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Steigung und Achsenabschnitt

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Tipp
$y= m\cdot x +t$ ist die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden.
Der Proportionalitätsfaktor $m$ gibt die Steigung der Geraden an. Der $y$-Achsenabschnitt $t$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.
Tipp
$y= m\cdot x +t$ ist die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden.
Der Proportionalitätsfaktor $m$ gibt die Steigung der Geraden an. Der $y$-Achsenabschnitt $t$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.
a)
Stelle die Funktionsgleichung der Geraden mit der Steigung $m=2$ und dem $y$-Achsenabschnitt $t=-1$ auf.
b)
Erstelle ein Wertetabelle für die Funktion aus Aufgabenteil a) mit $x=0,1,2,3,4,5$.
c)
Zeichne den Graphen der Funktion aus Aufgabenteil a) in ein Koordinatensystem ein.
d)
Die folgenden Teilaufgaben sind unabhängig von den vorhergehenden.
Handelt es sich bei Graph B um eine lineare Funktion?
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 1: Graph A
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 1: Graph A
e)
Bestimme die Steigung des Graphen mithilfe eines Steigungsdreiecks.
f)
Bestimme den $y$-Achsenabschnitt des Graphen.
g)
Stelle die Funktionsgleichung von Graph B auf.
#funktionswert#funktionsgleichung#graph

Aufgabe 1

Stelle die Funktionsgleichungen auf.
b)
$m=2$
$t=-8$
d)
$m=-2$
$t=4$
f)
$m=0$
$t=2$
#funktionsgleichung

Aufgabe 2

Tipp
Steigung $m$ bedeutet, dass du eine Längeneinheit nach rechts und $m$ Längeneinheiten nach oben gehst.
Tipp
Steigung $m$ bedeutet, dass du eine Längeneinheit nach rechts und $m$ Längeneinheiten nach oben gehst.
Zeichne jeweils drei Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem. Der Wertebereich von $x$ liegt zwischen $-1$ und $10$. Der Wertebereich von $y$ liegt zwischen $-2$ und $8$. Gehe folgendermaßen vor:
  1. Zeichne den $y$-Achsenabschnitt ein.
  2. Zeichne die Gerade mit der Steigung $m$ vom $y$-Achsenabschnitt ausgehend ein.
b)
$y=x-2$
d)
$y=x$
f)
$y=-\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$
#steigung#graph#geradengleichung

Aufgabe 3

Berechne die fehlenden Werte der Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung. Stelle die Funktionsgleichung zuerst nach $x$ um, um die fehlenden $x$-Werte berechnen zu können.
a)
$y=2x-2$
$x$$ 2$$ 3$$ $$ $$ $
$y$$ $$ $$ 8$$ 12$$ 16$
$x$$y$
$ 2$$ $
$3 $$ $
$ $$ 8$
$ $$ 12$
$ $$16 $
b)
$y=\frac{1}{2}x+1$
$x$$2 $$ $$8$$10 $$ $
$y$$ $$ 4$$ $$ $$20 $
$x$$y$
$ 2$$ $
$ $$4 $
$8 $$ $
$ 10$$ $
$ $$ 20$
#funktionswert

Aufgabe 4

Bestimme die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $t$. Stelle dann die Funktionsgleichung auf.
a)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 2: Graph a)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 2: Graph a)
b)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 3: Graph b)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 3: Graph b)
c)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 4: Graph c)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 4: Graph c)
#steigung#funktionsgleichung#graph

Aufgabe 5

Gib jeweils die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt an.
b)
$y=-x-2$
d)
$y=x$
f)
$y=-\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$
#funktionsgleichung#steigung

Aufgabe 6

Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Geraden: $y=2x+2$ liegen.
A$(0 \mid 2)$, B$(1\mid 3)$, C$(2 \mid 4)$, D$(3\mid 8)$

Aufgabe 7

Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 5: Geraden A, B, C
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 5: Geraden A, B, C
#funktionsgleichung#graph

Aufgabe 8

Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 6: Geraden A, B, C
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 6: Geraden A, B, C
#graph#funktionsgleichung
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Funkionsgleichung aufstellen
Um die Funktionsgleichung mit der Steigung $m=2$ und dem $y$-Achsenabschnitt $t=-1$ aufzustellen, setzt du $m$ und $t$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m \cdot x +t & \\[5pt] y&=& 2 \cdot x -1& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet: $y=2x-1$.
b)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
Um die $y$-Werte der Tabelle zu berechnen, setzt du den zugehörigen $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein.
den $y$-Wert für $x=0$ bestimmst du so:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x-1 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 0-1 & \\[5pt] y&=& -1 & \\[5pt] \end{array}$
Mithilfe der anderen $x$-Werte kannst du jetzt alle $y$-Werte berechnen.
$x$$ 0$$ 1$$2 $$ 3$$4 $$5 $
$y$$ -1$$1 $$3 $$ 5$$ 7$$ 9$
$x$$y$
$0$$ -1$
$1 $$1 $
$2 $$3 $
$3 $$ 5$
$4 $$7 $
$5 $$9 $
c)
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Um den Graph in ein Koordinatensystem zu zeichnen, wählst du als erstes ein geeignetes Koordinatensystem aus. Dazu liest du den Wertebereich von $x$ und $y$ aus der Wertetabelle ab. Der Wertebereich der $x$-Achse liegt dabei zwischen $x=0$ und $x=5$. Der Wertebereich der $y$-Achse liegt zwischen $y=-1$ und $y=9$. Im nächsten Schritt zeichnest du die Wertepaare aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest sie durch eine Gerade.
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 1: Graph a)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 1: Graph a)
d)
$\blacktriangleright$  Handelt es sich bei Graph B um eine lineare Funktion
Der Graph B ist eine Gerade. Er schneidet die $y$-Achse bei $y=2$. Deshalb handelt es sich bei Graph B um eine lineare Funktion.
e)
$\blacktriangleright$  Steigung bestimmen
Die Steigung kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks bestimmen. Das Steigungsdreieck hat die Breite $1\,\text{LE}$ und die Höhe $1\,\text{LE}$. Der Steigungsfaktor $m$ ist der Quotient von Höhe zu Breite.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}& \\[5pt] m&=& \dfrac{1}{1}& \\[5pt] m&=& 1& \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung $m$ des Graph ist $1$.
f)
$\blacktriangleright$  $y$-Achsenabschnitt bestimmen
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du am Graph ablesen. Er ist die Stelle an der der Graph die $y$-Achse schneidet.
Der $y$-Achsenabschnitt ist $t=2$.
g)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Um die Funktionsgleichung aufzustellen, setzt du die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m \cdot x +t & \\[5pt] y&=& 1 \cdot x +2 & \\[5pt] y&=& 1 x +2 & \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung von Graph B lautet: $y=x+2$.
#funktionsgleichung#graph#linearefunktion#steigung

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
Um die Funktionsgleichungen aufzustellen, setzt du die Werte für $m$ und $t$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
a)
$m=2$
$t=1$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +t& \\[5pt] y&=& 2\cdot x +1& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung mit der Steigung $2$ und dem $y$-Achsenabschnitt $1$ lautet: $y=2x+1$
b)
$m=2$
$t=-8$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +t& \\[5pt] y&=& 2\cdot x -8& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung mit der Steigung $2$ und dem $y$-Achsenabschnitt $-8$ lautet: $y=2x-8$
c)
$m=-\dfrac{1}{2}$
$t=-1$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +t& \\[5pt] y&=& -\dfrac{1}{2}\cdot x -1& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung mit der Steigung $-\dfrac{1}{2}$ und dem $y$-Achsenabschnitt $-1$ lautet: $y=-\dfrac{1}{2}x-1$
d)
$m=-2$
$t=4$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +t& \\[5pt] y&=& -2\cdot x +4& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung mit der Steigung $-2$ und dem $y$-Achsenabschnitt $4$ lautet: $y=-2x+4$
e)
$m=\dfrac{3}{2}$
$t=\dfrac{1}{5}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +t& \\[5pt] y&=& \dfrac{3}{2}\cdot x +\dfrac{1}{5}& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung mit der Steigung $\dfrac{3}{2}$ und dem $y$-Achsenabschnitt $\dfrac{1}{5}$ lautet: $y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{5}$
f)
$m=0$
$t=2$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x +t& \\[5pt] y&=& 2& \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung mit der Steigung $0$ und dem $y$-Achsenabschnitt $2$ lautet: $y=2$
#funktionsgleichung

Aufgabe 2

Zeichne jeweils $3$ Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem. Gehe folgendermaßen vor:
  1. Zeichne den $y$-Achsenabschnitt ein.
  2. Zeichne die Gerade mit der Steigung $m$ vom $y$-Achsenabschnitt ausgehend ein.
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 2: Graphen der Funktionen a), b), c)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 2: Graphen der Funktionen a), b), c)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 3: Graphen der Funktionen d), e), f)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 3: Graphen der Funktionen d), e), f)
#graph

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Funktion nach $\boldsymbol{x}$ umstellen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x-2& \\[5pt] y+2&=& 2x& \\[5pt] \dfrac{1}{2}y+1&=& x& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Setze den $x$- bzw. den $y$-Wert aus der Tabelle in die entsprechende Funktionsgleichung ein.
$x$$2 $$ 3$$ 5$$7 $$9 $
$y$$2 $$4 $$8 $$12 $$ 16$
$x$$y$
$2 $$ 2$
$ 3$$4 $
$5 $$ 8$
$7 $$ 12$
$ 9$$16 $
b)
$\blacktriangleright$  Funktion nach $\boldsymbol{x}$ umstellen
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{1}{2}x+1 & \\[5pt] y-1&=&\dfrac{1}{2}x & \\[5pt] 2y-2&=& x & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Setze den $x$- bzw. den $y$-Wert aus der Tabelle in die entsprechende Funktionsgleichung ein.
$x$$2 $$6 $$ 8$$10 $$ 36$
$y$$2 $$4 $$ 5$$6 $$ 20$
$x$$y$
$ 2$$2 $
$ 6$$ 4$
$ 8$$ 5$
$ 10$$ 6$
$ 38$$ 20$
#funktionswert#linearefunktion

Aufgabe 4

Den Wert von $t$ bestimmst du, indem du abliest, an welcher Stelle der Graph die $y$-Achse schneidet.
Die Steigung $m$ bestimmst du mithilfe des Steigungsdreiecks. $m$ ist der Quotient aus Höhe und Breite.
Dann setzt du $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung ein, um die Funktionsgleichung aufzustellen.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung a) aufstellen
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 4: Graph a)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 4: Graph a)
Der Graph schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=3$. Deshalb ist $t=3$.
Das Steigungsdreieck hat die Höhe $1\,\text{LE}$ und die Breite $1\,\text{LE}$.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}& \\[5pt] m&=& \dfrac{1}{1}& \\[5pt] m&=& 1& \\[5pt] \end{array}$
Der Graph steigt somit mit $m=1$.
Die Funktionsgleichung lautet $y=1x+3$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung b) aufstellen
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 5: Graph b)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 5: Graph b)
Der Graph schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=2$. Deshalb ist $t=2$.
Das Steigungsdreieck hat die Höhe $1\,\text{LE}$ und die Breite $2\,\text{LE}$.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}& \\[5pt] m&=& \dfrac{1}{2}& \\[5pt] \end{array}$
Der Graph steigt somit mit $m=\frac{1}{2}$.
Die Funktionsgleichung lautet $y=\frac{1}{2}x+2$.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung c) aufstellen
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 6: Graph c)
Funktionen: Steigung und Achsenabschnitt
Abb. 6: Graph c)
Der Graph schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=-1$. Deshalb ist $t=-1$.
Das Steigungsdreieck hat die Höhe $2\,\text{LE}$ und die Breite $1\,\text{LE}$.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}& \\[5pt] m&=& \dfrac{2}{1}& \\[5pt] m&=& 2& \\[5pt] \end{array}$
Der Graph steigt somit mit $m=2$.
Die Funktionsgleichung lautet $y=2x-1$.
#steigung#funktionsgleichung#graph

Aufgabe 5

Gib jeweils die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt an. Lies dazu den Steigungsfaktor $m$ vor dem $x$, sowie $t$ ab.
a)
$\blacktriangleright$  Steigung und $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
$y=2x+3$
Die Steigung $m$ ist $2$.
Der $y$-Achsenabschnitt $t$ ist $3$.
b)
$\blacktriangleright$  Steigung und $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
$y=-x-2$
Die Steigung $m$ ist $-1$.
Der $y$-Achsenabschnitt $t$ ist $-2$.
c)
$\blacktriangleright$  Steigung und $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
$y=-\dfrac{1}{3}x+2$
Die Steigung $m$ ist $-\dfrac{1}{3}$.
Der $y$-Achsenabschnitt $t$ ist $2$.
d)
$\blacktriangleright$  Steigung und $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
$y=x$
Die Steigung $m$ ist $1$.
Der $y$-Achsenabschnitt $t$ ist $0$.
e)
$\blacktriangleright$  Steigung und $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
$y=-3x-4$
Die Steigung $m$ ist $-3$.
Der $y$-Achsenabschnitt $t$ ist $-4$.
f)
$\blacktriangleright$  Steigung und $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen
$y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{6}$
Die Steigung $m$ ist $-\dfrac{2}{3}$.
Der $y$-Achsenabschnitt $t$ ist $-\dfrac{1}{6}$.
#schnittpunkt#steigung

Aufgabe 6

Setzte die $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und vergleiche den Funktionswert mit der $y$-Koordinate des Punktes. Stimme die $y$-Koordinate des Punktes und die $y$-Koordinate des Graphen überein, so liegt der Punkt auf der Geraden.
A
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Um zu bestimmen, ob der Punkt A$(0\mid 2)$ auf der Geraden: $y=2x+2$ liegt, setzt du die $x$-Koordinate $x=0$ des Punktes A in die Funktionsgleichung ein. Stimmt der Funktionswert von $x=0$ mit der $y$-Koordinate des Punktes überein, so liegt der Punkt A auf der Geraden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+2 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 0+2 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist $2$. Das entspricht der $y$-Koordinate von Punkt A. Somit liegt Punkt A auf der Geraden.
B
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Der Punkt B hat die Koordinaten B$(1 \mid 3)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+2 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 1+2 & \\[5pt] y&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
Der Funktionswert an der Stelle $x=1$ ist $4$. Das entspricht nicht der $y$-Koordinate $y=3$ von Punkt B. Somit liegt Punkt B nicht auf der Geraden.
C
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Der Punkt C hat die Koordinaten C$(2 \mid 4)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+2 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 2+2 & \\[5pt] y&=& 6 & \\[5pt] \end{array}$
Der Funktionswert an der Stelle $x=2$ ist $6$. Das entspricht nicht der $y$-Koordinate $y=4$ von Punkt C. Somit liegt Punkt C nicht auf der Geraden.
D
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
Der Punkt D hat die Koordinaten D$(3 \mid 8)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+2 & \\[5pt] y&=& 2\cdot 3+2 & \\[5pt] y&=& 8 & \\[5pt] \end{array}$
Der Funktionswert an der Stelle $x=3$ ist $8$. Das entspricht der $y$-Koordinate $y=8$ von Punkt D. Somit liegt Punkt D auf der Geraden.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Gleichheit begründen
Die drei Graphen verlaufen parallel zueinander. Somit haben sie den gleichen Steigungsfaktor $m$.
b)
Um den Funktionsgleichungen die Graphen zuzuordnen, musst du den $y$-Achsenabschnitt $t$ beachten.
(1)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
$y=2x+2$
Der Graph von Funktionsgleichung (1) hat den $y$-Achsenabschnitt $t=2$.
Der Graph B mit dem $y$-Achsenabschnitt $2$ gehört somit zu Funktionsgleichung (1).
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
$y=2x$
Der Graph von Funktionsgleichung (2) hat den $y$-Achsenabschnitt $t=0$.
Der Graph C mit dem $y$-Achsenabschnitt $0$ gehört somit zu Funktionsgleichung (2).
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
$y=2x+3$
Der Graph von Funktionsgleichung (3) hat den $y$-Achsenabschnitt $t=3$.
Der Graph A mit dem $y$-Achsenabschnitt $3$ gehört somit zu Funktionsgleichung (3).
#funktionsgleichung

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Gleichheit begründen
Die drei Graphen schneiden die $y$-Achse am selben Punkt. Somit haben sie den gleichen $y$-Achsenabschnitt $t$.
b)
Um den Funktionsgleichungen die Graphen zuzuordnen, musst du die Steigung $m$ beachten.
(1)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
$y=2x+1$
Der Graph von Funktionsgleichung (1) hat die Steigung $m=2$.
Der Graph B mit der Steigung $2$ gehört somit zu Funktionsgleichung (1).
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
$y=3x+1$
Der Graph von Funktionsgleichung (2) hat die Steigung $m=3$.
Der Graph A mit der Steigung $3$ gehört somit zu Funktionsgleichung (2).
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
$y=\frac{1}{2}x+1$
Der Graph von Funktionsgleichung (3) hat die Steigung $m=\frac{1}{2}$.
Der Graph C mit der Steigung $\frac{1}{2}$ gehört somit zu Funktionsgleichung (3).
#funktionsgleichung
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