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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Ergänze die fehlenden Worte:
Umgekehrt proportionale Zuordnungen geben gegenläufiges Wachstum an. Während eine Zahl größer wird, wird die andere . Zum Doppelten einer Größe gehört die der anderen Größe. Zum Dreifachen ein , zur Hälfte das .
b)
Handelt es sich hier um eine umgekehrt proportionale Funktion?
Anzahl Dosen$ 30$$10 $$100 $$ 50$
Füllmenge je Dose ($\text{ml}$)$33,33 $$ 100$$ 10$$ 20$
Anzahl DosenFüllmenge je Dose ($\text{ml}$)
$ 30$$ 33,33$
$ 10$$100$
$ 100$$ 10$
$50 $$ 20$
c)
Vervollständige die Tabelle. Es handelt sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
Geschwindigkeit in $\text{km/h}$$ 50$$100 $$ $$ 10$$250 $
Fahrzeit in $\text{h}$$4 $$ $$ 10$$ $$ $
Geschwindigkeit in $\text{km/h}$Fahrzeit in $\text{h}$
$ 50$$ 4$
$ 100$$ $
$ $$ 10$
$10 $$ $
$250 $$ $
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 1

Bei welchen Tabellen liegen umgekehrt proportionale Funktionen vor? Welche der Tabellen gibt es in der Realität nicht?
a)
Seillänge in $\text{m}$$2 $$ 3$$ 4$$8 $$12 $
Anzahl der Seile$ 100$$66,7 $$ 50$$ 25$$16,7 $
Seillänge in $\text{m}$Anzahl der Seile
$2 $$100 $
$ 3$$ 66,7$
$4 $$ 50$
$ 8$$ 25$
$ 12$$ 16,7$
b)
Teilnehmer$ 12 $$ 16 $$ 32$$ 35$
Kosten pro Teilnehmer ($€$)$ 83,30$$ 62,50$$ 31,25$$28,57 $
TeilnehmerKosten pro Teilnehmer ($€$)
$ 12$$ 83,30$
$ 16$$ 62,50$
$32 $$ 31,25$
$ 35$$ 28,57$
c)
Anzahl Fässer$ 24$$12 $$48 $$ 36$
Füllmenge je Fass $\text{m}^3$$180 $$ 360$$ 90$$ 120$
Anzahl FässerFüllmenge je Fass $\text{m}^3$
$ 24$$ 180$
$ 12$$ 360$
$ 48$$ 90$
$36 $$ 120$
d)
Gewicht ($\text{kg}$)$2,5 $$ 5$$ 15$$7,5 $$ 30$
Preis pro $\text{kg}$ ($\,€$)$ 24$$ 12$$ 4$$ 8$$ 2$
Gewicht ($\text{Kg}$)Preis pro $\text{Kg}$ ($\,€$)
$ 2,5$$ 24$
$ 5$$ 12$
$ 15$$ 4$
$ 7,5$$ 8$
$ 30$$2 $
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 2

a)
Mohamed teilt einen Kuchen gleichmäßig für die Gäste auf. Ergänze die Fehlenden Werte in der Wertetabelle.
Anzahl Gäste$1$$ 4$$8 $$ 2$$ 16$
Tortenstück$ 360°$$ 90°$$ $$ $$ $
Anzahl GästeTortenstück
$1 $$ 360°$
$4 $$ 90°$
$8$$ $
$ 2$$ $
$ 16$$ $
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 3

a)
Eine Schnur kann in verschieden viele, gleich lange Stücke zerteilt werden. Wie lang sind dabei die Stücke bzw. wie viele Stücke entstehen?
Anzahl$8 $$ $$ 6$$ 32$$48 $$ $$ $
Länge pro Stück ($\text{m}$)$12 $$ 32$$ $$ $$ $$96$$ 4$
AnzahlLänge pro Stück ($\text{m}$)
$ 8$$ 12$
$ $$ 32$
$ 6$$ $
$32 $$ $
$ 48$$ $
$ $$ 96$
$ $$ 4$
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 4

a)
Die Rechtecke sollen alle den gleichen Flächeninhalt haben. Finde die beiden fehlerhaften Werte.
Breite in $\text{dm}$$4 $$ 2$$ 24$$1$ $ 12$
Länge in $\text{dm}$$ 3$$ 7$$ 0,5$$ 16$$ 1$
Breite in $\text{dm}$Länge in $\text{dm}$
$4 $$ 3$
$ 2$$ 7$
$24 $$ 0,5$
$ 1$$ 16$
$ 12$$ 1$
#rechteck#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 5

a)
Vervollständige den Satz:
Bei einer Werbeaktion bekommt jedes Kind drei kleine Geschenke. Der Geschenkevorrat ist dann nach 120 Kindern aufgebraucht. Wenn jedes Kind nur ein Geschenk bekommt reicht der Vorrat mal so lang. Somit reicht er für $\cdot$ $=$ Kinder. Wenn jetzt jedes Kind 4 Geschenke bekommt, reicht der Vorrat nur noch für ein der Kinder, also für $:$ $=$ Kinder.
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 6

Schreibe einen Satz oder eine Aussage zu den folgenden Ausschnitten. Handelt es sich um umgekehrt proportionale oder proportionale Funktionen?
a)
Doppelter Preis;
Doppelte Menge
b)
Doppelte Geschwindigkeit;
Halbe Zeit
c)
Vierfache Leistung;
Ein Viertel der Zeit
d)
Halb so viele Maschinen;
Doppelte Arbeitszeit
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 7

Handelt es sich bei den folgenden Funktionen um umgekehrt proportionale Funktionen?
a)
Wenn Nick doppelt so viel tankt, kann er dreimal so weit fahren.
b)
Doppelt so viele Kühe geben doppelt so viel Milch.
c)
Lisa will ein Seil von Ihrem Haus zu dem Ihres Nachbarn spannen. Dazu verknotet sie viele $1\,\text{m}$ lange Seile zu einem langen. Wenn Lisa stattdessen nur noch $0,5\,\text{m}$ lange Seile verwendet, benötigt sie doppelt so viele.
d)
Ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge $a$ hat den vierfachen Flächeninhalt $A$.
#umgekehrtproportionalefunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/Iq8HMk – coconut cake, Katie Munoz, CC BY-SA.
[2]
Public Domain.
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Satz vervollständigen
Umgekehrt proportionale Zuordnungen geben gegenläufiges Wachstum an. Während eine Zahl größer wird, wird die andere kleiner. Zum Doppelten einer Größe gehört die Hälfte der anderen Größe (zum Dreifachen ein Drittel; zur Hälfte das Doppelte).
b)
$\blacktriangleright$  Umgekehrte proportionalität prüfen
Eine umgekehrt proportionale Funktion erkennst du daran, dass das Produkt von zwei zugehörigen Werten immer gleich ist. Wächst der eine Wert, so wird der zugehörige Wert kleiner. Um zu überprüfen, ob die Werte umgekehrt proportional sind, kannst du also das Produkt aller Wertepaare bilden und schauen ob alle Produkte gleich groß sind.
Anzahl Dosen$ 30$$10 $$100 $$ 50$
Füllmenge je Dose ($\text{ml}$)$33,33 $$ 100$$ 10$$ 20$
Gesamtfüllmenge ($\text{ml}$)$1000 $$ 1000$$ 1000$$ 1000$
Anzahl DosenFüll
menge
je Dose
$\text{ml}$
Gesamt
füllmenge
($\text{ml}$)
$ 30$$ 33,33$$ 1000$
$ 10$$100$$ 1000$
$ 100$$ 10$$ 1000$
$50 $$ 20$$ 1000$
c)
$\blacktriangleright$  Werteta berechnen
Da es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion handelt, ist das Produkt aus Geschwindigkeit und Fahrzeit bei jedem Wertepaar gleich groß. Du kannst somit ein Produkt mit dem gegebenen Paar bestimmen und damit alle fehlenden Werte berechnen.
Gesamtstrecke $g$ gestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g&=& 50 \,\text{km/h}\cdot 4\,\text{h}& \\[5pt] g&=& 200\, \text{km}& \\[5pt] \end{array}$
Die Gesamte Strecke ist $200\,\text{km}$ lang. Jetzt kannst du alle fehlenden Werte bestimmen. Dazu teilst du die Gesamtlänge durch den gegebenen Wert.
Fahrzeit bei $100\,\text{km/h}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{200 \,\text{km}}{ 100\,\text{km/h}}& \\[5pt] t&=& 2\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $100\,\text{km/h}$ werden $2\,\text{h}$ für $200 \,\text{km}$ benötigt.
Geschwindigkeit bei $10\,\text{h}$ Fahrzeit:
$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{200 \,\text{km}}{ 10\,\text{h}}& \\[5pt] v&=& 20\,\text{km/h}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Fahrzeit von $10\,\text{h}$ für $200 \,\text{km}$ beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit $20\,\text{km/h}$.
Fahrzeit bei $10\,\text{km/h}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{200 \,\text{km}}{ 10\,\text{km/h}}& \\[5pt] t&=& 20\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $10\,\text{km/h}$ werden $20\,\text{h}$ für $200 \,\text{km}$ benötigt.
Fahrzeit bei $250\,\text{km/h}$:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{200 \,\text{km}}{ 250\,\text{km/h}}& \\[5pt] t&=& 0,8\,\text{h}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Geschwindigkeit von $250\,\text{km/h}$ werden $0,8\,\text{h}$ für $200 \,\text{km}$ benötigt.
$\blacktriangleright$  Wertetabelle erstellen
Jetzt kannst du die berechneten Werte in eine Wertetabelle eintragen.
Geschwindigkeit in $\text{km/h}$$ 50$$100 $$ 20$$ 10$$250 $
Fahrzeit in $\text{h}$$4 $$2$$ 10$$ 20$$ 0,8$
Geschwindigkeit in $\text{km/h}$Fahrzeit in $\text{h}$
$ 50$$ 4$
$ 100$$2$
$20 $$ 10$
$10 $$ 20$
$250 $$0,8$
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 1

Bei welchen Tabellen liegen umgekehrt proportionale Funktionen vor?
a)
$\blacktriangleright$  Proportionalität prüfen
Eine umgekehrt proportionale Funktion erkennst du daran, dass das Produkt von zwei zugehörigen Werten immer gleich ist. Wächst der eine Wert, so wird der zugehörige Wert kleiner. Um zu überprüfen, ob die Werte umgekehrt proportional sind, kannst du also das Produkt aller Wertepaare bilden und schauen, ob alle Produkte gleich groß sind.
Seillänge in $\text{m}$$2 $$ 3$$ 4$$8 $$12 $
Anzahl der Seile$ 100$$66,7 $$ 50$$ 25$$16,7 $
Gesamtlänge in $\text{m}$$ 200$$200 $$ 200$$ 200$$200 $
Seil-
länge in $\text{m}$
Anzahl der SeileGesamt
länge
in
$\text{m}$
$2 $$100 $$200 $
$ 3$$ 66,7$$200 $
$4 $$ 50$$200 $
$ 8$$ 25$$200 $
$ 12$$ 16,7$$200 $
Das Produkt aller Wertepaare ist $200 \,\text{m}$. Damit handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
b)
$\blacktriangleright$  Proportionalität prüfen
Eine umgekehrt proportionale Funktion erkennst du daran, dass das Produkt von zwei zugehörigen Werten immer gleich ist. Wächst der eine Wert, so wird der zugehörige Wert kleiner. Um zu überprüfen, ob die Werte umgekehrt proportional sind, kannst du also das Produkt aller Wertepaare bilden und schauen, ob alle Produkte gleich groß sind.
Teilnehmer$ 12 $$ 16 $$ 32$$ 35$
Kosten pro Teilnehmer ($€$)$ 83,30$$ 62,50$$ 31,25$$28,57 $
Geamsteinnahmen ($€$)$ 1000$$ 1000$$ 1000$$1000 $
Teil-
nehmer
Kosten
pro
Teil-
nehmer
($€$)
Gesamt-
einnahmen
($€$)
$ 12$$ 83,30$$1000$
$ 16$$ 62,50$$1000$
$32 $$ 31,25$$1000$
$ 35$$ 28,57$$1000$
Die Gesamteinnahmen liegen bei jedem Wertepaar bei $1000\,€$. Damit handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
c)
$\blacktriangleright$  Proportionalität prüfen
Eine umgekehrt proportionale Funktion erkennst du daran, dass das Produkt von zwei zugehörigen Werten immer gleich ist. Wächst der eine Wert, so wird der zugehörige Wert kleiner. Um zu überprüfen, ob die Werte umgekehrt proportional sind, kannst du also das Produkt aller Wertepaare bilden und schauen, ob alle Produkte gleich groß sind.
Anzahl Fässer$ 24$$12 $$48 $$ 36$
Füllmenge je Fass $\text{m}^3$$180 $$ 360$$ 90$$ 120$
Gesamtvolumen $\text{m}^3$$4320 $$4320$$ 4320$$ 4320$
Anzahl FässerFüll-
menge
je
Fass
$\text{m}^3$
Gesamt-
volumen
$\text{m}^3$
$ 24$$ 180$$4320 $
$ 12$$ 360$$4320 $
$ 48$$ 90$$4320 $
$36 $$ 120$$4320 $
Das Gesamtvolumen liegt bei jedem Wertepaar bei $4320\,\text{m}^3$. Damit handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
d)
$\blacktriangleright$  Proportionalität prüfen
Eine umgekehrt proportionale Funktion erkennst du daran, dass das Produkt von zwei zugehörigen Werten immer gleich ist. Wächst der eine Wert, so wird der zugehörige Wert kleiner. Um zu überprüfen, ob die Werte umgekehrt proportional sind, kannst du also das Produkt aller Wertepaare bilden und schauen, ob alle Produkte gleich groß sind.
Gewicht ($\text{Kg}$)$2,5 $$ 5$$ 15$$7,5 $$ 30$
Preis pro $\text{Kg}$ ($€$)$ 24$$ 12$$ 4$$ 8$$ 2$
Gesamtpreis ($€$)$ 60$$ 60$$ 60$$ 60$$ 60$
Gewicht ($\text{Kg}$)Preis
pro
($\text{Kg}$)
Gesamt-
preis
($€$)
$ 2,5$$ 24$$ 60$
$ 5$$ 12$$ 60$
$ 15$$ 4$$ 60$
$ 7,5$$ 8$$ 60$
$ 30$$2 $$ 60$
Der Gesamtpreis liegt bei $60\,€$. Damit handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion. Diese Funktion kann es in der Realität nicht geben. Der Kunde würde immer gleich viel bezahlen, egal wie viel er kauft.
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Wenn ein Gast da ist, bekommt er den ganzen Kuchen. Wenn $8$ mal so viele Gäste kommen, so bekommt jeder Gast ein Achtel des Kuchens. Wenn $2$ Gäste kommen, so bekommt jeder Gast die Hälfte des Kuchens.
$8$ Gäste:
$\begin{array}[t]{rll} Anteil &=& \dfrac {360°}{8} & \\[5pt] Anteil &=& 45° & \\[5pt] \end{array}$
$2$ Gäste:
$\begin{array}[t]{rll} Anteil &=& \dfrac {360°}{2} & \\[5pt] Anteil &=& 180° & \\[5pt] \end{array}$
$16$ Gäste:
$\begin{array}[t]{rll} Anteil &=& \dfrac {360°}{16} & \\[5pt] Anteil &=& 22,5° & \\[5pt] \end{array}$
Anzahl Gäste$1$$ 4$$8 $$ 2$$ 16$
Tortenstück$ 360°$$ 90°$ $45°$ $180°$$22,5°$
Anzahl GästeTortenstück
$ 1$$360° $
$4 $$ 90°$
$ 8$ $45°$
$ 2$ $180°$
$ 16$ $22,5°$
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle vervollständigen
Da es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion handelt, ist das Produkt aus Seillänge und Anzahl bei jedem Wertepaar gleich groß. Du kannst somit ein Produkt mit dem gegebenen Paar bestimmen und damit alle fehlenden Werte der Wertetabelle berechnen.
Gesamtlänge $g$ gestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g&=& 8 \cdot 12\, \text{m}& \\[5pt] g&=& 96\, \text{m}& \\[5pt] \end{array}$
Das ursprüngliche Seil war $96\,\text{m}$ lang. Jetzt kannst du alle fehlenden Werte der Wertetabelle bestimmen. Dazu teilst du die Gesamtlänge durch den gegebenen Wert.
Stücklänge: $32\,\text{m}$
$\begin{array}[t]{rll} anz &=&\dfrac{96\, \text{m}}{32\, \text{m}} & \\[5pt] anz &=& 3& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Stücklänge von $32\, \text{m}$ ergeben sich $3$ Stücke.
Anzahl: $6$ Stück
$\begin{array}[t]{rll} l &=&\dfrac{96\, \text{m}}{6} & \\[5pt] l&=& 16\,\text{m}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Anzahl von $6$ Stücken ist jedes Stück $16\, \text{m}$ lang.
Anzahl: $32$ Stück
$\begin{array}[t]{rll} l &=&\dfrac{96\, \text{m}}{32} & \\[5pt] l&=& 3\,\text{m}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Anzahl von $32$ Stücken ist jedes Stück $3\, \text{m}$ lang.
Anzahl: $48$ Stück
$\begin{array}[t]{rll} l &=&\dfrac{96\, \text{m}}{48} & \\[5pt] l&=& 2\,\text{m}& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Anzahl von $48$ Stücken ist jedes Stück $2\, \text{m}$ lang.
Stücklänge: $96\,\text{m}$
$\begin{array}[t]{rll} anz &=&\dfrac{96\, \text{m}}{96\, \text{m}} & \\[5pt] anz &=& 1& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Stücklänge von $96\, \text{m}$ ergibt sich $1$ Stück.
Stücklänge: $4\,\text{m}$
$\begin{array}[t]{rll} anz &=&\dfrac{96\, \text{m}}{4\, \text{m}} & \\[5pt] anz &=& 24& \\[5pt] \end{array}$
Bei einer Stücklänge von $4\, \text{m}$ ergeben sich $24$ Stücke.
Anzahl$8 $ $3$$ 6$$ 32$$48 $$ 1$$ 24$
Länge pro Stück ($\text{m}$)$ 12$$ 32$$ 16$$ 3$$ 2$$96$$ 4$
AnzahlLänge pro Stück ($\text{m}$)
$ 8$$ 12$
$ 3$$ 32$
$ 6$$16 $
$32 $$ 3$
$ 48$$2 $
$ 1$$ 96$
$24 $$ 4$
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Fehler finden
Um die fehlerhaften Werte zu finden, bestimmst du den Flächeninhalt jedes Rechtecks.
Breite in $\text{dm}$$4 $$ 2$$ 24$$1$ $ 12$
Länge in $\text{dm}$$ 3$$ 7$$ 0,5$$ 16$$ 1$
Fläche in $\text{dm}^2$$ 12$$ 14$$ 12$$ 16$$ 12$
Breite in $\text{dm}$Länge in $\text{dm}$Fläche in $\text{dm}^2$
$4 $$ 3$$ 12$
$ 2$$ 7$$14$
$24 $$ 0,5$$ 12$
$ 1$$ 16$$ 16$
$ 12$$ 1$$ 12$
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $12\,\text {dm}^2$. Das zweite und das vierte Wertepaar sind somit falsch.
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Satz vervollständigen
Bei einer Werbeaktion bekommt jedes Kind drei kleine Geschenke. Der Geschenkevorrat ist dann nach 120 Kindern aufgebraucht. Wenn jedes Kind nur ein Geschenk bekommt reicht der Vorrat $3$ mal so lang. Somit reicht er für $3$ $\cdot$ $120$ $=$ $360$ Kinder. Wenn jetzt jedes Kind 4 Geschenke bekommt, reicht der Vorrat nur noch für ein Viertel der Kinder, also für $360$ $:$ $4$ $=$ $90$ Kinder.

Aufgabe 6

Schreibe einen Satz oder eine Aussage zu den folgenden Ausschnitten. Handelt es sich um umgekehrt proportionale oder proportionale Funktionen?
a)
$\blacktriangleright$  Satz schreiben
Wenn Niko die gleichen Nudeln zum doppelten Preis wie Frank gekauft hat, so hat er doppelt so viele davon erworben.
Hier handelt es sich um eine proportionale Funktion: (doppelt -> doppelt).
b)
$\blacktriangleright$  Satz schreiben
Wenn Maria mit der doppelten Geschwindigkeit wie Lisa fährt, so braucht sie für die gleiche Strecke die halbe Zeit.
Hier handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion: (doppelt -> halb).
c)
$\blacktriangleright$  Satz schreiben
Eine Maschine mit der vierfachen Leistung benötigt ein Viertel der Zeit für die gleiche Arbeit. Hier handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion: (vierfach -> ein viertel).
d)
$\blacktriangleright$  Satz schreiben
Mit halb so vielen Maschinen braucht man für die gleiche Arbeit die doppelte Arbeitszeit.
Hier handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion: (halb -> doppelt).
#umgekehrtproportionalefunktion

Aufgabe 7

Handelt es sich bei den folgenden Funktionen um umgekehrt proportionale Funktionen?
a)
$\blacktriangleright$  Umgekehrte Proportionalität erkennen
Wenn Nick doppelt so viel tankt, kann er dreimal so weit fahren.
(doppelt -> dreifach)
Hier handelt es sich nicht um eine umgekehrt proportionale Funktion. Dazu müsste Nick die halbe Strecke zurücklegen können.
b)
$\blacktriangleright$  Umgekehrte Proportionalität erkennen
Doppelt so viele Kühe geben doppelt so viel Milch.
(doppelt -> doppelt)
Hier handelt es sich um eine proportionale Funktion und nicht um eine umgekehrt proportionale Funktion.
c)
$\blacktriangleright$  Umgekehrte Proportionalität erkennen
Lisa will ein Seil von Ihrem Haus zu dem Ihres Nachbarn spannen. Dazu verknotet sie viele $1\,\text{m}$ lange Seile zu einem langen. Wenn Lisa stattdessen nur noch $0,5\,\text{m}$ lange Seile verwendet, benötigt sie doppelt so viele davon.
(halb -> doppelt)
Hier handelt es sich um eine umgekehrt proportionale Funktion.
d)
$\blacktriangleright$  Umgekehrte Proportionalität erkennen
Ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge $a$ hat den vierfachen Flächeninhalt $A$.
(doppelt -> vierfach)
Hier handelt es sich nicht um eine umgekehrt proportionale Funktion.
#umgekehrtproportionalefunktion
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