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Exponentialfunktionen

Spickzettel
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Gleichungen mit der Form $y=a^x$ stellen für $a >; 0$ Funktionen dar. Diese Gleichungen werden Exponentialfunktionen genannt.
Für Exponentialfunktionen der Form $f(x)=a^x$ mit $a >; 0$ gilt:
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ (du kannst also jeden Wert für $x$ einsetzen)
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R^+} \setminus \left\{ 0 \right\}$ (Die Funktion $f$ nimmt nur positive Werte an, also alle Zahlen größer 0)
  • $f\left(0\right)=a^0=1$ für alle $a >; 0$
Der Graph einer Exponentialfunktion hat folgende Gestalt:
$y=a^x$ mit $a <; 1$: $\quad$ $y=a^x$ mit $a >; 1$:
Beispiel: $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \left(=2^{-x}\right)$ Beispiel: $y=2^x$
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
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Aufgaben
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1.  Gegeben ist die Exponentialfunktion $f$ durch $y = f(x) = \frac{1}{2}\cdot 3^x$.
a)  Gib den Definitions- und Wertebereich der Funktion $f$ an.
b)  Erstelle eine Wertetabelle mit ganzzahligen Werten für $x$ im Intervall [-4;3) und zeichne den Graph $F$ von $f$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
c)  Prüfe ob die Punkte $P\,(2\mid1,5)$ und $R\,(3\mid13,5)$ auf dem Graphen $F$ der Funktion $f$ liegen.
2.  Gegeben ist die Exponentialfunktion $g$ durch $y = g(x) = 0,4^x - 5;\;x \in \mathbb{R}$.
a)  Berechne die Nullstelle der Funktion $g$ und gebe die Koordinaten der Nullstelle an.
b)  Zeichne den Graph $G$ von $g$ in ein Koordinatensystem.
c)  Spiegelt man die Funktion $g$ an der $y$-Achse des Koordinatensystems, so erhält man eine neue Funktion $g'$.
Gib den Funktionsterm von $g'$ an.
Zeichne den Graph $G'$ von $g'$ in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe b) ein.
d)  Für welchen Wert von $s$ liegt der Punkt $Q\left( -2 \mid \frac{35}{8} \cdot s \right)$ auf dem Graph von $g$ bzw. auf dem Graph von $g'$?
3.  Gegeben sind die Exponentialfunktionen $h$ durch $y=h(x)=7^x-5$ und $i$ durch $y=i(x)=7^x$.
a)  Wie geht der Graph der Funktion $h$ aus dem Graph der Funktion $i$ hervor?.
b)  Gib die Funktionsgleichung von $j$ an, welche durch eine Verschiebung um vier Längeneinheiten in Richtung der positiven $y$-Achse und um zwei Längeneinheiten in Richtung der negativen $x$-Achse aus $i$ hervorgeht.
c)  Zeige, dass die Exponentialfunktion $h$ und die Exponentialfunktion $y=k(x)=2^x$ nur einen gemeinsamen Punkt $P$ besitzen.
Berechne die Koordinaten des Punktes $P$.
4.  Ordne den angegebenen Funktionstermen jeweils einen Graphen zu.
a)  $y=f_1(x)=3^x$
$y=f_3(x)=3^{-x}$
$y=f_2(x)=-3^x$
$y=f_4(x)=-3^{-x}$
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
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b)  $y=f_5(x)=2^x$
$y=f_7(x)=4^x$
$y=f_6(x)=2^x-3$
$y=f_8(x)=3\cdot 2^x$
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
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5.  Gegeben ist die Exponentialfunktion $h$ durch $y=h(x)=\dfrac{a}{b^x-2}$.
a)  Die Punkte $P(0\mid 0,5)$ und $Q(1\mid 1)$ liegen auf dem Graphen $H$ der Funktion $h$.
Bestimme Werte für die Parameter $a$ und $b$!
b)  Gib den maximalen Definitionsbereich der Funktion $h$ und deren Wertebereich an.
6. Gegeben sind die Exponentialfunktionen $f$ durch $y=f(x)=\frac{1}{2^x-4}$ und $g$ durch $y=g(x)=\left(\frac{7}{4}\right)^{-x}$.
Lies folgende Behauptungen und entscheide, welche auf die Funktion $f$ und/oder auf die Funktion $h$ zutreffen. Begründe deine Entscheidung!
(1)  Für den Definitionsbereich der Exponentialfunktion gilt: $x \in \mathbb{R}$.
(2)  Für den Wertebereich gilt: $W =\mathbb{R}^+$.
(3)  Die Exponentialfunktion besitzt genau eine Nullstelle.
7.  Gegeben ist die Exponentialfunktion $f$ durch $y=f(x)=2^x$.
a)  Wie geht die Funktion $y=g(x)=a\cdot f(x)$ aus der Funktion $f$ hervor? Welche Rolle spielt dabei der Parameter $a$?
b)  Wie geht die Funktion $y=h(x)=f(x+b)$ aus der Funktion $f$ hervor? Welche Rolle spielt dabei der Parameter $b$?
c)  Wie geht die Funktion $y=i(x)=f(x)+c$ aus der Funktion $f$ hervor? Welche Rolle spielt dabei der Parameter $c$?
Es gelte:  $a = b = c = 2$
d)  Zeichne alle vier Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und überprüfe deine Antworten anhand der Zeichnung.
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Lösungen
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1. 
a)  Definitionsbereich berechnen
Da du für x alle Werte einsetzen darfst, erhältst du den Definitionsbereich: $\mathbb{D} = x\in\mathbb{R}$
Wertebereich berechnen
Für x $ > $ 0 gilt f(x) $ > $ 0
Für x = 0 gilt f(0) = $\dfrac{1}{2} \cdot 3^0 = \dfrac{1}{2}$
Für x $ < $ 0 gilt f(x) $ > $ 0, denn für den Fall, dass x $ < $ 0 ist, kannst du $3^{-x}$ auch als Bruch schreiben $\left( \dfrac{1}{3^x} \right)$. Da ein Bruch nie kleiner als Null werden kann, bedeutet dies, dass $3^x$ (für x $ < $ 0) nie kleiner als Null bzw. negativ wird.
Bsp.: $f(-4) = \dfrac{1}{2} \cdot 3^{-4}$ ist also das gleiche wie $f(-4) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3^4}$
Du erhältst also den Wertebereicht $W = \mathbb{R}^+ $.
b)  Wertetabelle erstellen
$x$-4-3-2-1012
$f(x)$$\frac{1}{162}$$\frac{1}{54}$$\frac{1}{18}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{2}$$\frac{3}{2}$$\frac{9}{2}$
Graph F zeichnen
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
c)  Punktprobe mit P($2\mid1,5)$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $P(2\mid1,5)$ durch. Setze dazu den Punkt $P(2\mid1,5)$ in die Exponentialfunktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f(2)=&1,5&\scriptsize \\[2pt] \frac{1}{2}\cdot 3^2=&1,5&\scriptsize \\[2pt] \frac{1}{2}\cdot 9=&1,5&\scriptsize \\[2pt] \frac{9}{2}=&1,5&\scriptsize \end{array}$
Da die Gleichung nicht lösbar ist und somit keine Wahre Aussage liefert, liegt der Punkt $P$ nicht auf dem Graph F der Funktion $f$.
Punktprobe mit $R(3\mid13,5)$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $R(3\mid13,5)$ durch. Setze dazu den Punkt $R(3\mid13,5)$ in die Exponentialfunktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f(3)=&13,5&\scriptsize \\[2pt] \frac{1}{2}\cdot 3^3=&13,5&\scriptsize \\[2pt] \frac{1}{2}\cdot 27=&13,5&\scriptsize \\[2pt] \frac{27}{2}=&13,5&\scriptsize \\[2pt] 13,5=&13,5&\scriptsize \end{array}$
Da die Gleichung lösbar ist und somit eine wahre Aussage liefert, liegt der Punkt $R$ auf dem Graphen F der Funktion $f$.
2. 
a)  Nullstelle berechnen
Setze die Exponentialfunktion $g(x)$ gleich Null.
$\begin{array}{rll} g(x)=&0&\scriptsize \\[2pt] 0,4^x-5=&0&\scriptsize \mid\;+5 \\[2pt] 0,4^x=&5&\scriptsize \mid\;\lg \\[2pt] \lg0,4^x=&\lg5&\scriptsize \text{Logarithmusgesetz} \\[2pt] x\cdot \lg0,4=&\lg5&\scriptsize \mid\;:\lg0,4 \\[2pt] x=&\frac{\lg5}{\lg0,4}&\scriptsize \\[2pt] x \approx &-1,76&\scriptsize \end{array}$
Du erhältst die Nullstelle $(-1,76\mid0)$.
b)  Graph G zeichnen
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
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c)  Funktionsterm von $g'$ berechnen
Allgemein gilt für das Spiegeln von Funktionstermen an der Y-Achse: $g'(x)=g(-x)$.
$\begin{array}{rll} g'(x)=&g(-x)&\scriptsize \\[2pt] g'(x)=&0,4^{-x}-5&\scriptsize \\[2pt] g'(x)=&\frac{1}{0,4^x}-5&\scriptsize \end{array}$
Graph G' zeichnen
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
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d)  Berechnung des Wertes $s$
$\blacktriangleright$ Berechnung des Wertes $s$, für den der Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ auf G liegt
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ durch. Setze dazu den Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ in die Exponentialfunktion $g$ ein.
$\begin{array}{rll} g(-2)=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \\[2pt] 0,4^{-2}-5=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \\[2pt] 6,25-5=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \\[2pt] 1,25=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \mid\;\cdot\frac{8}{35} \\[2pt] s=&\frac{2}{7}&\scriptsize \end{array}$
Für den Wert $s=\frac{2}{7}$ liegt der Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ auf dem Graphen von $G$ von $g$.
$\blacktriangleright$ Berechnung des Wertes $s$, für den der Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ auf G' liegt
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ durch. Setze dazu den Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ in die Exponentialfunktion $g'$ ein.
$\begin{array}{rll} g'(-2)=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \\[2pt] 0,4^{2}-5=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \\[2pt] 0,16-5=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \\[2pt] -4,84=&\frac{35}{8}\cdot s&\scriptsize \mid\cdot\frac{8}{35} \\[2pt] s\approx &-1,11&\scriptsize \end{array}$
Für den Wert $s\approx -1,11$ liegt der Punkt $Q\left(-2 \mid\;\frac{35}{8}\cdot s\right)$ auf dem Graphen von $G'$ von $g'$
3. 
a)  Graph der Exponentialfunktion $h$
Der Graph der Funktion $h$ geht durch eine Verschiebung um fünf Längeneinheiten nach unten entlang der $y$-Achse aus dem Graphen der Funktion $i$ hervor.
b)  Funktionsgleichung $j$
Deine ursprüngliche Funktion $i$ lautet $y=i(x)=7^x$.
Um die Funktion nun um vier Längeneinheiten nach oben zu verschieben, musst du $+4$ an die Funktion $i$ anhängen. Du erhältst also die Funktion $y=j(x)=(7^x)+4$.
Da du die Funktion noch um zwei Längeneinheiten nach lins verschieben sollst, musst du alle x in der Funktion $i$ durch $(x+2)$ ersetzen. Du erhältst nun die neue Funktionsgleichung $y=j(x)=\left(7^{x+2}\right)+4$.
c)  Gleichsetzen von $h$ und $k$
Um zu beweisen, dass die Exponentialfunktion $h$ und die Exponentialfunktion $y = k(x) = 2^x$ nur einen gemeinsamen Punkt P besitzen, musst du die beiden Funktionen gleichsetzen. Nach dem Auflösen der Gleichung nach $x$, darf nur ein Wert für $x$ rauskommen, da du zeigen sollst, dass die beiden Exponentialfunktionen genau einen gemeinsamen Punkt P besitzen. Würdest du für $x$ mehrere Werte erhalten, würde dies bedeuten, dass die beiden Exponentialfunktionen mehr als einen gemeinsamen Punkt besitzen. Ist die Gleichung nicht lösbar (bekommt man keinen Wert für $x$), so bedeutet dies, dass die beiden Funktionen keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
$\begin{array}{rll} 7^x-5=&2^x&\scriptsize \mid\;-2^x \\[2pt] 7^x-5-2^x=&0&\scriptsize \mid\;+5 \\[2pt] 7^x-2^x=&5&\scriptsize \\[2pt] 5^x=&5&\scriptsize \mid\;\lg \\[2pt] \lg5^x=&\lg5\quad&\scriptsize \text{Logarithmusgesetz} \\[2pt] x\cdot \lg5=&\lg5&\scriptsize \mid\;:\lg5 \\[2pt] x=&\frac{\lg5}{\lg5}&\scriptsize \\[2pt] x=&1&\scriptsize \end{array}$
Koordinaten von P berechnen
Nun setzt du den oben ausgerechneten x Wert entweder in die Funktion $h$ oder in die Funktion $k$ ein, um den Y-Wert des Punktes P berechnen zu können.
In diesem Fall solltest du die Funktion $k$ wählen, da es bei dieser Funktion leichter ist das Ergebnis zu berechnen.
$k(x)=2^x$
$k(1)=2^1$
$k(1)=2$
Du erhältst also den Punkt $P(1\mid2)$.
4. 
a)  Funktionsterme zuordnen
Die Grundfunktion ist die Exponentialfunktion $y=f_1(x)=3^x$. Der Graph von der Exponentialfunktion $f_1$ verläuft im Ⅰ. und im Ⅱ. Quadranten streng monoton wachsend. Daraus folgt, dass der Graph H zu der Funktion $y=f_1(x)=3^x$ gehört.
Bei gleichem Exponenten und Veränderung des Vorzeichens der Basis, wird der Graph der Grundfunktion an der X-Achse gespiegelt. Daraus folgt, dass der Graph J zu der Funktion $y=f_2(x)=-3^x$ gehört.
Bei gleicher Basis und Veränderung des Vorzeichens des Exponenten, wird der Graph der Grundfunktion an der Y-Achse gespiegelt. Daraus folgt, dass der Graph G zu der Funktion $y=f_3(x)=3^{-x}$ gehört.
Bei Veränderung des Vorzeichens der Basis und des Exponenten, wird der Graph der Grundfunktion an der X-Achse und Y-Achse gespiegelt. Daraus folgt, dass der Graph I zu der Funktion $y=f_4(x)=-3^{-x}$ gehört.
b)  Funktionsterme zuordnen
Die Grundfunktion ist die Exponentialfunktion $y=f_5(x)=2^x$. Der Graph von der Exponentialfunktion $f_5$ verläuft durch die Punkte $P_1(0\mid1)$ und $P_2(1\mid2)$. Daraus folgt, dass der Graph M zu der Funktion $y=f_5(x)=2^x$ gehört.
Durch das Anhängen von $-3$ wird die Grundfunktion um 3 Längeneinheiten nach unten entlang der Y-Achse verschoben. Dies bedeutet, dass die Exponentialfunktion $f_6$ durch die Punkte $P_1(0\mid-2)$ und $P_2(1\mid-1)$ verläuft. Daraus folgt, dass der Graph N zu der Funktion $y=f_6(x)=2^x-3$ gehört.
Da die Exponentialfunktion $f_7$ eine andere Basis besitzt, geht diese Funktion nicht aus der Grundfunktion hervor. Mittels Punktprobe erhält man die Punkte $P_1(0\mid1)$ und $P_2(1\mid4)$. Daraus folgt, dass der Graph L zu der Funktion $y=f_7(x)=4^x$ gehört.
Durch das Anhängen von $3$ wird die Grundfunktion um den Faktor $3$ gestreckt. Dies bedeutet, dass die Exponentialfunktion $f_8$ durch den Punkt $P_1(0\mid3)$ verläuft. Daraus folgt, dass der Graph K zu der Funktion $y=f_8(x)=3\cdot 2^x$ gehört.
5. 
a)  Lösungsgleichungssystem aufstellen
Es sind zwei Bedingungen gegeben, die die Funktion $h$ erfüllen muss. Die erste Bedingung ist, dass der Punkt $P(0\mid0,5)$ auf der Funktion $h$ liegen muss und die zweite Bedingung ist, dass der Punkt $Q(1\mid1)$ auf der Funktion $h$ liegen muss.
Du musst nun zu jeder Bedingung eine Gleichung aufstellen und eine Gleichung nach $a$ oder $b$ umstellen. Anschließend musst du die umgestellte Gleichung in die Gleichung der zweiten Bedingung einsetzen.
1. Schritt: erste Bedingung aufstellen
Durch Einsetzen des Punktes $P(0\mid0,5)$ in die Funktion $h$ erhältst du deine erste Bedingung:
$0,5=\dfrac{a}{b^0-2}$
$0,5=\dfrac{a}{1-2}$
$0,5=\dfrac{a}{-1}$
Nun stellst du die erste Gleichung nach $a$ um, um den ersten Parameter $a$ bestimmen zu können.
$\begin{array}{rll} 0,5=&\frac{a}{-1}&\scriptsize \mid \cdot (-1) \\[2pt] a=&-0,5&\scriptsize \end{array}$
2. Schritt: zweite Bedingung aufstellen
Durch Einsetzen des Punktes $Q(1\mid1)$ in die Funktion $h$ erhältst du deine zweite Bedingung:
$1=\dfrac{a}{b^1-2}$
$1=\dfrac{a}{b-2}$
Nun musst du die erste nach $a$ umgestellte Gleichung ($a=-0,5$) in die Gleichung der zweiten Bedingung $\left( 1=\dfrac{a}{b-2}\right)$ einsetzen und nach $b$ auflösen.
$\begin{array}{rll} 1=&\dfrac{(-0,5)}{b-2}&\scriptsize \mid\;\cdot (b-2) \\[2pt] b-2=&-0,5)&\scriptsize \mid\;+2 \\[2pt] b=&1,5&\scriptsize \end{array}$
Nun hast du auch den zweiten Parameter $b$ berechnet und erhältst die Gleichung $y=h(x)=\frac{-0,5}{1,5^x-2}$, welche beide Bedingungen erfüllt.
b)  Definitionsbereich berechnen
Da der Nenner eines Bruchs nie Null werden darf, musst du prüfen für welche Zahlen dies der Fall ist. Setzte also den Nenner des Bruchs gleich Null. Anschließend musst du die Zahlen aus dem Definitionsbereich der Funktion $h$ ausschließen, für die der Nenner den Wert Null annimmt.
$\begin{array}{rll} 1,5^x-2=&0&\scriptsize \mid\;+2 \\[2pt] 1,5^x=&2&\scriptsize \mid\;\lg \\[2pt] \lg1,5^x=&\lg2&\scriptsize \text{Logarithmusgesetz} \\[2pt] x\cdot lg1,5=&\lg2&\scriptsize \mid\;:\lg1,5 \\[2pt] x=&\frac{\lg2}{\lg1,5}&\scriptsize \\[2pt] x\approx&1,71&\scriptsize \end{array}$
Da du für x alle Werte außer $x=1,71$ einsetzen darfst, erhältst du den Definitionsbereich: $\mathbb{D}=x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1,71\right\}$
Wertebereich berechnen
Für x $ > $ 1,71 gilt h(x) $ < $ 0
Für x = 1,71 hat h(x) keine Lösung
Für x $ < $ 1,71 gilt h(x) $ > $ 0
Du erhältst also den Wertebereicht $W =\mathbb{R}$.
6.  Behauptungen prüfen
(1)  Diese Behauptung trifft nur auf die Funktion $g$ zu, da nur bei der Funktion $g$ für x alle Werte einsetzen darfst. Du erhältst den Definitionsbereich: $\mathbb{D} = x\in\mathbb{R}$
Da der Nenner eines Bruchs nie Null werden darf, musst du den Wert $x=2$ aus dem Definitionsbereich der Funktion $f$ ausschließen. Du erhältst somit den Definitionsbereich: $\mathbb{D}=x\in\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}$. Diese Behauptung trifft also nicht auf die Funktion $f$ zu.
(2)  Auch diese Behauptung trifft nur auf die Funktion $g$ zu, denn:
Für x $ < $ 0 gilt g(x) $ > $ 0
Für x = 0 gilt g(0) = $(\frac{7}{4})^{0}=1$
Für x $ > $ 0 gilt g(x) $ > $ 0, denn für den Fall, dass x $ > $ 0 ist, kannst du $(\frac{7}{4})^{-x}$ auch als Bruch schreiben $\left(\dfrac{1}{(\frac{7}{4})^x}\right)=(\frac{4}{7})^x$.
Da ein Bruch nie kleiner als Null werden kann, bedeutet dies, dass $(\frac{7}{4})^{-x}$ (für x $ > $ 0) nie kleiner als Null bzw. negativ wird.
Bsp.: $g(4)=(\frac{7}{4})^{-4}$ ist das Gleiche wie $g(4)=(\frac{4}{7})^4$
Du erhältst den Wertebereicht $W = \mathbb{R}^+ $.
Auf die Funktion $f$ trifft diese Behauptung nicht zu, denn:
für x $>$ 2 gilt f(x) $>$ 0
für x = 2 hat f(x) keine Lösung
für x $<$ 2 gilt f(x) $<$ 0
Du erhältst also den Wertebereicht $W =\mathbb{R}$.
(3)  Diese Behauptung trifft auf keine der beiden Funktionen zu. Denn sowohl die Gleichung $\frac{1}{2^x-4}=0$ als auch $\left(\frac{7}{4}\right)^{-x}=0$ sind nicht lösbar. Somit besitzen beide Funktionen keine Nullstellen.
7. 
a)  Parameter $a$
Die Funktion $g$ geht durch eine Streckung bzw. durch eine Stauchung aus der Funktion $f$ hervor.
Für $a > 1$ bewirkt der Parameter eine Steckung der Funktion $g$.
Für $a < 1$ bewirkt der Parameter eine Stauchung der Funktion $g$.
Für $a=1$ hat der Parameter keinen Einfluss auf die Funktion $g$.
b)  Parameter $b$
Die Funktion $h$ geht durch eine Verschiebung entlang der X-Achse aus der Funktion $f$ hervor.
Für $b > 0$ bewirkt der Parameter eine Verschiebung der Funktion $h$ entlang der X-Achse in negative Richtung (also nach links).
Für $b < 0$ bewirkt der Parameter eine Verschiebung der Funktion $h$ entlang der X-Achse in positive Richtung (also nach rechts).
Für $b=0$ hat der Parameter keinen Einfluss auf die Funktion $h$.
c)  Parameter $c$
Die Funktion $i$ geht durch eine Verschiebung entlang der Y-Achse aus der Funktion $f$ hervor.
Für $c > 0$ bewirkt der Parameter eine Verschiebung der Funktion $i$ entlang der Y-Achse in positive Richtung (also nach oben).
Für $c < 0$ bewirkt der Parameter eine Verschiebung der Funktion $i$ entlang der Y-Achse in negative Richtung (also nach unten).
Für $c=0$ hat der Parameter keinen Einfluss auf die Funktion $i$.
d)  Graphen zeichnen
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen und Wachstum: Exponentialfunktionen
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