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Funktionsgraphen zeichnen

Spickzettel
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Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Funktionsgraphen zeichnen
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Funktionsgraphen zeichnen
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Einführung

Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Laufbahn
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Laufbahn
PunkteZurückgelegte Strecke
15$7050$ m
14$6950$ m
13$6850$ m
12$6700$ m
11$6550$ m
10$6350$ m
5$5125$ m
0$0$ m

Erklärung

Da Jonas während des Laufes nahezu mit konstanter Geschwindigkeit läuft, kannst du den Lauf von Jonas durch eine lineare Funktion beschreiben. Um zu wissen, zu welchem Zeitpunkt Jonas welche Strecke zurückgelegt hat, musst du die lineare Funktion als Gerade darstellen. Für den Lauf von Jonas sind bereits folgende Werte bekannt.
Vergangene Zeit Zurückgelegte Strecke
$0:00$ min$0$ m
$5:15$ min$1.200$ m
$8:45$ min$2.000$ m
$15:00$ min
$30:00$ min
Nun kannst du die gegebenen Werte in ein Koordinatensystem eintragen und zu einer Gerade verbinden. Dadurch erhalten wir den Lauf von Jonas als Schaubild einer linearen Funktion.
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 2: Lineare Funktion des $30$-Minuten-Laufes
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 2: Lineare Funktion des $30$-Minuten_Laufes
Mithilfe der Gerade kannst du die zurückgelegten Strecken bei $15$ und $30$ Minuten ablesen, indem du bei der jeweiligen Zeit eine Senkrechte zur Funktion zeichnest und von dem Schnittpunkt mit der Geraden eine Waagerechte zum Schnittpunkt mit der $y$-Achse zeichnest. Der Schnittpunkt der Waagerechten mit der $y$-Achse gibt dir den zurückgelegten Weg von Jonas an. Durch Ablesen der $y$-Werte kannst du somit die Wertetabelle vervollständigen und anschließend Jonas` errreichte Punktzahl bestimmen.
Vergangene Zeit Zurückgelegte Strecke
$0:00$ min$0$ m
$5:15$ min$1200$ m
$8:45$ min$2000$ m
$15:00$ min$3425$ m
$30:00$ min$6850$ m
Somit hat Jonas nach der Hälfte der Zeit eine Strecke von $3.425$ m zurückgelegt. Nach Ablauf der kompletten $30$ Minuten ist Jonas eine Strecke von $6.850$ gelaufen und hätte somit nach der gegebenen Tabelle $13$ Punkte im Sportabitur erreicht.
Merke:
Um eine lineare Funktion in einem Koordinatensystem darzustellen, brauchst du mindestens zwei gegebene Punkte, welche auf der Geraden liegen.
Merke:
Um eine lineare Funktion in einem Koordinatensystem darzustellen brauchst du mindestens zwei gegebenen Punkte, welche auf der Geraden liegen.

Funktionsgraphen mit gegebener Funktionsgleichung zeichnen

Möglichkeit 1

Mithilfe einer Funktionsgleichung kannst du die Koordinaten aller Punkte eines Funktionsgraphen bestimmen. Eine lineare Funktion hat als Graph eine Gerade. Um sie zu zeichnen, benötigst du nur zwei Punkte.
Mithilfe einer Funktionsgleichung kann man alle Punkte eines Funktionsgraphen bestimmen. Eine lineare Funktion hat als Graph eine Gerade. Um sie zu zeichnen, benötigst du nur zwei Punkte.

Beispiel

Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 3: Funktionsgraphen durch zwei Punkte zeichnen
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 3: Funktionsgraphen durch zwei Punkte zeichnen

Möglichkeit 2

An einer linearen Funktion mit $y=mx+ c$ kann man immer direkt die $y$-Koordinate des Schnittpunkts mit der $y$-Achse ablesen. Seine Koordinaten sind $(0\mid c)$. Mithilfe dieses Punktes und dem Steigungsdreieck kann man die Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen.
An einer linearen Funktion mit $y=mx+ c$ kann man immer direkt die $y$-Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse ablesen. Seine Koordinaten sind $(0\mid c)$. Mithilfe dieses Punktes und dem Steigungsdreieck kann man die Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Beispiel

Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 4: Funktionsgraphen mittels Steigungsdreiecks zeichnen
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 4: Funktionsgraphen mittels Steigungsdreiecks zeichnen
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1.
Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen der folgenden Funktionen.
b)
$y=-3x+6$
d)
$y=\frac{1}{2}x$
2.
Zeichne die Gerade $y=2x$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Lies die fehlenden Werte der Wertetabelle aus der Zeichnung ab.
$x$$-1$$-0,5$$0$$0,5$$1$$1,5$$2$$2,5$$3$
$y$
$x$$y$
$-1$
$-0,5$
$0$
$0,5$
$1$
$1,5$
$2$
$2,5$
$3$
3.
Zeichne die Gerade mit den folgenden Funktionswerten in ein sinnvolles Koordinatensystem.
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y$$5$$3$$1$$-1$$-3$
4.
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Baldwin Street
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Baldwin Street
5.
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 2: Weltraum Sprung
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 2: Weltraum Sprung
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Quelle: https://www.flickr.com/photos/kansirnet/8087155467 – Kansir, CC BY-SA.
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1.
a)
Die Wertetabelle erstellst du, indem du für die Variable $x$ die Zahlen $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ und $4$ einsetzt. Diese Wertepaare der Funktion sind Punkte $(x\mid y)$. Um eine Gerade einzuzeichnen, genügt es, zwei Punkte einzuzeichnen und diese zu verbinden. Die Funktion ist im ersten Koordinatensystem eingezeichnet.
$x$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$y$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$
$x$$y$
$-4$$-1$
$-3$$0$
$-2$$1$
$-1$$2$
$0$$3$
$1$$4$
$2$$5$
$3$$6$
$4$$7$
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Aufgabe 1 a)
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Aufgabe 1 a)
b)
$x$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$y$$18$$15$$12$$9$$6$$3$$0$$-3$$-6$
$x$$y$
$-4$$18$
$-3$$15$
$-2$$12$
$-1$$9$
$0$$6$
$1$$3$
$2$$0$
$3$$-3$
$4$$-6$
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 2: Aufgabe 1 b)
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 2: Aufgabe 1 b)
c)
$x$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$y$$-10$$-8$$-6$$-4$$-2$$0$$2$$4$$6$
$x$$y$
$-4$$-10$
$-3$$-8$
$-2$$-6$
$-1$$-4$
$0$$-2$
$1$$0$
$2$$2$
$3$$4$
$4$$6$
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 3: Aufgabe 1 c)
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 3: Aufgabe 1 c)
d)
$x$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$y$$-2$$-1,5$$-1$$-0,5$$0$$0,5$$1$$1,5$$2$
$x$$y$
$-4$$-2$
$-3$$-1,5$
$-2$$-1$
$-1$$-0,5$
$0$$0$
$1$$0,5$
$2$$1$
$3$$1,5$
$4$$2$
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 4: Aufgabe 1 d)
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 1: Aufgabe 1 d)
2.
Die Gerade $y=2x$ geht durch den Ursprung $U(0\mid 0)$.
Die Steigung $m=2$ bedeutet ausgehend vom Ursprung $U(0\mid 0)$: „ Wenn du $1$ Einheit nach rechts gehst, steigt die Gerade um $2$ Einheiten nach oben.“
Du erhältst damit den Punkt $P(1\mid 2)$. Nun kannst du die Gerade durch die Punkte $U(0\mid 0)$ und $P(1\mid 2)$ zeichnen.
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 5: Funktionsgraph der Funktion
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 5: Funktionsgraph der Funktion
Durch Ablesen der Funktionswerte kannst du nun die Wertetabelle vervollständigen.
$x$$-1$$-0,5$$0$$0,5$$1$$1,5$$2$$2,5$$3$
$y$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$
$x$$y$
$-1$
$-0,5$
$0$
$0,5$
$1$
$1,5$
$2$
$2,5$
$3$
3.
Den Graphen der Funktion zeichnest du, indem du die einzelnen Punkte in ein Koordinatensystem überträgst. Die Wertepaare $x$ und $y$ sind Punkte $(x\mid y)$, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Die $x$-Achse des Koordinatensystems muss mindestens bis $x=-1$ bzw. $x=3$ reichen und die $y$-Achse muss mindestens bis $y=5$ bzw. $y=-3$ Einheiten reichen, um alle Punkte einzeichnen zu können.
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 6: Funktionsgraph der Funktion
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 6: Funktionsgraph der Funktion
4.
Baldwin Street
Da die Höhe zu Beginn der Straße $0$ Meter beträgt, verläuft die Gerade durch den Ursprung $P_1(0\mid 0)$.
du weißt, dass die Straße pro $100$ Metern Länge $35$ Höhenmeter hinzugewinnt. Deshalb kannst du nun von dem Punkt $P_1$ $100$ Einheiten nach rechts und $35$ Einheiten nach oben gehen. Nun kannst du die Gerade durch dieses Steigungsdreieck wie folgt einzeichnen.
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 7: Steilste Straße der Welt
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 7: Steilste Straße der Welt
Anhand des Funktionsgraphenx kann man somit die Höhenmeter bei einer Länge von $350$ Metern ablesen. Die Baldwin Street gewinnt somit bei einer Länge von $350$ Meter etwa $122,5$ Höhenmeter hinzu.
5.
Sprung aus der Stratosphäre
Zu Beginn des Sprungs befindet sich Felix Baumgartner in Ruhe, besitzt somit also noch keine Geschwindigkeit. Deshalb verläuft die Gerade durch den Ursprung $P_1(0\mid 0)$.
Nach $0,1$ Sekunden betrug seine Geschwindigkeit bereits $270 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Somit verläuft die Gerade durch den Punkt $P_2(0,1\mid 270)$.
Nun kannst du die beiden Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und sie zu einer Gerade verbinden. Dadurch erhältst du folgende Gerade:
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 8: Sprung aus dem Weltall
Lineare Funktionen: Funktionsgraphen zeichnen
Abb. 8: Sprung aus dem Weltall
Die Maximalgeschwindigkeit nach $0,5$ Sekunden kannst du nun aus der Gerade ablesen. Sie betrug etwa $1.350 \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
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