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Berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Vervollständige die Werte der Tabelle.
Anzahl der Arbeiter$ 5$$ 2$$ 8$$ 20$$ 1$
Arbeitsdauer ($\text{h}$)$8 $$ $$ $$ $$ $
Anzahl der ArbeiterArbeitsdauer ($\text{h}$)
$ 5$$8 $
$ 2$$ $
$ 8$$ $
$ 20$$ $
$1 $$ $
b)
Reicht ein Gebäude mit doppelt so vielen Stockwerken für doppelt so viele oder für halb so viele Wohnungen? Um was für eine Funktion handelt es sich dabei?
c)
Lisa hat Geld bei ihrem Vater geliehen.
Muss Lisa bei der doppelten monatlichen Rate doppelt so lange oder halb so lange zurückbezahlen?
Um was für eine Funktion handelt es sich dabei?

Aufgabe 1

Um eine Strecke von $10\,\text{km}$ zurückzulegen, braucht man je nach Geschwindigkeit unterschiedlich lange.
$\text{km/h}$$10$$20 $$5 $$1 $$2 $
Stunden$1 $$ $$ $$ $$5 $
$\text{km/h}$Stunden
$10 $$1 $
$ 20$$ $
$ 5$$ $
$ 1$$ $
$2 $$ 5$
a)
Ergänze die fehlenden Werte der Tabelle.
b)
Bei welcher Gechwindigkeit benötigt man $0,1\,\text{h}$ bzw. $0,2\,\text{h}$?
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 2

Petra will sich einen neuen Kleiderschrank kaufen. Dazu muss sie sparen. Folgende Tabelle enthält einige Möglichkeiten wie sie das machen kann.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 1: Regal
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 1: Regal

Aufgabe 3

Übertrage die Tabelle und ergänze die fehlenden Werte. Es handelt sich um umgekehrt proportionale Funktionen.
a)
Erkläre wie der fehlende Wert in Aufgabenteil c) und d) bestimmt wurde.
b)
Was ist die Gemeinsamkeit von proportionalen und umgekehrt proportionalen Funktionen?
Worin unterscheiden sie sich? ( Denke an den Zweisatz bei proportionalen Funktionen.)
c)
Bestimme die fehlenden Werte auf dem gleichen Weg.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 1: Wertetabelle
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 1: Wertetabelle
d)
Bestimme die fehlenden Werte auf dem gleichen Weg.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 2: Wertetabelle
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 2: Wertetabelle
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 4

Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 2: Erfrischungsgetränk in einer Flasche
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 2: Erfrischungsgetränk in einer Flasche
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 5

Die Vorderseite eines Grundstücks soll mit Sichtschutzpflanzen begrünt werden. Das Grundstück hat eine Breite von $18\,\text{m}$
a)
Es werden $18$ Pflanzen mit einer Breite von $80\,\text{cm}$ verwendet.
Wie viele Abstände gibt es?
Wie groß ist der Abstand zwischen den einzelnen Pflanzen?
b)
Jetzt werden nur $12$ Pflanzen mit einer Breite von $110\,\text{cm}$ verwendet. Wie groß ist jetzt der Abstand?
c)
Wie breit müssen die Pflanzen sein, damit der Abstand bei $24$ Pflanzen jeweils $5\,\text{cm}$ beträgt?
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 6

Finde die Fehler und korrigiere sie. Es handelt sich um umgekehrt proportionale Funktionen.
a)
Anzahl Dosen$ 30$$10 $$100 $$ 40$$2 $
Füllmenge je Dose ($\text{ml}$)$33,33 $$ 100$$ 10$$ 20$$ 1000$
Anzahl DosenFüllmenge je Dose ($\text{ml}$)
$ 30$$ 33,33$
$ 10$$100$
$ 100$$ 10$
$40 $$ 20$
$2 $$ 1000$
b)
Geschwindigkeit in $\text{km/h}$$ 50$$100 $$ 20$$ 10$$250 $
Fahrzeit in $\text{h}$$4 $$ 1,5$$ 10$$ 10$$ 0,8$
Geschwindigkeit in $\text{km/h}$Fahrzeit in $\text{h}$
$ 50$$ 4$
$ 100$$1,5 $
$20 $$ 10$
$10 $$10 $
$250 $$ 0,8$
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 7

Eine Tippgemeinschaft gewinnt $64.800\,\text{€}$ beim Lotto.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 3: Gewinn
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 3: Gewinn

Aufgabe 8

Eine Abschlussklasse mit $24$ Schülern will eine Fahrt in ein Museum machen. Das Busunternehmen, dass die Klasse zum Museum fährt, verlangt für jeden Schüler einen Preis von $6,50\,\text{€}$.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. Zahl: Museum
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. Zahl: Museum
a)
Wie viel muss jeder Schüler bezahlen, wenn ein Schüler weniger mitkommt?
Es handelt sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
b)
Wie viel muss jeder Schüler bezahlen, wenn ein Schüler mehr mitkommt?
Es handelt sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
c)
Wie viele Schüler sind mitgefahren, wenn jeder Schüler $9,75\,\text{€}$ bezahlen muss?
#umgekehrtproportionalefunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/7ciloH – Regalsonne, Kersten A. Riechers, CC BY-SA.
[2]
Public Domain.
[3]
Public Domain.
[4]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Gesamtaufwand berechnen
Um zu berechnen, wie viele Stunden Arbeitsaufwand insgesamt notwendig sind, multiplizierst du die Werte des gegebenen Wertepaares.
$\begin{array}[t]{rll} t&=&\text{Arbeiter}\cdot \text{Dauer} & \\[5pt] t&=& 5 \cdot 8 & \\[5pt] t&=& 40 & \\[5pt] \end{array}$
Der gesamte Arbeitsaufwand betägt $40$ Stunden.
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte berechnen
Um die fehlenden Arbeitsdauern zu berechnen, teilst du den gesamten Arbeitsaufwand durch die Anzahl der Arbeiter.
Arbeitsdauer bei $2$ Arbeitern:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \frac{40\,\text{h}}{Anzahl Arbeiter}& \\[5pt] t&=& \frac{40\,\text{h}}{2}& \\[5pt] t&=& 20\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
$2$ Arbeiter benötigen $20\,\text{h}$ für die Arbeit.
Arbeitsdauer bei $8$ Arbeitern:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \frac{40\,\text{h}}{Anzahl Arbeiter}& \\[5pt] t&=& \frac{40\,\text{h}}{8}& \\[5pt] t&=& 5\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
$8$ Arbeiter benötigen $5\,\text{h}$ für die Arbeit.
Arbeitsdauer bei $20$ Arbeitern:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \frac{40\,\text{h}}{Anzahl Arbeiter}& \\[5pt] t&=& \frac{40\,\text{h}}{20}& \\[5pt] t&=& 2\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
$20$ Arbeiter benötigen $2\,\text{h}$ für die Arbeit.
Arbeitsdauer bei $1$ Arbeiter:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \frac{40\,\text{h}}{Anzahl Arbeiter}& \\[5pt] t&=& \frac{40\,\text{h}}{1}& \\[5pt] t&=& 40\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
$1$ Arbeiter benötigt $40\,\text{h}$ für die Arbeit.
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Trage die Werte in die Wertetabelle ein.
Anzahl der Arbeiter$ 5$$ 2$$ 8$$ 20$$ 1$
Arbeitsdauer ($\text{h}$)$8 $$ 20$$ 5$$2 $$ 40$
Anzahl der ArbeiterArbeitsdauer ($\text{h}$)
$ 5$$8 $
$ 2$$ 20$
$ 8$$5 $
$ 20$$ 2$
$1 $$ 40$
b)
$\blacktriangleright$  Funktion erkennen
Wenn es Doppelt so viele Stockwerke gibt, dann verdoppelt sich auch die Wohnfläche. Das Gebäude reicht somit für doppelt so viele Wohnungen. Somit handelt es sich um eine proportionale Funktion.
c)
$\blacktriangleright$  Funktion erkennen
Bei der doppelten Rate muss Lisa nur halb so viele Monate zurückzahlen, da sie ja immer den gleichen Gesamtbetrag zurückzahlen muss. Somit handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
#proportional#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte berechnen
Es handelt sich um eine umgekehrt proportionale Funktion. Das Produkt aus Fahrzeit und Geschwindigkeit ergibt bei jedem Wertepaar $10\,\text{km}$.
Die Fahrzeit in $\text{h}$ ergibt sich aus der Gesmtstrecke $10\,\text{km}$ geteilt durch die Geschwindigkeit $\text{v}$.
Fahrzeit bei $20\,\text{km/h}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{s}{v} & \\[5pt] t&=& \dfrac{10\,\text{km}}{20\,\text{km/h}} & \\[5pt] t&=& 0,5\,\text{h} & \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $20\,\text{km/h}$ benötigt man eine Zeit von $0,5\,\text{h}$ für die Strecke.
Fahrzeit bei $5\,\text{km/h}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{s}{v} & \\[5pt] t&=& \dfrac{10\,\text{km}}{5\,\text{km/h}} & \\[5pt] t&=& 2\,\text{h} & \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $5\,\text{km/h}$ benötigt man eine Zeit von $2\,\text{h}$ für die Strecke.
Fahrzeit bei $1\,\text{km/h}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{s}{v} & \\[5pt] t&=& \dfrac{10\,\text{km}}{1\,\text{km/h}} & \\[5pt] t&=& 10\,\text{h} & \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $1\,\text{km/h}$ benötigt man eine Zeit von $10\,\text{h}$ für die Strecke.
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ergänzen
Trage nun die berechneten Werte in die Wertetabelle ein.
$\text{km/h}$$10$$20 $$5 $$1 $$2 $
Stunden$1 $$ 0,5$$ 2$$ 10$$5 $
$\text{km/h}$Stunden
$10 $$1 $
$ 20$$ 0,5$
$ 5$$2 $
$ 1$$10 $
$2 $$ 5$
b)
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit bestimmen
Da es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion handelt, ist das Produkt aus Fahrtzeit und Geschwindigkeit bei jedem Wertepaar gleich groß. So kannst du die gesuchten Geschwindigkeiten berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} s&=& v \cdot t&\ \\[5pt] v&=& \dfrac{s}{t}&\ \\[5pt] \end{array}$
Geschwindigkeit bei einer Fahrzeit von $0,1\,\text{h}$:
$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{s}{t}&\ \\[5pt] v&=& \dfrac{10\,\text{km}}{0,1\,\text{h}}&\ \\[5pt] v&=& 100\,\text{km/h}&\ \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $100\,\text{km/h}$ benötigt man $0,1\,\text{h}$.
Geschwindigkeit bei einer Fahrzeit von $0,2\,\text{h}$:
$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{s}{t}&\ \\[5pt] v&=& \dfrac{10\,\text{km}}{0,2\,\text{h}}&\ \\[5pt] v&=& 50\,\text{km/h}&\ \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $50\,\text{km/h}$ benötigt man $0,2\,\text{h}$.
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Funktion erkennen
Je mehr Monate Petra spart, desto weniger muss sie monatlich sparen. Somit handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
b)
$\blacktriangleright$  Preis bestimmen
Um zu berechnen, was der Schrank kostet, multiplizierst du die monatliche Sparrate mit der Anzahl an Monaten.
$\begin{array}[t]{rll} P&=& 5\cdot 24\,\text{€/Monat}& \\[5pt] P&=& 120\,\text{€}& \\[5pt] \end{array}$
Der Schrank kostet $120\,\text{€}$.
c)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte bestimmen
Um zu bestimmen, wie hoch die monatliche Sparrate $R$ ist, teilst du den Preis des Schrankes durch die Anzahl an Monaten.
Sparrate bei $4$ Monaten:
$\begin{array}[t]{rll} R&=&\dfrac{120\,\text{€}}{\text{Anzahl Monate}} & \\[5pt] R&=&\dfrac{120\,\text{€}}{4\,\text{Monate}} & \\[5pt] R&=& 30\,\text{€/Monat} & \\[5pt] \end{array}$
Wenn Petra $4$ Monate spart, muss sie monatlich $30\,\text{€}$ sparen.
Sparrate bei $3$ Monaten:
$\begin{array}[t]{rll} R&=&\dfrac{120\,\text{€}}{\text{Anzahl Monate}} & \\[5pt] R&=&\dfrac{120\,\text{€}}{3\,\text{Monate}} & \\[5pt] R&=& 40\,\text{€/Monat} & \\[5pt] \end{array}$
Wenn Petra $3$ Monate spart, muss sie monatlich $40\,\text{€}$ sparen.
Sparrate bei $2$ Monaten:
$\begin{array}[t]{rll} R&=&\dfrac{120\,\text{€}}{\text{Anzahl Monate}} & \\[5pt] R&=&\dfrac{120\,\text{€}}{2\,\text{Monate}} & \\[5pt] R&=& 60\,\text{€/Monat} & \\[5pt] \end{array}$
Wenn Petra $2$ Monate spart, muss sie monatlich $60\,\text{€}$ sparen.
$\blacktriangleright$  Wertetabelle ergänzen
Trage die berechneten Sparraten in die Tabelle ein.
Monate$5 $$ 4$$3 $$ 2$
Sparrate (€)$ 24$$30 $$ 40$$ 60$
MonateSparrate (€)
$5 $$ 24$
$4 $$ 30$
$3 $$ 40$
$ 2$$60 $
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Rechenweg beschreiben
Es handelt sich um ein umgekehrt proportionale Funktion. Wenn die Maschinenzahl verdoppelt wird, dann halbiert sich die Arbeitsdauer. Die Maschinenzahl wurde mit zwei multipliziert und die Dauer durch $2$ geteilt. Das Verfahren erinnert an den Zweisatz bei proportionalen Funktionen.
b)
$\blacktriangleright$  Gemeinsamkeiten und Unterschiede erkennen
Bei proportionalen Funktionen verhalten sich die Werte von zusammengehörenden Wertepaaren proportional zueinander. Du erkennst dies daran, dass zum Doppelten des einen Wertes auch das Doppelte des anderen gehört, zum Dreifachen das Dreifache, zu einem Drittel ein Drittel, usw.
Wendest du bei proportionalen Funktionen den Zweisatz an, so musst du bei beiden Werten den gleichen Rechenschritt durchführen. Zum Beispiel mit $2$ multiplizieren, mit $3$ multiplizieren, usw.
Bei umgekehrt proportionalen Funktionen verhalten sich die Werte von zusammengehörenden Wertepaaren umgekehrt proportional zueinander. Du erkennst dies daran, dass zum Doppelten des einen Wertes das Halbe des anderen gehört, zum Dreifachen ein Drittel, zu einem Viertel das Vierfache, usw.
Wendest du bei umgekehrt proportionalen Funktionen den Zweisatz an, so musst du bei beiden Werten den umgekehrten Rechenschritt durchführen. Zum Beispiel mit $2$ multiplizieren und durch $2$ teilen, mit $3$ multiplizieren und durch $3$ teilen, usw.
c)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte berechnen
$3$ Maschinen:
Drei Maschinen benötigen ein Drittel der Zeit, die eine Maschine benötigt. Wenn eine Maschine $18\,\text{h}$ benötigt, so benötigen $3$ Maschinen $6\,\text{h}$.
$6$ Maschinen:
Sechs Maschinen benötigen die Hälfte der Zeit, die drei Maschinen benötigen. Wenn drei Maschinen $6\,\text{h}$ benötigen, so benötigen $6$ Maschinen $3\,\text{h}$.
$9$ Maschinen:
Neun Maschinen benötigen ein Neuntel der Zeit, die eine Maschine benötigt. Wenn eine Maschine $18\,\text{h}$ benötigt, so benötigen $9$ Maschinen $2\,\text{h}$.
d)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte berechnen
$50\,\text{g}$ pro Packung:
Wenn in einer Packung $50\,\text{g}$ statt $250\,\text{g}$ sind, wurde die Packung zu einem Fünftel ihrer ursprünglichen Größe verkleinert. Damit benötigt man $5$ mal so viele Packungen. Statt $40$ Packungen werden somit $5\cdot 40=200$ Packungen benötigt.
$100\,\text{g}$ pro Packung:
Wenn in einer Packung $100\,\text{g}$ statt $50\,\text{g}$ sind, wurde die Packungsgröße verdoppelt. Damit benötigt man ein Halb mal so viele Packungen. Statt $200$ Packungen werden somit $200\cdot 0,5=100$ Packungen benötigt.
$500\,\text{g}$ pro Packung:
Wenn in einer Packung $500\,\text{g}$ statt $250\,\text{g}$ sind, wurde die Packungsgröße verdoppelt. Damit benötigt man ein Halb mal so viele Packungen. Statt $40$ Packungen werden somit $0,5\cdot 40=20$ Packungen benötigt.
#umgekehrtproportionalefunktion#proportional

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gefäßanzahl bestimmen
Um zu bestimmen, wie viele $3\,l$ Gefäße verkauft werden, berechnest du zuerst, wie viele Gefäße mit einem Liter Getränk verkauft werden und dann wie viele mit drei Litern.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 1: Rechenweg
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 1: Rechenweg
Ein Gefäß mit einem Liter Getränk enthält ein Fünftel des Getränks der ursprüglichen Gefäße. Somit werden $5$ mal so viele Gefäße verkauft. $5\cdot 47.451 = 237.255$. Es werden also $237.255$ $1$ liter große Gefäße verkauft.
Ein drei Liter Gefäß enthält Dreimal so viel Getränk wie ein ein Liter Gefäß. Es werden also nur ein Drittel der ursprüglichen Gefäße verkauft. $\dfrac{137.255}{3}= 79.085$.
Es werden $79.085$ Gefäße mit einem Volumen von $3$ Litern verkauft.
b)
$\blacktriangleright$  Gefäßgröße bestimmen
Du weißt bereits, das $237.255$ Gefäße mit einem Liter Getränk verkauft werden. Werden stattdessen nur noch $94.902$ Gefäße verkauft, so sind das $\dfrac{237.255}{94.902}=12,5$ mal weniger.
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 2: Rechenweg
Umgekehrte Proportionalität: Berechnen
Abb. 2: Rechenweg
Ein Gefäß muss somit $12,5$ mal mehr Getränk, also $1 \cdot 12,5= 12,5$ Liter Getränk enthalten.
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Abstände
Es gibt $17$ Abstände.
$\blacktriangleright$  Abstand bestimmen
Die Pflanzen haben insgesamt eine Breite von $18\cdot 0,8\,\text{m}=14.40\,\text{m}$.
Die gesamte, nicht begrünte Breite beträgt somit: $18\,\text{m}-14,40\,\text{m}= 3,60\,\text{m}$
Die Breite der Abstände ist somit: $\dfrac{3,60\,\text{m}}{17}=21,18\,\text{cm}$.
Zwischen jeder Pflanze befindet sich ein Abstand von $21,18\,\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Abstände
Es gibt $11$ Abstände.
$\blacktriangleright$  Abstand bestimmen
Die Pflanzen haben insgesamt eine Breite von $12\cdot 1,1\,\text{m}=13,20\,\text{m}$.
Die gesamte, nicht begrünte Breite beträgt somit: $18\,\text{m}-13,20\,\text{m}= 4,80\,\text{m}$
Die Breite der Abstände ist somit: $\dfrac{4,80\,\text{m}}{11}=43,64\,\text{cm}$.
Zwischen jeder Pflanze befindet sich ein Abstand von $43,64\,\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Abstände
Es gibt $23$ Abstände.
$\blacktriangleright$  Pflanzenbreite bestimmen
Der gesamte Abstand hat die Breite: $23\cdot 0,05\,\text{m}= 1,15\,\text{m}$
Für die Pflanzen ergibt sich eine Breite von $18\,\text{m}-1,15\,\text{m}=16,85\,\text{m}$.
Damit ist jede Pflanze $\dfrac{16,85\,\text{m}}{24\,\text{Pflanzen}}=0,702\,\text{m}$ breit.
Die Breite jeder Pflanze beträgt $0,702\,\text{m}$ oder $70,2\,\text{cm}$.
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Fehler finden
Es handelt sich um umgekehrt proportionale Funktionen. Das Produkt aller Wertepaare ist somit gleich. Fehler erkennst du daran, dass das Produkt anderst ist.
Anzahl Dosen$ 30$$10 $$100 $$ 40$$2 $
Füllmenge je Dose ($\text{ml}$)$33,33 $$ 100$$ 10$$ 20$$ 1000$
Gesamtmenge ($\text{ml}$)$1000 $$ 1000$$ 1000$$ 800$$ 2000$
Anzahl DosenFüll
menge
je Dose
($\text{ml}$)
Gesamt
menge ($\text{ml}$)
$ 30$$ 33,33$$ 1000$
$ 10$$100$$ 1000$
$ 100$$ 10$$ 1000$
$40 $$ 20$$ 800$
$2 $$ 1000$$ 2000$
$\blacktriangleright$  Fehler korrigieren
Bei $40$ Dosen muss jede Dose $\dfrac{1000\, \text{ml} }{40\,\text{Dosen}}=25\, \text{ml}$ Getränk enthalten.
Bei $2$ Dosen muss jede Dose $\dfrac{1000\, \text{ml} }{2\,\text{Dosen}}=500 \,\text{ml}$ Getränk enthalten.
b)
$\blacktriangleright$  Fehler finden
Es handelt sich um umgekehrt proportionale Funktionen. Das Produkt aller Wertepaare ist somit gleich. Fehler erkennst du daran, dass das Produkt anderst ist.
Geschwindigkeit
in $\text{km/h}$
$ 50$$100 $$ 20$$ 10$$250 $
Fahrzeit in $\text{h}$$4 $$ 1,5$$ 10$$ 10$$ 0,8$
Strecke in $\text{km}$$200 $$ 150$$ 200$$ 100$$ 200$
Geschwin-
digkeit
in $\text{km/h}$
Fahrzeit
in $\text{h}$
Strecke
in
$\text{km}$
$ 50$$ 4$$ 200$
$ 100$$1,5 $$ 150$
$20 $$ 10$$ 200$
$10 $$10 $$ 100$
$250 $$ 0,8$$ 200$
$\blacktriangleright$  Fehler korrigieren
Bei einer Geschwindigkeit von $100\,\text{km/h}$ benötigt man $\dfrac{200\,\text{km}}{100\,\text{km/h}}=2\,\text{h}$.
Bei einer Geschwindigkeit von $10\,\text{km/h}$ benötigt man $\dfrac{200\,\text{km}}{10\,\text{km/h}}=20\,\text{h}$.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang bestimmen
Du sollst erkennen, in welchem Zusammenhang die Gewinnsumme pro Person und die Anzahl der Mitspieler stehen.
Der Gewinn wird auf alle Mitspieler aufgeteilt. Je mehr Mitspieler in der Tippgemeinschaft sind, desto weniger Gewinn bekommt jeder einzelne Mitspieler. Damit handelt es sich um einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang.
b)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang bestimmen
Du sollst erkennen, in welchem Zusammenhang die Gewinnchance und die Anzahl der Mitspieler stehen.
Je mehr Mitspieler in der Tippgemeinschaft sind, desto höher ist die Chance auf einen Gewinn. Somit handelt es sich um eine proportionale Zugehörigkeit.
c)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang bestimmen
In welchem Zusammenhang stehen die Gewinchance und die Gewinsumme pro Person?
Je mehr Mitspieler die Spielgemeinschaft hat, deso höher ist nach Aufgabenteil b) die Gewinchance. Allerdings fällt bei mehr Mitspielern auch der Gewinn pro Mitspieler (Aufgabenteil a).
Somit fällt der Gewinn pro Mitspieler, wenn die Gewinchance steigt. Es handelt sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
d)
$\blacktriangleright$  Gewinn bestimmen
Um den Gewinn pro Mitspieler bei $16$ Mitspielern zu bestimmen, teilst du den Gesamtgewinn durch die Anzahl an Spielern.
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{64.800\,\text{€}}{16} & \\[5pt] G&=& 4.050\,\text{€} & \\[5pt] \end{array}$
Bei $16$ Mitspielern gewinnt jeder Mitspieler $4.050\,\text{€}$.
e)
$\blacktriangleright$  Gewinn bestimmen
Um den Gewinn pro Mitspieler bei $6$ Mitspielern zu bestimmen, teilst du den Gesamtgewinn durch die Anzahl an Spielern.
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{64.800\,\text{€}}{6} & \\[5pt] G&=& 10.800\,\text{€} & \\[5pt] \end{array}$
Bei $6$ Mitspielern gewinnt jeder Mitspieler $10.800\,\text{€}$.
f)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Mitgliedern berechnen
Um zu berechnen, wie viele Mitglieder die Spielgemeinschaft hat, teilst du den Gesamtgewinn durch den Gewinn pro Mitglied.
$\begin{array}[t]{rll} N&=&\dfrac{64.800\,\text{€}}{1.620\,\text{€}} & \\[5pt] N&=& 40 & \\[5pt] \end{array}$
Die Spielgemeinschaft besteht aus $40$ Mitspielern.
#umgekehrtproportionalefunktion#proportional

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Preis berechnen
Um zu berechnen, was jeder Schüler bezahlen muss, wenn statt $24$ Schülern nur $23$ mitgehen, gehst du folgendermaßen vor:
  1. Berechne was die gesamte Busfahrt kostet.
  2. Teile die Kosten auf $23$ Schüler auf.
Um zu berechnen, was die gesamte Busfahrt kostet, multiplizierst du die Anzahl an Schülern mit dem Preis pro Person.
$\begin{array}[t]{rll} P&=& 24 \cdot 6,50\,\text{€}& \\[5pt] P&=& 156\,\text{€}& \\[5pt] \end{array}$
Die Busfahrt kostet insgesamt $156\,\text{€}$.
Jetzt teilst du die Kosten auf $23$ Schüler auf:
$\begin{array}[t]{rll} K&=&\dfrac{156\,\text{€}}{23} & \\[5pt] K&=& 6,78\,\text{€} & \\[5pt] \end{array}$
Die Busfahrt kostet $6,78\,\text{€}$ pro Person bei $23$ Teilnehmern.
b)
$\blacktriangleright$  Preis berechnen
Du kannst die Gesamtkosten durch $25$ Schüler teilen, um zu bestimmen was jeder Schüler bezahlen muss wenn ein Schüler mehr mitkommt.
Teile die kosten auf $25$ Schüler auf:
$\begin{array}[t]{rll} K&=&\dfrac{156\,\text{€}}{25} & \\[5pt] K&=& 6,24\,\text{€} & \\[5pt] \end{array}$
Die Busfahrt kostet $6,24\,\text{€}$ pro Person bei $25$ Teilnehmern.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl an Schülern bestimmen
Um zu berechnen wie viele Schüler mitgefahren sind, teilst du den Gesamtpreis durch den Preis pro Person von $9,75\,\text{€}$.
$\begin{array}[t]{rll} n&=& \dfrac{156\,\text{€}}{9,75\,\text{€}} & \\[5pt] n&=& 16 & \\[5pt] \end{array}$
Es sind $16$ Schüler mitgefahren.
#umgekehrtproportionalefunktion
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