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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
Gleichsetzungsverfahr...
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
Schnittpunkt Gerade -...
Achsenschnittpunkte
Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion
Mit positivem Exponen...
Mit negativem Exponen...
Streckung, Stauchung ...
Potenzgesetze
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Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
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Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funk...
Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
Eigenschaften der Tan...
Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Löse das lineare Gleichungssystem.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&-0,5x+1\\[5pt] y=&-x+2 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} b=&0,25a+3\\[5pt] b-a=&0 \end{array}$
2.
Löse das lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&4x-2\\[5pt] x=&\dfrac{1}{2}y \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} -2x=&-5-y\\[5pt] y+6x=&-5 \end{array}$
3.
Löse das lineare Gleichungssystem.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 2x=&\dfrac{3}{2}+3y \\[5pt] 2x+3y=&4 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} -a+2b=&0 \\[5pt] -a+4b=&-4 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} a+b=&1 \\[5pt] 2a-2b=&2 \\[5pt] \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} 3x-2y=&1 \\[5pt] 2x-2y=&0 \end{array}$
j)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}x+y=&4 \\[5pt] 2x-y=&1 \end{array}$
l)
$\begin{array}[t]{rll} -2x+y=&-5 \\[5pt] x-y=&9 \end{array}$
4.
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ohne zu rechnen. Begründe deine Entscheidung.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&\dfrac{1}{2}x+2 \\[5pt] 2y=&x+4 \end{array}$
5.
Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems grafisch. Überprüfe dein Ergebnis dann durch Rechnungen.
$\begin{array}[t]{rll} y=&4x-2\\[5pt] 2y=&6x+1 \end{array}$
6.
Wähle ein geschicktes Verfahren zum Lösen des linearen Gleichungssystems.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 2x=&22\\[5pt] 6x-5y=&1 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} x+2y=&y \\[5pt] -x=&1+2y \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} 0=&8+x\\[5pt] 0=&-4-2y \end{array}$
7.
Sascha bekommt das alte Handy seines Bruders geschenkt. Er überlegt sich, welchen Vertrag er abschließt.
Happy-Handy
Grundgebühr pro Monat: 5 €
Preis pro Gesprächsminute: 9 ct
in alle dt. Netze
Preis pro SMS: 9 ct
Ab wie vielen Minuten und SMS lohnt sich der Vertrag mit Grundgebühr? In welchem Fall sollte Sascha lieber die Prepaidkarte wählen?
8.
Bauer Müller besitzt 35 Tiere. Es sind Puten und Schafe. Die Tiere haben zusammen 100 Beine.
Wie viele Puten und wie viele Schafe besitzt Bauer Müller?
Lineares Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem
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Lösungen
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1.
a)
Gleichsetzen der beiden Gleichungen
$\begin{array}{rll} 2x=&3x+1&\quad \mid\; -3x\\[5pt] -x=&1&\quad \mid\;:(-1)\\[5pt] x=&-1&\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=-1$ in eine der beiden Gleichungen liefert
$y=2\cdot(-1)=-2$
Für $x=-1$ und $y=-2$ sind beide Gleichungen erfüllt.
Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(-1 \mid -2)\right\}$.
b)
Gleichsetzen der beiden Gleichungen
$\begin{array}{rll} -0,5x+1=&-x+2&\quad \mid\; +x-1\\[5pt] 0,5x=&1&\quad \mid\;:0,5\\[5pt] x=&2&\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=2$ in eine der beiden Gleichungen liefert
$y=-0,5\cdot2+1=0$
Für $x=2$ und $y=0$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(2 \mid 0)\right\}$.
c)
Umstellen der zweiten Gleichung
$\begin{array}{rll} 2x-y=&-1&\quad \mid\; -2x\\[5pt] -y=&-2x-1&\quad \mid\;:(-1)\\[5pt] y=&2x+1&\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen
$\begin{array}{rll} -2x+5=&2x+1&\quad \mid\; +2x-1\\[5pt] 4=&4x&\quad \mid\;:4\\[5pt] x=&1&\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=1$ in eine der beiden Gleichungen liefert
$y=-2\cdot1+5=3$
Für $x=1$ und $y=3$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 3)\right\}$.
d)
Umstellen der zweiten Gleichung
$\begin{array}{rll} b-a=&0&\quad \mid\; +a\\[5pt] b=&a&\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen
$\begin{array}{rll} a=&0,25a+3&\quad \mid\; -0,25a \\[5pt] \dfrac{3}{4}a=&3&\quad \mid\;:\frac{3}{4}\\[5pt] a=&4&\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $a=4$ in eine der beiden Gleichungen liefert
$b=-0,25\cdot4+3=4$
Für $x=4$ und $y=4$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(4 \mid 4)\right\}$.
2.
a)
Einsetzen von $x=4+2y$ in $y=-x+4$
$\begin{array}{rll} y=&-(4+2y)+4& \\[5pt] y=&-4-2y+4&\quad \mid\;+2y \\[5pt] 3y=&0&\quad \mid\;:3\\[5pt] y=&0&\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $y=0$ in $x=4+2y$ liefert
$x=4+2\cdot0=4$
Für $x=4$ und $y=0$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(4\mid0)\right\}$.
b)
Einsetzen von $x=\dfrac{1}{2}y$ in $y=4x-2$
$\begin{array}{rll} y=&4\cdot\left(\dfrac{1}{2}y\right)-2& \\[5pt] y=&2y-2&\quad \mid\;-2y \\[5pt] -y=&-2&\quad \mid\;:(-1)\\[5pt] y=&2&\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $y=2$ in $x=\dfrac{1}{2}y$ liefert
$x=\dfrac{1}{2}\cdot2=1$
Für $x=1$ und $y=2$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 2)\right\}$.
c)
Auflösen der zweiten Gleichung nach $x$
$\begin{array}{rll} y-5=&-x&\quad \mid\; :(-1)\\[5pt] -y+5=&x& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=-y+5$ in $y=-\dfrac{1}{5}x+5$
$\begin{array}{rll} y=&-\dfrac{1}{5}\cdot(-y+5)+5& \\[5pt] y=&\dfrac{1}{5}x-1+5&\quad \mid\;-\frac{1}{5}x \\[5pt] \dfrac{4}{5}y=&4&\quad \mid\;:\frac{4}{5} \\[5pt] y=&5& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $y=5$ in $x=-y+5$
$x=-5+5=0$
Für $x=0$ und $y=5$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{(0 \mid 5)\right\}$.
d)
Auflösen der ersten Gleichung nach $x$
$\begin{array}{rll} -2x=&-5-y&\quad \mid\; :(-2) \\[5pt] x=&\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}y& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}y$ in $y+6x=-5$
$\begin{array}{rll} y+6\cdot\left(\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}y\right)=&-5& \\[5pt] y+15+3y=&-5&\quad \mid\;-15\\[5pt] 4y=&-20&\quad \mid\;:4\\[5pt] y=&-5& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $y=-5$ in $x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}y$
$x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot(-5)=0$
Für $x=0$ und $y=-5$ sind beide Gleichungen erfüllt. Damit ergibt sich $\mathbb{L}=\left\{\left(0 \mid -5\right)\right\}$.
3.
a)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&2x&-&y&=&1&\\[5pt] Ⅱ&&&x&+&y&=&2& \qquad \mid\; Ⅰ+Ⅱ \\[5pt] \hline &&&&&3x&=&3& \qquad \mid\; :3 \\[5pt] &&&&&x&=&1 \\[5pt] \end{array}$
$x$ in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} 2\cdot1-y=&1&\quad \mid\;-2\\[5pt] -y=&-1&\quad \mid\;:(-1)\\[5pt] y=&1& \\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 1)\right\}$
b)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&&&2x&=&\dfrac{3}{2}+3y &\quad \mid\; -3y \\[5pt] Ⅱ&&&2x&+&3y&=&4 \\[5pt] \hline Ⅰ&&&2x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\[5pt] Ⅱ&&&2x&+&3y&=&4 &\quad \mid\; Ⅰ+Ⅱ \\[5pt] \hline &&&&&4x&=&\dfrac{11}{2} \\[5pt] &&&&&x&=&\dfrac{11}{8} \\[5pt] \end{array}$
$x$ in Ⅰ:
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \dfrac{11}{8}=& \dfrac{3}{2}+3y \\[5pt] \dfrac{11}{4}-\dfrac{3}{2}=& 3y& { \mid\; -\dfrac{3}{2}} \\[5pt] \dfrac{5}{4}=& 3y& { \mid\; :3} \\[5pt] \dfrac{5}{12}=& y \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(\dfrac{11}{8} \mid \dfrac{5}{12}\right)\right\}$
c)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$\begin{array}{rrll} Ⅰ\;&2x+2y=&1& \\[5pt] Ⅱ&-2x-y=&0& \mid\; Ⅱ+Ⅰ \\[5pt] \hline &y=&1 \end{array}$
y in Ⅰ:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+2 \cdot 1&=1&{ \mid\; -2}\\[5pt] 2x&=-1&{ \mid\; :2}\\[5pt] x&=-\dfrac{1}{2} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(-\dfrac{1}{2} \mid 1\right)\right\}$
d)
$\blacktriangleright$ Einsetzungsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&-a&+&2b&=&0&\quad \mid\; +a \\[5pt] Ⅱ&&&-a&+&4b&=&-4& \\[5pt] \hline Ⅰa&&&&&2b&=&a \\[5pt] Ⅱ&&&-a&+&4b&=&-4\\[5pt] \end{array}$
$a=2b$ in Ⅱ:
$\begin{array}[t]{rll} -(2b)+4b=&-4\\[5pt] 2b=&-4\\[5pt] b=&-2 \end{array}$
$b=-2$ in Ⅰ:
$\begin{array}[t]{rll} -a+2 \cdot (-2)=&0\\[5pt] -a-4=&0&{ \mid\; +4}\\[5pt] -a=&4&{ \mid\; \cdot (-1)}\\[5pt] a=&-4 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(-4 \mid -2\right)\right\}$
e)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&2x&+&14y&=&7 \\[5pt] Ⅱ&&&0,5x&+&y&=&2 &\quad \mid\; \cdot (-4) \\[5pt] \hline Ⅰ&&&2x&+&14y&=&7 \\[5pt] Ⅱ&&&-2x&-&4y&=&-8 &\quad \mid\; Ⅰ+Ⅱ \\[5pt] \hline &&&&&10y&=&-1&{ \mid\; :10}\\[5pt] &&&&&y&=&-\dfrac{1}{10} \end{array}$
$y=-0,1$ in Ⅰ:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+14\cdot (-0,1)=&7\\[5pt] 2x-1,4=&7&{ \mid\; +1,4}\\[5pt] 2x=&8,4&{ \mid\; :2}\\[5pt] x=&4,2 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(4,2 \mid -0,1\right)\right\}$
f)
$\blacktriangleright$ Einsetzungsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&a&+&b&=&1 &\quad \mid\; \cdot (-2) \\[5pt] Ⅱ&&&2a&-&2b&=&2\\[5pt] \hline Ⅰ&&&-2a&-&2b&=&-2 \\[5pt] Ⅱ&&&2a&-&2b&=&2 &\quad \mid\; Ⅰ+Ⅱ \\[5pt] \hline &&&&&-4b&=&0 \\[5pt] &&&&&b&=&0 \end{array}$
$b$ in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} a+0=&1\\[5pt] a=&1 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(1 \mid 0\right)\right\}$
g)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&-x&+&3y&=&7 \\[5pt] Ⅱ&&&x&-&2y&=&8 &\quad \mid\; Ⅰ+Ⅱ \\[5pt] \hline &&&&&y&=&15 \end{array}$
$y$ in Ⅰ:
$-x+3 \cdot 15=7$ $\Rightarrow\, x=38$
$\mathbb{L}=\left\{\left(38 \mid 15\right)\right\}$
h)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&3x&-&2y&=&1 \\[5pt] Ⅱ&&&2x&-&2y&=&0 &\quad \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&3x&-&2y&=&1 \\[5pt] Ⅱ&&&-2x&+&2y&=&0 &\quad \mid\; Ⅰ+Ⅱ \\[5pt] \hline &&&&&x&=&1 \end{array}$
$x$ in Ⅰ:
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 1-2y=&1\\[5pt] 2=&2y\\[5pt] y=&1 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(1 \mid 1\right)\right\}$
i)
$\blacktriangleright$ Einsetzungsverfahren
$\begin{array}{lllrcrl} Ⅰ&&&&&2a&=&2-b \\[5pt] Ⅱ&&&a&+&b&=&-1 &\quad \mid -b \\[5pt] \hline Ⅰ&&&&&2a&=&2-b \\[5pt] Ⅱa&&&&&a&=&-1-b \\[5pt] \end{array}$
$Ⅱa$ in Ⅰ:
$\begin{array}[t]{rll} 2(-1-b)=&2-b\\[5pt] -2-2b=&2-b&{ \mid\; +2b-2}\\[5pt] -4=&b \end{array}$
$b$ in $Ⅱa$:
$a=-1-(-4)=3$
$\mathbb{L}=\left\{\left(3 \mid -4\right)\right\}$
j)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$x=2;\;y=3;$ $\mathbb{L}=\left\{\left(2 \mid 3\right)\right\}$
k)$\blacktriangleright$ Einsetzungsverfahren
$x=4;\;y=0;$ $\mathbb{L}=\left\{\left(4 \mid 0\right)\right\}$
l)
$\blacktriangleright$ Additionsverfahren
$x=-4;\;y=-13;$ $\mathbb{L}=\left\{\left(-4 \mid -13\right)\right\}$
4.
a)
Das Lineare Gleichungssystem beschreibt zwei parallele Geraden (siehe gleiche Steigung $m=2$). Parallele Geraden schneiden sich nicht. Dies bedeutet für das LGS, dass es keine Lösung besitzt. $\Longrightarrow\;\mathbb{L}=\left\{\right\}$
b)
Teilst du die untere Gleichung durch $2$ so stellt du fest, dass die zwei Gleichungen identisch sind. Identische Geraden haben unendliche viele Schnittpunkte. Das LGS hat also unendlich viele Lösungen. $\Longrightarrow\;\mathbb{L}=\left\{(x \mid y) \mid \; y=\dfrac{1}{2}x+2\right\}$
c)
Diese Gleichungen haben jeweils nur eine Variable. Aus der oberen Gleichung kannst du direkt $y=4$ ablesen. Addierst du zur unteren Gleichung 4, so erhältst du $x=4$. Somit besitzt das LGS eine Lösung. $\Longrightarrow\;\mathbb{L}=\left\{(4 \mid 4) \right\}$
5.
1. Schritt: LGS grafisch lösen
Die beiden Gleichungen des LGS kannst du als Geradengleichungen auffassen. Bringe sie dazu zuerst in die Form $y=mx+b$:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&4x-2\\[5pt] Ⅱ&2y=&6x+1&\quad \mid\;\;:2\\[5pt]\hline Ⅰ&y=&4x-2\\[5pt] Ⅱ&y=&3x+0{,}5 \end{array}$
Zeichne die beiden Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Lösung des LGS sind gerade die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden.
Lineares Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem
Aus der Zeichnung kannst du den Schnittpunkt $S\left(2{,}5\mid8\right)$ ablesen. Als Lösung bedeutet dies:
$x=2{,}5$ und $y=8$ bzw. $\mathbb L=\left\{(2{,}5 \mid 8)\right\}$.
2. Schritt: Ergebnis durch Rechnung überprüfen
$\begin{array}{lrl} Ⅰ&y=&4x-2\\[5pt] Ⅱ&y=&3x+0{,}5 \end{array}$
Es bietet sich das Einsetzungsverfahren ein. Aus Ⅰ folgt: $y=4x-2$. Setze dies in Ⅱ ein:
$\begin{array}{rll} 4x-2=&3x+0{,}5&\quad \mid\;-3x\\[5pt] x-2=&0{,}5&\quad \mid\;+2\\[5pt] x=&2{,}5 \end{array}$
Setze $x=2{,}5$ ein in Ⅰ und berechne $y$:
$y=4\cdot2{,}5-2=10-2=8$
Damit ist die Lösungsmenge nachgewiesen.
6.
Verfahren wählen und Lösung berechnen
a)
Hier bietet es sich an, dass du das Einsetzungsverfahren nutzt, da eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist.
$\begin{array}{llrll} Ⅰ && x-2=&y\\[5pt] Ⅱ && x-2y=&2\\[5pt]\hline Ⅰ && x-2=&y\\[5pt] Ⅱa && x-2(x-2)=&2\\[5pt]\hline Ⅰ && x-2=&y\\[5pt] Ⅱa && -x+4=&2 &\quad \mid\; -4 \;\;\mid\; \cdot(-1)\\[5pt] &\Longrightarrow & x=&2 \end{array}$
$x$ in Ⅰ einsetzen:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ & 2-2=&y\\[5pt] \Longrightarrow & y =& 0 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(2\mid0\right)\right\}$
b)
Da eine der beiden Gleichungen nur eine Variable enthält, kannst du diese zuerst bestimmen und dann in die zweite Gleichung einsetzen.
$\begin{array}{rll} 2x=&22&\quad \mid\; :2\\[5pt] x=&11 \end{array}$
$x$ in die zweite Gleichung einsetzen:
$\begin{array}{rll} 6\cdot 11-5y=&1&\quad \mid\; -66\\[5pt] -5y=&-65&\quad \mid\; :(-5)\\[5pt] y =& 13 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(11\mid13\right)\right\}$
c)
Die Gleichungen musst du für alle Verfahren umformen. Es ist deshalb egal, welches Verfahren du anwendest. Hier wird das Gleichsetzungsverfahren benutzt, um das LGS zu lösen. Umformen der Gleichungen:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&&&x&-&3&=&1+y &\quad \mid\; -1 \\[5pt] Ⅱ&&&2x&+&y&=&2 &\quad \mid\; -2x \\[5pt] \hline Ⅰ&&&x&-&4&=&y \\[5pt] Ⅱa&&&&&y&=&2-2x \end{array}$
Gleichsetzen der Gleichungen:
$\begin{array}{lrll} &&&x&-&4&=&2-2x \\[5pt] &&&&&3x&=&6 \\[5pt] &&&&&x&=&2 \end{array}$
Diesen Wert setzt du nun in eine der beiden Gleichungen (hier Ⅱa) ein und erhältst einen Wert für $y$:
$y=2-2 \cdot 2=-2$
$\mathbb{L}=\left\{(2 \mid -2)\right\}$
d)
Da die erste Gleichung $x$ und die zweite $-x$ enthält, ist es sinnvoll das Additionsverfahren zu nutzen.
$\begin{array}{llrll} Ⅰ && x+2y=&y\\[5pt] Ⅱ && -x=&1+2y &\quad \mid\; Ⅰ+Ⅱ= Ⅲ\\[5pt]\hline Ⅲ && 2y =& 1+3y & \quad \mid\; -3y\\[5pt] && -y =& 1 & \quad \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] && y =& -1 \end{array}$
Nun setzt du $y=-1$ in eine Gleichung ein und erhältst so $x$:
$\begin{array}{llrll} Ⅰ && x+2\cdot (-1)=&-1 &\quad \mid\; +2\\[5pt] && x=&1\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\left(1\mid-1\right)\right\}$
e)
Da beide Gleichungen den selben Faktor vor $x$ haben hat dieses LGS keine Lösung (die Geraden schneiden sich nicht, da sie parallel verlaufen).
$\mathbb{L}=\left\{\,\right\}$
f)
Diese Gleichungen haben jeweils nur eine Variable. Du löst die Gleichungen also einfach nur nach der jeweiligen Variablen auf und erhältst so die Lösung für das LGS.
$\begin{array}{rll} 0=&8+x&\quad \mid\; -8\\[5pt] x=&-8 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&-4-2y&\quad \mid\; +2y\\[5pt] 2y=&-4&\quad \mid\; :2\\[5pt] y=&-2 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-8\mid-2\right\}$
7.
1. Schritt: LGS aufstellen
Betrachte zunächst den Vertrag „Prepaid Wonder“. Eine Gesprächsminute und eine SMS kosten gleich viel, nämlich 16ct (0,16 €). Weiterhin wird keine Grundgebühr verlangt.
Wir können also eine Variable $x$ für die Anzahl der Gesprächsminuten und SMS zusammen verwenden. Auch in der Aufgabenstellung ist nur von „Gesprächsminuten und SMS“ die Rede. Sie müssen also nicht getrennt voneinander betrachtet werden.
Als Gleichung für den Vertrag „Prepaid-Wonder“ erhalten wir somit:
$y=0{,}16\cdot x$
Nun zum Vertrag „Happy Handy“. Auch hier kosten eine Gesprächsminute und eine SMS gleich viel, allerdings nur 9ct (0,09 €). Als Grundgebühr werden pauschal 5 € verlangt. Diese müssen immer bezahlt werden. Als Gleichung erhalten wir also:
$y=0{,}09\cdot x + 5$
Um sagen zu können, wann welcher Vertrag billiger ist, bestimmst du die Lösung des LGS mit den beiden Gleichungen. So erhältst du den Wert $x$, für den beide Verträge gleich viel kosten.
2. Schritt: LGS lösen
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&y&=&0{,}16x&&\\[5pt] Ⅱ&y&=&0{,}09x&+&5\\[5pt] \end{array}$
Es bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Aus Ⅰ folgt: $y=0{,}16x$. Einsetzen in Ⅱ liefert:
$\begin{array}{rll} 0{,}16x=&0{,}09x+5&\quad \mid\;\;-0{,}09x\\[5pt] 0{,}07x=&5&\quad \mid\;\;:0{,}07\\[5pt] x=&71{,}43 \end{array}$
SMS und Gesprächsminuten gibt es nur als ganze Zahlen. Wir können also sagen: Ab 71 SMS und Gesprächsminuten lohnt sich der Vertrag mit Grundgebühr.
Bleibt die Anzahl der SMS und Gesprächsminuten unter 71, dann lohnt sich für Sascha ein Pre-Paid-Karte.
8.
1. Schritt: LGS aufstellen
Im Aufgabentext sind zwei Bedingungen versteckt. Wir wollen sie nun aufspüren und sie als lineares Gleichungssystem darstellen.
Wir wollen mit $x$ die Anzahl der Puten und mit $y$ die Anzahl der Schafe bezeichnen. Eine Pute hat zwei Beine, ein Schaf hat 4.
Insgesamt sind es 35 Tiere. Wir wissen also:
$x+y=35$
Weiterhin ist bekannt, dass die Tiere insgesamt 100 Beine haben. Die $x$ Puten besitzen zusammen $2\cdot x$ Beine. Die $y$ Schafe besitzen zusammen $4\cdot y$ Beine:
$2x+4y=100$
2. Schritt: LGS lösen
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&x&+&y&=&35\\[5pt] Ⅱ&2x&+&4y&=&100\\[5pt] \hline \end{array}$
Aus Ⅰ folgt:
$\begin{array}{rll} x+y=&35&\quad\mid\; -x\\[5pt] y=&35-x \end{array}$
Setze dies ein in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} 2x+4\cdot(35-x)=&100\\[5pt] 2x+140-4x=&100\\[5pt] -2x+140=&100&\quad \mid\;-140\\[5pt] -2x=&-40&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] x=&20 \end{array}$
$x$ war die Anzahl der Puten. Wir erhalten als Ergebnis:
Bauer Müller besitzt 20 Puten und 15 Schafe.
9.
1. Schritt: LGS aufstellen
Wir wollen mit $x$ die Anzahl der Damen-T-Shirts und mit $y$ die Anzahl der Herren-T-Shirts bezeichnen. Ein Damen-T-Shirt kostet 7 € und ein Herren-T-Shirt 5 €.
Insgesamt sind es 30 Artikel. Wir wissen also:
$x+y=30$
Weiterhin ist bekannt, dass die Artikel insgesamt 176 €kosten. Die $x$ Damen-T-Shirts kosten zusammen $7\cdot x$ €. Die $y$ Herren-T-Shirts kosten zusammen $5\cdot y$ €:
$7x+5y=176$
2. Schritt: LGS lösen
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&x&+&y&=&30\\[5pt] Ⅱ&7x&+&5y&=&176\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅰ folgt:
$\begin{array}{rll} x+y=&30&\quad\mid\;-x\\[5pt] y=&30-x \end{array}$
Setze dies ein in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} 7x+5\cdot(30-x)=&176\\[5pt] 7x+150-5x=&176\\[5pt] 2x+150=&176&\quad \mid\;-150\\[5pt] 2x=&26&\quad \mid\;:2\\[5pt] x=&13 \end{array}$
$x$ war die Anzahl der Damen-T-Shirts. Wir erhalten als Ergebnis:
Regina muss 13 Damen-T-Shirts und 17 Herren-T-Shirts kaufen.
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