cdot2=4$. Daraus folgt: $\;S_2(2\mid4)$
2.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=-3x+10}$ und $\boldsymbol{y=(x-3)^2+1}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -3x+10=&(x-3)^2+1&\\ -3x+10=&x^2-6x+9+1&\mid-9-1\\ -3x=&x^2-6x&\mid+3x\\ x^2-3x=&0&\\ x(x-3)=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x(x-3)=&0&\\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $x=0$ Oder $(x-3)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=3$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(3\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=3$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=-3x+10$ liefert $y=-3\cdot0+10=0$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid10)$
Einsetzen von $x_2=3$ in $y=-3x+10$ liefert $y=-3\cdot3+10=1$. Daraus folgt: $\;S_2(3\mid1)$
3.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=-(x+3)^2+3}$ und $\boldsymbol{y=x^2+6x+10}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -(x+3)^2+3=&x^2+6x+10&\\ -(x^2+6x+9)+3=&x^2+6x+10&\\ -x^2-6x-9+3=&x^2+6x+10\\ -x^2-6x-6=&x^2+6x+10&\mid-x^2-6x-10\\ -2x^2-12x-16=&0&\mid:(-2)\\ x^2+6x+8=&0&\\ \end{array}$
$$ x^2+6x+8=0$$ $$…$$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-8}$
$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-8}$
$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{1}$
$x_{1}=-3-1=-4$; $x_{2}=-3+1=-2$
Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(-4\mid?)$ und $(-2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=-4$ und $x_2=-2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=-4$ in $y=x^2+6x+10$ liefert $y=(-4)^2+6\cdot(-4)+10=2$. Daraus folgt: $ \;S_1(-4\mid2)$
Einsetzen von $x_2=-2$ in $y=x^2+6x+10$ liefert $y=(-2)^2+6\cdot(-2)+10=2$. Daraus folgt: $\;S_2(-2\mid2)$
Einzeichnen der Parabeln in ein Koordinatensystem
Damit du die Parabel $y=x^2+6x+10$ einzeichnen kannst, musst du sie erst in Scheitelpunktform bringen. Achte hierzu auf binomische Formeln.
Aus $y=\underbrace{(x^2+6x+3^2)}_{(x+3)^2}-3^2+10$ folgt: $y=(x+3)^2+1$
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
4.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
a)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=x^2-4x+2$ und $y=-2(x-2)^2+10$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2-4x+2=&-2(x-2)^2+10&\\ x^2-4x+2=&-2(x^2-4x+4)+10&\\ x^2-4x+2=&-2x^2+8x+2& \mid+2x^2-8x-2\\ 3x^2-12x=&0&\\ 3x(x-4)=&0&\\ \end{array}$
$$ 3x(x-4) $$ $$…$$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $3x=0$ Oder $(x-4)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=4$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(4\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=4$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=x^2-4x+2$ liefert $y=0^2-4\cdot0+2=2$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid2)$
Einsetzen von $x_2=4$ in $y=x^2-4x+2$ liefert $y=4^2-4\cdot4+2=2$. Daraus folgt: $\;S_2(4\mid2)$
b)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=(x-1)(x+1)$ und $y=2x^2+2x$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} (x-1)(x+1)=&2x^2+2x&\\ x^2-1=&2x^2+2x&\mid-2x^2-2x\\ -x^2-2x-1=&0& \mid :(-1)\\ x^2+2x+1=&0&\\ \end{array}$
$$ x^2+2x+1=0 $$ $$…$$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-1}$
$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{0}$
$x=-1+0=-1$
Damit ergibt sich der einzige Schnittpunkt $(-1\mid?)$. Es handelt sich also um einen Berührpunkt.
Durch Einsetzen von $x=-1$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du den $y$-Wert des Berührpunkts.
$x=-1$ eingesetzt in $y=2x^2+2x$ liefert $y=2\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)=0$. Daraus folgt: $\;S(-1\mid0)$
c)
Bestimmung der Schnittpunkt von $y=(x-2)(x+1)$ und $y=(x-1)^2$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} (x-2)(x+1)=&(x-1)^2&\\ x^2+x-2x-2=&x^2-2x+1^2& \mid-x^2+2x-1\\ x-3=&0&\mid+3\\ x=&3& \\ \end{array}$
Damit ergibt sich der Schnittpunkt $(3\mid?)$. Durch Einsetzen von $x=3$ in eine der beiden Funktionsgleichungen bekommst du noch den $y$-Wert des Schnittpunktes.
$x=3$ eingesetzt in $y=(x-1)^2$ liefert $y=(3-1)^2=4$. Daraus folgt: $\;S_1(3\mid4)$
d)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=-(x-5)^2+10$ und $y=(x-2)^2+1$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -(x-5)^2+10=&(x-2)^2+1&\\ -(x^2-10x+25)+10=&x^2-4x+4+1&\\ -x^2+10x-15=&x^2-4x+5&\mid-x^2+4x-5\\ -2x^2+14x-20=&0& \mid :(-2)\\ x^2-7x+10=&0&\\ \end{array}$
$$ x^2-7x+10=0$$ $$…$$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2-10}$
$x_{1,2}=3,5\pm\sqrt{2,25}$
$x_1=3,5+1,5=5$
$x_2=3,5-1,5=2$
Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(5\mid?)$ und $(2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x=5$ und $x=2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du noch die $y$-Werte der Punkte.
$x=5$ eingesetzt in $y=(x-2)^2+1$ liefert $y=(5-2)^2+1=10$. Daraus folgt: $\;S_1(5\mid10)$
$x=2$ eingesetzt in $y=(x-2)^2+1$ liefert $y=(2-2)^2+1=0$. Daraus folgt: $\;S_2(2\mid1)$
5.
Um die Schnittpunkte der beiden Parabeln berechnen zu können, müssen diese gleichgesetzt werden.
a)
$y_1=x^2-4x+2;$$;y_2=2x^2+6$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+2=&2x^2+6\\ 0=&x^2+4x+4\\ x_{1/2}=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4}\\ x_{1/2}=&-2\pm\sqrt{0}\\ x=&-2 \end{array}$
$x$ in $y_2$ eingesetzt ergibt sich
$\begin{array}[t]{rll} y=&2(-2)^2+6\\ y=&14&S(-2\mid14) \end{array}$
b)
$y_1=(x-1)(x+1)$$;y_2=2x^2+2x$
$\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x+1)=&2x^2+2x\\ x^2-1=&2x^2+2x&{\mid-x^2+1}\\ 0=&x^2+2x+1\\ x_{1/2}=&-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-1}\\ x_{1/2}=&-1\pm\sqrt{0}\\ x=&-1 \end{array}$
$x$ in $y_1$ eingesetzt:
$\begin{array}[t]{rll} y=&(-1-1)(-1+1)\\ y=&0&S(-1\mid0) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&(-1-1)(-1+1)\\ y=&0 \end{array}$
c)
$y_1=(x-2)(x+1)$$;y_2=(x-1)^2$
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)(x+1)=&(x-1)^2\\ x^2+x-2x-2=&x^2-2x+1&{\mid-x^2+2x+2}\\ x=&3 \end{array}$
$x$ in $y_2$ eingesetzt:
$y=(3-1)^2=4$
$S(3\mid4)$
6.
a)
Fahrzeug 1: $y=5x$; Fahrzeug 2: $y=\dfrac{1}{2}x^2$
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
b)
Die $y$-Werte geben die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit $x$ in Sekunden an. Gefragt ist also nach dem $y$-Wert für $x=5$ (nach 5 Sekunden). Setzt man $x=5$ in die Gleichungen ein ergibt sich
Fahrzeug 1: $y=5\cdot5=25$. Daraus folgt: Zurückgelegter Weg $=25$ m.
Fahrzeug 2: $y=\dfrac{1}{2}\cdot5^2=12,5$. Daraus folgt: Zurückgelegter Weg $=12,5$ m.
c)
Im Schnittpunkt der beiden Funktionen treffen sich die Fahrzeuge. Im Schnittpunkt haben Fahrzeug 1 und Fahrzeug 2 innerhalb der gleichen Zeit, den gleichen Weg zurückgelegt.
Bestimmung des Schnittpunkts
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 5x=&\dfrac{1}{2}x^2& \mid -5x \\ \dfrac{1}{2}x^2-5x=&0& \\ x\cdot\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)=&0& \\ \end{array}$
Die obere Gleichung ist $=0$, wenn entweder $x=0$ wird Oder $\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)=0$ ist.
Dies ist für $x=0$ und $x=10$ der Fall.
Die Lösung $x=0$ ist nicht gefragt, da es sich von selbst versteht, dass beim Start der beiden Fahrzeuge sie auf gleicher Höhe sind. Folglich ist $x=10$ die gesuchte Lösung. Sie bedeutet, dass nach $10$ Sekunden Fahrzeug 1 und Fahrzeug 2 auf gleicher Höhe sind und Fahrzeug 2 für $x>10$ das Fahrzeug 1 überholt hat. Um den zurückgelegten Weg der beiden Fahrzeuge zu bestimmen, setzt man $x=10$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
Bestimmung des zurückgelegten Weges
$x=10$ eingesetzt in $y=\dfrac{1}{2}x^2$ liefert
$y=\dfrac{1}{2}\cdot10^2=\dfrac{1}{2}\cdot100=50$
Beide Fahrzeuge haben nach $10$ Sekunden $50$ m zurückgelegt. Oder anders formuliert: nach $50$ m überholt Fahrzeug 2 Fahrzeug 1.
d)
Die Funktion $y=\dfrac{1}{2}x^2$ wird für große $x$ sehr sehr groß. Für $x=100$ erhält man z.B. $y=5000$. Für Fahrzeug 2 würde das bedeuten, dass es innerhalb von $100$ Sekunden $5000$ m$=5$ km zurücklegen muss. Das sind $50$ m pro Sekunde, also $180\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Um in $200$ Sekunden $20$ km zurückzulegen, müsste Fahrzeug 2 im Schnitt $360\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ fahren. Längerfristig ist also zu erwarten, dass die Funktion nicht mehr mit dem möglichen Tempo eines Autos übereinstimmt. Deshalb eignet sich die Funktion nur für eine Darstellung für kleine $x$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App