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Graphisches Lösungsverfahren

Spickzettel
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Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann man als Schnittpunkt zweier linearer Funktionen (Geraden) interpretieren. Um die Lösung grafisch zu bestimmen, zeichnest du die beiden Geraden in ein Koordinatensystem ein und liest den Schnittpunkt ab.

Beispiel

Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems grafisch.
$\begin{array}{rll} -4x+2y=&2& \\[5pt] \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}y=&1& \\[5pt] \end{array}$
Umstellen der Gleichungen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}y=&1& \mid\; \cdot4 \\[5pt] x+y=&4& \mid\; -x\\[5pt] y=&-x+4&\\[5pt] \end{array}$
Einzeichnen der Geraden $y=2x+1$ und $y=-x+4$. Ablesen des Schnittpunkts $S(1 \mid 3)$.
Das lineare Gleichungssystem hat damit die Lösung $x=1$, $y=3$. Man schreibt $\mathbb{L}=\left\{(1\mid3)\right\}$.
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1.
Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems zeichnerisch.
b)
$\begin{array}[t]{rll} -3x+y=&1\\[5pt] 2x+2y=&10 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 4x+y=&5\\[5pt] 12x+3y=&-9 \end{array}$
2.
Bestimme ein lineares Gleichungssystem zum Schaubild unten und gib die Lösungsmenge an.
3.
Stelle zwei verschiedene lineare Gleichungssysteme auf, deren Lösung $\mathbb{L}=\left\{(-1 \mid 2)\right\}$ ist.
4.
Was bedeutet es geometrisch, wenn ein lineares Gleichungssystem eine Lösung unendlich viele oder gar keine Lösung besitzt? Gib ein lineares Gleichungssystem an, welches
a)
genau eine Lösung hat.
b)
unendlich viele Lösungen hat.
c)
keine Lösung hat.
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1.
a)
1. Schritt: Umstellen der Gleichungen
$\begin{array}{rll} x-y=&0& \mid\; -x\\[5pt] -y=&-x& \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] y=&x& \end{array}$
2. Schritt: Einzeichnen der linearen Funktionen $y=2x-1$ und $y=x$
3. Schritt: Ablesen des Schnittpunkts
Der Schnittpunkt liegt bei $S(1 \mid 1)$ ($x=1$, $y=1$). Damit hat das lineare Gleichungssystem die Lösung $\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 1)\right\}$.
b)
1. Schritt: Umstellen der Gleichungen
$\begin{array}{rll} 2x+2y=&10& \mid\; -2x\\[5pt] 2y=&-2x+10& \mid\; :2\\[5pt] y=&-x+5& \end{array}$
2. Schritt: Einzeichnen der linearen Funktionen $y=3x+1$ und $y=-x+5$
3. Schritt: Ablesen des Schnittpunkts
Der Schnittpunkt liegt bei $S(1 \mid 4)$ ($x=1$, $y=4$). Damit hat das lineare Gleichungssystem die Lösung $\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 4)\right\}$.
c)
Umstellen der Gleichungen
$\begin{array}{rll} -2x+\dfrac{1}{2}y=&-1& \mid\; +2x\\[5pt] \dfrac{1}{2}y=&2x-1& \mid\; \cdot2\\[5pt] y=&4x-2& \end{array}$
Die beiden Gleichungen liefern die lineare Funktion $y=4x-2$. Sie sind somit identisch. Dies bedeutet, dass es unendlich viele Schnittpunkte gibt. Jeder Punkt $(x \mid y)$ auf der Gerade ist eine Lösung des Gleichungssystems.
Damit hat das lineare Gleichungssystem die Lösung $\mathbb{L}=\left\{(x \mid y)\; \mid y=4x-2\right\}$.
d)
Umstellen der Gleichungen
$\begin{array}{rll} 12x+3y=&-9& \mid\; -12x\\[5pt] 3y=&-12x-9& \mid\; :3\\[5pt] y=&-4x-3& \end{array}$
Aus den Geradengleichungen $y=-4x+5$ und $y=-4x-3$ liest man ab, dass die Geraden die gleiche Steigung besitzen. Sie verlaufen also parallel.
Parallele Geraden schneiden sich nicht. Sie besitzen also keinen Schnittpunkt. Dies bedeutet für das lineare Gleichungssystem, dass es keine Lösung besitzt $\mathbb{L}=\left\{\;\right\}$.
2.
1. Schritt: Geradengleichungen bestimmen
Das Schaubild zeigt den Graphen der Geraden $y=x-2$ und $y=-2x+4$. Diese schneiden sich im Punkt $(2 \mid 0)$. Ein lineares Gleichungssystem dazu wäre z.B.
$\begin{array}{rll} y=&x-2 \\[5pt] y=&-2x+4 \end{array}$
Dieses kann man nun noch umstellen und auf die gewohnte Form bringen
$\begin{array}{rll} -x+y=&-2 \\[5pt] 2x+y=&4 \end{array}$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
Die Lösungsmenge des LGS ist der Schnittpunkt der beiden Geraden $S(2 \mid 0)$. Für $x=2$ und $y=0$ sind beide Gleichungen erfüllt. Es ist daher $\mathbb{L}=\left\{(2 \mid 0)\right\}$.
3.
LGS aufstellen
Wenn das lineare Gleichungssystem die Lösung $\mathbb{L}=\left\{(-1 \mid 2)\right\}$ besitzen soll, bedeutet dies, dass der Schnittpunkt zweier Geraden $S(-1 \mid 2)$ ist. Die Gerade $y=-2x$ geht z.B. durch den Punkt $S(-1 \mid 2)$. Die Gerade $y=-x+1$ schneidet $y=-2x$ in $S$. Damit ist schon einmal ein erstes lineares Gleichungssystem gefunden, nämlich
$\begin{array}{rll} y=&-2x \\[5pt] y=&-x+1 \end{array}$
Dieses kann man nun noch umstellen und auf die gewohnte Form bringen
$\begin{array}{rll} 2x+y=&0 \\[5pt] x+y=&1 \end{array}$
Für das zweite LGS, dass unterschiedlich zu dem oben sein soll, kann auch die Gerade $y=-2x$ beinhalten. Die andere Gerade, die $y=-2x$ in $S$ schneidet, muss allerdings unterschiedlich zu $y=-x+1$ sein. Eine Möglichkeit wäre z.B. $y=x+3$.
Damit ergibt sich das LGS
$\begin{array}{rll} y=&-2x \\[5pt] y=&x+3 \end{array}$
Dieses kann man nun noch umstellen und auf die gewohnte Form bringen
$\begin{array}{rll} 2x+y=&0 \\[5pt] -x+y=&3 \end{array}$
4.
Geometrische Bedeutung
Ein lineares Gleichungssystem kannst du dir als zwei Geraden im Koordinatensystem vorstellen. Diese können sich schneiden, parallel oder identisch sein. Hat ein lineares Gleichungssystem eine Lösung, so bedeutet dies grafisch, dass die Geraden einen Schnittpunkt besitzen.
Hat ein LGS unendlich viele Lösungen, bedeutet dies, dass die Geraden identisch sind (Sie haben unendlich viele Schnittpunkte).
Hat ein LGS keine Lösung, so bedeutet dies, dass die Geraden parallel zueinander sind. Denn parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.
a)
Die Geraden $y=x$ und $y=-x$ schneiden sich z.B. im Ursprung $S(0 \mid 0)$. Damit ergibt sich das LGS
$\begin{array}{rll} y=&x \\[5pt] y=&-x \end{array}$
Dieses kann man nun noch umstellen und auf die gewohnte Form bringen
$\begin{array}{rll} y-x=&0 \\[5pt] y+x=&0 \end{array}$
Es gilt $\mathbb{L}=\left\{(0 \mid 0)\right\}$.
b)
Die Gerade $y=2x+1$ und die „Gerade“ $2y=4x+2$ sind z.B. identisch, denn wenn man $2y=4x+2$ durch zwei teilt, erhält man wieder $y=2x+1$.
Damit ergibt sich das LGS
$\begin{array}{rll} y=&2x+1 \\[5pt] 2y=&4x+2 \end{array}$
Dieses kann man nun noch umstellen und auf die gewohnte Form bringen
$\begin{array}{rll} -2x+y=&1 \\[5pt] -4x+2y=&2 \end{array}$
Es gilt $\mathbb{L}=\left\{(x \mid y)\; \mid y=2x+1\right\}$.
c)
Die Geraden $y=-3x+1$ und $y=-3x+15$ sind z.B. parallel, da sie die gleiche Steigung besitzen. Damit ergibt sich das LGS
$\begin{array}{rll} y=&-3x+1\\[5pt] y=&-3x+15 \end{array}$
Dieses kann man nun noch umstellen und auf die gewohnte Form bringen
$\begin{array}{rll} 3x+y=&1\\[5pt] 3x+y=&15 \end{array}$
Es gilt $\mathbb{L}=\left\{\;\right\}$.
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