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Wurzelfunktionen

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Wenn du den Graphen einer Quadratwurzelfunktion zeichnen willst, beachte folgende Punkte:
  • Die Quadratwurzelfunktion $y = \sqrt{x}$ ist nur für positive Zahlen definiert. Ihr Graph beginnt im Punkt $(0|0)$ und ist streng monoton steigend.
  • Funktionen: Wurzelfunktionen
    Funktionen: Wurzelfunktionen
  • Der Graph wird entlang der $y$-Achse nach oben verschoben, wenn eine Konstante $c$ zu $f(x)$ addiert wird, nach unten, wenn die Konstante $c$ subtrahiert wird: $\sqrt{x} \pm c$. Verschiebungen nach rechts finden statt, wenn unter der Wurzel eine Kostante $c$ subtrahiert wird, nach links, wenn die Konstante $c$ addiert wird: $\sqrt{x \pm c}$
  • Wird die Funktion mit einem Faktor $n > 1$ multipliziert, streckst du den Graph entlang der $y$-Achse, ist der Faktor $n < 1$, stauchst du den Graph entlang der $y$-Achse: $n \cdot \sqrt{x}$
  • Der Graph wird an der $x$-Achse gespiegelt, wenn ein negatives Vorzeichen vor die Funktion geschrieben wurde: $-\sqrt{x}$. Du spiegelst die Funktion an der $y$-Achse, wenn unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen steht $\sqrt{-x}$. In diesem Fall dürfen für $x$ dann nur negative Werte eingesetzt werden.
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Aufgaben
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1.
Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme den Definitionsbereich.
b)
$y=-\sqrt{x-1}$
d)
$y=\sqrt{2x-1}-1$
f)
$y=\sqrt{2x}+2$
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Lösungen
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Die Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ ist für alle $x\geq0$ definiert. Der Ausdruck, der „unter“ der Wurzel steht, wird Radikand genannt. Der Definitionsbereich besteht also genau aus den Zahlen, für die der Wert unter der Wurzel nicht kleiner als Null wird.
Das Schaubild einer Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\sqrt{b(x-c)}+d$ entsteht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ durch Streckung bzw. Stauchung in $y$-Richtung um Faktor $a$, Streckung bzw. Stauchung in $x$-Richtung um Faktor $b$, Verschiebung in $x$-Richtung um $c$ LE und Verschiebung in $y$-Richtung um $d$ LE.
1.
Schaubilder skizzieren und Definitionsbereiche angeben
a)
$y=\sqrt{x+1}$
Definitionsbereich bestimmen
Untersuche, für welche Werte von $x$ der Radikand größer oder gleich Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} x+1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x&\geq& -1 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[-1;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-1\right\}$.
Skizze
Funktionen: Wurzelfunktionen
Funktionen: Wurzelfunktionen
b)
$y=-\sqrt{x-1}$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x-1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x&\geq& 1 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[1;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq1\right\}$.
Skizze
Funktionen: Wurzelfunktionen
Funktionen: Wurzelfunktionen
c)
$y=\sqrt{x+3}-2$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+3&\geq&0 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&\geq& -3 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[-3;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-3\right\}$.
Skizze
Funktionen: Wurzelfunktionen
Funktionen: Wurzelfunktionen
d)
$y=\sqrt{2x-1}-1$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2x-1&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2x&\geq& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq&\frac{1}{2} \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[\frac{1}{2};\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq\frac{1}{2}\right\}$.
Skizze
Funktionen: Wurzelfunktionen
Funktionen: Wurzelfunktionen
e)
$y=-\frac{1}{2}\sqrt{x}-1$
Definitionsbereich bestimmen
$x\geq0$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[0;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq0\right\}$.
Skizze
Funktionen: Wurzelfunktionen
Funktionen: Wurzelfunktionen
f)
$y=\sqrt{2x}+2$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2x&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq& 0 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[0;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq0\right\}$.
Skizze
Funktionen: Wurzelfunktionen
Funktionen: Wurzelfunktionen
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